리에나르-비헤르트 퍼텐셜

{c}를 통해 계산할 수 있다. 로렌츠 게이지에서, 전위와 벡터 퍼텐셜은 다음과 같다.

:$\backslash phi(t,\backslash mathbf\; x)=\backslash frac\; q\{4\backslash pi\backslash epsilon\_0\; r(1-\backslash hat\{\backslash mathbf\; r\}\backslash cdot\backslash dot\{\backslash mathbf\; y\}\_\backslash text\{ret\}/c)\}$
:$\backslash mathbf\; A(t,\backslash mathbf\; x)=\backslash frac\{\backslash mu\_0q\backslash dot\{\backslash mathbf\; y\}\_\backslash text\{ret\}\}\{4\backslash pi\; r(1-\backslash hat\{\backslash mathbf\; r\}\backslash cdot\backslash dot\{\backslash mathbf\; y\}\_\backslash text\{ret\}/c)\}$.

여기서

:$\backslash hat\{\backslash mathbf\; r\}=(\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_\backslash text\{ret\})/\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_\backslash text\{ret\}\backslash Vert$

은 입자의 뒤처진 위치 $\backslash mathbf\; y\_\backslash text\{ret\}$에서부터 퍼텐셜을 계산하려는 위치 $\backslash mathbf\; x$를 가리키는 단위벡터이고,

:$r=\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_\backslash text\{ret\}\backslash Vert$

은 입자의 뒤처진 위치 $\backslash mathbf\; y\_\backslash text\{ret\}$에서부터 퍼텐셜을 계산하려는 위치 $\backslash mathbf\; x$까지의 거리다. $c$는 빛의 속도이고, $\backslash epsilon\_0$은 진공의 유전율이고, $\backslash mu\_0$은 진공의 투자율이다.

만약 입자가 (뒤처진 시각에) 움직이지 않았다면 ($\backslash dot\{\backslash mathbf\; y\}\_\backslash text\{ret\}=\backslash mathbf0$) 입자의 퍼텐셜은 쿨롱 퍼텐셜이 된다.

:$\backslash phi(t,\backslash mathbf\; x)=\backslash frac\; q\{4\backslash pi\backslash epsilon\_0r\}$
:$\backslash mathbf\; A(t,\backslash mathbf\; x)=\backslash mathbf0$.

리에나르-비헤르트 퍼텐셜 $\backslash varphi$(스칼라 퍼텐셜) 및 $\backslash mathbf\{A\}$(벡터 퍼텐셜)은 위치 $\backslash mathbf\{r\}\_s$에서 속도 $\backslash mathbf\{v\}\_s$로 이동하는 원천 점전하 $q$에 대해 다음과 같이 표현된다.

:$\backslash varphi(\backslash mathbf\{r\},\; t)\; =\; \backslash frac\{1\}\{4\; \backslash pi\; \backslash epsilon\_0\}\; \backslash left(\backslash frac\{q\}\{(1\; -\; \backslash mathbf\{n\}\_s\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol\{\backslash beta\}\_s)|\backslash mathbf\{r\}\; -\; \backslash mathbf\{r\}\_s|\}\; \backslash right)\_\{t\_r\}$

:$\backslash mathbf\{A\}(\backslash mathbf\{r\},t)\; =\; \backslash frac\{\backslash mu\_0c\}\{4\; \backslash pi\}\; \backslash left(\backslash frac\{q\; \backslash boldsymbol\{\backslash beta\}\_s\}\{(1\; -\; \backslash mathbf\{n\}\_s\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol\{\backslash beta\}\_s)|\backslash mathbf\{r\}\; -\; \backslash mathbf\{r\}\_s|\}\; \backslash right)\_\{t\_r\}\; =\; \backslash frac\{\backslash boldsymbol\{\backslash beta\}\_s(t\_r)\}\{c\}\; \backslash varphi(\backslash mathbf\{r\},\; t)$

여기서

* $\backslash boldsymbol\{\backslash beta\}\_s(t)\; =\; \backslash frac\{\backslash mathbf\{v\}\_s(t)\}\{c\}$는 광속의 비율로 표현된 원천의 속도이다.
* $$는 원천으로부터의 거리이다.
* $\backslash mathbf\{n\}\_s\; =\; \backslash frac\{\backslash mathbf\{r\}\; -\; \backslash mathbf\{r\}\_s\}$는 원천에서 향하는 단위 벡터이고,
* 기호 $(\backslash cdots)\_\{t\_r\}$는 괄호 안의 양을 지체 시간 $t\_r\; =\; t\_r(\backslash mathbf\{r\},t)$에서 평가해야 함을 의미한다.

2.1. 지체 시간 (Retarded Time)

지체 시간은 전자기장이 광속으로 전파되기 때문에 발생하는 시간 지연을 나타내는 개념이다. 어떤 지점의 전자기장은 그 지점에서 떨어진 곳에 있는 전하의 현재 상태가 아니라 과거의 상태에 의해 결정된다. 이때 과거의 시간을 지체 시간이라고 한다.

:$t\_r(\backslash mathbf\{r\},\backslash mathbf\{r\_s\},\; t)\; =\; t\; -\; \backslash frac\{1\}\{c\}|\backslash mathbf\{r\}\; -\; \backslash mathbf\{r\}\_s|,$

여기서 $\backslash mathbf\{r\}$은 관측점이고, $\backslash mathbf\{r\}\_s$는 원천 전하와 전류가 변화하는 지점이다.

움직이는 점전하 $q$의 궤적이 $\backslash mathbf\{r\_s\}(t)$로 주어질 때, $\backslash mathbf\{r\_s\}$는 더 이상 고정된 값이 아니고 지체 시간 자체의 함수가 된다. 따라서 $q$의 궤적을 따르면 다음과 같은 방정식을 얻는다.

:$t\_r\; =\; t\; -\; \backslash frac\{1\}\{c\}|\backslash mathbf\{r\}\; -\; \backslash mathbf\{r\}\_s(t\_r)|,$

이 식은 지체 시간 $t\_r$을 현재 시간과 주어진 궤적의 함수로 나타낸다.

:$t\_r\; =\; t\_r(\backslash mathbf\{r\},t)$.

이 식은 암시적 방정식이며, 주로 반복법으로 계산된다. 지체 시간은 전자기장 효과가 유한한 속도로 전파되기 때문에 발생하며, 리에나르-비헤르트 퍼텐셜 계산에 사용된다.

3. 리에나르-비헤르트 장 (Liénard–Wiechert Field)

리에나르-비헤르트 퍼텐셜로부터 계산한 전자기장을 리에나르-비헤르트 장(Liénard–Wiechert field^영어)이라고 하며, 다음과 같이 표현된다.^:639

:$\backslash mathbf\{E\}(\backslash mathbf\{r\},\; t)\; =$
\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left(
\frac{q(\boldsymbol{n} - \boldsymbol{\beta})}{\gamma^2 (1 - \boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{\beta})^3 |\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_\mathrm{s}|^2}
+ \frac{q \boldsymbol{n} \times \big((\boldsymbol{n} - \boldsymbol{\beta}) \times \dot{\boldsymbol{\beta}}\big)}{c(1 - \boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{\beta})^3 |\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_\mathrm{s}|}
\right)_{t_\mathrm{r}}

:$\backslash mathbf\{B\}(\backslash mathbf\{r\},\; t)\; =$
\frac{\mu_0}{4 \pi} \left(
\frac{q c(\boldsymbol{\beta} \times \boldsymbol{n})}{\gamma^2 (1-\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{\beta})^3 |\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_\mathrm{s}|^2}
+ \frac{q \boldsymbol{n} \times \Big(\boldsymbol{n} \times \big((\boldsymbol{n} - \boldsymbol{\beta}) \times \dot{\boldsymbol{\beta}}\big) \Big)}{(1 - \boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{\beta})^3 |\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_\mathrm{s}|}
\right)_{t_\mathrm{r}}
= \frac{\boldsymbol{n}(t_\mathrm{r})}{c} \times \mathbf{E}(\boldsymbol{r}, t)
\,.

여기서 $\backslash gamma(t)\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{1\; -\; |\backslash boldsymbol\{\backslash beta\}(t)|^2\}\}$는 로런츠 인자이다.

원거리장(far field^영어)은 입자의 뒤처진 가속도 $\backslash ddot\{\backslash mathbf\; y\}\_\backslash text\{ret\}$에 비례한다. 전하의 가속도($\backslash dot\{\backslash boldsymbol\{\backslash beta\}\}$)가 0이면, 전자기파와 관련된 두 번째 항의 값은 0이 되고 전하는 복사를 방출하지 않는다.

관측 위치 $\backslash boldsymbol\{r\}$에서 전기장 $\backslash boldsymbol\{E\}(\backslash boldsymbol\{r\},t)$를 관측할 때, 전하와 관측점을 잇는 방향에 직교하도록 전하가 가속될 때 복사 항이 관측된다. 이 복사 항의 전자기장 방향은 지연 시간에서의 전하 위치를 향한다. 리에나르-비헤르트 장의 포인팅 벡터를 계산하여 입자가 방사하는 에너지의 양을 계산하면 라모 공식을 얻는다.

3.1. 정지장 (Static Field)

전하가 일정한 속도로 움직일 때 전하의 정적장과 관련된 항은 다음과 같다.^:639

:$\backslash mathbf\{E\}(\backslash mathbf\{r\},\; t)\; =\; \backslash frac\{1\}\{4\; \backslash pi\; \backslash varepsilon\_0\}\; \backslash left(\backslash frac\{q(\backslash mathbf\{n\}\_s\; -\; \backslash boldsymbol\{\backslash beta\}\_s)\}\{\backslash gamma^2\; (1\; -\; \backslash mathbf\{n\}\_s\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol\{\backslash beta\}\_s)^3\; |\backslash mathbf\{r\}\; -\; \backslash mathbf\{r\}\_s|^2\}\backslash right)\_\{t\_r\}$

:$\backslash mathbf\{B\}(\backslash mathbf\{r\},\; t)\; =\; \backslash frac\{\backslash mu\_0\}\{4\; \backslash pi\}\; \backslash left(\backslash frac\{q\; c(\backslash boldsymbol\{\backslash beta\}\_s\; \backslash times\; \backslash mathbf\{n\}\_s)\}\{\backslash gamma^2\; (1-\backslash mathbf\{n\}\_s\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol\{\backslash beta\}\_s)^3\; |\backslash mathbf\{r\}\; -\; \backslash mathbf\{r\}\_s|^2\}\backslash right)\_\{t\_r\}\; =\; \backslash frac\{\backslash mathbf\{n\}\_s(t\_r)\}\{c\}\; \backslash times\; \backslash mathbf\{E\}(\backslash mathbf\{r\},\; t)$

여기서 $\backslash boldsymbol\{\backslash beta\}\_s(t)\; =\; \backslash frac\{\backslash mathbf\{v\}\_s(t)\}\{c\}$, $\backslash mathbf\{n\}\_s(t)\; =\; \backslash frac\{\backslash mathbf\{r\}\; -\; \backslash mathbf\{r\}\_s(t)\}$

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좌우로 밀어서 보기

📌 열 고정 해제

이고, $\backslash gamma(t)\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{1\; -\; |\backslash boldsymbol\{\backslash beta\}\_s(t)|^2\}\}$ (로렌츠 인자)이다.

만약 전하가 일정한 속도 $c\backslash boldsymbol\backslash beta$로 운동하는 경우, 속도 인자의 시간 미분 $\backslash dot\{\backslash boldsymbol\{\backslash beta\}\}(t)=\backslash frac\{d\backslash boldsymbol\{\backslash beta\}(t)\}\{dt\}$는 0이 되므로, 전기장은 $\backslash boldsymbol\{n\}-\backslash boldsymbol\backslash beta$ 항만 남는다. 이때 전기장의 방향은 $\backslash boldsymbol\{n\}-\backslash boldsymbol\backslash beta$에 의해 결정된다. 이 항($\backslash mathbf\{n\}\_s\; -\; \backslash boldsymbol\{\backslash beta\}\_s$)은 전하가 $c\; \backslash boldsymbol\{\backslash beta\}\_s$의 일정한 속도로 계속 움직인다면, 전기장의 방향을 전하의 순간적인 위치 쪽으로 업데이트하는 것으로 전하의 전자기장의 "정적" 부분과 관련이 있다.

전기장의 첫 번째 항은, 특히 속도 인자가 0 ($\backslash boldsymbol\backslash beta(t)=0$)일 때 남는 부분은, 전하 $q$의 점전하 주위의 정전기장과 일치하고, 전하가 가져오는 전자기장의 정적인 성분으로 간주된다.

속도가 광속에 매우 가까울 때, 전기장은 $1/\backslash gamma$의 개구각을 가진 "팬케이크"와 비슷하게 횡단면에서 거의 평평해진다.

d^3\boldsymbol{r}'


:$$
\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}, t) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\boldsymbol{J}(\boldsymbol{r}', t_\mathrm{r}')} d^3\boldsymbol{r}'


여기서 $t\_\backslash mathrm\{r\}\text{'}\; =\; t\; -\; \backslash frac\{1\}\{c\}|\backslash boldsymbol\{r\}\; -\; \backslash boldsymbol\{r\}\text{'}|$는 지연 시간이다.

원천이 되는 점전하의 궤적이 시간의 함수 $\backslash boldsymbol\{r\}\_\backslash mathrm\{s\}(t\text{'})$로 주어지는 경우, 전하 밀도와 전류 밀도는 다음과 같다.

:$$
\rho(\boldsymbol{r}', t') = q \delta^3(\boldsymbol{r'} - \boldsymbol{r}_\mathrm{s}(t')) \,,

:$$
\boldsymbol{J}(\boldsymbol{r}', t') = q\boldsymbol{v}_\mathrm{s}(t') \delta^3(\boldsymbol{r'} - \boldsymbol{r}_\mathrm{s}(t'))\,.


여기서 $\backslash delta^3$는 3차원 디랙 델타 함수이고, $\backslash boldsymbol\{v\}\_\backslash mathrm\{s\}(t\text{'})$는 점전하의 속도이다.

위의 전하 밀도와 전류 밀도를 대입하면, 전자기 퍼텐셜은 다음과 같이 표현된다.

:$$
\varphi(\boldsymbol{r}, t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{q \delta^3(\boldsymbol{r'} - \boldsymbol{r}_\mathrm{s}(t_\mathrm{r}'))} d^3\boldsymbol{r}'

:$$
\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}, t) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{q\boldsymbol{v}_\mathrm{s}(t_\mathrm{r}') \delta^3(\boldsymbol{r'} - \boldsymbol{r}_\mathrm{s}(t_r'))} d^3\boldsymbol{r}'


이 적분을 간단히 하기 위해, 델타 함수 $\backslash delta(t\text{'}\; -\; t\_\backslash mathrm\{r\}\text{'})$를 사용하여 $t\_\backslash mathrm\{r\}\text{'}$를 $t\text{'}$로 치환하고, $t\text{'}$의 적분으로 바꾼다. 적분의 순서를 바꾸면 다음 식을 얻는다.

:$$
\varphi(\boldsymbol{r}, t)
= \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \iint \frac{\delta(t' - t_\mathrm{r}')} q\delta^3(\boldsymbol{r'} - \boldsymbol{r}_\mathrm{s}(t')) \, d^3\boldsymbol{r}' dt'\,,

:$$
\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}, t)
= \frac{\mu_0}{4\pi} \iint \frac{\delta(t' - t_\mathrm{r}')} q\boldsymbol{v}_\mathrm{s}(t') \delta^3(\boldsymbol{r'} - \boldsymbol{r}_\mathrm{s}(t')) \, d^3\boldsymbol{r}' dt'\,.


델타 함수에 의해 $\backslash boldsymbol\{r\}\text{'}\; =\; \backslash boldsymbol\{r\}\_\backslash mathrm\{s\}(t\text{'})$가 되는 항만 남고, 안쪽 적분이 간단해진다. $t\_\backslash mathrm\{r\}\text{'}$는 $\backslash boldsymbol\{r\}\text{'}$의 함수이므로, $t\_\backslash mathrm\{r\}\; =\; t\_\backslash mathrm\{r\}(\backslash boldsymbol\{r\}\_s(t\text{'}),\; t\text{'})$로 다시 쓰고 적분을 수행한다.

:$$
\varphi(\boldsymbol{r}, t) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \int q\frac{\delta(t' - t_\mathrm{r}')} dt'\,,

:$$
\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}, t) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int q\boldsymbol{v}_\mathrm{s}(t') \frac{\delta(t' - t_\mathrm{r}')} \, dt'\,.


지연 시간 $t\_\backslash mathrm\{r\}\text{'}$ 및 원천의 위치 $\backslash boldsymbol\{r\}\_\backslash mathrm\{s\}(t\text{'})$는 $(\backslash boldsymbol\{r\},\; t)$의 함수이며, 따라서 $t\text{'}$에 의존한다. 이 적분을 계산하기 위해 다음과 같은 항등식을 이용한다.

:$\backslash delta(f(t\text{'}))\; =\; \backslash sum\_i\; \backslash frac\{\backslash delta(t\text{'}\; -\; t\_i)\}$

여기서 $t\_i$는 각각 함수 $f(t\text{'})$가 0이 되는 점이다. 주어진 시공간 좌표 $(\backslash boldsymbol\{r\},\; t)$와 원천 궤적 $\backslash boldsymbol\{r\}\_\backslash mathrm\{s\}(t\text{'})$에 대해, 지연 시간 $t\_\backslash mathrm\{r\}$는 유일하게 결정되므로, 델타 함수는 다음과 같이 간단히 할 수 있다.

:$\backslash begin\{align\}$
\delta(t' - t_\mathrm{r}')
&= \frac{\delta(t' - t_\mathrm{r})}{\frac{\partial}{\partial t'}(t' - t_\mathrm{r}')|_{t' = t_\mathrm{r}}}\\
&= \frac{\delta(t' - t_\mathrm{r})}{\frac{\partial}{\partial t'}(t' - (t - \frac{1}{c}|\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_\mathrm{s}(t')|))|_{t' = t_\mathrm{r}}}\\
&= \frac{\delta(t' - t_\mathrm{r})}{1 +\frac{1}{c}(\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_\mathrm{s}(t'))/|\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_\mathrm{s}(t')|\cdot (-\boldsymbol{v}_\mathrm{s}(t')) |_{t' = t_r}}\\
&= \frac{\delta(t' - t_\mathrm{r})}{1 - \boldsymbol{\beta}_\mathrm{s} \cdot (\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_\mathrm{s})/|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_\mathrm{s}|}
\end{align}

여기서 $\backslash boldsymbol\{\backslash beta\}\_\backslash mathrm\{s\}\; =\; \backslash boldsymbol\{v\}\_\backslash mathrm\{s\}/c$이고, $\backslash boldsymbol\{\backslash beta\}\_\backslash mathrm\{s\}$ 및 $\backslash boldsymbol\{r\}\_\backslash mathrm\{s\}$는 지연 시간 $t\_\backslash mathrm\{r\}$에서 평가되며, 항등식 $|\backslash boldsymbol\{x\}|\text{'}\; =\; \backslash hat\{\backslash boldsymbol\{x\}\}\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol\{v\}$를 사용했다. 마지막으로, 델타 함수에서 $t\text{'}\; =\; t\_\backslash mathrm\{r\}$이 되는 점을 추출하면,

:$$
\varphi(\boldsymbol{r}, t)
= \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \left(
\frac{q}
\right)_{t_r} \,,

:$$
\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}, t)
= \frac{\mu_0}{4\pi} \left(
\frac{q\boldsymbol{v}}
\right)_{t_\mathrm{r}}\,.


가 된다. 이것이 리에나르-비헤르트 퍼텐셜이다.

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