삼각 부등식

1. 개요

삼각 부등식은 기하학, 노름 벡터 공간, 거리 공간 등 다양한 수학 분야에서 사용되는 중요한 개념이다. 유클리드 기하학에서 삼각형의 한 변의 길이는 다른 두 변의 길이의 합보다 작다는 것을 의미하며, 이를 통해 절선 부등식과 고차원 단체 부등식으로 확장된다. 노름 벡터 공간에서는 두 벡터의 합의 노름이 각 벡터의 노름의 합보다 작거나 같다는 것을 나타내며, 거리 공간에서는 임의의 두 점 사이의 거리가 다른 점을 경유하는 거리의 합보다 작거나 같다는 것을 의미한다. 삼각 부등식은 코사인 유사도 계산에도 활용되며, 민코프스키 공간에서는 시간꼴 벡터의 경우 부등호가 반대로 적용되기도 한다.

2. 유클리드 기하학

유클리드는 평면 기하학에서 거리에 대한 삼각 부등식을 다음과 같이 증명했다.

삼각형 $ABC$에서 변 $\backslash overline\{BC\}$를 한 변으로 하고, 다른 한 변을 $\backslash overline\{AB\}$의 연장선 위에 같은 길이의 $\backslash overline\{BD\}$로 하는 이등변삼각형을 작도한다. 그러면 각 $\backslash beta$가 각 $\backslash alpha$보다 크므로, 변 $\backslash overline\{AD\}$는 변 $\backslash overline\{AC\}$보다 길다. 이때, $\backslash overline\{AD\}\; =\; \backslash overline\{AB\}\; +\; \backslash overline\{BD\}\; =\; \backslash overline\{AB\}\; +\; \backslash overline\{BC\}$이므로, 변 $\backslash overline\{AB\}$와 변 $\backslash overline\{BC\}$의 길이의 합은 $\backslash overline\{AC\}$의 길이보다 크다. 이 증명은 유클리드의 원론 1권 명제 20에 나타나 있다.

정삼각형의 경우, 삼각 부등식은 다음 세 부등식으로 표현된다. (단, 변의 길이 $a,\; b,\; c$는 모두 양수이며 넓이가 0인 경우는 제외)
:$a\; +\; b\; >\; c,\; \backslash quad\; b\; +\; c\; >\; a,\; \backslash quad\; c\; +\; a\; >\; b.$
이를 더 간결하게 표현하면 다음과 같다.
:
다른 표현 방식으로는
:
가 있으며, 이는
:
를 의미한다. 즉, 가장 긴 변의 길이는 반둘레보다 작다.

수학적으로 동등한 공식은 변의 길이가 $a,\; b,\; c$인 삼각형의 넓이가 0보다 큰 실수여야 한다는 것이다. 헤론의 공식에 따른 넓이는 다음과 같다.

:$$
\begin{align}
4\cdot \text{area} & =\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)} \\
& = \sqrt{-a^4-b^4-c^4+2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2}.
\end{align}


두 넓이 표현에서, 모든 변에 적용되는 삼각 부등식은 제곱근 기호 아래의 식이 실수이고 0보다 크다는 조건과 동등하다.

직각삼각형의 경우, 삼각 부등식은 빗변이 다른 두 변보다 각각 크고 그 합보다 작다는 명제로 구체화된다. 이 정리의 두 번째 부분(다른 두 변의 합보다 작다는 것)은 이미 모든 삼각형에 대해 증명되었다. 첫 번째 부분(빗변이 다른 두 변보다 각각 크다는 것)은 삼각형 공리를 이용하여 증명할 수 있다.

등차수열을 이루는 변을 가진 삼각형의 변의 길이를 $a,\; a+d,\; a+2d$라고 하면, 삼각 부등식에 의해 다음이 성립해야 한다.

:$\backslash begin\{array\}\{rcccl\}$
0 &<& a &<& 2a+3d, \\
0 &<& a+d &<& 2a+2d, \\
0 &<& a+2d &<& 2a+d.
\end{array}

이 모든 부등식을 만족하려면

:

$d$가 $d\; =\; \backslash frac\{a\}\{3\}$이 되도록 선택하면, 이는 항상 변의 길이가 $3,\; 4,\; 5$인 피타고라스 수와 닮은 직각삼각형을 생성한다.

등비수열을 이루는 변을 가진 삼각형의 변의 길이를 $a,\; ar,\; ar^2$라고 하면, 삼각 부등식에 의해 다음이 성립해야 한다.

:$\backslash begin\{array\}\{rcccl\}$
0 &<& a &<& ar+ar^2, \\
0 &<& ar &<& a+ar^2, \\
0 &<& \! ar^2 &<& a+ar.
\end{array}

$a\; >\; 0$이면, 가운데 부등식은 $r\; >\; 0$만을 요구한다. 첫 번째와 세 번째 부등식은 다음을 만족해야 한다.

:$$
\begin{align}
r^2+r-1 & {} >0 \\
r^2-r-1 & {} <0.
\end{align}


이차 방정식 $r^2\; +\; r\; -\; 1\; =\; 0$의 양의 근의 값보다 $r$이 커야 하므로, $\backslash varphi$가 황금비일 때, $r\; >\; \backslash varphi\; -\; 1$이다. 또한, $r$은 0과 이차 방정식 $r^2\; -\; r\; -\; 1\; =\; 0$의 양의 근 사이, 즉 의 범위에 있어야 한다. 따라서, $r$의 범위는 다음과 같다.
:

공비 $r$이 $r\; =\; \backslash sqrt\{\backslash varphi\}$가 되도록 선택되면, 이는 항상 케플러 삼각형과 닮은 직각삼각형을 생성한다.

삼각형의 세 변이 $x,\; y,\; z$이고 최대 변이 $z$라고 하면, 삼각 부등식은
: $z\; \backslash leq\; x+y$
가 성립함을 의미한다. 등호는 삼각형이 면적 $0$으로 퇴화할 때뿐이다.

유클리드 기하학에서 삼각 부등식은 벡터와 벡터의 길이(노름)를 사용하여
: $\backslash |\backslash mathbf\; x\; +\; \backslash mathbf\; y\backslash |\; \backslash leq\; \backslash |\backslash mathbf\; x\backslash |\; +\; \backslash |\backslash mathbf\; y\backslash |$
로 나타낼 수 있다. $x,\; y$가 실수일 때, 이를 $\backslash mathbb\{R\}^1$의 벡터로 보면 삼각 부등식은 절댓값 간의 관계를 나타낸다.

유클리드 기하학에서 직각삼각형에 대한 삼각 부등식은 피타고라스 정리의 결과이며, 일반적인 삼각형의 경우 코사인 법칙의 결과이다. 삼각 부등식은 $\backslash mathbb\{R\}^2$나 $\backslash mathbb\{R\}^3$ 공간에서 직관적으로 이해할 수 있다.

2.1. 증명

에우클레이데스는 평면 기하에서 삼각 부등식을 증명하기 위해 다음과 같은 방법을 사용했다.

* 먼저, 삼각형 ABC를 그리고 변 BC를 공유하는 이등변삼각형 BDC를 만든다. 이때, 점 D는 변 AB의 연장선 위에 위치한다.
* 이등변삼각형의 성질에 의해, 각 β^{고대 그리스어}는 각 α^{고대 그리스어}보다 크다.
* 따라서, 삼각형 ADC에서 변 AD는 변 AC보다 길다. ( > )
* 그런데, = + = + 이므로,
* 최종적으로 + > 가 성립한다.

이 증명은 에우클레이데스의 원론 제1권의 20번째 명제에 수록되어 있다. 이 증명 방법은 대한민국 중학교 2학년 수학 교육과정에서도 다루어진다.

2.2. 절선 부등식

삼각 부등식은 수학적 귀납법을 통해 임의의 절선(꺾은선)에 대한 명제로 확장될 수 있다. 즉, 꺾은선의 모든 변 길이의 합은 그 꺾은선의 두 끝점을 직선으로 연결한 길이보다 작아질 수 없다. 특히, 다각형의 어떤 변의 길이도 나머지 모든 변의 길이의 합보다 반드시 작다.

이러한 일반화를 통해 유클리드 기하학에서 두 점 사이를 연결하는 최단 곡선이 직선임을 증명할 수 있다. 두 점 사이를 연결하는 꺾은선이 그 두 점 사이를 연결하는 선분보다 짧아질 수 없다는 사실에서, 곡선의 호의 길이가 그 곡선의 양 끝점 사이의 거리보다 짧아질 수 없다는 결론을 얻을 수 있다. 곡선의 호의 길이는 그것을 근사하는 꺾은선 길이의 상한으로 정의되기 때문이다. 즉, 끝점 간을 연결하는 선분이 모든 꺾은선 근사 중에서 가장 짧으므로, 곡선의 호의 길이는 임의의 꺾은선 근사의 길이 이상이 되고, 따라서 곡선 자체가 직선 경로보다 짧아질 수 없다.

2.3. 고차원 단체 부등식

삼각 부등식은 고차원으로 일반화될 수 있다. 사면체의 삼각형 면의 면적은 다른 세 삼각형 면의 면적의 합보다 작거나 같다. 더 일반적으로, 유클리드 공간에서 n-단순체의 (n-1)-면의 초부피는 다른 n개 면들의 초부피의 합보다 작거나 같다.

어떤 경우에는 사면체 부등식이 삼각 부등식을 여러 번 적용하는 것보다 더 강력하다. 예를 들어, 삼각 부등식은 유클리드 공간에서 네 점 A, B, C, Z가 존재하여 거리가 다음과 같을 가능성을 허용하는 것으로 보인다.

: AB = BC = CA = 26
: AZ = BZ = CZ = 14

그러나 이러한 거리를 가진 점은 존재할 수 없다. 26-26-26 정삼각형 ABC의 면적은 $169\backslash sqrt\; 3$이며, 이는 26-14-14 이등변 삼각형의 면적($39\backslash sqrt\; 3$)의 세 배보다 크다([헤론의 공식]에 의해). 따라서 사면체 부등식에 의해 이러한 배치는 금지된다.

3. 노름 벡터 공간

노름 공간에서 삼각 부등식은 $\backslash |x\; +\; y\backslash |\; \backslash leq\; \backslash |x\backslash |\; +\; \backslash |y\backslash |\; \backslash quad\; (\backslash forall\; \backslash ,\; x,\; y\; \backslash in\; V)$와 같이 표현된다. 이는 두 벡터의 합의 노름이 각 벡터의 노름의 합보다 작거나 같음을 의미하며, 준가법성(또는 반가법성)이라고도 불린다. 노름으로 사용될 모든 함수는 이 요건을 만족해야 한다.

3.1. 노름 공간에서의 등호 성립 조건

노름 공간에서 삼각 부등식은 $\backslash |x\; +\; y\backslash |\; \backslash leq\; \backslash |x\backslash |\; +\; \backslash |y\backslash |\; \backslash quad\; (\backslash forall\; \backslash ,\; x,\; y\; \backslash in\; V)$와 같이 표현된다. 이는 두 벡터의 합의 노름이 각 벡터의 노름의 합보다 작거나 같음을 의미하며, 준가법성이라고도 불린다.

만약 노름 공간이 유클리드 공간이거나 강볼록 공간인 경우, $\backslash |x+y\backslash |=\backslash |x\backslash |+\backslash |y\backslash |$가 성립하기 위한 필요충분조건은 세 점 $x$, $y$, $x+y$가 형성하는 삼각형이 퇴화(degenerate)되는 경우이다. 즉, $x$, $y$가 동일한 반직선 상에 있거나, $x\; =\; 0$ 또는 $y\; =\; 0$ 또는 $x\; =\; \backslash alpha\; y$ ($\backslash alpha\; >\; 0$인 $\backslash alpha$ 존재)인 경우이다.

이러한 성질은 $L\_p$-공간 ()과 같은 강볼록 노름 공간에서 나타난다. 그러나 맨해튼 거리를 사용하는 $L\_1$-노름과 같이 이 조건이 성립하지 않는 노름 공간도 존재한다. 예를 들어, 평면에 $L\_1$-노름을 적용하고 $x\; =\; (1,\; 0)$ 및 $y\; =\; (0,\; 1)$을 선택하면, 세 점 $x$, $y$, $x+y$로 형성된 삼각형은 퇴화되지 않지만 $\backslash |x+y\backslash |=\backslash |(1,1)\backslash |=|1|+|1|=2=\backslash |x\backslash |+\backslash |y\backslash |$를 만족한다.

4. 거리 공간

거리 공간 M의 거리 함수를 d라고 하면, 삼각 부등식은 다음과 같이 표현된다.

:$d(x,z)\; \backslash le\; d(x,y)\; +\; d(y,z)\backslash quad(\backslash forall\; x,y,z\backslash in\; M)$

이는 거리 함수의 정의 요건 중 하나이다. 즉, x에서 z까지의 거리는 x에서 y까지의 거리와 y에서 z까지의 거리의 합보다 작거나 같다.

삼각 부등식은 거리 공간에서 수렴과 관련된 중요한 성질을 나타낸다. 예를 들어, 거리 공간에서 임의의 수렴 수열이 코시 열이라는 사실은 삼각 부등식의 직접적인 결과이다.

4.1. 거리 공간에서의 삼각 부등식의 의미

거리 공간에서 삼각 부등식은 수렴성과 관련된 중요한 성질을 나타낸다. 거리 함수의 다른 요건들이 비교적 단순한 반면, 삼각 부등식은 거리 공간의 구조, 특히 수렴성에 큰 영향을 미친다.

예를 들어, 거리 공간에서 모든 수렴 수열이 코시 수열이라는 사실은 삼각 부등식의 직접적인 결과이다. 임의의 ${\displaystyle \varepsilon >0}$에 대해 ${\displaystyle d(x_{n},x)<{\frac {\varepsilon }{2}}}$ 및 ${\displaystyle d(x_{m},x)<{\frac {\varepsilon }{2}}}$를 만족하는 ${\displaystyle x_{n}}$과 ${\displaystyle x_{m}}$을 선택하면 (거리 공간에서의 극한의 정의와 같이), 삼각 부등식에 의해 ${\displaystyle d(x_{n},x_{m})\leq d(x_{n},x)+d(x_{m},x)<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon }$가 성립한다. 따라서 수열 ${\displaystyle \{x_{n}\}}$은 정의에 따라 코시 수열이 된다.

이는 거리 공간에서 코시 열의 수렴성이 삼각 부등식으로부터 직접적으로 유도됨을 의미한다.

5. 역삼각 부등식

역삼각 부등식은 삼각 부등식과 반대 방향의 부등식으로, 삼각형의 한 변의 길이가 다른 두 변의 길이의 차보다 크거나 같다는 것을 의미한다. 평면 기하학에서는 "삼각형의 임의의 변은 그 외의 두 변의 차이보다 크다."라고 표현할 수 있다.

노름 공간에서는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$\backslash bigg|\backslash |x\backslash |-\backslash |y\backslash |\backslash bigg|\; \backslash leq\; \backslash |x-y\backslash |$

거리 공간에서는 다음과 같다.

:

이는 거리 함수 가 립시츠 연속 함수가 됨을 나타내며, 따라서 균등 연속 함수이기도 하다.

역삼각 부등식은 일반적인 삼각 부등식을 사용하여 다음과 같이 증명할 수 있다.

:$\backslash |x\backslash |\; =\; \backslash |(x-y)\; +\; y\backslash |\; \backslash leq\; \backslash |x-y\backslash |\; +\; \backslash |y\backslash |\; \backslash implies\; \backslash |x\backslash |\; -\; \backslash |y\backslash |\; \backslash leq\; \backslash |x-y\backslash |$
:$\backslash |y\backslash |\; =\; \backslash |(y-x)\; +\; x\backslash |\; \backslash leq\; \backslash |y-x\backslash |\; +\; \backslash |x\backslash |\; \backslash implies\; \backslash |x\backslash |\; -\; \backslash |y\backslash |\; \backslash geq\; -\backslash |x-y\backslash |$

위 식에서 $-\backslash |x-y\backslash |\; \backslash leq\; \backslash |x\backslash |-\backslash |y\backslash |\; \backslash leq\; \backslash |x-y\backslash |\; \backslash implies\; \backslash bigl|\backslash ,\backslash |x\backslash |-\backslash |y\backslash |\backslash ,\backslash bigr|\; \backslash leq\; \backslash |x-y\backslash |$ 이 성립한다.

6. 민코프스키 공간

민코프스키 공간에서 , 가 함께 미래의 광원뿔 안에 있는 시간꼴 벡터라면 삼각 부등식은 반대 방향으로 성립한다. 즉, $\backslash |x+y\backslash |\; \backslash geq\; \backslash |x\backslash |\; +\; \backslash |y\backslash |$이다.

이러한 부등식의 물리학적 예시는 특수 상대성 이론에서의 쌍둥이 역설이다. 두 벡터가 모두 과거의 광원뿔 안에 있거나, 적어도 한 쪽이 영 벡터인 경우에도 마찬가지로 역방향의 부등호가 성립한다. 이 결과는 임의의 자연수 에 대한 차원에서 성립한다.

6.1. 공간꼴 벡터의 경우

x^영어, y^영어가 모두 공간꼴 벡터인 경우에는 통상적인 삼각 부등식이 만족된다.

7. 코사인 유사도

코사인 함수를 호의 길이에 대한 삼각 부등식과 역 삼각 부등식에 적용하고 코사인의 각도 덧셈 및 뺄셈 공식을 사용하면 다음이 즉시 따른다.

:$\backslash operatorname\{sim\}(u,w)\; \backslash geq\; \backslash operatorname\{sim\}(u,v)\; \backslash cdot\; \backslash operatorname\{sim\}(v,w)\; -\; \backslash sqrt\{\backslash left(1-\backslash operatorname\{sim\}(u,v)^2\backslash right)\backslash cdot\backslash left(1-\backslash operatorname\{sim\}(v,w)^2\backslash right)\}$

그리고

:$\backslash operatorname\{sim\}(u,w)\; \backslash leq\; \backslash operatorname\{sim\}(u,v)\; \backslash cdot\; \backslash operatorname\{sim\}(v,w)\; +\; \backslash sqrt\{\backslash left(1-\backslash operatorname\{sim\}(u,v)^2\backslash right)\backslash cdot\backslash left(1-\backslash operatorname\{sim\}(v,w)^2\backslash right)\}\backslash ,.$

이러한 공식으로 각 벡터 삼중항 에 대해 제곱근을 계산해야 하며, 각 벡터 쌍 에 대해 를 계산하는 대신 검사하며, 검사하는 삼중항의 수가 검사하는 쌍의 수보다 적을 때 성능이 향상될 수 있다.