루셰 정리

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
3. 증명
- 3.1. 증명 1
- 3.2. 증명 2
4. 예
5. 따름정리
- 5.1. 대수학의 기본 정리
- 5.2. 열린 사상 정리
6. 기하학적 설명
7. 응용
- 7.1. 다항식 근의 경계
8. 대칭적 형태
9. 역사
참조

1. 개요

루셰 정리는 복소해석학의 중요한 정리로, 두 정칙 함수의 영점 개수를 비교하는 데 사용된다. 연결 열린집합 D에서 정의된 두 정칙 함수 f와 g에 대해, 경계에서 |g(z)| < |f(z)|를 만족하면, D 내부에서 f와 f+g는 같은 수의 영점을 갖는다. 이 정리는 편각 원리를 이용하여 증명되며, 대수학의 기본 정리, 열린 사상 정리, 후르비츠 정리 등을 증명하는 데 활용된다. 또한, 다항식의 근의 개수를 파악하거나, 특정 조건 하에서 다항식의 근의 위치를 추정하는 데에도 사용된다. 루셰 정리는 외젠 루셰의 이름을 따서 명명되었다.

더 읽어볼만한 페이지

복소해석학 정리 - 리만 사상 정리
리만 사상 정리는 복소해석학에서 단일 연결 열린 진부분집합 사이의 각도를 보존하는 정칙함수, 즉 등각 사상의 존재를 보장하는 중요한 정리이다.
복소해석학 정리 - 리만-로흐 정리
리만-로흐 정리는 콤팩트 리만 곡면에서 인자의 차수, 유리형 함수 공간의 차원, 곡면의 종수 사이의 관계를 나타내는 정리로서, 유리형 함수를 구성하는 문제에 대한 해답을 제시하며 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다.

루셰 정리
루셰 정리
'루셰 정리 설명 그림. \|f(z)\| > \|g(z)\|인 경우 f(z)와 f(z)+g(z)는 γ 내부에서 같은 수의 영점을 갖는다.'
분야	복소해석학
이름의 유래	외젠 루셰
설명
내용	'복소 평면의 영역 D에서 정의된 두 홀로모픽 함수 f와 g가 있다고 가정. D의 일부 경계 γ에서 \|g(z)\| < \|f(z)\|이면, γ 내부에서 f와 f + g는 동일한 수의 영점을 갖는다.'
조건	'D의 일부 경계 γ에서 \|g(z)\| < \|f(z)\|'
결론	'γ 내부에서 f와 f + g는 동일한 수의 영점을 갖는다.'
의미	'함수 f에 작은 섭동 g를 추가해도 영점의 수는 변하지 않는다.'
활용	'대수 방정식의 해의 존재성과 개수를 증명하는 데 사용될 수 있다.'
역사
발표자	외젠 루셰
발표 연도	1862년
같이 보기
관련 항목	대수학의 기본 정리 슈바르츠 보네 정리 아벨-루피니 정리

2. 정의

연결 열린집합 $D\subseteq\mathbb C$ 속의 길이를 갖는 널호모토픽 단순 닫힌곡선 $\gamma\colon[0,1]\to D$ 가 주어졌고, 두 정칙 함수 $f,g\colon D\to\mathbb C$ 가 임의의 $z\in\operatorname{im}\gamma$ 에 대하여

: $|g(z)|<|f(z)|$

를 만족시킨다고 하자. '''루셰 정리'''에 따르면, $\operatorname{im}\gamma$ 의 내부에서 $f$ 와 $f+g$ 의 영점의 (중복도를 고려한) 개수는 같다.^[2]^[3]

3. 증명

루셰 정리는 편각 원리를 이용하여 증명할 수 있다. 루셰 정리는 유리형 함수 또는 호모토피를 이용하여 증명할 수 있는데, 자세한 내용은 각각 "증명 1", "증명 2" 하위 섹션에 설명되어 있다. 두 증명 모두 편각 원리를 핵심적으로 사용하며, 결국 같은 결과를 다른 방식으로 보여주는 것이라고 할 수 있다.

3. 1. 증명 1

가정에 의하여 ''f''와 ''f''+''g''는

\operatorname{im}\gamma

위에서 영점을 갖지 않는다. 이제 다음과 같은 유리형 함수

h\colon D\to\mathbb C

를 정의한다.

:

h(z)=1+\frac{g(z)}{f(z)}\qquad\forall z\in D

그렇다면, 임의의

z\in\operatorname{im}\gamma

에 대하여,

:

\left|h(z)-1\right|<1

이며,

h

는

\operatorname{im}\gamma

위에서 영점이나 극점을 갖지 않는다. 이제

\operatorname{im}\gamma

의 내부에서 ''f''와 ''f''+''g''의 영점의 (중복도를 고려한) 개수를

N(\gamma,f)

와

N(\gamma,f+g)

라고 하자. 그렇다면, 편각 원리에 의하여

:

N(\gamma,f+g)-N(\gamma,f)=\frac 1{2\pi i}\int_\gamma\left(\frac{f'(z)+g'(z)}{f(z)+g(z)}-\frac{f'(z)}{f(z)}\right)\mathrm dz=\frac 1{2\pi i}\int_\gamma\frac{h'(z)}{h(z)}\mathrm dz=\frac 1{2\pi i}\int_{h\circ\gamma}\frac{\mathrm dw}w=0

이다.

3. 2. 증명 2

C\colon[0,1]\to\mathbb C

를 상이 닫힌 곡선이라 하고, 그 이미지가 경계

\partial K

라고 하자. 가정에 따르면 ''f''는

\partial K

에 근을 갖지 않으므로, 편각 원리에 의해, ''K''에서 ''f''의 영점 개수 ''N_f''(''K'')는 다음과 같다.

:

\frac1{2\pi i}\oint_C\frac{f'(z)}{f(z)}\,dz=\frac1{2\pi i}\oint_{f\circ C} \frac{dz}z =\mathrm{Ind}_{f\circ C}(0),

즉, 닫힌 곡선

f\circ C

가 원점을 감는 회전수와 같다. ''g''에 대해서도 마찬가지다. 가정에 따르면 모든 ''z'' = ''C''(''x'')에 대해 ''g''(''z'')는 ''f''(''z'')의 음의 실수 배가 아니므로, 0은 ''f''(''C''(''x''))에서 ''g''(''C''(''x''))까지 연결하는 선분 위에 있지 않으며,

:

H_t(x) = (1-t)f(C(x)) + t g(C(x))

는 원점을 피하는 곡선

f\circ C

와

g\circ C

사이의 호모토피이다. 회전수는 호모토피 불변이므로, 함수

:

I(t)=\mathrm{Ind}_{H_t}(0)=\frac1{2\pi i}\oint_{H_t}\frac{dz}z

는 연속적이고 정수 값을 가지므로 상수이다. 이는 다음을 보여준다.

:

N_f(K)=\mathrm{Ind}_{f\circ C}(0)=\mathrm{Ind}_{g\circ C}(0)=N_g(K).

\partial D

위에서

|f(z)| > |g(z)|

라는 조건으로부터

|f(z)| > 0

이며,

:

\log (f(z)+g(z)) = \log f(z) + \log (1 + g(z)/f(z))

로 쓸 수 있다.

f(z)

및

g(z)

는

D

에서 극을 갖지 않으므로 편각 원리로부터

f(z)+g(z)

의

D

내에서의 영점의 개수를 ''n''이라고 하면,

:

\begin{align}n &= \frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial D} \frac{d \log (f(z)+g(z))}{dz} dz \\&=  \frac{1}{2\pi i}\left[\oint_{\partial D} \frac{d \log f(z)}{dz}dz +  \oint_{\partial D} \frac{d \log (1 + g(z)/f(z))}{dz}dz \right]\end{align}

이다.

여기서

\omega \colon K \to \mathbb{C}

를

\omega(z) = 1 + g(z)/f(z)

로 정의한다. 앞서 언급한 바와 같이

\partial D

위에서는

|f(z)| > 0

이고,

f(z)

및

g(z)

는

K

위에서 정칙이므로,

\omega(z)

는

\partial D

위에서 정칙이다. 따라서

\omega(z)

에 의한

\partial D

의 상을

C

라고 하면,

C

도 연속 곡선과 같은 충분히 좋은 성질을 가진 곡선이다.

위 식의 우변 제2항의 적분을 생각하면,

:

\oint_{\partial D} \frac{d\log (1 + g(z)/f(z))}{dz}dz= \oint_{\partial D} \frac{d\log \omega}{d\omega}\frac{d\omega}{dz}dz= \oint_C \frac{d\log \omega}{d\omega}d\omega

이다. 결국 이 식의 값은

\log \omega

를

C

위의 어떤 점을 시작점으로 하여

C

를 따라 한 바퀴 돌았을 때의 증가분이 되지만,

\partial D

위에서는

|f(z)| > |g(z)|

라는 조건으로부터

C

위에서는

\operatorname{Re} \omega

는 양수이며,

C

는

\log \omega

의 분기점인

\omega = 0

을 한 바퀴 돌지 않으므로, 그 값은 0이다. 따라서,

:

n = \frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial D} \frac{d\log (f(z)+g(z))}{dz} dz=  \frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial D} \frac{d\log f(z)}{dz}dz

가 성립하고, 정리의 주장과 같이 된다.

4. 예

방정식

: $z^7-4z^3+z-1=0$

이 단위원

: $|z|=1$

의 내부에서 몇 개의 해를 갖는지 루셰 정리를 이용하여 구할 수 있다.^[3] 다음과 같은 함수 $f,g\colon\mathbb C\to\mathbb C$ 를 정의하자.

: $f(z)=4z^3\qquad\forall z\in\mathbb C$

: $g(z)=z^7+z-1\qquad\forall z\in\mathbb C$

그렇다면 $f,g$ 는 정칙 함수이다. 또한, 삼각 부등식에 의하여 만약 $|z|=1$ 이라면

: $|g(z)|\le 3<4=|f(z)|$

이다. $f$ 는 $|z|<1$ 에서 3개의 영점을 가지므로, $f+g$ 역시 $|z|<1$ 에서 3개의 영점을 갖는다.

5. 따름정리

루셰의 정리는 대수학의 기본 정리, 열린 사상 정리, 후르비츠 정리를 증명하는 데 사용될 수 있다.^[3]^[4]

루셰 정리를 이용하면 대수학의 기본 정리를 간결하게 증명할 수 있다. 또한, 다항식이 영점을 가져야 함을 보여줄 뿐만 아니라, (중복도를 고려하여 계산했을 때) 영점의 개수가 차수와 같다는 사실까지 보여준다.

루셰 정리는 열린 사상 정리를 증명하는 데에도 사용된다.^[3]^[4]

5. 1. 대수학의 기본 정리

대수학의 기본 정리는 복소수 계수를 갖는 n차 다항식은 복소 평면에서 n개의 영점(근)을 갖는다는 정리이다. 루셰 정리를 이용하면 이 정리를 간결하게 증명할 수 있다.^[3]^[4]

최고차항 계수가 1인 임의의 n차 복소수 계수 다항식을 다음과 같이 놓자.

:

f(z) = z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \cdots + a_1 z + a_0

이 다항식이 복소 평면 상에서 n개의 영점을 가짐을 보이면 된다.

이제 다음과 같이 두 함수 g(z)와 h(z)를 정의한다.

:

g(z) = a_{n-1} z^{n-1} + \cdots + a_1 z + a_0\

:

h(z) = z^n\

여기서 R을 양의 실수로 하고, D = {z | |z| < R}로 둔다. R을 충분히 크게 잡으면 경계 ∂D 상에서 |h(z)| > |g(z)| 가 성립하도록 할 수 있다.

이렇게 하면, D 내에서 h(z)와 h(z) + g(z) = f(z)의 영점 개수는 루셰 정리에 의해 일치하게 된다. h(z)는 z^n 형태이므로, D 내에서 n개의 영점을 갖는 것이 명백하다. 따라서 f(z)도 D 내에서 n개의 영점을 갖게 된다.

이 증명은 다항식이 영점을 가져야 함을 보여줄 뿐만 아니라, (중복도를 고려하여 계산했을 때) 영점의 개수가 차수와 같다는 사실까지 보여준다.

5. 2. 열린 사상 정리

열린 사상 정리를 증명하는 데 사용된다.^[3]^[4]

6. 기하학적 설명

''z''가 닫힌 곡선 ''C''를 따라 움직일 때, 와 는 복소 평면에서 닫힌 곡선을 그립니다. 곡선들이 서로 너무 멀리 떨어져 있지 않는 한, 곡선들은 같은 횟수만큼 원점을 감습니다. 그러면 인수 원리에 따라, 와 는 ''C'' 내부에서 같은 수의 영점을 갖습니다.

루셰 정리를 다음과 같이 비공식적으로 설명할 수 있다.

''C''를 닫힌 단순 곡선(자기 교차하지 않는 곡선)이라고 하고, ''h''(''z'') = ''f''(''z'') + ''g''(''z'')라고 하자. 만약 ''f''와 ''g''가 모두 ''C''의 내부에서 정칙 함수라면, ''h'' 또한 ''C''의 내부에서 정칙 함수여야 한다. 이때, 모든 ''C''의 ''z''에 대해 |''f''(''z'')| > |''h''(''z'') − ''f''(''z'')| 라면, ''f''와 ''h''는 ''C''의 내부에서 같은 수의 영점을 갖는다.

|''f''(''z'')| > |''h''(''z'') − ''f''(''z'')| 조건은 어떤 ''z''에 대해서도 ''f''(''z'')에서 원점까지의 거리가 ''h''(''z'') − ''f''(''z'')의 길이보다 크다는 것을 의미한다. 그림에서 파란색 곡선 위의 각 점에 대해, 그 점과 원점을 잇는 선분이 그것과 관련된 녹색 선분보다 더 크다는 것을 의미하며, 파란색 곡선 ''f''(''z'')^영어가 항상 빨간색 곡선 ''h''(''z'')^영어보다 원점에 더 가깝다고 할 수 있다.

따라서, ''h''(''z'')^영어가 정확히 ''f''(''z'')^영어와 같은 횟수만큼 원점을 감아야 한다. 두 곡선 모두 0 주위의 지수가 같으므로, 인수 원리에 의해, ''f''(''z'')^영어와 ''h''(''z'')^영어는 ''C'' 내부에 같은 수의 영점을 가져야 한다.

이를 비유적으로 설명하면 다음과 같다. 만약 어떤 사람이 나무 주위를 끈으로 묶인 개를 계속해서 산책시킨다면, 사람과 나무 사이의 거리가 끈의 길이보다 항상 더 크다면, 사람과 개는 같은 횟수로 나무 주위를 돌게 된다.

7. 응용

루셰 정리는 다항식 근의 경계를 정하거나, 복소 함수의 영점을 찾는 문제를 단순화하는 데 사용된다.^[2]^[3]

해석 함수가 주어지면, 두 부분의 합으로 나타낼 수 있는데, 그중 하나는 더 간단하고 다른 부분보다 더 빠르게 증가하여 다른 부분을 지배하게 된다. 그런 다음 지배적인 부분만 보고 영점을 찾을 수 있다. 예를 들어, 다항식 $z^5 + 3z^3 + 7$ 는 디스크 $|z| < 2$ 내에 정확히 5개의 영점을 갖는데, 모든 $|z| = 2$ 에 대해 $|3z^3 + 7| \le 31 < 32 = |z^5|$ 이고 지배적인 부분인 $z^5$ 은 디스크 내에 5개의 영점을 갖기 때문이다.

방정식 $z^7-4z^3+z-1=0$ 이 원 $|z|=1$ 의 내부에서 몇 개의 해를 갖는지 구하는 문제를 살펴보자.^[3] 함수 $f(z)=4z^3$ 와 $g(z)=z^7+z-1$ 를 정의하면, 삼각 부등식에 의하여 $|z|=1$ 일 때 $|g(z)|\le 3<4=|f(z)|$ 이다. $f$ 는 $|z|<1$ 에서 3개의 영점을 가지므로, 루셰 정리에 의해 $f+g$ 역시 $|z|<1$ 에서 3개의 영점을 갖는다.

루셰 정리는 다항식 근의 성질#근의 경계에서 언급된 다항식 근의 경계를 구하는 문제에도 활용 가능하다.

7. 1. 다항식 근의 경계

루셰 정리는 주어진 다항식의 근의 범위를 추정하는 데 활용할 수 있다.

예를 들어, 상수

a

,

b

(

a > b > 0

)에 대해 다항식

z^2 + 2az + b^2

을 생각해보자. 근의 공식에 의해 이 다항식은

-a \pm \sqrt{a^2 - b^2}

에서 두 개의 영점을 갖는다. 루셰 정리를 이용하면 이 영점들의 위치에 대한 정보를 얻을 수 있다.

|z^2 + b^2| \le 2b^2 < 2a|z| \text{ for all } |z| = b

이므로, 루셰 정리에 따르면 이 다항식은 원판

|z| < b

내부에 정확히 하나의 영점을 갖는다.

-a - \sqrt{a^2 - b^2}

는 이 원판 밖에 있으므로, 나머지 영점은

-a + \sqrt{a^2 - b^2}

임을 알 수 있다.

일반적으로, 다항식

f(z) = a_n z^n + \cdots + a_0

에 대해, 어떤

r > 0, k \in 0:n

에 대해

|a_k| r^k > \sum_{j\neq k}|a_j| r^j

가 성립하면, 루셰 정리에 의해 이 다항식은

B(0, r)

내부에 정확히

k

개의 근을 갖는다.^[3]

이러한 방식은 코시의 적분 정리를 적용하여 잔류물을 계산할 때 유용하게 활용될 수 있다.

8. 대칭적 형태

테오도어 에스터만이 1962년에 발표한 루셰 정리의 더 강력한 버전은 다음과 같다.^[1]

: $K \subset G$ 를 연속적인 경계 $\partial K$ 를 가진 유계 영역이라고 하자. 두 정칙 함수 $f, g \in \mathcal{H}(G)$ 가 경계 $\partial K$ 에서 다음의 엄격한 부등식을 만족하면,

: $|f(z)-g(z)| < |f(z)| + |g(z)| \qquad (z \in \partial K)$

: $K$ 에서 같은 수의 근(중복도 포함)을 갖는다.

이 명제는 다음과 같이 직관적으로 이해할 수 있다. $g$ 대신 $-g$ 를 고려하면, 조건은 $z \in \partial K$ 에 대해 $|f(z) + g(z)| < |f(z)| + |g(z)|$ 로 다시 쓸 수 있다. 삼각 부등식에 의해 $|f(z) + g(z)| \leq |f(z)| + |g(z)|$ 가 항상 성립하므로, 이는 $\partial K$ 에서 $|f(z) + g(z)| \neq |f(z)| + |g(z)|$ 임을 의미한다. 이는 다시 말해 $z \in \partial K$ 에 대해 함수 $f(z)$ 와 $g(z)$ 가 0이 아니고 $\arg{f(z)} \neq \arg{g(z)}$ 임을 의미한다.

직관적으로, $f$ 와 $g$ 의 값이 원점을 지나지 않고 $z$ 가 $\partial K$ 를 따라 돌 때 같은 방향을 가리키지 않으면, $f(z)$ 와 $g(z)$ 는 원점을 같은 횟수만큼 감싸야 한다.

9. 역사

Eugène Rouché|외젠 루셰^프랑스어의 이름이 붙어 있다.

참조

_[1] 서적 Complex Numbers and Functions Athlone Press, Univ. of London 1962
_[2] 서적 Complex Analysis Princeton University Press 2003
_[3] 서적 해설 복소함수론 경문사 2007
_[4] 서적 같은 책

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com