대수학의 기본 정리

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1. 개요

대수학의 기본 정리는 모든 비상수 복소 다항식이 복소수를 근으로 갖는다는 정리이다. 17세기 초에 이 정리가 제시되었지만, 18세기 말에 이르러서야 제임스 우드와 카를 프리드리히 가우스가 해의 존재를 가정하지 않는 증명을 발표했다. 이후 여러 수학자들이 다양한 증명 방법을 제시했으며, 현재는 대수학, 복소해석학, 위상수학, 기하학 등 다양한 분야의 지식을 활용하여 증명할 수 있다. 대수학의 기본 정리는 복소수체의 대수적 폐포를 정의하며, 다항식의 근의 개수와 표현, 실계수 다항식의 인수분해 등에 대한 중요한 정보를 제공한다. 또한, 다항식의 근의 절댓값에 대한 경계를 설정하는 데에도 활용된다.

대수학의 기본 정리

개요

명칭	대수학의 기본 정리
영어 명칭	Fundamental Theorem of Algebra

내용

정리 내용	모든 복소수 계수 다항식은 복소수 범위 내에서 적어도 하나의 근을 가진다.
따름정리	차수가 n인 복소수 계수 다항식은 (중복도를 고려하면) 정확히 n개의 복소수 근을 가진다.

역사

최초 언급	피터 로스 (1608)
최초 증명 시도	장 르 롱 달랑베르 (1746)
최초 증명	카를 프리드리히 가우스 (1799, 박사 학위 논문)
대수적 증명	아르강 (1814)

증명 방법

복소해석학적 증명	리우빌 정리 사용 루셰 정리 사용 열린 사상 정리 사용
대수적 증명	실수 닫힌 체의 성질 사용

관련 정리	대수적 닫힘

2. 역사

1608년 페터 로트(Peter Roth, Peter Roth (Mathematiker)^독일어)는 그의 저서 산술 철학(Arithmetica Philosophica)에서 (실수 계수를 갖는) n차 다항식 방정식이 n개의 해를 가질 수 있다고 썼다. 1629년 알베르 지라르는 대수학의 새로운 발명(L'invention nouvelle en l'Algèbre)에서 n차 다항식 방정식은 n개의 해를 갖는다고 주장했지만, 그 해가 실수여야 한다고 명시하지는 않았다. 그는 자신의 주장이 "방정식이 불완전하지 않는 한" 유효하다고 덧붙였는데, 이는 계수가 0과 같지 않다는 의미였다.

1702년 라이프니츠는 형태의 다항식(a가 0이 아닌 실수)은 차수가 1 또는 2인 실수 계수를 갖는 다항식의 곱으로 표현될 수 없다고 잘못 말했다. 이후 니콜라우스 베르누이는 다항식에 대해 같은 주장을 했지만, 1742년 레온하르트 오일러로부터 반례가 제시된 편지를 받았다.

1746년 장 르 롱 달랑베르가 이 정리를 증명하려는 첫 번째 시도를 했지만, 그의 증명은 불완전했다. 1749년 레온하르트 오일러, 1759년 프랑수아 다비에 드 퐁세넥, 1772년 조제프루이 라그랑주, 1795년 피에르시몽 라플라스도 증명을 시도했다.

18세기 말, 제임스 우드는 1798년에 해의 존재를 가정하지 않은 증명을 발표했지만, 대수적인 틈이 있었다. 1799년 카를 프리드리히 가우스는 기하학적 증명을 발표했지만, 위상학적 틈이 있었고, 이는 1920년 알렉산더 오스트로프스키에 의해 채워졌다.

1806년 장로베르 아르강이 최초의 엄밀한 증명을 발표했고, 복소수 계수를 갖는 다항식에 대해 언급했다. 1816년 가우스는 다른 두 개의 증명을 발표했고, 1849년에 원래 증명의 불완전한 버전을 발표했다.

1821년 오귀스탱 루이 코시의 École Royale Polytechnique의 해석학 강의에 장로베르 아르강의 증명이 포함되었지만, 아르강에게 공로가 돌아가지 않았다.

19세기 중반 카를 바이어슈트라스가 구성적 증명 문제를 제기했고, 1891년에 해법을 제시했다. 1940년 헬무트 크네제르가 구성적 증명을 얻었고, 1981년 그의 아들 마르틴 크네제르가 단순화했다.

3. 증명

1608년 페터 로트는 저서 산술 철학에서 실수 계수를 갖는 n차 다항식 방정식이 n개의 해를 가질 수 있다고 작성하였다. 1629년 알베르 지라르는 저서 대수학의 새로운 발명에서 n차 다항식 방정식은 n개의 해를 갖는다고 주장했지만, 해가 실수여야 한다고 명시하지는 않았다. 그는 자신의 주장이 "방정식이 불완전하지 않는 한" 유효하며, 이는 계수가 0과 같지 않다는 의미라고 덧붙였다.

실수 계수를 갖는 모든 비상수 다항식은 차수가 1 또는 2인 실수 계수를 갖는 다항식의 곱으로 표현될 수 있다. 그러나 1702년 고트프리트 빌헬름 라이프니츠는 $x^4 + a^4$ 형태의 다항식 ( $a$ 가 0이 아닌 실수)은 그러한 방식으로 표현될 수 없다고 잘못 말했다. 이후 니콜라우스 1세 베르누이는 다항식 $x^4 - 4x^3 + 2x^2 + 4x + 4$ 에 대해 같은 주장을 했지만, 1742년 레온하르트 오일러로부터 반박 편지를 받았다. 오일러는
: $x^4+a^4= \left (x^2+a\sqrt{2}\cdot x+a^2 \right ) \left (x^2-a\sqrt{2}\cdot x+a^2 \right ).$ 임을 지적했다.

1746년 장 르 론 달랑베르가 처음으로 증명을 시도했지만 불완전했다. 이후 레온하르트 오일러(1749), 프랑수아 다비에 드 퐁세넥(1759), 조제프루이 라그랑주(1772), 피에르시몽 라플라스(1795) 등이 증명을 시도했지만 모두 완전하지 않았다.

18세기 말, 제임스 우드와 카를 프리드리히 가우스가 해의 존재를 가정하지 않은 증명을 발표했지만, 각각 대수적, 위상학적 틈이 있었다. 가우스의 증명은 1920년 알렉산더 오스트로프스키에 의해 틈이 채워졌다.

최초의 엄밀한 증명은 1806년 아마추어 수학자인 장-로베르 아르강에 의해 출판되었고(1813년에 재검토됨), 여기서 처음으로 대수학의 기본 정리는 복소수 계수를 갖는 다항식에 대해 언급되었다. 가우스는 1816년에 다른 두 개의 증명을 발표했고, 1849년에 그의 원래 증명의 또 다른 불완전한 버전을 발표했다.

19세기 중반 카를 바이어슈트라스가 대수학의 기본 정리에 대한 구성적 증명을 찾는 문제를 제기했고, 1891년 자신의 해법을 제시했다. 1940년 헬무트 크네제르가 또 다른 증명을 얻었고, 1981년 그의 아들 마르틴 크네제르가 단순화했다.

가산 선택 공리를 사용하지 않고는 데데킨트 실수를 기반으로 복소수에 대한 대수학의 기본 정리를 구성적으로 증명하는 것은 불가능하다. 그러나 프레드 리치먼은 작동하는 재구성된 버전을 증명했다.

대수학의 기본 정리의 여러 증명은 수학적 분석이나 위상수학의 개념인 연속성을 포함한다. 일부는 미분 가능하거나 해석 함수를 사용하기도 한다. 이 정리의 일부 증명은 실수 계수를 갖는 비상수 다항식이 복소수 근을 갖는다는 것만 증명한다. 복소수 계수를 갖는 비상수 다항식 $p$ 가 주어지면, 다항식 $q = p\overline{p}$ 는 실수 계수만 가지며, $z$ 가 $q$ 의 근이면 $z$ 또는 그 켤레 복소수는 $p$ 의 근이다.

이 정리의 많은 비대수적 증명은 주요 계수가 1인 n차 다항식 함수 $p(z)$ 가 $|z|$ 가 충분히 클 때 $z^n$ 처럼 동작한다는 사실을 사용한다.

실수 계수의 대수 방정식은 일반적으로 실수의 범위 내에서 해를 갖지 않지만, 허수 단위를 첨가하면, 어떤 대수 방정식이라도 확대체 상에서 풀 수 있다. 복소수를 계수로 하는 대수 방정식의 해 역시 복소수의 범위 내에서 해를 가진다. 이것이 대수학의 기본 정리의 주장이다.

인수 정리를 귀납적으로 사용하면, 복소수 계수의 임의의 $n$ 차 다항식은 복소수 근을 중복을 포함하여 정확히 $n$ 개 갖는다는 사실을 이끌어낼 수 있으므로, 이 사실을 가리켜 대수학의 기본 정리라고 부르기도 한다. 대수학의 기본 정리는 복소수체가 대수적 폐체임을 보여준다.

가장 잘 알려진 초등적인 증명은 다음과 같다.

$f(x)$ 는 $|x| \to \infty$ 일 때 $\infty$ 로 발산한다. 따라서, $|x|>C \Longrightarrow f(x)>f(0)$ 이 되는 실수 $C$ 를 정할 수 있다. 최대값-최소값 정리로부터, $f(x)$ 는 최소값을 갖는다. 그것을 $c$ 라고 한다. 위의 부등식으로부터 $c 이다.$

이 때, $f(x_c)=c$ 가 되는 $x_c$ 를 두고, $c\neq0$ 을 가정한다. 어떤 복소수 $\epsilon$ 에 대해 $f(x_c+\epsilon)=|A_n\epsilon^n+A_1\epsilon^{n-1}+A_2\epsilon^{n-2}+\cdot\cdot\cdot+A_0|$ ( $A_n$ 는 $\epsilon$ 의 계수)를 생각하면, $A_n\neq0$ 이 되는 $n$ 중에서 최소인 $n$ 을 $k$ 로 두면 $f(x_c+\epsilon)=|A_n\epsilon^n+A_1\epsilon^{n-1}+A_2\epsilon^{n-2}+\cdot\cdot\cdot+A_k\epsilon^k+A_0|$ 이 된다.

여기서 $\epsilon=t(-\frac{A_0}{A_k})^{\frac{1}{k}}$ 로 두면 $f(x_c+t(-\frac{A_0}{A_k})^{\frac{1}{k}})=|A_0(1-t^k)+F(t)|$ ( $t$ 는 양의 실수, $F(t)$ 는 $A_n\epsilon^n+A_1\epsilon^{n-1}+A_2\epsilon^{n-2}+\cdot\cdot\cdot+A_{k+1}\epsilon^{k+1}$ 에 $\epsilon=t(-\frac{A_0}{A_k})^{\frac{1}{k}}$ 을 대입한 식)

$F(t)$ 는 $t$ 의 차수가 $t^k$ 보다 고차인 항밖에 없기 때문에, $t$ 가 충분히 작으면 $|A_0(1-t^k)+F(t)|$ 내에서 $F(t)$ 를 무시할 수 있다. 즉 $t$ 가 충분히 작을 때 $|A_0(1-t^k)+F(t)|<|A_0|$ 이 된다.

즉 $f(x_c+\epsilon) 가 되지만, 이것은 x_c 의 정의에 모순된다. 따라서 가정이 거짓이므로 c=0 이 되고, 인수 정리 에 의해 f(x)=(x-x_c)p(x) 로 둘 수 있다. 이 때 x_c 는 f(x) 의 근이 된다. 이상의 조작을 반복함으로써, f(x) 는 n 개의 근을 가짐을 알 수 있다.$

3.1. 복소해석학적 증명

복소해석학에 기반한 증명법으로는 리우빌 정리를 이용하는 방법과 루셰의 정리를 이용하는 방법이 유명하며, 대학 교육에서의 초등적인 복소해석학 교서는 대수학의 기본 정리를 이러한 방법으로 증명하는 과정까지를 배우는 것을 목적으로 하는 경우가 많다.

최고차 계수가^한국어 1인 임의의 n차 복소수 계수 다항식을
: $f(z) = z^n + a_{n-1} z^{n-1} +\cdots +a_1 z+a_0$
라고 하자. 복소 평면상에서 f(z)는 영점을 갖지 않는다고 가정하고,
: $g(z) = \frac{1}{f(z)}$
라고 두면 g(z)는 복소 평면 전체에서 정칙이고 유계이다. 리우빌 정리에 따르면 g(z)는 상수 함수가 되며, f(z)도 상수 함수가 되지만, 이것은 f(z)의 형태와 모순된다. 따라서 f(z)는 복소 평면상에서 적어도 하나의 영점을 갖는다.

3.1.1. 리우빌 정리를 이용한 증명

복소 다항식 $p(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \dotsb + a_0$ ( $a_n \neq 0, n\ge 1$ )가 영점을 갖지 않는다고 가정하자. 즉, 모든 복소수 $z$ 에 대해 $p(z)\neq 0$ 라고 가정하면, $\frac{1}{p(z)}$ 는 전해석 함수이다.

삼각 부등식을 이용하면,

: $|p(z)|=\left|z^{n}(a_n+\frac{a_{n-1}}z+\cdots+\frac{a_0}{z^n})\right| \ge |z|^{n}\left||a_n|-\left|\frac{a_{n-1}}z+\cdots+\frac{a_0}{z^n}\right|\right| \cdots\cdots(a)$

를 얻고, $C = |a_{n-1}|+\cdots+|a_0|$ 라 하면, 양수 $M >1$ 에 대해 $|z|\ge M$ 이면

: $\left|\frac{a_{n-1}}z+\cdots+\frac{a_0}{z^n}\right| \le \frac$

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+\cdots+\frac

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{|z|^n} \le \frac{|a_{n-1}|+\cdots+

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}

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\le \frac C M

이다. 여기서

M

을 충분히 큰 값으로 선택하여

\frac{C}{M} < \frac

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{2}가 되도록 하면 부등식

:

|a_n|-\left|\frac{a_{n-1}}z+\cdots+\frac{a_0}{z^n}\right|>\frac

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2

이 성립하므로 식 (a)로부터

:

\left|\frac{1}{p(z)}\right| \le \frac{2}{|a_n|M^{n}}

을 얻는다. 즉,

\frac{1}{p(z)}

는 유계인 전해석 함수이다. 따라서 리우빌 정리에 의해

\frac 1 {p(z)}

는 상수 함수이고,

p(z)

도 상수 함수이다. 결국

p(z)

가 상수 함수가 아니라면 영점을 갖는다.

복소해석학에 기반한 증명법으로는, 리우빌 정리를 이용하는 방법과, 루셰의 정리를 이용하는 방법이 유명하며, 대학 교육에서의 초등적인 복소해석학 교서는 대수학의 기본 정리를 이러한 방법으로 증명하는 과정까지를 배우는 것을 목적으로 하는 경우가 많다.

다음은 리우빌 정리를 이용하는 증명의 개략이다.

최고차 계수가 1인 임의의

n

차 복소수 계수 다항식을
:

f(z) = z^n + a_{n-1} z^{n-1} +\cdots +a_1 z+a_0

라고 한다. 복소 평면상에서

f(z)

는 영점을 갖지 않는다고 가정한다.

g(z) = \frac{1}{f(z)}

라고 두면

g(z)

는 복소 평면 전체에서 정칙이고 유계이며, 리우빌 정리로부터

g(z)

는 상수가 되며, 당연히

f(z)

도 상수가 되지만, 이것은

f(z)

의 형태와 모순된다. 따라서,

f(z)

는 복소 평면상에서 적어도 하나의 영점을 갖는다.

3.1.2. 편각 원리를 이용한 증명

Argument principle^영어를 적용하면,
: $\frac{1}{2\pi i}\int_{c(r)}\frac{p'(z)}{p(z)}\,dz=N$
이 성립한다. 여기서 c(r)은 반지름이 r인 원의 반시계 방향 경로를 의미하고, N은 $p(z)$ 의 근의 개수를 의미한다. 한편
: $\frac{1}{2\pi i}\int_{c(r)}\frac{n}{z}\,dz=\frac{1}{2\pi i}\int_0^{2\pi} \frac{n}{re^{i\theta}}ire^{i\theta}\,d\theta=n$
이므로
: $\frac{1}{2\pi i}\int_{c(r)}\left(\frac{p'(z)}{p(z)}-\frac{n}{z}\right)dz=\frac{1}{2\pi i}\int_{c(r)}\frac{zp'(z)-np(z)}{zp(z)}\,dz=N-n$
이 성립한다. 여기서 두 번째 식의 적분을 보면 분자는 n-1차 다항식이고 분모는 n+1차 다항식이다. 따라서 r이 충분히 커질수록 적분 값은 0에 수렴한다. 즉 N-n이 0에 수렴하므로 N=n이다.

3.1.3. 루셰 정리를 이용한 증명

다음은 루셰 정리를 이용한 대수학의 기본 정리 증명이다.

복소 다항식
: $p(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \dotsb + a_0\ (a_n \neq 0, n\ge 1)$
에 대해, $z\neq0$ 이면
: $\frac{p(z)}{a_nz^n} = 1+\frac{1}{a_n}\left(\frac{a_{n-1}}{z}+\cdots+\frac{a_0}{z}\right)$
이다. $r>\max\{\frac$

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,1\}인 r에 대해

|z|=r

일 때
:

\left|\frac{p(z)}{a_nz^n}-1\right|\le\left[\frac

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{r}+\cdots+\frac

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{r^n}\right]\frac{1}

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\le\frac

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{|a_n|r}<1
이므로

|p(z)-a_nz^n|<|a_nz^n|

이다.

a_nz^n

은

|z|=r

내부에서 n개의 근을 가지므로 루셰 정리에 의해

p(z)=(p(z)-a_nz^n)+a_nz^n

도 n개의 근을 가진다.

3.2. 위상수학적 증명

복소수 계수 $n$차 일계수 다항식 $p(x)=a_0+a_1x+\cdots+x^n\in\mathbb C[x]$가 근을 갖지 않는다고 가정하자. 임의의 $t\in[0,\infty)$에 대하여, 원 위에 다음과 같은 함수를 정의한다.

$f_t\colon\mathbb S^1\to\mathbb S^1$
$f_t\colon z\mapsto p(tz)/|p(tz)|$

(이 함수는 항상 $|p(tz)|\ne0$이므로 잘 정의된다.) 그렇다면, $f_0$은 함수

$f_\infty\colon\mathbb S^1\to\mathbb S^1$
$f_\infty\colon z\mapsto z^n$

와 호모토피하다. $f_0$은 상수 함수이므로 $f_\infty$는 널호모토픽하다. 그러나 $f_\infty$로부터 유도되는 기본군 사이의 군 준동형 $\pi_1(\mathbb S^1)\to\pi_1(\mathbb S^1)$은 자명하지 않다. 이는 $\pi_1(\mathbb S^1)\cong\mathbb Z$이기 때문인데, 이는 피복 공간 이론을 사용하여 보일 수 있으며 초등적인 증명도 존재한다. 따라서 $f_\infty$는 널호모토픽하지 않으며, 이는 모순이다.

3.3. 대수적 증명

대수적 증명은 실수의 다음과 같은 성질들을 사용한다. 따라서 이 증명은 임의의 실폐체에 대하여 유효하며, 셋째 성질은 해석적 성질이므로, "순수하게 대수적"이지 않다.

* 순서체를 이룬다.
* 모든 음이 아닌 실수는 실수인 제곱근을 갖는다.
* 모든 실수 계수 홀수차 다항식은 실수인 근을 갖는다.

이에 따라, 모든 복소수도 제곱근을 갖는다. 복소수 $a+bi\in\mathbb C$ 의 제곱근 $c+di$ 는 다음과 같이, 음이 아닌 실수의 제곱근을 사용하여 나타낼 수 있다.

: $c=\pm\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}2}$

: $d=\pm\sgn b\sqrt{\frac{-a+\sqrt{a^2+b^2}}2}$

대수학의 기본 정리는 $\mathbb C$ 의 대수적 확대가 스스로밖에 없다는 명제와 동치이다. 임의의 대수적 확대는 어떤 유한 확대들의 합집합이다. 표수 0의 경우, 임의의 유한 확대는 어떤 유한 갈루아 확대의 부분 확대이다. 따라서, 임의의 유한 갈루아 확대 $K/\mathbb R$ 에 대하여, 만약 $\mathbb C/\mathbb R$ 가 $K/\mathbb R$ 의 부분 확대라면, $K=\mathbb C$ 임을 보이면 충분하다.

갈루아 군 $\operatorname{Gal}(K/\mathbb R)$ 의 2-쉴로브 부분군 $\operatorname{Gal}(K/F)\le\operatorname{Gal}(K/\mathbb R)$ 을 고르자. 그렇다면, $F$ 는 $\mathbb R$ 와 $K$ 사이의 체이며, 그 차수

: $[F:\mathbb R]=\frac{[K:\mathbb R]}{[K:F]}=\frac$

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는 홀수다. 그런데 실수 계수 홀수차 다항식은 항상 실수인 근을 가지므로,

\mathbb R

의 홀수 차수 확대는 스스로밖에 없다. 즉,

F=\mathbb R

이며,

\operatorname{Gal}(K/\mathbb R)

는 2-군이다.

이제,

\operatorname{Gal}(K/\mathbb C)

가 자명군임을 보이면 충분하다. 귀류법을 사용하여, 자명군이 아니라고 가정하자.

\operatorname{Gal}(K/\mathbb C)

는

\operatorname{Gal}(K/\mathbb R)

의 부분군이므로, 2-군이다. 따라서, 지표 2의 부분군

\operatorname{Gal}(K/E)\le\operatorname{Gal}(K/\mathbb C)

가 존재한다. 그렇다면,

\mathbb C\subseteq E\subseteq K

이며,

E/\mathbb C

의 차수는

:

[E:\mathbb C]=\frac{[K:\mathbb C]}{[K:E]}=\frac

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=2

이다. 그러나

\mathbb C

는 제곱근에 대하여 닫혀 있으므로, 2차 확대를 갖지 않으며, 이는 모순이다. 따라서,

\operatorname{Gal}(K/\mathbb C)

는 자명군이며,

K=\mathbb C

이다.

3.4. 기하학적 증명

영점이 없는 비상수 다항식 polynomial^영어 의 존재는 구 {{mvar^영어^2 위에 평탄 리만 계량의 존재를 의미한다. 가우스-보네 정리에 의해 구가 평탄하지 않으므로 모순이다.

4. 따름정리

모든 n차 복소 다항식은 중근까지 고려하여 n개의 근을 갖는다. 이 따름정리를 대수학의 기본정리로 부르는 경우도 있다. 복소 다항식
: $p(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \dotsb + a_0\ (a_n \neq 0, n\ge 1)$
에 대해 서로 다를 필요는 없는 복소수 $z_1, \cdots, z_n$ 이 존재하여
: $p(z) = a_n(z-z_1)(z-z_2)\dotsb(z-z_n)$
와 같이 쓸 수 있다.

만일 $z_0\,$ 가 실계수 다항식
: $p(z)=a_n z^n + a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_1 z +a_0,\,\,\,a_j \in \mathbb{R},\,\,n\ge 1,\,\,a_n\neq 0$
의 복소수 근이면 즉, $p(z_0)=0\,$ 이면 $p(\overline{z_0})=0\,$ 이다. 대수학의 기본정리에 의해 n차의 실계수 다항식은 반드시 복소수의 범위에서 n개의 근을 가져야 한다. 그런데 실계수 다항식의 근의 켤레성에 의해 (실수가 아닌) 복소수 근을 갖지 않거나, 갖는다면 짝수 개이어야 하므로 차수가 홀수인 다항식은 적어도 하나의 실근을 가져야 함을 알 수 있다.

페터 로트는 그의 저서 산술 철학(Arithmetica Philosophica)에서 (실수 계수를 갖는) n차 다항식 방정식이 n개의 해를 가질 수 있다고 썼다. 알베르 지라르는 1629년에 출판된 그의 저서 대수학의 새로운 발명(L'invention nouvelle en l'Algèbre)에서 n차 다항식 방정식은 n개의 해를 갖는다고 주장했지만, 그 해가 실수여야 한다고 명시하지는 않았다. 예를 들어, 그는 $x^4 = 4x-3,$ 라는 방정식은 불완전하지만, 1 (두 번), $-1+i\sqrt{2},$ 및 $-1-i\sqrt{2}.$ 의 네 개의 해(중복도 포함)를 갖는다는 것을 보여주었다.

실수 계수를 갖는 모든 비상수 다항식은 차수가 1 또는 2인 실수 계수를 갖는 다항식의 곱으로 표현될 수 있다. 그러나 1702년 라이프니츠는 $x^4 + a^4$ 형태의 다항식(a가 0이 아닌 실수)은 그러한 방식으로 표현될 수 없다고 잘못 말했다. 이후 니콜라우스 베르누이는 다항식 $x^4 - 4x^3 + 2x^2 + 4x + 4$ 에 대해 같은 주장을 했지만, 1742년 오일러로부터 이 다항식이
: $\left (x^2-(2+\alpha)x+1+\sqrt{7}+\alpha \right ) \left (x^2-(2-\alpha)x+1+\sqrt{7}-\alpha \right ),$
와 같다는 내용의 편지를 받았다. 여기서 $\alpha = \sqrt{4+2\sqrt{7}}.$ 이다. 또한 오일러는
: $x^4+a^4= \left (x^2+a\sqrt{2}\cdot x+a^2 \right ) \left (x^2-a\sqrt{2}\cdot x+a^2 \right ).$
임을 지적했다.

정리에는 다음과 같은 동치 명제들이 있다.

* 실수 계수를 갖는 양의 차수의 모든 일변수 다항식은 적어도 하나의 복소수 근을 갖는다.
* 복소수 계수를 갖는 양의 차수의 모든 일변수 다항식은 적어도 하나의 복소수 근을 갖는다.
* 이는 실수가 복소수이기도 하므로 앞선 명제를 즉시 암시한다. 역은 다항식과 그 켤레 복소수(각 계수를 켤레 복소수로 대체하여 얻음)의 곱을 취함으로써 실수 계수를 갖는 다항식을 얻는다는 사실에서 비롯된다.
* 복소수 계수를 갖는 양의 차수 n의 모든 일변수 다항식은 $c(x-r_1)\cdots(x-r_n)$ 로 인수분해될 수 있으며, 여기서 $c, r_1, \ldots, r_n$ 은 복소수이다.
* n개의 복소수 $r_1, \ldots, r_n$ 은 다항식의 근이다. 근이 여러 인수에 나타나는 경우, 이는 중근이며, 그 출현 횟수는 정의에 따라 근의 중복도이다.
* 차수가 2보다 큰 실수 계수를 갖는 모든 일변수 다항식은 실수 계수를 갖는 차수 2의 인수를 갖는다.
* 양의 차수를 갖는 실수 계수를 갖는 모든 일변수 다항식은 $cp_1\cdots p_k$ 로 인수분해될 수 있으며, 여기서 c는 실수이고, 각 $p_i$ 는 실수 계수를 갖는 차수가 최대 2인 모닉 다항식이다. 또한, 차수 2의 인수는 실수 근을 갖지 않는다고 가정할 수 있다.

5. 실계수 다항식의 표현

실수체 위에서 실계수 다항식을 기약다항식들로 인수분해할 때, 기약다항식이 갖는 최대 차수는 2이다. 이는 실계수 다항식의 근이 갖는 켤레성, 즉 가 실계수 다항식의 근이면 이의 복소켤레 도 그 다항식의 근이 되는 성질 때문이다. 두 개의 복소계수 일차식의 곱은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

여기서 , 는 실수이다. 즉, 복소계수 일차식의 곱은 실계수 이차식으로 환원된다. 복소켤레 연산의 성질에 의해 다음이 성립한다.

:

:+\cdots+\overline{a_1 z_0} +\overline{a_0}}}

:}

:

6. 다항식 근의 경계

단항식(monic polynomial)의 모든 근 ζ는 |ζ| ≤ R_∞를 만족하며, R_∞ = 1 + max

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좌우로 밀어서 보기

이다. 더 일반적으로, 계수 a = (a₀, a₁, ..., a_(n-1))의 p-노름을 사용하여 |ζ| ≤ R_p로 경계를 구할 수 있다.

명칭	대수학의 기본 정리
영어 명칭	Fundamental Theorem of Algebra

내용

정리 내용	모든 복소수 계수 다항식은 복소수 범위 내에서 적어도 하나의 근을 가진다.
따름정리	차수가 n인 복소수 계수 다항식은 (중복도를 고려하면) 정확히 n개의 복소수 근을 가진다.

역사

최초 언급	피터 로스 (1608)
최초 증명 시도	장 르 롱 달랑베르 (1746)
최초 증명	카를 프리드리히 가우스 (1799, 박사 학위 논문)
대수적 증명	아르강 (1814)

증명 방법

복소해석학적 증명	리우빌 정리 사용 루셰 정리 사용 열린 사상 정리 사용
대수적 증명	실수 닫힌 체의 성질 사용