섭동 이론

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1. 개요
2. 역사
3. 고전역학에서의 섭동 이론
- 3.1. 이체 문제에서의 섭동 이론
4. 양자역학에서의 섭동 이론
5. 섭동 이론의 응용
6. 섭동 이론의 한계와 극복
참조

1. 개요

섭동 이론은 다루기 어려운 문제의 근사해를 구하는 방법으로, 특히 천체 역학에서 시작되어 양자역학, 물리학, 응용 수학 등 다양한 분야에서 활용된다. 섭동 이론은 정확히 풀 수 있는 문제에 작은 섭동항을 더하여 복잡한 문제를 해결하며, 해밀토니안 연산자, 미분 방정식, 운동 방정식, 파동 방정식 등에 적용된다. 섭동 이론은 문제 A를 정확히 풀 수 있는 문제 B에 작은 변화(섭동)가 더해진 문제로 간주하고, 문제 B의 정확해에 섭동이 더해짐으로써 발생하는 작은 보정(섭동항)을 더한 것으로 근사해를 구한다. 섭동 이론은 파인만 다이어그램과 같은 방법을 통해 복잡성을 다루지만, 쉘 크로싱과 같은 한계를 가지기도 한다.

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섭동 이론

2. 역사

섭동 이론은 태양계 행성의 운동 계산에서 발생하는 다루기 어려운 문제들을 해결하기 위해 처음 고안되었다. 예를 들어, 뉴턴의 만유인력 법칙은 두 천체 사이의 중력을 설명했지만, 세 번째 천체가 추가되면 "각 천체는 서로 어떻게 끌어당기는가?"라는 문제가 발생했다. 케플러의 궤도 방정식은 뉴턴의 중력 방정식이 상호 작용하는 두 천체로만 제한될 때만 뉴턴의 중력 방정식을 풀 수 있었다. 점차 증가하는 천문 관측의 정확도는 뉴턴의 중력 방정식에 대한 해의 정확도에 대한 요구를 증가시켰고, 이는 특히 조제프 루이 라그랑주와 피에르 시몽 라플라스와 같은 저명한 18세기와 19세기 수학자들이 섭동 이론의 방법을 확장하고 일반화하도록 이끌었다.

이렇게 잘 개발된 섭동 방법은 20세기 원자 및 아원자 물리학에서 양자역학의 발전 과정에서 발생하는 새로운 문제를 해결하기 위해 채택되고 적용되었다. 폴 디랙은 1927년에 방사성 원소에서 입자가 방출될 때를 평가하기 위해 양자 섭동 이론을 개발했다. 이것은 나중에 페르미의 황금률로 명명되었다.^[10]^[11] 양자역학의 섭동 이론은 주로 양자역학이 선형 파동 방정식으로 제한되기 때문이며, 또한 양자역학적 표기법을 사용하면 표현식을 매우 간결한 형태로 쓸 수 있으므로 이해하기 쉽기 때문에 상당히 접근하기 쉽다. 이것은 제만 효과에서부터 수소 원자의 초미세 구조 분리에 이르기까지 광범위한 응용 프로그램의 폭발적인 증가로 이어졌다.

보다 간단한 표기법에도 불구하고, 양자장론에 적용된 섭동 이론은 여전히 쉽게 통제 불능 상태가 된다. 리처드 파인만은 많은 항이 규칙적인 방식으로 반복된다는 것을 관찰하여 유명한 파인만 다이어그램을 개발했다. 이러한 항은 점, 선, 물결선 등의 표시로 대체될 수 있으며, 각각 항, 분모, 적분 등을 나타낸다. 따라서 복잡한 적분은 그 의미에 대해 전혀 모호하지 않게 간단한 다이어그램으로 쓸 수 있다. 다이어그램과 특정 적분 사이의 일대일 대응 관계는 그들의 힘을 제공하는 것이다. 원래 양자장론을 위해 개발되었지만, 다이어그램 기법은 다른 많은 섭동 급수에도 널리 적용될 수 있다(항상 가치가 있는 것은 아니지만).

20세기 후반 카오스 이론이 발전함에 따라, 비섭동계는 일반적으로 완전 적분계이고 섭동계는 그렇지 않다는 것이 명확해졌다. 이것은 곧 KAM 토러스가 전형적인 예인 "거의 적분 가능한 계"에 대한 연구로 이어졌다. 동시에, 이전에는 섭동 이론을 통해서만 접근할 수 있었던 많은 (다소 특수한) 비선형계가 실제로 완전 적분 가능하다는 것도 발견되었다. 이 발견은 정확한 해를 구할 수 있게 해주었기 때문에 상당히 극적이었다. 이것은 차례로 섭동 급수의 의미를 명확히 하는 데 도움이 되었는데, 이제 급수의 결과를 정확한 해와 비교할 수 있기 때문이다.

카오스 이론에서 나온 동역학계에 대한 향상된 이해는 "소분모 문제" 또는 "소분모 문제"라고 불리는 것에 대한 이해를 높이는 데 도움이 되었다. 19세기 앙리 푸앵카레는 (아마도 이전 수학자들도 그랬을 것이다) 섭동 급수의 2차 및 고차 항에 때때로 "소분모"가 있다는 것을 관찰했다. 즉, 일반적으로 $\ \frac{\ \psi_n V \phi_m\ }{\ (\omega_n -\omega_m)\ }\$ 형태를 갖는다. 여기서 $\ \psi_n\ ,$ $\ V\ ,$ 및 $\ \phi_m\$ 은 해결해야 할 문제와 관련된 어떤 복잡한 표현식이고, $\ \omega_n\$ 및 $\ \omega_m\$ 은 실수이다. 매우 자주 이들은 정규 모드의 에너지이다. 소분모 문제는 차이 $\ \omega_n - \omega_m\$ 가 작을 때 발생하여 섭동 보정이 "폭발"하여 0차 항만큼 크거나 더 커질 수 있다. 이 상황은 섭동 이론의 고장을 나타낸다. 이 시점에서 작동을 멈추고 더 이상 확장하거나 합칠 수 없다. 형식적으로 섭동 급수는 ''점근 급수''이다. 몇 가지 항에 대해 유용한 근사치이지만, 어느 시점에서 더 많은 항을 추가하면 정확도가 ''낮아진다''. 카오스 이론의 돌파구는 이것이 발생하는 이유에 대한 설명이었다. 소분모는 섭동 이론이 카오스 시스템에 적용될 때마다 발생한다. 하나는 다른 하나의 존재를 나타낸다.

3. 고전역학에서의 섭동 이론

섭동 이론은 다체 문제와 같이 정확하게 풀 수 없는 문제에 대한 근사해를 구하는 방법이다. 섭동 이론은 정확하게 풀 수 있는 문제에 작은 변화('섭동')가 더해진 문제라고 가정하고, 원래 해에 섭동에 의한 작은 보정('섭동항')을 더하여 근사해를 구한다. 섭동항은 문제의 정확한 해의 조합, 즉 일차 결합의 형태로 표현될 수 있다고 가정하고, 주어진 조건에서 그 계수를 순차적으로 구한다.^[15]

섭동 이론은 "작은" 매개변수에 대한 급수로 해를 전개한다. 이 급수의 주요 항은 정확하게 풀 수 있는 문제의 해이며, 이후 항들은 초기 문제에서 벗어남으로 인해 발생하는 해의 편차를 나타낸다. 작은 매개변수 ε에 대한 근사는 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $A \equiv A_0 + \varepsilon^1 A_1 + \varepsilon^2 A_2 + \varepsilon^3 A_3 + \cdots$

여기서 A₀는 정확하게 풀 수 있는 초기 문제의 해이며, A₁, A₂, A₃ 등은 1차, 2차, 3차 및 고차 항을 나타낸다. 이 항들은 반복적인 방법으로 찾을 수 있으며, 작은 ε에 대해 연속적으로 작아진다. 근사적인 "섭동 해"는 급수를 잘라내어 얻으며, 종종 처음 두 항만 유지하여 최종 해를 초기 해와 1차 섭동 보정의 합으로 표현한다.

일부 저자는 근사 해의 오차 차수를 나타내기 위해 빅 O 표기법을 사용한다.^[2]

: $\; A = A_0 + \varepsilon A_1 + \mathcal{O}\bigl(\ \varepsilon^2\ \bigr) ~.$

만약 ε에 대한 급수가 0이 아닌 수렴 반지름으로 수렴하면, 이 문제는 정칙 섭동 문제라고 한다.^[1] 정칙 섭동 문제에서 점근 해는 정확한 해에 부드럽게 접근한다.^[1] 그러나 섭동 급수는 발산할 수도 있으며, 잘린 급수가 참 해에 대한 좋은 근사가 될 수 있다. 이를 점근 급수라고 한다. 섭동 급수가 발산하거나 급수가 아니면 (예: 점근 급수에 정수가 아닌 거듭제곱이나 음의 거듭제곱이 포함된 경우) 특이 섭동 문제라고 한다.^[1] 특이 섭동 문제를 분석하기 위해 섭동 이론에서 많은 특수 기법이 개발되었다.^[1]^[2]

3. 1. 이체 문제에서의 섭동 이론

비네 방정식으로 표현되는 이체 문제의 해는 만유인력에 작은 퍼텐셜이 더해지는 경우 해석적으로 풀기 어려워진다. 하지만 일반 상대성 이론에 등장하는 것처럼 퍼텐셜의 크기가 매우 작다면, 만유인력에 대한 해에 가까울 것이라는 가정을 통해 섭동 이론을 적용할 수 있다. 즉, 원래 해에 작은 항들을 더해 나가는 방식으로 해를 근사한다.^[4]

섭동 이론은 천체역학의 수학적 문제를 해결하기 위해 처음 사용되었다. 대표적인 예시로 지구와 태양의 중력으로 인해 케플러 타원과는 다르게 움직이는 달의 궤도 문제가 있다.^[4] 뉴턴의 중력에 따르면 두 천체만 존재할 때는 타원 궤도가 정확하지만, 세 개 이상의 천체가 존재하거나 일반 상대성 이론을 고려하면 정확하지 않다.

행성들은 서로 멀리 떨어져 있고 태양에 비해 질량이 작아 행성 간 중력은 무시할 수 있다. 따라서 행성 운동은 케플러의 법칙에 따른 행성과 태양, 두 천체 간의 이체 문제 방정식으로 근사 가능하다.^[12]

천문학적 데이터의 정확도가 향상되면서 다른 행성들이 행성 운동에 미치는 영향을 고려해야 할 필요성이 대두되었다. 이는 삼체 문제의 기원이 되었으며, 달-지구-태양계 연구에서 달과 지구의 질량비가 "작은 매개변수"로 선택되었다. 라그랑주와 라플라스는 태양 주위를 도는 행성의 운동을 설명하는 "상수"들이 다른 행성의 운동에 의해 "섭동"되어 시간의 함수로 변화한다는 견해를 제시했다.^[12]

라플라스, 푸아송(Siméon Denis Poisson), 가우스(Carl Friedrich Gauss) 등은 섭동 이론을 연구하여 매우 정확한 계산을 가능하게 했다. 1848년 천왕성의 운동 편차를 바탕으로 르베리에(Urbain Le Verrier)가 해왕성을 발견한 것은 섭동 이론의 대표적인 성과이다. J.G. 갈레는 르베리에가 보낸 좌표를 통해 망원경으로 해왕성을 관측했다.^[12]

달과 지구, 태양과 지구와 같은 이체 문제는 엄밀하게 풀 수 있지만, 세 개 이상의 천체가 관련된 다체 문제는 일반적인 상황에서 엄밀해를 구하기 어렵다. 하지만 달-지구, 태양-지구 문제처럼 다른 천체의 영향을 보정항으로 고려하여 충분히 정밀한 근사해를 얻을 수 있다.^[15]

4. 양자역학에서의 섭동 이론

양자역학에서는 여러 종류의 섭동 이론이 사용된다. 흔히 쓰이는 레일리-슈뢰딩거 섭동 이론과 다이슨 급수 외에도, 보른 급수나 WKB 급수도 섭동 이론의 일종이다. 이 밖에도 특수한 경우에 k·p 섭동 이론이나 묄러-플레셋 섭동 이론 등이 쓰인다.

섭동 이론은 정확하게 풀 수 있는 문제에서 약간 벗어난 문제를 다룰 때 유용하다. "작은" 변화를 나타내는 매개변수를 이용하여, 원래 문제의 해를 급수 형태로 전개한다. 이 급수의 첫 항은 정확하게 풀 수 있는 문제의 해이고, 나머지 항들은 작은 변화로 인해 발생하는 오차를 보정하는 역할을 한다.

예를 들어, 전체 해 $\ A\$ 를 작은 매개변수 $\varepsilon$ 에 대한 급수로 나타내면 다음과 같다.

: $A \equiv A_0 + \varepsilon^1 A_1 + \varepsilon^2 A_2 + \varepsilon^3 A_3 + \cdots$

여기서 $\ A_0\$ 는 정확한 해, $\ A_1, A_2, A_3, \ldots \$ 는 각각 1차, 2차, 3차 및 고차 보정 항을 나타낸다. $\varepsilon$ 이 작을 때, 고차 항들은 점점 작아지는 경향을 보인다. 따라서 처음 몇 개의 항만으로도 충분히 정확한 근사 해를 얻을 수 있다.

: $A \to A_0 + \varepsilon A_1 \qquad \mathsf{ for } \qquad \varepsilon \to 0$

근사 해의 오차 차수는 빅 O 표기법으로 나타낼 수 있다.

섭동 급수가 0이 아닌 수렴반지름으로 수렴하면 '''정칙''' 섭동 문제라고 한다.^[1] 정칙 섭동 문제에서는 점근 해가 정확한 해에 부드럽게 접근한다.^[1] 섭동 급수는 발산할 수도 있지만, 잘린 급수의 요소가 최소값에 도달하는 지점에서 자르면 여전히 참 해에 대한 좋은 근사가 될 수 있다. 이것을 ''점근 급수''라고 한다.

섭동 급수가 발산하거나, 정수가 아닌 거듭제곱 또는 음의 거듭제곱을 포함하면 '''특이''' 섭동 문제라고 한다.^[1] 특이 섭동 문제를 해결하기 위해서는 특별한 기법들이 개발되었다.^[1]^[2]

일반적으로 섭동 급수를 얻는 방법은 다음과 같다. 먼저, 풀고자 하는 문제를 정확하게 풀 수 있는 부분과 작은 변화 부분으로 나눈다. 정확하게 풀 수 있는 문제의 해는 이미 알고 있다고 가정하고, 작은 변화 부분에 대한 방정식을 세운다. 이 방정식에 근사 해를 대입하여 1차 보정 항을 구한다. 이 과정을 반복하여 고차 보정 항들을 순차적으로 계산한다.

섭동 이론은 원래 태양계 행성들의 운동과 같이 여러 천체 또는 입자들 사이에 상호 작용이 작용할 때의 운동을 기술하는 다체 문제를 해결하기 위해 고안되었다. 뉴턴의 만유인력 법칙은 두 천체 사이의 중력은 설명하지만, 세 번째 천체가 추가되면 "각 천체는 서로 어떻게 끌어당기는가?"라는 문제가 발생한다. 케플러의 궤도 방정식은 뉴턴의 중력 방정식이 상호 작용하는 두 천체로만 제한될 때만 뉴턴의 중력 방정식을 풀 수 있다. 점차 증가하는 천문 관측의 정확도는 뉴턴의 중력 방정식에 대한 해의 정확도에 대한 요구를 증가시켰고, 이는 조제프 루이 라그랑주와 피에르 시몽 라플라스와 같은 저명한 18세기와 19세기 수학자들이 섭동 이론의 방법을 확장하고 일반화하도록 이끌었다.

20세기에 들어 양자역학이 발전하면서, 섭동 이론은 원자 및 아원자 물리학의 새로운 문제들을 해결하는 데에도 활용되었다. 폴 디랙은 1927년에 방사성 원소에서 입자가 방출될 때를 평가하기 위해 양자 섭동 이론을 개발했는데, 이는 나중에 페르미의 황금률로 명명되었다.^[10]^[11] 양자역학에서는 제만 효과부터 수소 원자의 초미세 구조 분리에 이르기까지 다양한 문제에 섭동 이론이 적용되었다.

양자장론에서도 섭동 이론이 사용되지만, 계산이 복잡해지는 경우가 많다. 리처드 파인만은 복잡한 계산 과정을 그림으로 표현하는 파인만 다이어그램을 개발하여 섭동 이론의 발전에 기여했다.

20세기 후반 카오스 이론이 발전하면서, 섭동 이론과 관련된 "소분모 문제"에 대한 이해도 깊어졌다. 소분모 문제는 섭동 급수의 고차 항에서 분모가 매우 작아져 계산 결과가 발산하는 현상을 말한다. 카오스 이론은 소분모 문제가 발생하는 원인을 설명하고, 섭동 이론의 한계를 명확히 하는 데 기여했다.

섭동 이론은 수행되는 차수(1차, 2차 등)와 섭동된 상태의 축퇴 여부에 따라 구분된다. 축퇴가 있는 경우에는 특이 섭동 이론이 필요하며, 계산이 더 복잡해진다.

양자역학에서 연산자에 대한 섭동 이론으로서, 그린 함수를 사용하는 방법이 알려져 있다.^[1]

4. 1. 시간에 의존하지 않고 축퇴가 없는 경우

양자역학에서 섭동 이론은 섭동이 수행되는 차수와 섭동된 상태의 축퇴 여부에 따라 설명된다. 축퇴가 없는 경우, 섭동 이론은 다음과 같이 전개된다.

무섭동 부분(무섭동항)의 해밀토니안을

\mathcal{H}_0

, 섭동 부분(섭동항)을

\mathcal{H}'

로 하면, 전체 해밀토니안

\mathcal{H}

는 다음과 같다.

:

\mathcal{H} = \mathcal{H}_0 + \mathcal{H}'

이때, 0차(무섭동항)의 해밀토니안

\mathcal{H}_0

에 대해서는 모든 고유값(고유에너지)

\{\epsilon_n^{(0)}\}

와, 대응하는 고유벡터

\{|\Psi_n^{(0)}\rangle\}

가 완전히 알려져 있다고 가정한다. 여기서 “대응하는”이란 고유값 방정식

:

\mathcal{H}_0 |\Psi_n^{(0)}\rangle = \epsilon_n^{(0)} |\Psi_n^{(0)}\rangle

을 만족하는 관계에 있다는 의미이다.

\mathcal{H}_0

는 에르미트 연산자이므로, 그 고유벡터

\{|\Psi_n^{(0)}\rangle\}

는 완전계를 이룬다. 또한

\{|\Psi_n^{(0)}\rangle\}

는 규격 직교화되어 있다고 가정한다.

해밀토니안

\mathcal{H}

의 고유벡터

\{|\Psi_n\rangle\} \

와, 대응하는 고유값

\{\epsilon_n\}

를 구하고자 한다. 여기서

\{|\Psi_n\rangle\} \

와

\{\epsilon_n\}

는

:

\mathcal{H} |\Psi_n\rangle = \epsilon_n |\Psi_n\rangle

즉,

:

(\mathcal{H}_0 + \mathcal{H}') |\Psi_n\rangle = \epsilon_n |\Psi_n\rangle \cdots (0)

을 만족해야 한다.

섭동 이론에서는 미지의

\mathcal{H}'

，

|\Psi_n\rangle \

，

\epsilon_n

을 기지의

V \

，

|\Psi_n^{(0)}\rangle

，

\epsilon_n^{(0)}

와 미지의

\{ |\Psi_n^{(1)}\rangle, |\Psi_n^{(2)}\rangle ,\dotsc \}

，

\{\epsilon_n^{(1)}, \epsilon_n^{(2)} , \dotsc \}

，그리고 미소 계수

\lambda \

를 이용하여 다음과 같이 나타낸다.

:

\begin{align}\mathcal{H}' &= \lambda V \\\Psi_n\rangle &= |\Psi_n^{(0)}\rangle + \lambda |\Psi_n^{(1)}\rangle + \lambda^2 |\Psi_n^{(2)}\rangle + \dotsb \\\epsilon_n &= \epsilon_n^{(0)} + \lambda \epsilon_n^{(1)} + \lambda^2 \epsilon_n^{(2)} + \dotsb\end{align}

이때, 멱급수에서 기지인 것은 첫 번째 항뿐이다. 이로써

|\Psi_n\rangle \

，

\epsilon_n

을 구하는 문제는

\{ |\Psi_n^{(1)}\rangle, |\Psi_n^{(2)}\rangle ,\dotsc \}

，

\{\epsilon_n^{(1)}, \epsilon_n^{(2)} , \dotsc \}

을 구하는 문제로 변환된다.

이들을 (0)식에 대입하고 임의의

\lambda \

에 대해 성립한다고 가정하면, 미지수를 분리할 수 있다.

미지의 $(|\Psi_n^{(1)}\rangle, \epsilon_n^{(1)})$ 만을 포함하는 방정식　　 $\cdots (1)$
미지의 $(|\Psi_n^{(2)}\rangle, \epsilon_n^{(2)})$ 와 $(|\Psi_n^{(1)}\rangle, \epsilon_n^{(1)})$ 만을 포함하는 방정식　　 $\cdots (2)$
미지의 $(|\Psi_n^{(3)}\rangle, \epsilon_n^{(3)})$ 와 $(|\Psi_n^{(2)}\rangle, \epsilon_n^{(2)})$ 와 $(|\Psi_n^{(1)}\rangle, \epsilon_n^{(1)})$ 만을 포함하는 방정식　　 $\cdots (3)$

\vdots

이들을 (1)식, (2)식, … 순서대로 풀면

\{ |\Psi_n^{(1)}\rangle, |\Psi_n^{(2)}\rangle ,\dotsc \}

，

\{\epsilon_n^{(1)}, \epsilon_n^{(2)} , \dotsc \}

을 구할 수 있다.

이러한 식들은 미지의

\{ |\Psi_n^{(1)}\rangle, |\Psi_n^{(2)}\rangle ,\dotsc \}

를 기지의 완전계

\

4. 2. 축퇴가 있는 경우

고유값이 축퇴되어 있는 경우에는, ''i'' ≠ ''n''、''m'' ≠ ''n''인 경우에도 ''ε_i'' = ''ε_n''、''ε_m'' = ''ε_n''이 되는 경우가 존재하며, 이 경우 이차 섭동 에너지나, 일차 섭동 파동 함수의 계수의 분모 부분이 영(0)이 되어 발산해 버린다. 따라서, 축퇴가 있는 경우에는, 이러한 발산을 회피하는 수단을 강구할 필요가 있다(거의 자유로운 전자 참조).섭동이 없는 슈뢰딩거 방정식:

H|\psi\rangle = E|\psi\rangle

의 고유값

E_{n}

이 k중 축퇴되어 있고, 그에 대응하는 고유 상태를

|n_{i}\rangle \; (i = 1,2,3,...,k, k\in N)

으로 나타낸다.

미소한 섭동

gV

(

g

는 무차원의 미소항)을 더한 후, 에너지 고유값

E_{n}

을 가지고 있던 상태에 대한 슈뢰딩거 방정식은

:

(H+gV)|\psi_{n}(g)\rangle=E_{n}(g)|\psi_{n}(g)\rangle

이 된다.

여기서

:

\begin{align}E_{n}(g) &= E_{n}^{(0)} + gE_{n}^{(1)}+ \dotsb \\|\psi_{n}(g)\rangle &= |\psi_{n}^{(0)}\rangle + g|\psi_{n}^{(1)}\rangle + \dotsb\end{align}

로 전개할 수 있다고 가정하고, 전술한 슈뢰딩거 방정식의 0차 항을 꺼내면,

:

H|\psi_{n}^{(0)}\rangle=E_{n}^{(0)}|\psi_{n}^{(0)}\rangle

을 얻지만, 섭동이 없는 경우의 슈뢰딩거 방정식으로부터

:

|\psi_{n}^{(0)}\rangle=\sum_{i}c_i|n_{i}\rangle

으로 놓을 수 있다.

다음으로, 슈뢰딩거 방정식의 1차 항을 꺼내면,

:

\begin{align}H|\psi_{n}^{(1)}\rangle + V|\psi_{n}^{(0)}\rangle &= E_{n}^{(0)}|\psi_{n}^{(1)}\rangle+E_{n}^{(1)}|\psi_{n}^{(0)}\rangle \\(V - E_{n}^{(1)}) |\psi_{n}^{(0)}\rangle &= (E_{n}^{(0)} - H) |\psi_{n}^{(1)}\rangle\end{align}

여기에 왼쪽에서

\langle n_j|

를 곱하면

:

\langle n_j|(V-E_{n}^{(1)})|\psi_{n}^{(0)}\rangle=0

이 되므로,

:

c_jE_{n}^{(1)}=\sum_{i}\langle n_j|V|n_i\rangle c_i

가 성립한다.

이것을 모든

j

에 대해 구하면,

n

개의

n+1

원 방정식을 얻지만, 규격화를 고려하지 않았기 때문에, 이

n+1

개의 방정식을 풀어서 에너지의 1차 섭동 및 축퇴가 풀리는 모습을 알 수 있다.

4. 3. 그린 함수를 이용하는 방법

양자역학에서 연산자에 대한 섭동 이론으로서, 그린 함수를 사용하는 방법이 알려져 있다.^[1]

5. 섭동 이론의 응용

양자역학에는 여러 종류의 섭동 이론이 쓰인다. 흔히 쓰이는 레일리-슈뢰딩거 섭동 이론과 다이슨 급수 이외에도, 보른 급수나 WKB 급수도 섭동 이론의 일종이다. 이 밖에도, 특수한 경우에 k·p 섭동 이론이나 묄러-플레셋 섭동 이론 등이 쓰인다.

섭동 이론은 물리학과 응용 수학의 많은 분야에서 사용되어 왔다. "방정식의 집합" $D$ 의 예로는 대수 방정식^[6], 미분 방정식^[7](예: 운동 방정식^[8] 및 일반적인 파동 방정식), 통계역학에서의 열역학적 자유 에너지, 복사 전달^[9], 그리고 양자역학에서의 해밀토니안 연산자가 있다.

섭동적으로 구해지는 해의 종류로는 운동 방정식의 해(예: 입자의 궤적), 어떤 물리량의 통계적 평균(예: 평균 자화), 그리고 양자역학적 문제의 바닥 상태 에너지가 있다.

출발점으로 사용될 수 있는 정확하게 풀 수 있는 문제로는 선형 방정식, 선형 운동 방정식(조화 진동자, 선형 파동 방정식), 상호작용하지 않는 입자들의 통계적 또는 양자역학적 시스템(또는 일반적으로 모든 자유도에 대해 2차 항만 포함하는 해밀토니안 또는 자유 에너지)이 있다.

섭동으로 풀 수 있는 시스템으로는 운동 방정식에 비선형 항이 있는 시스템, 입자 간의 상호작용, 해밀토니안/자유 에너지의 고차 항이 있는 시스템이 있다.

입자 간의 상호작용을 포함하는 물리적 문제의 경우, 섭동 급수의 항은 파인만 다이어그램을 사용하여 표시하고 조작할 수 있다.

섭동 이론은 태양계 행성의 운동 계산에서 다루기 어려운 문제들을 해결하기 위해 처음 고안되었다. 예를 들어, 뉴턴의 만유인력 법칙은 두 천체 사이의 중력을 설명했지만, 세 번째 천체가 추가되면 "각 천체는 서로 어떻게 끌어당기는가?"라는 문제가 발생했다. 케플러의 궤도 방정식은 뉴턴의 중력 방정식이 상호 작용하는 두 천체로만 제한될 때만 뉴턴의 중력 방정식을 풀 수 있다. 점차 증가하는 천문 관측의 정확도는 뉴턴의 중력 방정식에 대한 해의 정확도에 대한 요구를 증가시켰고, 이는 특히 조제프 루이 라그랑주와 피에르 시몽 라플라스와 같은 저명한 18세기와 19세기 수학자들이 섭동 이론의 방법을 확장하고 일반화하도록 이끌었다.

이렇게 잘 개발된 섭동 방법은 20세기 원자 및 아원자 물리학에서 양자역학의 발전 과정에서 발생하는 새로운 문제를 해결하기 위해 채택되고 적용되었다. 폴 디랙은 1927년에 방사성 원소에서 입자가 방출될 때를 평가하기 위해 양자 섭동 이론을 개발했다. 이것은 나중에 페르미의 황금률로 명명되었다.^[10]^[11] 양자역학의 섭동 이론은 주로 양자역학이 선형 파동 방정식으로 제한되기 때문이며, 또한 양자역학적 표기법을 사용하면 표현식을 매우 간결한 형태로 쓸 수 있으므로 이해하기 쉽기 때문에 상당히 접근하기 쉽다. 이것은 제만 효과에서부터 수소 원자의 초미세 구조 분리에 이르기까지 광범위한 응용 프로그램의 폭발적인 증가로 이어졌다.

보다 간단한 표기법에도 불구하고, 양자장론에 적용된 섭동 이론은 여전히 쉽게 통제 불능 상태가 된다. 리처드 파인만은 많은 항이 규칙적인 방식으로 반복된다는 것을 관찰하여 유명한 파인만 다이어그램을 개발했다. 이러한 항은 점, 선, 물결선 등의 표시로 대체될 수 있으며, 각각 항, 분모, 적분 등을 나타낸다. 따라서 복잡한 적분은 그 의미에 대해 전혀 모호하지 않게 간단한 다이어그램으로 쓸 수 있다. 다이어그램과 특정 적분 사이의 일대일 대응 관계는 그들의 힘을 제공하는 것이다. 원래 양자장론을 위해 개발되었지만, 다이어그램 기법은 다른 많은 섭동 급수에도 널리 적용될 수 있다(항상 가치가 있는 것은 아니지만).

20세기 후반 카오스 이론이 발전함에 따라, 비섭동계는 일반적으로 완전 적분계이고 섭동계는 그렇지 않다는 것이 명확해졌다. 이것은 곧 KAM 토러스가 전형적인 예인 "거의 적분 가능한 계"에 대한 연구로 이어졌다. 동시에, 이전에는 섭동 이론을 통해서만 접근할 수 있었던 많은 (다소 특수한) 비선형계가 실제로 완전 적분 가능하다는 것도 발견되었다. 이 발견은 정확한 해를 구할 수 있게 해주었기 때문에 상당히 극적이었다. 이것은 차례로 섭동 급수의 의미를 명확히 하는 데 도움이 되었는데, 이제 급수의 결과를 정확한 해와 비교할 수 있기 때문이다.

카오스 이론에서 나온 동역학계에 대한 향상된 이해는 "소분모 문제" 또는 "소분모 문제"라고 불리는 것에 대한 이해를 높이는 데 도움이 되었다. 19세기 앙리 푸앵카레는 (아마도 이전 수학자들도 그랬을 것이다) 섭동 급수의 2차 및 고차 항에 때때로 "소분모"가 있다는 것을 관찰했다. 즉, 일반적으로 $\ \frac{\ \psi_n V \phi_m\ }{\ (\omega_n -\omega_m)\ }\$ 형태를 갖는다. 여기서 $\ \psi_n\ ,$ $\ V\ ,$ 및 $\ \phi_m\$ 은 해결해야 할 문제와 관련된 어떤 복잡한 표현식이고, $\ \omega_n\$ 및 $\ \omega_m\$ 은 실수이다. 매우 자주 이들은 정규 모드의 에너지이다. 소분모 문제는 차이 $\ \omega_n - \omega_m\$ 가 작을 때 발생하여 섭동 보정이 "폭발"하여 0차 항만큼 크거나 더 커질 수 있다. 이 상황은 섭동 이론의 고장을 나타낸다. 이 시점에서 작동을 멈추고 더 이상 확장하거나 합칠 수 없다. 형식적으로 섭동 급수는 ''점근 급수''이다. 몇 가지 항에 대해 유용한 근사치이지만, 어느 시점에서 더 많은 항을 추가하면 정확도가 ''낮아진다''. 카오스 이론의 돌파구는 이것이 발생하는 이유에 대한 설명이었다. 소분모는 섭동 이론이 카오스 시스템에 적용될 때마다 발생한다. 하나는 다른 하나의 존재를 나타낸다.

많은 ab initio 양자화학 방법론들이 직접적으로 섭동 이론을 사용하거나 밀접하게 관련된 방법들을 사용한다. 암시적 섭동 이론^[13]은 처음부터 완전한 해밀토니안을 사용하며 섭동 연산자를 별도로 지정하지 않는다. 묄러-플레셋 섭동 이론은 하트리-포크 해밀토니안과 정확한 비상대론적 해밀토니안의 차이를 섭동으로 사용한다. 0차 에너지는 오비탈 에너지의 합이다. 1차 에너지는 하트리-포크 에너지이고, 전자 상관은 2차 또는 그 이상의 차수에서 포함된다. 2차, 3차 또는 4차까지의 계산은 매우 일반적이며, 대부분의 ab initio 양자화학 프로그램에 코드가 포함되어 있다. 관련 있지만 더 정확한 방법으로는 결합 클러스터 방법이 있다.

6. 섭동 이론의 한계와 극복

Apsidial precession|극지점 세차^영어는 공전 주기당 약 $2\pi\alpha k$ 라디안이다.^[2]

섭동 이론은 정확하게 풀 수 있는 문제에서 약간 벗어난 경우를 다루기 위해 '작은' 매개변수에 대한 급수를 사용한다. 이 급수의 첫 번째 항은 정확한 해이고, 이후 항들은 원래 문제와의 차이로 인해 발생하는 해의 변화를 나타낸다. 전체 해 $A$ 는 다음과 같이 작은 매개변수(여기서는 ε)에 대한 급수로 표현된다.

: $A \equiv A_0 + \varepsilon^1 A_1 + \varepsilon^2 A_2 + \varepsilon^3 A_3 + \cdots$

여기서 $A_0$ 는 풀 수 있는 문제의 해이고, $A_1, A_2, A_3, \ldots$ 는 각각 1차, 2차, 3차 항을 나타내며, 점차 작아진다. 근사적인 섭동 해는 급수를 잘라 처음 두 항, 즉 초기 해와 1차 섭동 보정의 합으로 표현하여 얻는다.

: $A \to A_0 + \varepsilon A_1 \qquad \mathsf{ for } \qquad \varepsilon \to 0$

일부 저자는 근사 해의 오차 차수를 나타내기 위해 빅 O 표기법을 사용한다.^[2]

: $\; A = A_0 + \varepsilon A_1 + \mathcal{O}\bigl(\ \varepsilon^2\ \bigr) ~.$

ε에 대한 급수가 0이 아닌 수렴 반지름으로 수렴하면, 이 문제는 정칙 섭동 문제라고 불린다.^[1] 정칙 섭동 문제에서는 점근 해가 정확한 해로 부드럽게 접근한다.^[1] 그러나 섭동 급수는 발산할 수도 있으며, 잘린 급수가 최소값에 도달하는 지점에서 잘리면 여전히 실제 해에 대한 좋은 근사치가 될 수 있다. 이를 점근 급수라고 한다. 섭동 급수가 발산하거나 급수가 아닌 경우 (예: 점근 급수에 정수가 아닌 거듭제곱이나 음의 거듭제곱이 포함된 경우), 이 문제는 특이 섭동 문제라고 불린다.^[1] 특이 섭동 문제를 분석하기 위해 섭동 이론에서는 여러 특수 기법이 개발되었다.^[1]^[2]

일반적으로 섭동 급수는 단순화된 문제에 점진적인 수정을 가하여 얻어진다. 이 수정은 원래 해와 시스템을 완전히 설명하는 방정식 사이의 일관성을 강제함으로써 얻어진다. 풀어야 할 방정식 집합을 $D$ 라고 하면, $D$ 는 풀어야 할 문제를 나타낸다.

이 과정은 먼저 방정식 $D$ 를 정확하게 풀 수 있는 방정식 집합 $D_0$ 와 작은 $\varepsilon \ll 1$ 에 대한 나머지 부분 $\varepsilon D_1$ 로 나눈다. $D_0$ 에 대한 해 $A_0$ 는 알려져 있고, $D = D_0 + \varepsilon D_1$ 에 대한 일반적인 해 $A$ 를 구한다.

다음으로, 근사 $A \approx A_0 + \varepsilon A_1$ 를 $\varepsilon D_1$ 에 대입한다. 이는 $A_1$ 에 대한 방정식을 생성하며, 일반적인 경우 $A_0$ 에 대한 적분의 합으로 표현될 수 있다. 따라서 1차 수정 $A_1$ 을 얻고, $A \approx A_0 + \varepsilon A_1$ 는 $A$ 에 대한 좋은 근사치가 된다. 이 과정을 반복하여 $A_2$ 등의 수정을 얻는다.

그러나 이 과정은 항이 빠르게 늘어나 다루기 어려워진다. 아이작 뉴턴은 달의 궤도 문제에 대해 "내 머리를 아프게 한다"고 말했다고 한다.^[5] 이러한 어려움 때문에 섭동 이론은 고차항을 관리하고 작성하는 고도의 기술로 발전했다. 양자역학에서 전개를 제어하기 위한 기본적인 돌파구 중 하나는 파인만 다이어그램이며, 이를 통해 양자역학적 섭동 급수를 스케치로 나타낼 수 있다.

섭동 이론은 태양계 행성 운동 계산과 같은 다체 문제를 해결하기 위해 처음 고안되었다. 뉴턴의 만유인력 법칙은 두 천체 사이의 중력을 설명했지만, 세 번째 천체가 추가되면 "각 천체는 서로 어떻게 끌어당기는가?"라는 문제가 발생했다. 케플러의 궤도 방정식은 뉴턴의 중력 방정식이 상호 작용하는 두 천체로만 제한될 때만 뉴턴의 중력 방정식을 풀 수 있다. 점차 증가하는 천문 관측의 정확도는 뉴턴의 중력 방정식에 대한 해의 정확도에 대한 요구를 증가시켰고, 이는 조제프 루이 라그랑주와 피에르 시몽 라플라스와 같은 18세기와 19세기 수학자들이 섭동 이론의 방법을 확장하고 일반화하도록 이끌었다.

잘 개발된 섭동 방법은 20세기 원자 및 아원자 물리학에서 양자역학의 발전 과정에서 발생하는 새로운 문제를 해결하기 위해 채택되고 적용되었다. 폴 디랙은 1927년에 방사성 원소에서 입자가 방출될 때를 평가하기 위해 양자 섭동 이론을 개발했다. 이것은 나중에 페르미의 황금률로 명명되었다.^[10]^[11] 양자역학의 섭동 이론은 제만 효과에서부터 수소 원자의 초미세 구조 분리에 이르기까지 광범위한 응용으로 이어졌다.

양자장론에 적용된 섭동 이론은 여전히 쉽게 통제 불능 상태가 된다. 리처드 파인만은 많은 항이 규칙적인 방식으로 반복된다는 것을 관찰하여 파인만 다이어그램을 개발했다. 이러한 항은 점, 선 등으로 대체될 수 있으며, 각각 항, 분모, 적분 등을 나타낸다. 따라서 복잡한 적분은 간단한 다이어그램으로 쓸 수 있다. 원래 양자장론을 위해 개발되었지만, 다이어그램 기법은 다른 많은 섭동 급수에도 적용될 수 있다.

20세기 후반 카오스 이론이 발전함에 따라, 비섭동계는 일반적으로 완전 적분계이고 섭동계는 그렇지 않다는 것이 명확해졌다. 이것은 KAM 토러스가 전형적인 예인 "거의 적분 가능한 계"에 대한 연구로 이어졌다. 동시에, 이전에는 섭동 이론을 통해서만 접근할 수 있었던 많은 비선형계가 실제로 완전 적분 가능하다는 것도 발견되었다. 이 발견은 정확한 해를 구할 수 있게 해주었기 때문에 섭동 급수의 의미를 명확히 하는 데 도움이 되었다.

동역학계에 대한 이해는 "소분모 문제"에 대한 이해를 높이는 데 도움이 되었다. 19세기 앙리 푸앵카레는 섭동 급수의 고차 항에 때때로 "소분모"가 있다는 것을 관찰했다. 소분모는 차이 $\omega_n - \omega_m$ 가 작을 때 발생하여 섭동 보정이 커져서 0차 항만큼 크거나 더 커질 수 있다. 이 상황은 섭동 이론의 고장을 나타낸다. 카오스 이론은 소분모가 섭동 이론이 카오스 시스템에 적용될 때마다 발생한다는 설명을 제공했다.

섭동 이론에서 '''쉘 크로싱'''(shell-crossing)은 물질 궤적이 교차하여 특이점을 형성할 때 발생한다.^[14] 이는 작은 스케일에서 물리적 시뮬레이션의 예측력을 제한한다.

참조

_[1] 서적 Advanced mathematical methods for scientists and engineers I : asymptotic methods and perturbation theory https://www.worldcat[...] Springer 1999
_[2] 서적 Introduction to perturbation methods https://www.worldcat[...] Springer 2013
_[3] 서적 Modern Astrodynamics Aphelion Press
_[4] 논문 Moon-Earth-Sun: The oldest three-body problem https://journals.aps[...] 1998-04-01
_[5] 서적 Great Physicists: The life and times of leading physicists from Galileo to Hawking Oxford University Press
_[6] 웹사이트 L. A. Romero, "Perturbation theory for polynomials", Lecture Notes, University of New Mexico (2013) http://math.unm.edu/[...] 2017-04-30
_[7] 서적 Perturbation Methods for Differential Equations Springer
_[8] 논문 Perturbation theory for anharmonic oscillations https://www.physik.u[...] LMU
_[9] 논문 Radiative perturbation theory: a review https://www.research[...]
_[10] 서적 Quantum Mechanics Prentice Hall
_[11] 논문 The quantum theory of emission and absorption of radiation 1927-03-01
_[12] 웹사이트 Perturbation theory http://www.encyclope[...]
_[13] 논문 Theory of the Chemical Bond
_[14] 논문 Shell-crossing in a ΛCDM Universe 2021-02-01
_[15] 간행물 Theory of general perturbations with unspecified canonical variables http://th.nao.ac.jp/[...]

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