이면각

2.1. 평면의 방정식으로 계산

직교 좌표계에서 두 평면의 방정식을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$a\_1\; x\; +\; b\_1\; y\; +\; c\_1\; z\; +\; d\_1\; =\; 0$
:$a\_2\; x\; +\; b\_2\; y\; +\; c\_2\; z\; +\; d\_2\; =\; 0$

이때 두 평면 사이의 이면각 φ는 다음과 같이 계산된다.

:$\backslash cos\; \backslash varphi\; =\; \backslash frac\{a\_1\; a\_2\; +\; b\_1\; b\_2\; +\; c\_1\; c\_2\}\{\backslash sqrt\{a\_1^2+b\_1^2+c\_1^2\}\backslash sqrt\{a\_2^2+b\_2^2+c\_2^2\}\}.$

또는, n_A와 n_B가 평면에 대한 법선 벡터라면, 다음이 성립한다.

:$\backslash cos\; \backslash varphi\; =\; \backslash frac\{\; \backslash left\backslash vert\backslash mathbf\{n\}\_\backslash mathrm\{A\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{n\}\_\backslash mathrm\{B\}\backslash right\backslash vert\}$

2.2. 법선 벡터로 계산

직교 좌표계에서 두 평면의 방정식을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$a\_1\; x\; +\; b\_1\; y\; +\; c\_1\; z\; +\; d\_1\; =\; 0$
:$a\_2\; x\; +\; b\_2\; y\; +\; c\_2\; z\; +\; d\_2\; =\; 0$

이때 두 평면 사이의 이면각 $\backslash varphi$는 다음과 같이 주어진다.

:$\backslash cos\; \backslash varphi\; =\; \backslash frac\{\backslash left\backslash vert\; a\_1\; a\_2\; +\; b\_1\; b\_2\; +\; c\_1\; c\_2\; \backslash right\backslash vert\}\{\backslash sqrt\{a\_1^2+b\_1^2+c\_1^2\}\backslash sqrt\{a\_2^2+b\_2^2+c\_2^2\}\}$

그리고 $0\backslash le\; \backslash varphi\; \backslash le\; \backslash pi/2.$를 만족한다. 이 각도는 $d\_1$과 $d\_2$에 무관하다.

만약 $\backslash mathbf\{n\}\_\backslash mathrm\{A\}$와 $\backslash mathbf\{n\}\_\backslash mathrm\{B\}$가 각 평면의 법선 벡터라면, 다음이 성립한다.

:$\backslash cos\; \backslash varphi\; =\; \backslash frac\{\; \backslash left\backslash vert\backslash mathbf\{n\}\_\backslash mathrm\{A\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{n\}\_\backslash mathrm\{B\}\backslash right\backslash vert\}$

2.3. 반평면으로 계산

직교 좌표계에서 평면의 방정식을 다음과 같이 두면
:$a\_1\; x\; +\; b\_1\; y\; +\; c\_1\; z\; +\; d\_1\; =\; 0$
:$a\_2\; x\; +\; b\_2\; y\; +\; c\_2\; z\; +\; d\_2\; =\; 0$
이면각 φ는 다음과 같다.
:$\backslash cos\; \backslash varphi\; =\; \backslash frac\{a\_1\; a\_2\; +\; b\_1\; b\_2\; +\; c\_1\; c\_2\}\{\backslash sqrt\{a\_1^2+b\_1^2+c\_1^2\}\backslash sqrt\{a\_2^2+b\_2^2+c\_2^2\}\}.$

두 평면이 위와 같은 두 개의 방정식으로 표현될 때, 이들 사이의 이면각 $\backslash varphi$는 다음과 같이 주어진다.
:$\backslash cos\; \backslash varphi\; =\; \backslash frac\{\backslash left\backslash vert\; a\_1\; a\_2\; +\; b\_1\; b\_2\; +\; c\_1\; c\_2\; \backslash right\backslash vert\}\{\backslash sqrt\{a\_1^2+b\_1^2+c\_1^2\}\backslash sqrt\{a\_2^2+b\_2^2+c\_2^2\}\}$
그리고 $0\backslash le\; \backslash varphi\; \backslash le\; \backslash pi/2.$를 만족한다. 이 각도는 $d\_1$과 $d\_2$에 무관하다.

만약 $\backslash mathbf\{n\}\_\backslash mathrm\{A\}$와 $\backslash mathbf\{n\}\_\backslash mathrm\{B\}$가 평면에 대한 법선 벡터라면, 다음이 성립한다.
:$\backslash cos\; \backslash varphi\; =\; \backslash frac\{\; \backslash left\backslash vert\backslash mathbf\{n\}\_\backslash mathrm\{A\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{n\}\_\backslash mathrm\{B\}\backslash right\backslash vert\}$

3. 과학에서의 활용

입체화학에서 세 원자가 이루는 면끼리의 이면각을 이용해 분자의 구조를 나타낸다. 단백질 구조를 나타내는 도표를 라마찬드란 조사구라고 한다.

화학에서 이면각은 두 개의 원자를 공유하는 두 쌍의 3개 원자를 지나는 면 사이의 각도이다. 입체화학에서 비틀림각은 화학 결합에 의해 연결된 분자의 두 부분의 기하학적 관계를 정의하는 이면각의 특별한 예시로, 분자의 배열을 나타내는 데 사용된다.

모서리 추이 다면체의 모든 이면각은 동일한 값을 갖는다. 여기에는 5개의 정다면체, 13개의 카탈랑의 다면체, 4개의 케플러-푸앵소 다면체, 두 개의 준정다면체, 그리고 두 개의 준정 이중 다면체가 포함된다.

3.1. 고분자 물리학

고분자 물리학에서 이면각은 점들의 사슬과 연속적인 점들 사이의 연결을 통해 정의된다. 점들이 순차적으로 번호가 매겨지고 위치 r₁, r₂, r₃ 등에 위치해 있다면, 결합 벡터는 u₁ = r₂ − r₁, u₂ = r₃ − r₂, 및 더 일반적으로 u_i = r_i+1 − r_i로 정의된다. 이는 운동 사슬 또는 단백질 구조 내의 아미노산의 경우이다.

이러한 경우, 연속적인 세 점에 의해 정의된 반평면과 이러한 연속적인 반평면 사이의 이면각에 관심이 있다. 만약 u₁, u₂, u₃가 세 개의 연속적인 결합 벡터라면, 반평면의 교차는 방향이 지정되어 (−π, π] 구간에 속하는 이면각을 정의할 수 있다. 이 이면각은 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash begin\{align\}$
\cos \varphi&=\frac{ (\mathbf{u}_1 \times \mathbf{u}_2) \cdot (\mathbf{u}_2 \times \mathbf{u}_3)}

3.2. 화학 (입체화학)

입체화학에서 비틀림각은 화학 결합으로 연결된 분자의 두 부분 간의 기하학적 관계를 설명하는 이면각의 특별한 예시이다. 분자 내의 세 개의 비공선 원자 집합은 각각 하나의 평면을 정의한다. 이면각은 두 평면 사이의 각도로, 분자의 배열을 나타내는 데 사용된다.

이면각에 따른 입체화학적 배열은 다음과 같이 분류된다.

* syn (s): 0°에서 ±90° 사이
* anti (a): ±90°에서 180° 사이
* clinal (c): 30°에서 150° 사이 또는 −30°에서 −150° 사이
* periplanar (p): 0°에서 ±30° 사이 또는 ±150°에서 180° 사이

이 용어들을 조합하여 각도 범위를 더 세분화할 수 있다.

* synperiplanar (sp): 0° ~ ±30° (syn- 또는 cis-배열)
* synclinal (sc): 30° ~ 90° 및 −30° ~ −90° (gauche 또는 skew 배열)
* anticlinal (ac): 90° ~ 150° 및 −90° ~ −150°
* antiperiplanar (ap): ±150° ~ 180° (anti 또는 trans 배열)

예를 들어, n-부탄의 경우, 두 개의 중심 탄소 원자와 각 메틸기의 탄소 원자를 기준으로 두 평면을 정의할 수 있다. 아래 그림에서 볼 수 있듯이, syn-배열은 이면각이 60°이고, anti-배열은 180°로 syn-배열보다 더 안정적이다.