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르메트르-톨먼 계량

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목차

1. 개요

르메트르-톨먼 계량은 일반 상대성 이론에서 압력이 0인 먼지와 같은 매질의 중력장을 설명하는 구 대칭 해이다. 이 해는 동기 좌표계를 사용하여 표현되며, 시간 좌표는 고유 시간과 일치하고 모든 지점의 시계가 동기화된다. 르메트르-톨먼 계량은 두 개의 임의 함수, 즉 밀도 분포와 물질의 지름방향 속도로 설명될 수 있으며, 슈바르츠실트 해로 축소될 수 있다. 중력 붕괴는 르메트르-톨먼 계량의 중요한 특징으로, 물질의 밀도가 무한대로 증가하고 공간이 수축하는 현상을 나타낸다.

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르메트르-톨먼 계량
개요
유형정확한 해를 갖는 우주론적 모델
관련 이론일반 상대성 이론
대칭성구면 대칭
특징
설명먼지(압력이 없는 유체)로만 구성된 FLRW 우주의 일반화
방정식아인슈타인 장 방정식을 만족하는 해
역사 및 개발
개발자조르주 르메트르 (1933)
리처드 체이스 톨먼 (1934)
헤르만 본디 (일부 속성)
다른 이름르메트르 모델
르메트르-톨먼-본디 (LTB) 모델 (일반화된 경우)
세부 정보
동질성반드시 동질적이지 않음
등방성빅뱅 특이점에서는 등방적이지 않음
좌표계공변 좌표
응용우주 거대 공동 설명
우주 가속 설명 (논란 있음)
관련 주제구면 대칭 모델

2. 상세

르메트르-톨먼 계량은 압력이 없는 구형 먼지 구름의 중력적 진화를 설명하는 아인슈타인 방정식의 엄밀 해이다. 이 해는 우주론이나 별의 중력 붕괴와 같은 천체물리학적 현상을 이해하는 데 중요한 이론적 도구로 사용된다.

해를 유도하는 과정에서는 일반적으로 동기 좌표계와 공변 좌표계를 도입한다. 동기 좌표계는 모든 지점에서 시간을 동일하게 측정할 수 있는 좌표계이며(g_{00}=1, g_{0i}=0), 압력이 없는 먼지의 경우 각 먼지 입자와 함께 움직이는 공변 좌표계와 동일하게 설정할 수 있다. 이 좌표계에서 시간 좌표는 입자의 고유 시간 \tau가 된다.

이러한 좌표 설정 하에서 아인슈타인 방정식을 풀면, 시간에 따라 변하는 구면의 반경 r(\tau,R)과 공간적 거리를 나타내는 함수 \lambda(\tau,R)를 포함하는 선 요소를 얻는다. 여기서 R은 각 먼지 입자 껍질을 식별하는 라그랑지안 좌표이다. 방정식의 해는 R에만 의존하는 두 개의 임의 함수 f(R)와 F(R)에 의해 결정된다.[9][20] 함수 F(R)은 반경 R 내부의 총 질량과 직접적으로 관련되어 있으며, F(R)/2가 그 질량에 해당한다. 이는 F(R)이 해당 질량 분포의 슈바르츠실트 반지름과 같다는 것을 의미한다.[21]

반경 함수 r(\tau,R)의 시간에 따른 변화, 즉 각 먼지 껍질의 동역학은 함수 f(R)의 부호에 따라 세 가지 유형으로 나뉜다. f>0이면 쌍곡선적 팽창 또는 수축, f<0이면 타원적 팽창 후 수축(또는 그 반대), f=0이면 포물선적 팽창 또는 수축 운동을 나타낸다. 해에는 적분 상수로 나타나는 또 다른 임의 함수 \tau_0(R)가 포함되는데, 이는 각 껍질의 붕괴 시간 또는 팽창 시작 시간 등과 관련될 수 있다. 하지만 라그랑지안 좌표 R을 정의하는 방식의 자유도 때문에, 물리적으로 독립적인 초기 조건 함수는 초기 밀도 분포와 초기 속도 분포에 해당하는 두 개로 귀결된다.[10][21]

르메트르-톨먼 해의 중요한 특징 중 하나는 특정 반경 R_0 내부의 물질 분포와 운동 상태(f(R), F(R)의 형태)가 그 외부(R>R_0)의 상태와 무관하게 결정된다는 점이다. 이는 뉴턴 중력 이론에서 구각 외부의 질량이 내부 중력에 영향을 주지 않는다는 정리와 유사하다. 이러한 특성 덕분에 르메트르-톨먼 계량은 다양한 초기 조건을 가진 구형 대칭 시스템의 동역학을 연구하는 데 유용하게 활용된다.

2. 1. 동기 좌표계와 공변 좌표계

일반 상대성 이론에서 g_{00}=1이고 g_{0\alpha}=0인 조건을 만족하는 좌표계를 동기 좌표계(synchronous reference frame)라고 한다. 이 좌표계에서는 시간 좌표 x^0=t (여기서 G=c=1 단위계를 사용)가 고유 시간 \tau=\sqrt{g_{00}} x^0와 같아지며, 모든 지점의 시계를 동일하게 맞출 수 있다(동기화).

특히 압력이 0인 먼지(dust)와 같은 매질을 고려할 때, 이 매질을 구성하는 입자들은 외부 힘 없이 중력에 의해서만 움직이므로 측지선을 따라 자유롭게 운동한다. 이러한 경우, 동기 좌표계는 4-속도 u^i=dx^i/ds의 성분이 u^0=1,\,u^\alpha=0 (\alpha=1, 2, 3)이 되는 공변 좌표계(comoving coordinate system)와 동일해진다. 즉, 좌표계 자체가 먼지 입자와 함께 움직이는 것으로 볼 수 있다.

이러한 동기 및 공변 좌표계에서 장 방정식의 해는 다음과 같은 선 요소(line element)로 표현된다.[9][20]

: ds^2 = d\tau^2 - e^{\lambda(\tau,R)} dR^2 - r^2(\tau,R) (d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2)

여기서 각 변수는 다음과 같은 의미를 가진다.

  • \tau: 고유 시간
  • R: 라그랑지안 좌표. 각 먼지 입자에 고유하게 부여되는 값으로, 입자의 초기 위치 등으로 생각할 수 있다.
  • r(\tau,R): 중심으로부터의 반경. 정확히는 표면적이 4\pi r^2인 구면의 반경을 의미하며, 광도 거리와 관련된다. 시간에 따라 변하며, 어떤 입자(R)의 반경이 시간(\tau)에 따라 어떻게 변하는지를 나타낸다.
  • \lambda(\tau,R): 공간적 거리 측정과 관련된 함수.
  • \theta, \phi: 구면 좌표계의 각도 좌표.


함수 \lambda, r은 다음의 관계식을 만족한다.

:e^\lambda = \frac{r'^2}{1+f(R)}, \quad \left(\frac{\partial r}{\partial \tau}\right)^2 = f(R) + \frac{F(R)}{r}, \quad 4\pi r^2\rho = \frac{F'(R)}{2r'}

여기서 f(R)과 F(R)은 R에만 의존하는 임의의 함수이며, \rho는 물질의 밀도이다. 프라임 기호(')는 R에 대한 미분(\partial/\partial R)을 나타낸다. 물리적으로 의미 있는 해를 얻기 위해 일반적으로 1+f>0, F>0, F'>0, r'>0 조건을 가정한다. 특히 r'>0 조건은 서로 다른 R 값을 가진 물질 입자 껍질들이 서로 교차하지 않음을 의미한다. 함수 r(\tau,R)과 그 시간 미분(\partial r/\partial \tau)은 각 입자(R)의 운동 법칙과 방사 방향 속도를 결정한다.

이 해의 흥미로운 특징 중 하나는, 어떤 반경 R_0 내부(R \in [0, R_0])에서의 함수 f(R)과 F(R)의 형태가 그 바깥(R > R_0)에서의 형태와 무관하다는 점이다. 이는 특정 반경 내부의 질량 분포와 운동 상태가 그 외부의 상태에 영향을 받지 않는다는 것을 의미하며, 뉴턴 중력 이론에서의 결과와 유사하다.

반경 R=R_0인 구 내부의 총 질량 m은 다음과 같이 계산된다.

:m = 4\pi \int_0^{r(\tau,R_0)} \rho r^2 dr=4\pi \int_0^{R_0} \rho r' r^2 dR= \frac{F(R_0)}{2}

이 결과는 슈바르츠실트 계량에서의 질량과 슈바르츠실트 반지름 r_s의 관계(r_s = 2m)를 고려할 때, F(R_0)가 해당 질량 분포의 슈바르츠실트 반지름과 같음(r_s = F(R_0))을 의미한다.

함수 r(\tau,R)은 (\partial r/\partial \tau)^2 = f + F/r 방정식을 적분하여 구할 수 있다. 해는 f(R)의 부호에 따라 세 가지 형태로 나뉜다. 매개변수 \eta를 도입하여 표현하면 다음과 같다.

  • f > 0 (쌍곡선 운동):

r = \frac{F}{2f}(\cosh\eta-1), \quad \tau_0(R) -\tau = \frac{F}{2f^{3/2}}(\sinh\eta-\eta)

  • f < 0 (타원 운동):

r = \frac{F}{-2f}(1-\cosh\eta), \quad \tau_0(R) -\tau = \frac{F}{2(-f)^{3/2}}(\eta-\sinh\eta)

  • f = 0 (포물선 운동):

r = \left(\frac{9F}{4}\right)^{1/3}(\tau_0(R)-\tau)^{2/3}

여기서 \tau_0(R)은 또 다른 임의의 함수로, 적분 상수에 해당하며 각 입자 껍질(R)이 중심(r=0)으로 붕괴하는 시간 또는 팽창을 시작하는 시간 등과 관련될 수 있다.

중심 대칭인 물질 분포는 일반적으로 초기 밀도 분포와 초기 속도 분포라는 두 개의 독립적인 함수로 기술될 수 있다. 그런데 위 해에는 f(R), F(R), \tau_0(R) 세 개의 임의 함수가 나타난다. 이는 라그랑지안 좌표 R을 정의하는 방식에 아직 자유도가 남아있기 때문이다. 적절한 R 좌표 변환을 통해 세 함수 중 하나를 고정시킬 수 있으므로, 실제로는 두 개의 함수만이 물리적으로 독립적인 의미를 가진다.[10][21]

참고로, 먼지 매질의 경우 r이 오직 \tau에만 의존하고 R과는 무관한 균일 해(homogeneous solution)도 존재하지만, 이는 우주 전체의 팽창이나 수축을 나타내는 프리드만 모형과 관련되며, 유한한 크기를 가진 천체의 중력 붕괴 현상을 설명하는 데는 적합하지 않다.[11][22]

2. 2. 아인슈타인 방정식의 해

g_{00}=1이고 g_{0\alpha}=0인 동기 좌표계에서 시간 좌표 x^0=t (G=c=1로 설정)는 고유 시간 \tau=\sqrt{g_{00}} x^0이며, 모든 지점의 시계는 동기화될 수 있다. 압력이 0인 먼지와 같은 매질의 경우, 먼지 입자는 측지선을 따라 자유롭게 이동하므로 동기 좌표계는 4-속도 성분 u^i=dx^i/ds가 u^0=1,\,u^\alpha=0인 공변 좌표계이기도 하다.

장 방정식의 해는 다음과 같다.[20]

: ds^2 = d\tau^2 - e^{\lambda(\tau,R)} dR^2 - r^2(\tau,R) (d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2)

여기서 r은 반경이 r인 구의 표면적이 4\pi r^2이 된다는 의미에서 '반경' 또는 '광도 거리'이며, R은 라그랑지안 좌표로 해석된다. 1+f>0 그리고 F>0이라는 조건 하에서 다음 관계식이 성립한다.

:e^\lambda = \frac{r'^2}{1+f(R)}, \quad \left(\frac{\partial r}{\partial \tau}\right)^2 = f(R) + \frac{F(R)}{r}, \quad 4\pi r^2\rho = \frac{F'(R)}{2r'}

여기서 f(R) 및 F(R)은 임의의 함수이고, \rho는 물질의 밀도이다. 프라임 기호(')는 R에 대한 미분을 나타낸다.

또한 F'>0 그리고 r'>0라고 가정하면, 이러한 운동 중에 물질 입자가 서로 교차하는 경우가 제외된다. 각 입자에는 R 값이 주어지며, 함수 r(\tau,R)와 그 시간 미분은 각각 입자의 운동 법칙과 방사 방향 속도를 나타낸다. 이 해의 흥미로운 특징 중 하나는, f(R)과 F(R)을 R의 함수로 나타낼 때, 특정 구간 R\in [0,R_0]에서의 함수 형태가 구간 외부(R>R_0)의 함수 형태와 무관하다는 점이다. 이는 뉴턴 이론과 유사한 점이다.

R=R_0인 구 내부의 총 질량은 다음과 같이 계산된다.

: m = 4\pi \int_0^{r(\tau,R_0)} \rho r^2 dr=4\pi \int_0^{R_0} \rho r' r^2 dR= \frac{F(R_0)}{2}

이 식은 슈바르츠실트 반지름이 r_s=2m=F(R_0)임을 의미한다.

함수 r(\tau,R)은 적분을 통해 구할 수 있으며, 매개변수 \eta를 사용하여 다음과 같은 세 가지 형태의 해가 가능하다.

: f > 0:~~~~~~~~ r = \frac{F}{2f}(\cosh\eta-1), \quad \tau_0 -\tau = \frac{F}{2f^{3/2}}(\sinh\eta-\eta),

: f < 0:~~~~~~~~ r = \frac{F}{-2f}(1-\cosh\eta), \quad \tau_0 -\tau = \frac{F}{2(-f)^{3/2}}(\eta-\sinh\eta)

: f = 0:~~~~~~~~ r = \left(\frac{9F}{4}\right)^{1/3}(\tau_0-\tau)^{2/3}



여기서 \tau_0(R)는 또 다른 임의의 함수로 나타난다. 그러나 중심 대칭의 물질 분포는 최대 두 개의 함수, 즉 밀도 분포와 물질의 방사 방향 속도로 설명될 수 있다. 이는 세 함수 f, F, \tau_0 중에서 두 개만이 독립적이라는 것을 의미한다. 라그랑지 좌표 R은 임의의 변환이 가능하므로, 실제로는 두 개의 함수만이 임의성을 가진다.[21] 먼지와 같은 매질의 경우, r=r(\tau)이고 R과 독립적인 또 다른 해도 존재하지만, 이러한 해는 유한한 질량을 가진 물체의 붕괴에는 해당하지 않는다.[22]

2. 3. 해의 물리적 의미

g_{00}=1이고 g_{0\alpha}=0인 동기 좌표계에서 시간 좌표 x^0=t (G=c=1로 설정)는 고유 시간 \tau=\sqrt{g_{00}} x^0이 되며, 모든 지점의 시계는 동기화될 수 있다. 압력이 0인 먼지와 같은 매질의 경우, 먼지 입자는 측지선을 따라 자유롭게 움직이므로 동기 좌표계는 4-속도 u^i=dx^i/ds의 성분이 u^0=1,\,u^\alpha=0인 공변 좌표계이기도 하다.

장 방정식의 해는 다음과 같이 주어진다.[20][9]

: ds^2 = d\tau^2 - e^{\lambda(\tau,R)} dR^2 - r^2(\tau,R) (d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2)

여기서 r은 반경이 r인 구의 표면적이 4\pi r^2이 된다는 의미에서 '반경' 또는 '광도 거리'이며, R은 라그랑지 좌표로 해석된다. 다음 관계식들이 성립한다.

:e^\lambda = \frac{r'^2}{1+f(R)}, \quad \left(\frac{\partial r}{\partial \tau}\right)^2 = f(R) + \frac{F(R)}{r}, \quad 4\pi r^2\rho = \frac{F'(R)}{2r'}

이때 1+f>0, F>0 이라는 조건이 필요하며, f(R)과 F(R)은 임의의 함수이고, \rho는 물질의 밀도이다. 프라임 기호(')는 R에 대한 미분을 나타낸다. 또한 F'>0과 r'>0을 가정하면, 물질 입자들이 운동 중에 서로 교차하는 경우를 배제할 수 있다. 각 입자에는 고유한 R 값이 부여되며, 함수 r(\tau,R)과 그 시간 미분은 각각 입자의 운동 법칙과 방사 방향 속도를 나타낸다.

이 해의 흥미로운 특징은 함수 f(R)과 F(R)의 형태가 특정 반경 R_0 내부(R\in [0,R_0])와 외부(R>R_0)에서 서로 독립적이라는 점이다. 이는 뉴턴 역학의 예측과 유사한 점이다.

반경 R=R_0인 구 내부의 총 질량 m은 다음과 같이 계산된다.

:m = 4\pi \int_0^{r(\tau,R_0)} \rho r^2 dr=4\pi \int_0^{R_0} \rho r' r^2 dR= \frac{F(R_0)}{2}

이는 슈바르츠실트 반지름 r_s가 r_s=2m=F(R_0)로 주어진다는 것을 의미한다.

함수 r(\tau,R)은 적분을 통해 구할 수 있으며, 매개변수 \eta를 사용하여 다음과 같은 세 가지 형태의 해가 가능하다.

: f > 0:~~~~~~~~ r = \frac{F}{2f}(\cosh\eta-1), \quad \tau_0 -\tau = \frac{F}{2f^{3/2}}(\sinh\eta-\eta)

: f < 0:~~~~~~~~ r = \frac{F}{-2f}(1-\cosh\eta), \quad \tau_0 -\tau = \frac{F}{2(-f)^{3/2}}(\eta-\sinh\eta)

: f = 0:~~~~~~~~ r = \left(\frac{9F}{4}\right)^{1/3}(\tau_0-\tau)^{2/3}

여기서 \tau_0(R)은 또 다른 임의의 함수이다. 그러나 중심 대칭을 이루는 물질 분포는 최대 두 개의 함수, 즉 밀도 분포와 물질의 방사 방향 속도로 기술될 수 있다. 이는 세 함수 f, F, \tau_0 중에서 두 개만이 독립적이라는 것을 의미한다. 라그랑지 좌표 R은 임의의 변환이 가능하므로, 실제로 두 개의 함수만 임의로 선택될 수 있다.[21][10] 먼지와 같은 매질의 경우, r=r(\tau)이고 R과 독립적인 또 다른 해가 존재하지만, 이는 유한한 질량을 가진 물체의 붕괴 현상에는 해당하지 않는다.[22][11]

3. 슈바르츠실트 해

르메트르-톨먼 계량에서 함수 F가 상수 r_s가 되는 경우, 즉 F=r_s= const. 이면, 질량-에너지 밀도 \rho=0이 된다. 이는 중앙에 점 질량이 있고 그 외에는 비어 있는 공간에 해당하는 해를 의미한다. 여기에 추가적으로 f=0과 \tau_0=R이라는 조건을 적용하면, 이 해는 르메트르 좌표계로 표현된 슈바르츠실트 해로 환원된다. 따라서 슈바르츠실트 해는 르메트르-톨먼 계량의 특수한 경우로 볼 수 있다.

4. 중력 붕괴

중력 붕괴는 고유 시간 \tau가 특정 함수 \tau_0(R)에 도달할 때 발생하며, 이 함수는 라그랑주 좌표 R에 의존하고 그 미분 \tau_0'는 0보다 크다(\tau_0'>0). \tau = \tau_0(R)인 순간은 라그랑주 좌표 R로 표시되는 물질 껍질이 중심 특이점에 도달하는 시점을 의미한다.

시간 \tau가 붕괴 시간 \tau_0(R)에 가까워질 때(\tau \rightarrow \tau_0(R)), 계량의 점근적 거동은 일반적으로 다음과 같이 주어진다.

:r \approx \left(\frac{9F}{4}\right)^{1/3}(\tau_0-\tau)^{2/3}

:e^{\lambda/2} \approx \left(\frac{2F}{3}\right)^{1/3} \frac{\tau_0'}{\sqrt{1+f}} (\tau_0-\tau)^{-1/3}

:4\pi \rho \approx \frac{F'}{3F\tau_0'(\tau_0-\tau)}

여기서 r은 동반 거리이고, e^{\lambda/2}는 방사 방향의 공간적 거리 척도와 관련되며, \rho는 물질의 밀도이다. F(R)와 f(R)는 르메트르-톨먼 계량의 해를 결정하는 임의의 함수이다. 첫 번째와 두 번째 관계식은 붕괴 시점에 가까워짐에 따라, 동반 좌표계에서 방사 방향 거리(e^{\lambda/2} 관련)는 (\tau_0-\tau)^{-1/3}에 비례하여 무한대로 발산하는 경향을 보이는 반면, 접선 방향 거리(r 관련)는 (\tau_0-\tau)^{2/3}에 비례하여 0으로 수렴한다는 것을 보여준다. 세 번째 관계식은 물질 밀도 \rho가 (\tau_0-\tau)^{-1}에 비례하여 증가함을 나타낸다.

모든 물질 입자가 동시에 중심 특이점에 도달하는 특별한 경우, 즉 붕괴 시간 함수 \tau_0(R)가 상수(\tau_0(R) = \text{상수}, 따라서 \tau_0'=0)인 경우에는 점근적 거동이 달라진다.

:r \approx \left(\frac{9F}{3}\right)^{1/3}(\tau_0-\tau)^{2/3}

:e^{\lambda/2} \approx \left(\frac{2}{3}\right)^{1/3} \frac{F'}{2F^{2/3}\sqrt{1+f}} (\tau_0-\tau)^{2/3}

:4\pi \rho \approx \frac{2}{3(\tau_0-\tau)^2}

이 특수한 경우, 접선 방향 거리(r)와 방사 방향 거리(e^{\lambda/2}) 모두 (\tau_0-\tau)^{2/3}에 비례하여 0으로 수렴한다. 반면, 물질 밀도 \rho는 (\tau_0-\tau)^{-2}에 비례하여 일반적인 경우보다 더 빠르게 증가한다. 이는 모든 물질이 동시에 붕괴할 때 더 강한 특이점이 형성됨을 시사한다.

참조

[1] 논문 Effect of Inhomogeneity on Cosmological Models National Academy of Sciences of the USA 1934
[2] 서적 Inhomogeneous cosmological models Cambridge University Press
[3] 논문 The Local Perspective on the Hubble Tension: Local Structure Does Not Impact Measurement of the Hubble Constant 2019-04-20
[4] 논문 Do the observational data favor a local void? 2021-06-22
[5] 논문 Exploring the evidence for a large local void with supernovae Ia data 2019-11-04
[6] 논문 Fractal universe and cosmic acceleration in a Lemaître–Tolman–Bondi scenario 2019-02-21
[7] 논문 l'Universe en expansion
[8] 논문 Spherically symmetrical models in general relativity 1947
[9] 서적 The classical theory of fields Elsevier Butterworth Heinemann 2010
[10] 서적 Stars and relativity Dover Publications 1996
[11] 논문 Spherically symmetric T-models in the general theory of relativity http://jetp.ras.ru/c[...] 1969
[12] 논문 Effect of Inhomogeneity on Cosmological Models National Academy of Sciences of the USA 1934
[13] 서적 "''Inhomogeneous Cosmological Models''" Cambridge University Press
[14] 논문 The Local Perspective on the Hubble Tension: Local Structure Does Not Impact Measurement of the Hubble Constant 2019-04-24
[15] 논문 Do the observational data favor a local void? 2021-06-22
[16] 논문 Exploring the evidence for a large local void with supernovae Ia data 2019-11-04
[17] 논문 Fractal universe and cosmic acceleration in a Lemaître–Tolman–Bondi scenario 2019-01-28
[18] 논문 l'Universe en expansion
[19] 논문 Spherically symmetrical models in general relativity 1947
[20] 서적 The classical theory of fields Elsevier 2013
[21] 서적 Stars and relativity Courier Corporation 2014
[22] 논문 Spherically symmetric T-models in the general theory of relativity 1969


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