속도

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1. 개요

속도는 물체의 위치 변화 정도를 나타내는 물리량으로, 시간 간격 동안의 변위의 비로 정의된다. 속도는 평균 속도와 순간 속도로 구분되며, 물리학에서는 순간 속도를 일반적으로 속도로 간주한다. 속력은 속도의 크기, 즉 스칼라량이며, 속도는 방향과 크기를 갖는 벡터량이다. 상대 속도는 한 좌표계 안의 두 물체의 속도를 비교한 것이며, 고전 물리학과 특수 상대성 이론에서 다르게 계산된다. 속도와 관련된 다양한 물리량들이 존재하며, 속도는 운동 에너지, 항력, 탈출 속도, 로렌츠 인자 등 여러 물리량에 영향을 미친다.

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속도
지도 정보
기본 정보
기호	, , }},
다른 단위	mph, ft/s
기본 단위	m/s
차원	L T⁻¹
물리량
이름	속도
영어	velocity
기호	v, u
차원	L T ^-1
척도	벡터
SI 단위	미터 매 초 (m/s) SI 조립 단위
CGS 단위	센티미터 매 초 (cm/s)
FPS 단위	피트 매 초 (ft/s)
플랑크 단위	c
관련 개념
관련 개념	속력

2. 정의

속도는 단위 시간당 물체의 위치 변화를 나타내는 벡터량이다. 물리학에서는 속력(speed^영어)과 속도(velocity^영어)를 구분한다. 속도는 역학에서 질점의 운동을 나타내며, 단위 시간당 변위와 그 방향을 가진다. 벡터임을 강조할 때는 '''속도 벡터'''라고 부른다. 속력은 속도의 크기(절댓값)를 나타내는 스칼라량이다.^[24]

일상에서는 '속도'와 '속력'을 구분 없이 사용하며, 이 경우 '속력'은 일정 시간 동안 이동하는 거리를 의미한다. '속력'은 이동 거리를 경과 시간으로 나눈 값으로, 시속, 분속 등의 단위가 사용된다.

예를 들어 동쪽을 양(+)으로 할 때, 자동차가 일정 속도로 동쪽 방향으로 1시간에 60km 이동했다면, 자동차의 속도는 '동쪽으로 (+) 시속 60km'이고, 속력은 '시속 60km'이다. 마라톤 선수가 서쪽으로 40km를 2시간에 달렸다면, 속력은 20km/h(시속 20km)이고, 속도는 '서쪽으로 (-) 20km/h'가 된다.

2. 1. 평균 속도

속도는 움직이는 물체의 위치가 변하는 정도를 나타내는 물리량으로, 시간 간격(

\Delta t = t_2 -t_1

) 동안 위치 변화량(

\Delta \mathbf{x} = \mathbf{x}_2 - \mathbf{x}_1

)의 비율로 정의된다. 이렇게 정의된 속도를 '''평균 속도'''라고 하며, 다음과 같이 표현할 수 있다.^[31]

:

v_{\textrm{av}}=\frac{\Delta \mathbf{x}}{\Delta t}

어떤 물체의 평균 속도는 특정 시간 동안의 변위 (

\Delta s

)를 그 기간 (

\Delta t

)으로 나눈 값이다.^[1]

:

\bar{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t}.

예를 들어, 어떤 시각 ''t''₁에서 물체의 위치 벡터가 '''x'''₁이고, 시각 ''t''₂에서 물체의 위치 벡터가 '''x'''₂라면, 이 시간 구간에서의 물체의 평균 속도

\bar{\boldsymbol{v}}

는 다음과 같다.

:

\bar{\boldsymbol{v}} =

평균 속도는 항상 물체의 평균 속력보다 작거나 같다. 왜냐하면 거리는 항상 증가하지만, 변위는 크기가 증가하거나 감소할 수 있고 방향도 바뀔 수 있기 때문이다.

변위-시간 그래프에서 평균 속도는 평균 속도를 구하는 시간 간격의 양 끝점과 같은 좌표를 가진 두 점 사이를 잇는 할선의 기울기로 나타낼 수 있다.

입자가 서로 다른 시간 간격 `t`₁, `t`₂, `t`₃, ..., `t`_`n` 동안 각각 서로 다른 일정한 속도 `v`₁, `v`₂, `v`₃, ..., `v`_`n`로 움직일 때, 전체 이동 시간에 대한 평균 속도는 다음과 같이 주어진다.

:

\bar{v} = {v_1 t_1+ v_2 t_2+ v_3 t_3+ \dots+ v_n t_n\over t_1+ t_2+ t_3+ \dots + t_n}

만약 `t`₁ = `t`₂ = `t`₃ = ... = `t`이라면, 평균 속도는 속도의 산술 평균으로 주어진다.

:

\bar{v} ={v_1+v_2+v_3+\dots+v_n\over n} =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{v_i}

입자가 각각 `v`₁, `v`₂, `v`₃,..., `v`_`n`의 속도로 서로 다른 거리 `s`₁, `s`₂, `s`₃,..., `s`_`n`를 이동할 때, 전체 거리에 대한 입자의 평균 속도는 다음과 같이 주어진다.^[8]

:

\bar{v} ={s_1+s_2+s_3+\dots+s_n\over t_1+t_2+t_3+\dots+t_n}=}

만약 `s`₁ = `s`₂ = `s`₃ = ... = `s`이라면, 평균 속도는 속도의 조화 평균으로 주어진다.^[8]

:

\bar{v} = n\left({1\over v_1} + {1\over v_2} + {1\over v_3} + \dots + {1\over v_n}\right)^{-1} =n\left(\sum_{i=1}^n\frac{1}{v_i}\right)^{-1}.

2. 2. 순간 속도

물리학에서 일반적으로 다루는 속도는 물체가 갖는 어떠한 순간의 속도, 즉 '''순간속도'''이다. 순간속도는 평균속도를 측정하는 시간간격을 매우 짧게 하여 0에 접근시킨 극한값이라고 생각할 수 있다.^[32]

:

v_\mathbf{x} = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \mathbf{x}}{\Delta t} =  \frac{d \mathbf{x}}{d t}

위와 같이 순간속도는 변위를 시간에 대하여 미분한 것으로 이해할 수 있다.^[32] 물리학에서 일반적으로 속도라고 할 때는 순간속도를 의미한다.^[28]

속도-시간 그래프의 예시. 세로축은 속도 '''v''', 가로축은 시간 '''t'''이며, 세 개의 녹색 접선은 곡선의 여러 지점에서의 가속도 값을 나타냅니다. 노란색 영역은 이동 거리 '''s'''를 나타냅니다.

물체의 '''순간 속도'''는 시간 간격이 0에 접근할 때 평균 속도의 극한값이다. 특정 시간에서 순간 속도는 시간에 대한 위치의 미분으로 계산할 수 있다.^[2]

:

\boldsymbol{v} = \lim_{\Delta t} = \frac{d\boldsymbol{s}}{dt} .

이 미분 방정식에서 1차원 경우, 속도-시간 ('''v''' 대 '''t''') 그래프 아래의 면적은 변위 '''s'''임을 알 수 있다. 미적분학 용어로는 속도 함수 '''v'''(''t'')의 적분이 변위 함수 '''s'''(''t'')이다. 그림에서 이는 곡선 아래의 노란색 영역에 해당하며, 다음과 같이 표현된다.

:

\boldsymbol{s} = \int \boldsymbol{v} \ dt .

순간 속도의 개념은 처음에는 직관적이지 않게 보일 수 있지만, 그 순간 가속이 멈춘다면 물체가 계속 이동할 속도로 생각할 수 있다.

평균 속도를 관측할 때, 시간 구간 t₂ - t₁을 충분히 작게 하여 0에 가깝게 할 때, 각 시점에서의 속도로 간주할 수 있는 것을 관측할 수 있으며, 이를 시간 t에서의 순간 속도^[25]라고 한다.

시간 t, 물체의 좌표 x의 변화량을 각각 Δt, Δx라고 하면, 순간 속도 v는,

:

\boldsymbol{v}  =\lim_{\Delta t \to 0}{\Delta\boldsymbol{x} \over \Delta t}\equiv {d\boldsymbol{x} \over dt}

로 표현된다.

또한, 이 순간 속도의 크기를 순간의 속력이라고 한다.

일반적으로 순간 속도를 가리켜 단순히 속도라고 부르는 경우가 많다.

3. 속도와 속력

속력은 크기만을 갖는 스칼라량인 반면, 속도는 방향과 크기를 모두 가지는 벡터량이다. 속력은 물체가 움직인 경로의 전체 거리를 변화가 일어난 시간 간격으로 나눈 값이다. 예를 들어 자동차가 50초 동안 앞으로 30m 전진한 다음 80m를 후진하였다고 하자. 전진할 때의 위치 변화를 양으로, 후진할 때의 위치 변화를 음으로 나타내면 변위는 $30 m - 80 m = -50 m$ 가 되지만, 움직인 경로의 전체 거리는 $30 m + 80 m = 110 m$ 가 된다. 따라서 이 자동차의 평균 속도와 평균 속력은 다음과 같이 계산할 수 있다.^[31]

:평균 속도 $v_{\textrm{av}}=\frac{\Delta \mathbf{x}}{\Delta t} =\frac{-50 \mathrm m}{50 \mathrm s}=-1 \mathrm m/ \mathrm s$

:평균 속력 $v=\frac{110 \mathrm m}{50 \mathrm s}=2.2 \mathrm m/ \mathrm s$

변화가 일어나는 시간 변화가 0에 접근하는 순간 속도는 변위와 전체 경로의 차이가 없다. 따라서 순간 속도를 나타내는 벡터의 크기는 순간 속력과 같다. 그러나 보다 큰 시간 간격을 고려하는 평균 속도의 크기는 일반적으로 평균 속력과 다르다.

고전적인 입자의 운동학적 양: 질량 ''m'', 위치 '''r''', 속도 '''v''', 가속도 '''a''.

일상에서 '속도'와 '속력'이라는 용어는 물체가 얼마나 빨리 움직이는지를 나타내는 데 서로 바꿔서 사용되지만, 과학적인 용어로는 다르다. 속력은 속도 벡터의 스칼라 크기를 나타내며, 물체가 얼마나 빨리 움직이는지만 나타내는 반면, 속도는 물체의 속력과 방향을 모두 나타낸다.^[3]^[4]^[5]

일정한 ''속도''를 유지하려면 물체는 일정한 방향으로 일정한 속력을 유지해야 한다. 일정한 방향은 물체의 운동을 직선 경로로 제한하므로, 일정한 속도는 일정한 속력으로 직선으로 운동하는 것을 의미한다. 예를 들어, 20km/h의 일정한 속력으로 원형 경로를 따라 움직이는 자동차는 일정한 속력을 가지지만, 방향이 변하기 때문에 일정한 속도를 가지고 있지 않다. 따라서 이 자동차는 가속 운동을 하고 있다고 간주된다.

물리학에서 속력(speed^영어)과 속도(velocity^영어)를 구분한다. '''속도'''는 역학에서 질점의 운동을 나타내며, 운동하는 질점의 단위 시간당 변위와 그 방향을 나타내는 벡터량이다. 따라서 벡터임을 강조할 때는 속도를 '''속도 벡터'''라고 부른다. 한편, '''속력'''은 속도의 크기(엄밀히는 절댓값)를 나타내는 스칼라량이다.^[24]

예를 들어 동쪽을 양(+)으로 하면, 자동차가 일정 속도로 동쪽 방향으로 달려 1시간에 60km 이동한 경우, 자동차의 속도는 "동쪽으로 (+) 60km/h"가 되고, 자동차의 속력은 "60km/h"가 된다. 또 예를 들어, 마라톤 선수가 서쪽으로 40km를 2시간에 달린 경우, 그 마라톤 선수의 속력은 20km/h로 표현되지만, 속도는 "서쪽으로 (-) 20km/h"가 된다.

4. 상대 속도

상대속도는 한 좌표계 안에서 두 물체의 속도를 비교한 것이다. 두 물체 A, B의 속도를 각각 $\vec{v}_\mathrm{A}$ , $\vec{v}_\mathrm{B}$ 라고 하면, 고전물리학에서는 A에 대한 B의 상대 속도를 다음과 같이 계산한다.^[33]

:A에 대한 B의 상대속도 $\vec{v}_\mathrm{B|A} = \vec{v}_\mathrm{B} - \vec{v}_\mathrm{A}$

예를 들어 두 자동차 A, B가 직선 상에서 마주 보며 달리고 있을 때 A의 속도가 3m/s이고 B의 속도가 -5m/s라면 A에 대한 B의 상대속도는 -8m/s이고 B에 대한 A의 상대속도는 8m/s가 된다.^[29] 일차원 운동만을 고려한다면 상대속도는 스칼라값을 갖는다고 생각할 수 있다.^[33]

한편 특수 상대성 이론에서는 물체의 속도가 매우 빠를 때 상대속도가 고전물리학과는 다른 양상을 보인다고 설명한다. 관성계가 다르더라도 빛의 속도는 일정하므로 특수 상대성 이론에서 매우 빠르게 움직이는 두 물체의 속도 관계는 다음과 같이 계산된다.^[30]

:A에 대한 B의 상대속도 $\vec{v}_\mathrm{B|A}=\frac{\vec{v}_\mathrm{B}-\vec{v}_\mathrm{A}}{1-\frac{\vec{v}_\mathrm{A}\vec{v}_\mathrm{B}}{c^2}}$

위 식에서 빛의 속도 c는 매우 큰 값이기 때문에 A와 B의 속도가 충분히 느릴 경우 $\frac{\vec{v}_\mathrm{A}\vec{v}_\mathrm{B}}{c^2}$ 는 0에 접근하게 되고 그 결과 상대속도는 고전물리학의 계산과 같아지게 된다.

1차원 경우,^[14] 속도는 스칼라량이며, 방정식은 다음과 같다. 두 물체가 반대 방향으로 움직이는 경우:

: $v_\text{rel} = v - (-w),$

또는 두 물체가 같은 방향으로 움직이는 경우:

: $v_\text{rel} = v - (+w),$

5. 여러 가지 속도

시간에 따라 변화하는 현상의 단위 시간당 변화량(시간 미분)에 대해 "속도"라는 용어가 사용되는 경우가 있다.

여러 가지 속도에는 다음과 같은 것들이 있다.

면적속도
각속도
기화 속도
반응속도
팽창 속도

이 외에도 다양한 속도의 개념이 정의되며, 각종 물리량의 속도에는 마력, 일률, 약도 등과 같이 특별한 명칭이 붙는 경우가 있다.

물체의 운동이나 그 안정성을 기술할 때, 초기 상태의 속도가 자주 문제가 되는데(초기값 문제), 이 초기 속도를 '''초속도'''initial velocity^영어라고 한다.

속도가 저항을 받아 변화할 때, 평형을 이루어 일정해진 속도를 종단속도terminal velocity^영어라고 한다.

5. 1. 각속도

극좌표계에서 2차원 속도는 원점에서 멀어지거나 가까워지는 속도의 성분인 ''방사 속도''와 방사 속도에 수직인 ''횡방향 속도''로 설명됩니다.^[17]^[18] 각속도는 이 두 성분에서 비롯되며, 원점을 중심으로 한 회전 속도를 의미합니다. 오른손 좌표계에서 양의 값은 반시계 방향 회전을, 음의 값은 시계 방향 회전을 나타냅니다.

질점은 크기를 가지지 않지만, 일반적인 물체는 크기를 가지므로 회전 운동이 정의됩니다. 단위 시간당 회전량을 각속도라고 합니다. 2차원 공간(평면)에서는 회전면이 하나뿐이므로 스칼라량입니다. 3차원 공간에서는 회전 중심이 진행하는 방향에 대해 오른나사의 방향을 양의 방향으로 하는 벡터량으로 정의됩니다.

5. 2. 면적 속도

케플러의 행성 운동 법칙에서 행성이 단위 시간 동안 휩쓰는 면적을 면적 속도라고 한다. 만약 중력 궤도의 경우처럼 힘이 역제곱 의존성을 가진 방사 방향으로만 작용한다면, 각운동량은 일정하고, 횡방향 속도는 거리에 반비례하고, 각속도는 거리 제곱에 반비례하며, 면적을 휩쓰는 속도는 일정하다.^[17]^[18]

5. 3. 기타 속도

면적속도
각속도
기화 속도
반응속도
팽창 속도

등 다양한 속도의 개념이 정의된다. 각종 물리량의 속도에는 특별한 명칭이 붙는 경우가 있으며, 마력, 일률, 약도 등이 있다.

물체의 운동이나 그 안정성을 기술할 때, 초기 상태의 속도가 자주 문제가 된다. 이 초기 속도를 '''초속도'''initial velocity^영어라고 한다.

속도가 저항을 받아 변화할 때, 평형을 이루어 일정해진 속도를 종단속도terminal velocity^영어라고 한다.

6. 속도의 단위

국제단위계(SI)에서 속도의 단위는 미터 매 초(m/s)이다.^[20] 시간 변화량(초)으로 나눈 위치 변화량(미터)을 나타내므로, 속도는 미터 매 초(m/s) 단위로 측정된다. 일상생활에서는 킬로미터 매 시간(km/h)도 널리 사용된다.

7. 좌표계

속도는 다양한 좌표계에서 표현될 수 있다.

7. 1. 직교 좌표계 (데카르트 좌표계)

다차원 데카르트 좌표계에서 속도는 좌표계의 각 차원 축에 대응하는 성분으로 분해된다. x축과 y축이 있는 2차원계에서 해당 속도 성분은 다음과 같이 정의된다.^[15]

: ''v_x'' = ''dx''/''dt''

: ''v_y'' = ''dy''/''dt''

그러면 2차원 속도 벡터는 '''v''' = <''v_x'', ''v_y''>로 정의된다. 이 벡터의 크기는 속력을 나타내며 거리 공식을 통해 다음과 같이 구한다.

: |''v''| = √(''v_x''² + ''v_y''²)

z축이 추가된 3차원계에서 해당 속도 성분은 다음과 같이 정의된다.

: ''v_z'' = ''dz''/''dt''

3차원 속도 벡터는 '''v''' = <''v_x'', ''v_y'', ''v_z''>로 정의되며, 그 크기 또한 속력을 나타내고 다음과 같이 결정된다.

: |''v''| = √(''v_x''² + ''v_y''² + ''v_z''²)

일부 교과서에서는 속도의 데카르트 성분을 정의하기 위해 아래첨자 표기법을 사용하지만, 다른 교과서에서는 각각 x축, y축, z축에 대해 ''u'', ''v'', ''w''를 사용한다.^[16]

7. 2. 극좌표계

극좌표계에서 2차원 속도는 원점에서 멀어지거나 가까워지는 속도 성분인 ''방사 속도''와 방사 속도에 수직인 ''횡방향 속도''로 설명된다.^[17]^[18] 두 성분 모두 각속도에서 비롯되는데, 각속도는 원점을 중심으로 한 회전 속도이다(오른손 좌표계에서 양의 값은 반시계 방향 회전을, 음의 값은 시계 방향 회전을 나타낸다).

방사 속도와 횡방향 속도는 속도 벡터를 방사 성분과 횡방향 성분으로 분해하여 데카르트 속도 및 변위 벡터에서 유도할 수 있다. 횡방향 속도는 원점을 중심으로 하는 원을 따라 속도의 성분이다.

:

\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}_T+\boldsymbol{v}_R

여기서

$\boldsymbol{v}_T$ 는 횡방향 속도
$\boldsymbol{v}_R$ 는 방사 속도이다.

''방사 속도''(또는 방사 속도의 크기)는 속도 벡터와 방사 방향의 단위 벡터의 점곱이다.

:

v_R = \frac{\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{r}}{\left|\boldsymbol{r}\right|} = \boldsymbol{v} \cdot \hat{\boldsymbol{r}}

여기서

\boldsymbol{r}

은 위치이고

\hat{\boldsymbol{r}}

는 방사 방향이다.

횡방향 속도(또는 횡방향 속도의 크기)는 방사 방향의 단위 벡터와 속도 벡터의 외적의 크기이다. 또한 속도와 횡방향의 점곱 또는 각속도

\omega

와 반지름(위치의 크기)의 곱이기도 하다.

:

v_T=\frac

= \boldsymbol{v} \cdot \hat{\boldsymbol{t}}=\omega|\boldsymbol{r}|

그래서

:

\omega=\frac

{|\boldsymbol{r}|^2}.

스칼라 형태의 각운동량은 질량 곱하기 원점까지의 거리 곱하기 횡방향 속도, 또는 동등하게 질량 곱하기 거리 제곱 곱하기 각속도이다. 각운동량의 부호 규칙은 각속도와 같다.

:

L = mrv_T = mr^2\omega

여기서

$m$ 은 질량
$r=|\boldsymbol{r}|.$

mr^2

는 관성 모멘트로 알려져 있다.

만약 중력 궤도의 경우처럼 힘이 역제곱 의존성을 가진 방사 방향으로만 작용한다면, 각운동량은 일정하고, 횡방향 속도는 거리에 반비례하고, 각속도는 거리 제곱에 반비례하며, 면적을 휩쓰는 속도는 일정하다. 이러한 관계는 케플러의 행성 운동 법칙으로 알려져 있다.

8. 운동 방정식 (영어 문서)

속도는 시간에 따른 위치 변화율로 정의되며, 평균속도와 순간속도로 구분된다.^[31] 물리학에서 일반적으로 다루는 속도는 어떠한 순간의 속도, 즉 '''순간속도'''이다. 순간속도는 평균속도를 측정하는 시간 간격을 매우 짧게 하여 0에 접근시킨 극한값이다.^[32]

: $v_\mathbf{x} = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \mathbf{x}}{\Delta t} = \frac{d \mathbf{x}}{d t}$

위와 같이 순간속도는 변위를 시간에 대하여 미분한 것이다.^[32] 물리학에서 일반적으로 속도라고 할 때는 순간속도를 의미한다.^[28]

순간 속도의 개념은 처음에는 직관적이지 않게 보일 수 있지만, 그 순간 가속이 멈춘다면 물체가 계속 이동할 속도로 생각할 수 있다.

8. 1. 평균속도

어떤 물체의 '''평균 속도'''는 특정 시간 동안의 변위

\Delta s

를 그 기간

\Delta t

으로 나눈 값으로, 수학적으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[1]

:

\bar{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t}.

어떤 응용 분야에서는 물체의 평균 속도, 즉 같은 시간 간격 동안 변하는 속도와 같은 결과적인 변위를 제공하는 일정한 속도가 필요할 수 있다. 특정 시간 동안

\Delta t

동안의 평균 속도는 다음과 같이 계산할 수 있다.^[6]^[7]

:

\mathbf{\bar{v}} = \frac{\Delta\mathbf{x}}{\Delta t} = \frac{\int_{t_0}^{t_1}\mathbf{v}(t)dt}{t_1-t_0}.

평균 속도는 항상 물체의 평균 속력보다 작거나 같다. 이는 거리는 항상 엄격하게 증가하지만, 변위는 크기가 증가하거나 감소할 수 있을 뿐만 아니라 방향도 바뀔 수 있다는 것을 통해 알 수 있다.

변위-시간(

x

대

t

) 그래프에서 순간 속도는 임의의 지점에서 곡선에 대한 접선의 기울기로 생각할 수 있으며, 평균 속도는 평균 속도의 시간 간격의 경계와 같은

t

좌표를 가진 두 점 사이의 할선의 기울기로 생각할 수 있다.

입자가 서로 다른 시간 간격 `t`₁, `t`₂, `t`₃, ..., `t`_`n` 동안 각각 서로 다른 일정한 속도 `v`₁, `v`₂, `v`₃, ..., `v`_`n`로 움직일 때, 전체 이동 시간에 대한 평균 속도는 다음과 같이 주어진다.

:

\bar{v} = {v_1 t_1+ v_2 t_2+ v_3 t_3+ \dots+ v_n t_n\over t_1+ t_2+ t_3+ \dots + t_n}

만약 `t`₁ = `t`₂ = `t`₃ = ... = `t`이라면, 평균 속도는 속도의 산술 평균으로 주어진다.

:

\bar{v} ={v_1+v_2+v_3+\dots+v_n\over n} =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{v_i}

입자가 각각 `v`₁, `v`₂, `v`₃,..., `v`_`n`의 속도로 서로 다른 거리 `s`₁, `s`₂, `s`₃,..., `s`_`n`를 이동할 때, 전체 거리에 대한 입자의 평균 속도는 다음과 같이 주어진다.^[8]

:

\bar{v} ={s_1+s_2+s_3+\dots+s_n\over t_1+t_2+t_3+\dots+t_n}=

는,

:

\bar{\boldsymbol{v}} =

로 표현된다.

또한, 이 평균 속도의 크기를 '''평균 속력'''이라고 한다.

8. 2. 가속도와의 관계

물체의 순간 속도는 시간 간격이 0에 접근할 때 평균 속도의 극한값이다. 특정 시간에서 순간 속도는 시간에 대한 위치의 미분으로 계산할 수 있다.^[2]

\boldsymbol{v} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \boldsymbol{s}}{\Delta t} = \frac{d\boldsymbol{s}}{dt} .

이 미분 방정식에서 1차원 경우, 속도-시간 ( 대 ) 그래프 아래의 면적은 변위 임을 알 수 있다. 미적분학 용어로는 속도 함수 의 적분이 변위 함수 이다. 그림에서 이는 곡선 아래의 노란색 영역에 해당한다.

\boldsymbol{s} = \int \boldsymbol{v} \ dt .

순간 속도의 개념은 처음에는 직관적이지 않게 보일 수 있지만, 그 순간 가속이 멈춘다면 물체가 계속 이동할 속도로 생각할 수 있다.

속도는 위치 변화율로 정의되지만, 물체의 가속도에 대한 식으로 시작하는 것이 일반적이다. 그림의 세 개의 녹색 접선에서 볼 수 있듯이, 특정 시간에서 물체의 순간 가속도는 그 시점에서 그래프의 곡선에 대한 접선의 기울기이다. 다시 말해, 순간 가속도는 시간에 대한 속도의 도함수로 정의된다.^[9]

\boldsymbol{a} = \frac{d\boldsymbol{v}}{dt} .

여기서 속도는 가속도-시간 그래프 아래의 면적으로 표현된다. 위와 같이, 이것은 적분의 개념을 사용하여 수행된다.

\boldsymbol{v} = \int \boldsymbol{a} \ dt .

평균 속도를 관측할 때, 시간 구간 t₂ - t₁을 충분히 작게 하여 0에 가깝게 할 때, 각 시점에서의 속도로 간주할 수 있는 것을 관측할 수 있으며, 이를 시간 t에서의 순간 속도^[25]라고 한다.

시간 t, 물체의 좌표 x의 변화량을 각각 Δt, Δx라고 하면, 순간 속도 v는,

:

\boldsymbol{v} = \lim_{\Delta t \to 0}{\Delta\boldsymbol{x} \over \Delta t} \equiv {d\boldsymbol{x} \over dt}

로 표현된다.

또한, 이 순간 속도의 크기를 순간의 속력이라고 한다.

즉, 물체의 순간 속도란, 그 물체의 위치 좌표를 시간 t의 함수 x(t)로 볼 때, 그것을 시간 t에 대해 미분한 것이다.

일반적으로 순간 속도를 가리켜 단순히 속도라고 부르는 경우가 많다. 또 예를 들어, 순간 속도의 미분(즉, 속도 변화의 순간 속도)으로 가속도를 생각할 수 있다.

8. 2. 1. 등가속도 운동

일정한 가속도의 특수한 경우, 속도는 SUVAT 방정식을 사용하여 연구할 수 있다. '''a'''를 임의의 상수 벡터로 간주하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.
v = u + at

여기서 v는 시간 t에서의 속도이고, u는 시간 t = 0에서의 속도이다. 이 방정식과 SUVAT 방정식 x = ut + at²/2을 결합하면 변위와 평균 속도의 관계를 다음과 같이 나타낼 수 있다.
x = (u + v)t / 2 = vt

시간과 무관한 속도에 대한 식, 즉 토리첼리의 정리를 다음과 같이 유도할 수도 있다.

v² = v ⋅ v = (u + at) ⋅ (u + at) = u² + 2t(a ⋅ u) + a²t²

(2a) ⋅ x = (2a) ⋅ (ut + 1/2 a t²) = 2t (a ⋅ u) + a² t² = v² - u²

따라서 v² = u² + 2(a ⋅ x)

여기서 v = |v| 등이다.

위의 방정식은 뉴턴 역학과 특수 상대성 이론 모두에 유효하다. 뉴턴 역학과 특수 상대성 이론이 다른 점은 서로 다른 관찰자가 동일한 상황을 어떻게 설명하는지에 있다. 특히 뉴턴 역학에서는 모든 관찰자가 t의 값에 동의하며, 위치에 대한 변환 규칙은 가속되지 않는 모든 관찰자가 동일한 값으로 물체의 가속도를 설명하는 상황을 만든다. 특수 상대성 이론에서는 그렇지 않다. 다시 말해, 상대 속도만 계산할 수 있다.

9. 속도에 의존하는 물리량 (영어 문서)

고전역학에서 뉴턴의 제2법칙은 운동량 '''''p'''''를 물체의 질량과 속도의 곱으로 정의한다.

:'''''p''''' = ''m''v여기서 ''m''은 물체의 질량이다.

운동하는 물체의 운동 에너지는 그 속도에 따라 달라진다.^[10]

:''E''_k = 1/2 ''mv''²

여기서 ''E''_k는 운동 에너지이다. 운동 에너지는 속도의 제곱에 의존하기 때문에 스칼라량이다.

유체 역학에서 항력은 주변 유체에 대해 움직이는 물체의 상대 운동과 반대 방향으로 작용하는 힘이다. 항력 ''F''_D는 속도의 제곱에 비례한다.

:''F''_D = 1/2 ''ρ'' ''v''² ''C''_D ''A''

여기서

''ρ''는 유체의 밀도이고,^[11]
''v''는 유체에 대한 물체의 속도이고,
''A''는 단면적이고,
''C''_D는 항력 계수 – 무차원 수이다.

탈출 속도는 발사체가 지구와 같은 거대한 천체의 중력권을 벗어나는 데 필요한 최소 속도이다. 이는 운동 에너지가 물체의 중력 위치 에너지(항상 음수)와 합쳐져 0이 되는 속도를 의미한다. 질량 ''M''인 행성의 중심으로부터 ''r'' 거리에 있는 물체의 탈출 속도에 대한 일반 공식은^[12] 다음과 같다.

:''v''_e = √2''GM''/''r'' = √2''gr''

여기서 ''G''는 중력 상수이고 ''g''는 중력 가속도이다. 지구 표면에서의 탈출 속도는 약 11200m/s이며, 물체의 방향과는 무관하다. 따라서 "탈출 속도"라는 용어는 다소 부적절하며, "탈출 속도"(escape speed)가 더 정확한 용어이다. 대기의 영향과 관계없이 이러한 크기의 속도에 도달한 모든 물체는 경로상의 다른 물체와 충돌하지 않는 한 기준 천체의 인근을 벗어날 것이다.

특수 상대성 이론에서 무차원의 로렌츠 인자는 자주 나타난다.^[13]

:γ = 1/√1-''v''²/''c''²

여기서 γ는 로렌츠 인자이고, ''c''는 광속이다.

참조

_[1] 웹사이트 The Feynman Lectures on Physics Vol. I Ch. 8: Motion https://www.feynmanl[...] 2024-01-05
_[2] 서적 Fundamentals of Physics, Extended https://books.google[...] John Wiley & Sons
_[3] 서적 The Mechanical Universe: Introduction to Mechanics and Heat https://books.google[...] Cambridge University Press
_[4] 서적 Fundamental Concepts of Physics https://books.google[...] Universal-Publishers
_[5] 서적 College Physics Essentials, Eighth Edition (Two-Volume Set) https://books.google[...] CRC Press
_[6] 서적 Fundamentals of Physics, Extended https://books.google[...] John Wiley & Sons
_[7] 서적 The Calculus Lifesaver: All the Tools You Need to Excel at Calculus https://books.google[...] Princeton University Press
_[8] 서적 Statistical Tools and Technique https://books.google[...] Academic Publishers
_[9] 서적 Classical Physics: A Two-Semester Coursebook https://books.google[...] Springer Nature
_[10] 서적 Fundamentals of Physics, Chapters 33-37 https://books.google[...] John Wiley & Sons
_[11] 문서 Earth's atmosphere and air density
_[12] 서적 New Understanding Physics for Advanced Level https://books.google[...] Nelson Thornes
_[13] 서적 Modern Aspects Of Relativity https://books.google[...] World Scientific
_[14] 웹사이트 Basic principle http://www.saburchil[...]
_[15] 웹사이트 The Feynman Lectures on Physics Vol. I Ch. 9: Newton's Laws of Dynamics https://www.feynmanl[...] 2024-01-04
_[16] 서적 Fluid mechanics The McGraw Hill Companies
_[17] 서적 Mechanics, Volume 6 https://books.google[...] Heinemann
_[18] 서적 Engineering Mechanics https://books.google[...] Technical Publications
_[19] 문서 물체 위치의 시간에 따른 변화율
_[20] 문서 국제단위계(SI) 제9판 (2019), p.108 표5
_[21] 웹사이트 The International System of Units https://www.bipm.org[...]
_[22] 웹사이트 計量法 https://laws.e-gov.g[...]
_[23] 웹사이트 計量単位令 https://laws.e-gov.g[...]
_[24] 서적 Vector analysis: a text-book for the use of students of mathematics and physics, founded upon the lectures of J. Willard Gibbs https://hdl.handle.n[...]
_[25] 문서 instant velocity
_[26] 학술지 小学校教員養成における教科専門科目「算数」の教材例 (数学教師に必要な数学能力とその育成法に関する研究) https://hdl.handle.n[...] 京都大学数理解析研究所 2013-12
_[27] 문서 속도(velocity)의 첫글자 v
_[28] 서적 이종필의 아주 특별한 상대성이론 강의 동아시아
_[29] 문서 속도 앞의 부호는 방향을 나타냄
_[30] 서적 이종필의 아주 특별한 상대성이론 강의 동아시아
_[31] 서적 대학물리학 북스힐
_[32] 서적 수학으로 풀어보는 물리의 법칙 이지북
_[33] 웹사이트 Relative Velocity http://www.saburchil[...]

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