라모 공식

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1. 개요
2. 역사
- 2.1. 비상대론적 라모 공식
- 2.2. 상대론적 라모 공식
3. 정의
- 3.1. 비상대론적 라모 공식
- 3.2. 상대론적 라모 공식
4. 유도
- 4.1. 리에나르-비헤르트 퍼텐셜을 이용한 유도 (CGS 단위계)
- 4.2. 에드워드 밀스 퍼셀의 접근 방식
5. 상대론적 일반화
- 5.1. 공변 형식
- 5.2. 비공변 형식
6. 각 분포
7. 논점과 함의
- 7.1. 복사 반작용
- 7.2. 원자 물리학
참조

1. 개요

라모 공식은 전하를 띤 입자가 가속될 때 방출하는 전자기파(제동 복사)에 의해 손실되는 에너지의 일률을 계산하는 공식이다. 이 공식은 비상대론적 속도와 상대론적 속도에서 각각 다른 형태로 나타난다. 비상대론적 라모 공식은 조지프 라모어가 1897년에 유도했으며, 상대론적 라모 공식은 알프레드마리 리에나르가 1898년에 유도했다. 라모 공식은 전자기 복사, 복사 반작용, 원자 물리학 등 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다.

2. 역사

라모 공식은 비상대론적인 속도와 상대론적인 속도, 두 가지 경우에 대해 각각 다른 시기에 유도되었다. 비상대론적인 라모 공식은 1897년 조지프 라모어가 유도하였고,^[13] 상대론적인 라모 공식은 1898년 알프레드마리 리에나르가 리에나르-비헤르트 퍼텐셜을 써서 유도하였다.^[14]

2. 1. 비상대론적 라모 공식

조지프 라모어가 1897년에 유도하였다.^[13]

2. 2. 상대론적 라모 공식

프랑스의 알프레드마리 리에나르(Alfred-Marie Liénard^영어)가 리에나르-비헤르트 퍼텐셜을 써서 1898년에 유도하였다.^[14]

3. 정의

전하 $q$ 를 가진 입자가 빛의 속도에 비해 매우 느린 속도로 움직이다가 가속도 $\mathbf a$ 로 속도가 바뀌면 제동 복사에 의하여 전자기파(광자)를 방출하며 에너지를 잃는다. 이때 방출되는 에너지의 일률 $P$ 는 국제단위계와 CGS 단위계에서 각각 특정 공식으로 주어지며, 빛의 속도에 비해 무시할 수 없을 정도로 속도가 큰 경우에는 로런츠 인자를 포함한 다른 공식을 사용한다. 사차원 벡터로 표현할 수도 있다.

3. 1. 비상대론적 라모 공식

전하 q^영어를 가진 입자가 빛의 속도에 비해 매우 느린 속도 v^영어 (v^영어 << c^영어)로 움직일 때, 가속도 a^영어로 가속되면 제동 복사에 의해 전자기파(광자)를 방출하며 에너지를 잃는다. 이때 방출되는 에너지의 일률 P^영어는 국제단위계로 다음과 같다.

:

여기서 ε^영어_0은 진공의 유전율이다. CGS 단위계에서는 (4πε^영어_0을 1로 놓으므로) 다음과 같다.

:

3. 2. 상대론적 라모 공식

빛의 속도에 비해 무시할 수 없을 정도로 속도가 클 때는 다음과 같은 공식을 사용한다.^[1]

:

P=\frac{q^2\gamma^6}{6\pi\epsilon_0c^3}(a^2-\lVert\mathbf v\times\mathbf a\rVert^2/c^2)

.

여기서

\gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2}

는 로런츠 인자다.^[1]

사차원 벡터를 사용하면 다음과 같이 표현할 수 있다.^[1]

:

P=\frac{q^2}{6\pi\epsilon_0c^3}\left(\frac{du^\mu}{d\tau}\right)^2

.

여기서

u^\mu

는 입자의 사차원 속도이고,

\tau

는 입자의 고유 시간이다.^[1]

4. 유도

점전하 $q$ 가 위치 $\mathbf{r}$ $(t)$ 에 있고 속도 $\mathbf{v}(t)$ 를 가질 때 방출되는 전력을 계산하기 위해, 포인팅 벡터를 반지름 R인 구의 표면에 대해 적분한다.^[3]

: $P=\frac{R^2}{4\pi}\oint {\bf{\hat{r}}\cdot[E(r},t)\times{\bf B(r},t)]d\Omega.$

리에나르-비헤르트 장 방정식에 의해 전기장과 자기장은 다음과 같이 주어진다.

: $\mathbf{E}(\mathbf{r},t) =\frac{q({\bf{\hat r}_r}-{\boldsymbol{\beta}_r)}}{r_r^2\gamma_r^2(1-{\bf{\hat r_r}}\cdot \boldsymbol{\beta}_r) ^3}+\frac{q}{c}\left\{\frac_r\times[({\bf{\hat r}}_r-\boldsymbol{\beta}_r)\times\dot\boldsymbol{\beta}_r]} {r_r(1-{\bf{\hat r}}_r\cdot\boldsymbol{\beta}_r)^3}\right\},$

: $\mathbf{B} = \mathbf\times\mathbf{E.}$

여기서 ${\bf r}_r$ 는 지연 시간에서 하전 입자의 위치에서 현재 시간의 전자기장 관찰 지점까지의 거리, $\boldsymbol{\beta}$ 는 전하의 속도를 $c$ 로 나눈 값, $\dot{\boldsymbol{\beta}}$ 는 전하의 가속도를 $c$ 로 나눈 값, $\gamma = (1 - \beta^2 )^{-1/2}$ 이다. 변수 ${\bf r}_r$ , $\boldsymbol{\beta}_r$ , $\gamma_r$ , 및 ${\bf a}_r$ 는 모두 지연 시간 $t_r=t-r_r/c$ 에서 평가된다.

점전하의 정지 좌표계로 로렌츠 변환을 수행하면 $\bf v'=0$ 이고, 다음과 같은 관계를 얻는다.

: $\mathbf{a'}_\parallel =\mathbf{a}_\parallel\gamma^3$

: $\bf a'_\perp= \mathbf{a}_\perp\gamma^2.$

여기서 ${\bf a'}_\parallel$ 는 $\bf v$ 와 평행한 정지 좌표계 가속도이고, $\bf a'_\perp$ 는 $\bf v$ 에 수직인 정지 좌표계 가속도이다.

반지름 R'인 구의 표면에 대해 정지 좌표계 포인팅 벡터를 적분하고 $R'\rightarrow 0$ 의 극한을 취하면, $t'_r=t'$ 이고 ${\bf a'}_r={\bf a'},$ 이므로 전기장은 다음과 같다.

: ${\bf E'(r'},t')=\frac{q{\bf\hat r'}}{r'^2}+\frac{q[{\bf{\hat r'}({\hat r'}\cdot a')-a'}]}{c^2r'},$

모든 변수는 현재 시간에 평가된다. 방출 전력에 대한 표면 적분은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $P'=\frac{q^2}{4\pi c^3}\oint{\bf\hat r'}\cdot[{\bf a'\times({\hat r'}\times a')}]d\Omega'=\frac{2q^2a'^2}{3c^3}.$

방출 전력은 움직이는 좌표계에서 원래 가속도로 다시 표현될 수 있으며, 다음과 같다.

: $P'=\frac{2q^2}{3c^3}(a^2_\parallel\gamma^6+a^2_\perp\gamma^4)=\frac{2q^2\gamma^6}{3c^3}[a^2-({\bf v}\times{\bf {a}}/c)^2].$

이 방정식에서 왼쪽 부분의 에너지 방출률은 정지 좌표계 변수로 주어지지만, 오른쪽 변수는 로렌츠 불변량임이 밝혀져 방출 전력은 움직이는 좌표계로 로렌츠 변환될 수 있다. 최종적으로 다음 식을 얻는다.

: $P=\frac{2q^2\gamma^4}{3c^3}(a^2_\parallel\gamma^2+a_{\perp}^2)=\frac{2q^2\gamma^6}{3c^3}[a^2-({\bf v}\times{\bf {a}}/c)^2].$

이 결과는 조지프 라모 공식의 상대론적 확장이며,^[4] 모든 변수가 현재 시간에 주어진다. 비상대론적 극한에서는 라모 공식으로 축약된다.

고에너지의 경우, 속도에 평행한 가속에 대해 방출되는 전력은 수직 가속에 대한 전력보다 $\gamma^2$ 배 커 보이지만, 운동량으로 표현하면 다음과 같다.

: $P = \frac{2q^2}{3c^3m^2}\left[\left(\frac{d\mathbf p}{dt}\right)^2_\parallel+\gamma^2\left(\frac{d\mathbf p}{dt}\right)^2_\perp\right].$

이는 속도에 수직인 ${\bf{dp}}/dt$ 에 대해 방출되는 전력이 속도에 평행한 ${\bf{dp}}/dt$ 에 대한 전력보다 $\gamma^2$ 배 더 크다는 것을 보여준다. 이 때문에 선형 가속기에서는 복사 감쇠가 무시할 수 있지만, 원형 가속기에서는 제한 요소가 된다.

4. 1. 리에나르-비헤르트 퍼텐셜을 이용한 유도 (CGS 단위계)

리에나르-비헤르트 퍼텐셜을 이용하여 전기장과 자기장을 표현할 수 있다. 전자기장의 에너지 플럭스 밀도는 포인팅 벡터를 통해 계산할 수 있다.^[8]

:

\boldsymbol{S} = \frac{c}{4\pi}\boldsymbol{E}_\text{a}\times\boldsymbol{B}_\text{a}

여기서 아래 첨자 'a'는 가속도 항만을 취한다는 의미이다. 전하가 시각

t_\text{r}

(지연 시간)의 순간에 정지해 있다고 가정하면, 위 식은 다음과 같이 간단해진다.^[8]

:

\boldsymbol{S} = \frac{q^2}{4\pi c}\left|\frac{\boldsymbol{n}\times(\boldsymbol{n}\times\dot{\boldsymbol{\beta}})}{R}\right|^2 \boldsymbol{n}

가속도의 방향과 관측 방향이 이루는 각을

\theta

로 하고, 가속도

\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{\beta}} c

를 도입하면, 단위 입체각당 방출되는 에너지는 다음과 같다.

:

\frac{dP}{d\Omega} = \frac{q^2}{4\pi c}\frac{\sin^2(\theta)\, a^2}{c^2}

단위 시간당 방출되는 에너지의 총량은 이 양을 전 입체각에 걸쳐 적분(즉,

\theta

와

\phi

에 대해 적분)하여 구할 수 있다.

:

P = \frac{2}{3}\frac{q^2 a^2}{c^3}

이것은 비상대론적인 경우에 대한 라모 공식의 결과이다. 이 식은 복사 에너지가 입자의 가속도와 관련되어 있음을 보여준다. 가속도가 커질수록 복사도 커지는데, 이는 복사장이 가속도에 의존하기 때문이다.

4. 2. 에드워드 밀스 퍼셀의 접근 방식

광속의 유한성을 출발점으로 하는 접근 방식에서는, 등속 운동하는 전하가 만드는 방사 방향의 전장

E_r

을 고려한다. 이 전장은 전하의 미래 위치에서 발생하며, 전하로부터의 거리

R

에 의존한다. 전하가 가속될 때, 즉 속도를 바꿀 때 전장의 연속성으로 인해 0이 아닌 수직 성분

E_t

가 나타난다. 이 수직 성분은

1/R

에 비례하여 감소하며, 전하에서 멀리 떨어진 곳에서는

E_r

에 비해 무시할 수 있다.^[9]

수직 성분

E_t

는 다음과 같이 주어진다.

:

E_t =

(SI)^[9]

여기서

e

는 전하량,

a

는 가속도,

\theta

는 가속도와 관측 방향 사이의 각,

\varepsilon_0

는 진공의 유전율,

c

는 광속,

R

은 전하로부터의 거리이다.

라모 공식을 얻기 위해서는, 전하로부터 원거리

R

에서의

E_t

에 의한 포인팅 벡터

:

\boldsymbol{S} =  \boldsymbol{\hat{r}}

를 모든 각도에 대해 적분해야 한다. 여기서

\mu_0

는 진공의 투자율,

\boldsymbol{\hat{r}}

은 방사 방향의 단위 벡터이다. 이를 통해,

:

P =

(SI)^[9]

를 얻는다. 이는 수학적으로

:

P =

와 같으며,

c^2=1/\mu_0 \epsilon_0

관계를 이용하면,

:

P = {2 \over 3} \frac{q^2 a^2}{  4 \pi \varepsilon_0 c^3}= \frac{q^2 a^2}{6 \pi \varepsilon_0 c^3}

를 얻는다.

5. 상대론적 일반화

점전하 $q$ 가 특정 위치와 속도를 가질 때 방출되는 전력은 포인팅 벡터를 구면( $R$ )에 대해 적분하여 계산한다.^[3] 이때 사용되는 전기장과 자기장은 리에나르-비헤르트 장 방정식으로 주어진다. 반지름 벡터 ${\bf r}_r$ 는 지연 시간에서 하전 입자의 위치부터 현재 시간의 전자기장 관찰 지점까지의 거리를 나타낸다. $\boldsymbol{\beta}$ 는 전하의 속도를 빛의 속도( $c$ )로 나눈 값, $\dot{\boldsymbol{\beta}}$ 는 전하의 가속도를 $c$ 로 나눈 값, $\gamma = (1 - \beta^2 )^{-1/2}$ 이다.

점전하의 정지 좌표계로 로렌츠 변환을 하면, 정지 좌표계에서의 가속도는 원래 좌표계에서의 가속도와 평행 및 수직 성분으로 나뉘어 표현된다. 정지 좌표계에서 포인팅 벡터를 구면( $R'$ )에 대해 적분하고, $R'\rightarrow 0$ 극한을 취하면, 방출 전력에 대한 식을 얻을 수 있다. 이 식을 움직이는 좌표계에서의 가속도로 다시 표현하면 다음과 같다.^[4]

: $P=\frac{2q^2\gamma^6}{3c^3}[a^2-({\bf v}\times{\bf {a}}/c)^2].$

이 방정식은 리에나르가 발견한 공식의 상대론적 확장이며, 모든 변수는 현재 시간에 주어진다. 비상대론적 극한에서는 라모 공식으로 돌아간다.

고에너지 영역에서는 속도에 평행한 가속에 의한 전력 방출이 수직 가속에 의한 것보다 $\gamma^2$ 배 커 보일 수 있다. 그러나, 운동량으로 표현하면 이러한 오해를 피할 수 있는데, 그 식은 다음과 같다.

: $P = \frac{2q^2}{3c^3m^2}\left[\left(\frac{d\mathbf p}{dt}\right)^2_\parallel+\gamma^2\left(\frac{d\mathbf p}{dt}\right)^2_\perp\right].$

이 식은 속도에 수직인 ${\bf{dp}}/dt$ 에 대한 전력 방출이 속도에 평행한 ${\bf{dp}}/dt$ 에 대한 것보다 $\gamma^2$ 배 크다는 것을 보여준다. 따라서 선형 가속기에서는 복사 감쇠가 무시할 수 있지만, 원형 가속기에서는 제한 요소가 된다. 방사 전력은 로렌츠 스칼라이며, 공변적 형태는 다음과 같다.

: $P = -\frac{2}{3}\frac{q^2}{m^2c^3}\frac{dp_{\mu}}{d\tau}\frac{dp^{\mu}}{d\tau}.$

5. 1. 공변 형식

로렌츠 불변 스칼라를 포함하여 상대론적으로 일반화되는 라모 공식은 다음과 같다.^[10]

:

P = -\frac{2}{3}\frac{q^2}{m^2c^3}\frac{dp_{\mu}}{d\tau}\frac{dp^{\mu}}{d\tau}

이는 4차원 운동량의 미분인 4차원 가속도 ''a''^μ ''dp''^μ/''d''τ}}의 자기 자신과의 내적으로 얻어진다.^[10]

이 내적은 다음과 같이 주어진다.^[10]

:

\frac{dp_{\mu}}{d\tau}\frac{dp^{\mu}}{d\tau} = \beta^2\left(\frac{dp}{d\tau}\right)^2 - \left(\frac{d{\boldsymbol p}}{d\tau}\right)^2

\beta \ll 1

의 극한에서는

-|\dot{\boldsymbol p}|^2

로 귀착하여, 비상대론적인 경우의 식이 재현된다.

고에너지의 경우, 속도에 평행한 가속에 대해 방출되는 전력은 수직 가속에 대한 전력보다

\gamma^2

배 큰 것처럼 보이지만, 운동량으로 표현하면, 리에나르 공식은 다음과 같다.

:

P = \frac{2q^2}{3c^3m^2}\left[\left(\frac{d\mathbf p}{dt}\right)^2_\parallel+\gamma^2\left(\frac{d\mathbf p}{dt}\right)^2_\perp\right].

이는 속도에 수직인

{\bf{dp}}/dt

에 대해 방출되는 전력이 속도에 평행한

{\bf{dp}}/dt

에 대한 전력보다

\gamma^2

배 더 크다는 것을 보여준다. 이로 인해 선형 가속기에서는 복사 감쇠가 무시할 수 있지만, 원형 가속기에서는 제한 요소가 된다.

방사 전력은 실제로 로렌츠 스칼라이다.

5. 2. 비공변 형식

로런츠 인자(

\gamma

)를 사용하여 상대론적 라모 공식을 표현하면 다음과 같다.^[10]

:

P = \frac{2q^2\gamma^6}{3c}\left[(\dot{\boldsymbol \beta})^2 - ({\boldsymbol \beta} \times \dot{\boldsymbol \beta})^2\right]

이 공식은 1898년 리에나르가 처음 얻은 결과이다.^[10] 여기서

\boldsymbol \beta

는 속도를 빛의 속도(

c

)로 나눈 값이고,

\dot{\boldsymbol \beta}

는 가속도를

c

로 나눈 값이다.

로런츠 인자의 영향:
$\gamma = 1/\sqrt{1-\beta^2}$ 이므로, 속도가 빛의 속도에 가까워질수록 ( $\beta \rightarrow 1$ ) 로런츠 인자는 급격히 증가한다.
$\gamma^6$ 항 때문에, 입자의 속도가 빨라질수록 방출되는 전력( $P$ )이 매우 크게 증가한다.

가속도와 속도의 관계:
가속도와 속도가 직교할 때는 $({\boldsymbol \beta} \times \dot{\boldsymbol \beta})^2$ 항이 $\beta^2 \dot{\beta}^2$ 이 된다.
이 경우, $1-\beta^2=1/\gamma^2$ 이 곱해져서 $\gamma^6$ 이 $\gamma^4$ 으로 감소하여 방출이 줄어든다.
따라서, 운동이 빠를수록 이러한 감소 효과는 더 커진다.

결론적으로, 리에나르 공식은 속도가 빛의 속도에 가까워질수록 방출이 증가하고, 가속도와 속도가 직교할 때 방출이 감소하는 현상을 잘 설명해준다.

6. 각 분포

방출되는 에너지의 각도 분포는 입자가 상대론적인지 여부에 관계없이 적용할 수 있는 일반적인 공식으로 주어진다. CGS 단위계에서 공식은 다음과 같다.^[5]

: $\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}\Omega} = \frac{q^2}{4\pi c} \frac{\left|\mathbf{\hat{n}} \times \left[ (\mathbf{\hat{n}} - \boldsymbol{\beta}) \times \dot{\boldsymbol{\beta}} \right] \right|^2}{(1-\mathbf{\hat{n}}\cdot\boldsymbol{\beta})^5},$

여기서 $\mathbf{\hat{n}}$ 는 입자에서 관찰자를 향하는 단위 벡터이다. 선형 운동(속도가 가속도와 평행)의 경우, 이는 다음과 같이 단순화된다.

: $\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}\Omega} = \frac{q^2a^2}{4\pi c^3}\frac{\sin^2 \theta}{(1-\beta \cos\theta)^5},$

여기서 $\theta$ 는 관찰자와 입자의 운동 사이의 각도이다.

7. 논점과 함의

라모 공식은 가속되는 전하를 띤 입자가 전자기 복사를 방출하며, 이 복사가 에너지와 운동량을 운반한다는 것을 설명한다. 이 과정에서 입자는 복사 반작용을 경험하며, 이는 입자의 운동에 영향을 미친다. 이러한 복사 반작용은 아브라함-로렌츠 힘으로 설명되며, 비상대론적 극한에서는 로렌츠 자체력, 상대론적 형태에서는 아브라함-로렌츠-디랙 힘으로 알려져 있다.^[6]

라모 공식은 비상대론적 입자에 대해서만 적용 가능하여 활용에 제한이 있다. 상대론적 속도로 움직이는 입자의 경우에는 리에나르-비헤르트 전위를 사용해야 한다. 특정 상황에서는 하전 입자가 방출하는 복사를 정확하게 계산하기 위해 수치 기법 또는 섭동 이론을 포함하는 더 복잡한 계산이 필요할 수 있다.

7. 1. 복사 반작용

전하를 띤 입자에서 발생하는 복사는 에너지와 운동량을 전달한다. 에너지와 운동량 보존을 만족시키기 위해, 전하를 띤 입자는 방출 시에 반동을 경험해야 한다. 복사는 전하를 띤 입자에 추가적인 힘을 가해야 한다. 이 힘은 아브라함-로렌츠 힘으로 알려져 있으며, 그 비상대론적 극한은 로렌츠 자체력으로, 상대론적 형태는 아브라함-로렌츠-디랙 힘으로 알려져 있다.^[6] 복사 반응 현상은 라모 공식의 핵심 문제이자 결과 중 하나이다. 고전 전자기학에 따르면, 전하를 띤 입자는 가속될 때 전자기 복사를 생성한다. 입자는 복사로 인해 운동량과 에너지를 잃게 되며, 복사는 이를 운반해 간다. 반면에, 복사 반응력은 복사로 인해 전하를 띤 입자에 작용한다.

이 힘의 존재는 전하를 띤 입자의 역학에 상당한 영향을 미친다. 특히, 이는 라모 공식, 로렌츠-디랙 방정식의 요소에 의해 설명될 수 있는 운동의 변화를 일으킨다.

로렌츠-디랙 방정식에 따르면, 전하를 띤 입자의 속도는 자체 복사로 인한 "자체력"의 영향을 받는다. 입자의 속도나 에너지가 유한한 시간 내에 무한대가 되는 런어웨이 해와 같은 비물리적 거동이 이 자체력으로 인해 발생할 수 있다.

전자기 복사의 방출로 인한 자체력 도입으로 인한 역설에 대한 해결책은 자체력이 생성되지 않는다는 것이다. 전하를 띤 입자의 가속은 전자기 복사를 생성하며, 이 복사의 발산 에너지는 전하를 띤 입자의 에너지를 감소시킨다. 이는 '복사 반응'을 유발하여 자체력이 아닌 입자의 가속 감소로서 전하를 띤 입자의 가속을 감소시킨다.^[6]

7. 2. 원자 물리학

보어 모형을 비롯한 양자역학의 발전은 고전 물리학이 예측한 결과와 실제 원자의 안정성 사이의 불일치를 설명할 수 있게 하였다. 보어 모형은 전자가 특정 에너지 준위에서만 존재 가능하며, 이 에너지 준위 사이의 전이를 통해 원자의 스펙트럼 선이 나타난다고 설명한다. 전자의 파동성과 에너지 양자화 개념은 이러한 전자 궤도의 안정성을 설명하는 데 사용되었다.^[1]

고전 역학에 따르면, 원자핵 주위를 도는 전자는 가속 운동을 하므로 복사 에너지를 방출해야 한다. 그 결과, 전자는 에너지를 잃고 원자핵으로 추락해야 한다. 따라서 고전 역학은 원자가 안정적이지 않다고 예측한다. 그러나 이는 안정적인 전자 궤도를 가진다는 실제 관측 결과와 모순된다. 이 문제는 원자 물리학의 양자역학적 설명(최초는 보어 모형)을 통해 해결되었다.^[3]

참조

_[1] 논문 LXIII.On the theory of the magnetic influence on spectra; and on the radiation from moving ions https://zenodo.org/r[...]
_[2] 서적 The theory of electrons and its applications to the phenomena of light and radiant heat B.G. Teubner 1909
_[3] arXiv Electromagnetic Power Emitted by an Accelerating Point Charge
_[4] 간행물 électrique et magnétique produit par une charge électrique
_[5] 서적 Classical Electrodynamics Wiley
_[6] 논문 Radiation reaction on an accelerating point charge
_[7] 논문 LXIII.On the theory of the magnetic influence on spectra; and on the radiation from moving ions
_[8] 문서 β(t_r) ≠ 0
_[9] 웹사이트 Purcell Simplified http://physics.weber[...]
_[10] citation Classical Electrodynamics
_[11] 문서 Jackson eq (14.38)
_[12] 문서 Jackson eq (14.39)
_[13] 저널 On a dynamical theory of the electric and luminiferous medium http://archive.org/d[...]
_[14] 저널 Champ électrique et magnétique produit par une charge électrique concentrée en un point et animée d’un movement quelconque

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