제곱근 2

1. 개요

제곱근 2는 2의 제곱근으로, 기호는 √2로 표기하며, 약 1.4142135623730950488...로 나타낼 수 있는 무리수이다. 바빌로니아 점토판, 고대 인도 수학책 등에서 근삿값이 사용되었으며, 피타고라스 학파에 의해 무리수임이 밝혀졌다. 에우클레이데스는 귀류법을 사용하여 제곱근 2가 무리수임을 증명했다. 제곱근 2는 연분수, 다양한 알고리즘으로 계산할 수 있으며, 건축, 종이 규격, 음악, 사진, 뇌 과학 등 다양한 분야에서 응용된다.

2. 역사

고대 인도의 수학책인 《술바수트라》(기원전 800년경 ~ 200년경)에서는 2의 제곱근의 근삿값을 다음과 같이 계산하고 있다.
:$1\; +\; \backslash frac\{1\}\{3\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{3\; \backslash cdot\; 4\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{3\; \backslash cdot4\; \backslash cdot\; 34\}\; =\; \backslash frac\{577\}\{408\}\; \backslash approx\; 1.414215686.$

직각삼각형에서 빗변의 길이를 Z, 다른 변의 길이를 각각 X, Y라 하면 피타고라스 정리에 따라
:$X^2\; +\; Y^2\; =\; Z^2$
이고, 따라서
:$Z\; =\; \backslash sqrt\{X^2\; +\; Y^2\}$
가 된다. 왼쪽 그림과 같이 빗변이 아닌 두 변의 길이가 1인 직각삼각형의 빗변의 길이는 다음과 같이 계산할 수 있다.
: $Z\; =\; \backslash sqrt\{X^2\; +\; Y^2\}\; =\; \backslash sqrt\{1^2\; +\; 1^2\}\; =\; \backslash sqrt\{2\}$

고대 그리스의 피타고라스 학파인 히파소스는 이 계산에서 나타나는 2의 제곱근을 기약분수로 나타낼 수 없다는 사실을 발견하였다. 그런데 피타고라스 학파에서는 자연수와 이의 비로 나타낼 수 있는 기약분수, 즉 유리수만을 진정한 수로 취급하였기 때문에 무리수의 존재를 인정하는 것은 금기였다. 히파소스는 무리수의 존재를 세상에 알렸다는 이유로 이단으로 취급받았으며, 일설에 의하면 피타고라스 학파에 의해 죽임을 당하였다고 한다.

헬레니즘 시기 알렉산드리아의 수학자 에우클레이데스(유클리드)는 2의 제곱근이 무리수라는 것을 증명하였다.

제곱근 2는 때때로 피타고라스의 수 또는 피타고라스의 상수라고 불린다.

$\backslash sqrt\{2\}$의 소수점 이하 98자리는 다음과 같다。
: $\backslash sqrt\{2\}$ = 1.414213 562373 095048 801688 724209 698078 569671 875376 948073 176679 737990 732478 462107 038850 387534 327641 57…

위의 처음 몇 자리는 말장난으로 "하룻밤 하룻밤에 사람을 보기 좋다(히토 요 히토 요 니 히토 미 고로)" 등과 같이 기억하는 방법이 종종 사용된다.

3. 성질

그런데 피타고라스 학파에서는 자연수와 이의 비로 나타낼 수 있는 기약분수, 즉 유리수 만을 진정한 수로 취급하였기 때문에 무리수의 존재를 인정하는 것은 금기였다. 히파소스는 무리수의 존재를 세상에 알렸다는 이유로 이단으로 취급받았으며, 일설에 의하면 피타고라스 학파에 의해 죽임을 당하였다고 한다. 무리수라는 이름은 피타고라스 학파의 수에 대한 이러한 가치관이 반영된 것이다.

헬레니즘 시기 알렉산드리아의 수학자 에우클레이데스(유클리드)는 2의 제곱근이 무리수라는 것을 증명하였다.
다음과 같은 연분수를 사용하여도 2의 제곱근을 계산할 수 있다.
:$\backslash sqrt\{2\}\; =\; 1\; +\; \backslash cfrac\{1\}\{2\; +\; \backslash cfrac\{1\}\{2\; +\; \backslash cfrac\{1\}\{2\; +\; \backslash cfrac\{1\}\{2\; +\; \{\}\backslash ddots\}\}\}\}$

위 연분수는 아래와 같은 방식으로 전개된 것이다.
:$\backslash sqrt\{2\}\; =\; 1\; +\; \backslash sqrt\{2\}\; -\; 1$
::$=\; 1\; +\; (\backslash sqrt\{2\}\; -\; 1)\; \backslash cdot\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{2\}\; +\; 1\}\{\backslash sqrt\{2\}\; +\; 1\}\; =\; 1\; +\; \backslash frac\{2-1\}\{\backslash sqrt\{2\}\; +\; 1\}\; =\; 1\; +\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\}\; +\; 1\}$
::$=\; 1\; +\; \backslash frac\{1\}\{1\; +\; \backslash sqrt\{2\}\; \}\; =\; 1\; +\; \backslash frac\{1\}\{1+\; 1\; +\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\}\; +\; 1\}\; \}\; =\; 1\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\; +\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\}\; +\; 1\}\; \}$
::$=\; 1\; +\; \backslash cfrac\{1\}\{2\; +\; \backslash cfrac\{1\}\{2\; +\; \backslash cfrac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\}\; +\; 1\}\; \}\}$
::$=\; 1\; +\; \backslash cfrac\{1\}\{2\; +\; \backslash cfrac\{1\}\{2\; +\; \backslash cfrac\{1\}\{2\; +\; \backslash cfrac\{1\}\{2\; +\; \{\}\backslash ddots\}\}\}\}.$

일반적으로 무리수는 순환되는 연분수로 표현될 수 있다.

바빌로니아의 점토판 YBC 7289(기원전 1800년경 – 1600년경)는 $\backslash sqrt\{2\}$를 4자리 육십진법으로 근사한 값을 제공하는데, 이는 약 6자리의 십진법 숫자에 정확하며, $\backslash sqrt\{2\}$의 가능한 세 자리 육십진법 표현 중 가장 근접한 것으로, 오차율은 –0.000042%에 불과하다.
:$1\; +\; \backslash frac\{24\}\{60\}\; +\; \backslash frac\{51\}\{60^2\}\; +\; \backslash frac\{10\}\{60^3\}\; =\; \backslash frac\{305470\}\{216000\}\; =\; 1.41421\backslash overline\{296\}.$

또 다른 초기 근사값은 고대 인도 수학 텍스트인 술바수트라(기원전 800년경 – 200년경)에서 다음과 같이 제공된다. "변의 길이를 3분의 1만큼 늘리고, 이 3분의 1을 다시 그 4분의 1만큼 늘린 다음, 그 4분의 1의 34분의 1을 뺀다." 즉,
:$1\; +\; \backslash frac\{1\}\{3\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{3\; \backslash times\; 4\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{3\; \backslash times4\; \backslash times\; 34\}\; =\; \backslash frac\{577\}\{408\}\; =\; 1.41421\backslash overline\{56862745098039\}.$

이 근사값은 $\backslash sqrt\{2\}$의 실제 값에서 약 +0.07% 벗어나며, $\backslash sqrt\{2\}$의 연분수 전개를 기반으로 하는 펠 수의 수열을 기반으로 하는 일련의 점점 더 정확한 근사값 중 일곱 번째 값이다. 분모가 더 작음에도 불구하고 바빌로니아 근사값보다 약간 덜 정확하다.

피타고라스 학파는 정사각형의 대각선이 그 변과 통약 불가능하다는 것을 발견했는데, 이는 현대 언어로 말하면 제곱근 2가 무리수라는 것이다. 이 발견의 시기나 상황에 대해서는 확실히 알려진 바가 거의 없지만, 메타폰툼의 히파소스의 이름이 종종 언급된다. 한동안, 피타고라스 학파는 제곱근 2가 무리수라는 발견을 공식적인 비밀로 취급했고, 전설에 따르면 히파소스는 그것을 누설했다는 이유로 살해당했지만, 이는 전통적인 역사학적 관행에서 실질적인 증거가 거의 또는 전혀 없다. 제곱근 2는 때때로 피타고라스의 수 또는 피타고라스의 상수라고 불린다.

간단한 유리수 근사 99/70 (≈ 1.4142857)이 가끔 사용된다. 분모가 70에 불과함에도 불구하고, 정확한 값과 1/10,000 (약 0.72e-4) 미만의 차이를 보인다.

그 다음 두 개의 더 나은 유리수 근사는 140/99 (≈ 1.4141414...)로 오차가 약간 더 작고 (약 -0.72e-4), 239/169 (≈ 1.4142012)로 오차가 약 -0.12e-4이다.

1에서 시작하여 바빌로니아 방법의 네 번의 반복으로 얻은 제곱근 2의 유리수 근사 (665,857/470,832)는 약 1.6e-12만큼 크다. 그 제곱은 ≈2.0000000000045이다.

제곱근 2의 곱셈 역원 (역수)는 널리 사용되는 수학 상수이며, 소수 값은 다음과 같다:

:0.70710 67811 86547 52440 08443 62104 84903 92848 35937 68847...

이는 45° 각도를 이루는 단위 벡터가 평면의 축과 좌표를 가지기 때문에 기하학 및 삼각법에서 자주 사용된다.
:$\backslash left(\backslash frac\{\backslash sqrt\{2\}\}\{2\},\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{2\}\}\{2\}\backslash right)\backslash !.$
각 좌표는 다음을 만족한다.
:$\backslash frac\{\backslash sqrt\{2\}\}\{2\}\; =\; \backslash sqrt\{\backslash tfrac\{1\}\{2\}\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\}\}\; =\; \backslash sin\; 45^\backslash circ\; =\; \backslash cos\; 45^\backslash circ.$

$\backslash sqrt\{2\}$의 한 가지 흥미로운 속성은 다음과 같다.
:$\backslash !\backslash \; \{1\; \backslash over\; \{\backslash sqrt\{2\}\; -\; 1\}\}\; =\; \backslash sqrt\{2\}\; +\; 1$
이유는 다음과 같다.
:$\backslash left(\backslash sqrt\{2\}+1\backslash right)\backslash !\backslash left(\backslash sqrt\{2\}-1\backslash right)\; =\; 2-1\; =\; 1.$
이것은 은비의 속성과 관련이 있다.

$\backslash sqrt\{2\}$는 또한 허수 단위 i의 복사본을 사용하여 제곱근과 산술 연산만 사용하여 표현할 수 있다. 단, 제곱근 기호는 복소수 i 및 -i에 적절하게 해석된다.
:$\backslash frac\{\backslash sqrt\{i\}+i\; \backslash sqrt\{i\}\}\{i\}\backslash text\{\; and\; \}\backslash frac\{\backslash sqrt\{-i\}-i\; \backslash sqrt\{-i\}\}\{-i\}$

$\backslash sqrt\{2\}$는 1 외에도 무한 테트레이션(즉, 무한 지수 탑)이 자신의 제곱과 같은 유일한 실수이다. 즉, c > 1에 대해 x₁ = c 및 x_n+1 = c^x_n, n > 1에 대해 n → ∞일 때 x_n의 극한은 (이 극한이 존재한다면) f(c)라고 한다. 그런 다음 $\backslash sqrt\{2\}$는 f(c) = c²인 유일한 숫자 c > 1이다. 또는 기호로:

:$\backslash sqrt\{2\}^\{\backslash sqrt\{2\}^\{\backslash sqrt\{2\}^\{~\backslash cdot^\{~\backslash cdot^\{~\backslash cdot\}\}\}\}\}\; =\; 2.$

$\backslash sqrt\{2\}$는 π에 대한 비에트의 공식에 나타난다.

:$$
\frac2\pi = \sqrt\frac12 \cdot \sqrt{\frac12 + \frac12\sqrt\frac12} \cdot \sqrt{\frac12 + \frac12\sqrt{\frac12 + \frac12\sqrt\frac12}} \cdots,


이는 다음 공식과 관련이 있다.
:$\backslash pi\; =\; \backslash lim\_\{m\backslash to\backslash infty\}\; 2^\{m\}\; \backslash underbrace\{\backslash sqrt\{2-\backslash sqrt\{2+\backslash sqrt\{2+\backslash sqrt\{2+\backslash cdots+\backslash sqrt\{2\}\}\}\}\}\}\_\{m\backslash text\{\; square\; roots\}\}\backslash ,.$

유사하게 보이지만 항의 수가 유한한 $\backslash sqrt\{2\}$는 다양한 삼각 상수에 나타난다.
:$\backslash begin\{align\}$
\sin\frac{\pi}{32} &= \tfrac12\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}} &\quad
\sin\frac{3\pi}{16} &= \tfrac12\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2}}} &\quad
\sin\frac{11\pi}{32} &= \tfrac12\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2}}}} \\[6pt]
\sin\frac{\pi}{16} &= \tfrac12\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}} &\quad
\sin\frac{7\pi}{32} &= \tfrac12\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}} &\quad
\sin\frac{3\pi}{8} &= \tfrac12\sqrt{2+\sqrt{2}} \\[6pt]
\sin\frac{3\pi}{32} &= \tfrac12\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2}}}} &\quad
\sin\frac{\pi}{4} &= \tfrac12\sqrt{2} &\quad
\sin\frac{13\pi}{32} &= \tfrac12\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2}}}} \\[6pt]
\sin\frac{\pi}{8} &= \tfrac12\sqrt{2-\sqrt{2}} &\quad
\sin\frac{9\pi}{32} &= \tfrac12\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}} &\quad
\sin\frac{7\pi}{16} &= \tfrac12\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}} \\[6pt]
\sin\frac{5\pi}{32} &= \tfrac12\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2}}}} &\quad
\sin\frac{5\pi}{16} &= \tfrac12\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2}}} &\quad
\sin\frac{15\pi}{32} &= \tfrac12\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}
\end{align}

$\backslash sqrt\{2\}$가 정규수인지 여부는 알려져 있지 않으며, 이는 무리성보다 더 강력한 속성이지만, 그 이진 전개에 대한 통계적 분석은 그것이 밑수 2에 대해 정규수라는 가설과 일치한다.

다음 등식 cos(π/4) = sin(π/4) = 1/√2와 사인 및 코사인의 무한곱 표현을 통해 다음 곱을 얻을 수 있다.
:$\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\; 2\}\; =\; \backslash prod\_\{k=0\}^\backslash infty\; \backslash left(1-\backslash frac\{1\}\{(4k+2)^2\}\backslash right)\; =$
\left(1-\frac{1}{4}\right)\!\left(1-\frac{1}{36}\right)\!\left(1-\frac{1}{100}\right) \cdots
그리고
:$\backslash sqrt\{2\}\; =\; \backslash prod\_\{k=0\}^\backslash infty\backslash frac\{(4k+2)^2\}\{(4k+1)(4k+3)\}\; =$
\left(\frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 3}\right)\!\left(\frac{6 \cdot 6}{5 \cdot 7}\right)\!\left(\frac{10 \cdot 10}{9 \cdot 11}\right)\!\left(\frac{14 \cdot 14}{13 \cdot 15}\right) \cdots
또는 동등하게,
:$\backslash sqrt\{2\}\; =\; \backslash prod\_\{k=0\}^\backslash infty\backslash left(1+\backslash frac\{1\}\{4k+1\}\backslash right)\backslash left(1-\backslash frac\{1\}\{4k+3\}\backslash right)\; =$
\left(1+\frac{1}{1}\right)\!\left(1-\frac{1}{3}\right)\!\left(1+\frac{1}{5}\right)\!\left(1-\frac{1}{7}\right) \cdots.

이 수는 삼각 함수의 테일러 급수를 사용하여 표현할 수도 있다. 예를 들어, cos(π/4)의 급수는 다음과 같다.
:$\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\}\}\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{(-1)^k\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash pi\}\{4\}\backslash right)^\{2k\}\}\{(2k)!\}.$

√1 + x의 테일러 급수에 x = 1을 대입하고 이중 계승 n!!을 사용하면 다음과 같다.

:$\backslash sqrt\{2\}\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; (-1)^\{k+1\}\; \backslash frac\{(2k-3)!!\}\{(2k)!!\}\; =$
1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2\cdot4} + \frac{1\cdot3}{2\cdot4\cdot6} - \frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6\cdot8} + \cdots = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{8} + \frac{1}{16} - \frac{5}{128} + \frac{7}{256} + \cdots.

이 급수의 수렴은 오일러 변환을 사용하여 가속화할 수 있으며, 다음과 같은 결과를 얻는다.

:$\backslash sqrt\{2\}\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{(2k+1)!\}\{2^\{3k+1\}(k!)^2\; \}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; +\backslash frac\{3\}\{8\}\; +\; \backslash frac\{15\}\{64\}\; +\; \backslash frac\{35\}\{256\}\; +\; \backslash frac\{315\}\{4096\}\; +\; \backslash frac\{693\}\{16384\}\; +\; \backslash cdots.$

$\backslash sqrt\{2\}$가 BBP 형식 공식으로 표현될 수 있는지는 알려져 있지 않다. 그러나, π√2와 √2ln(1+√2)에 대한 BBP 형식 공식은 알려져 있다.

이 수는 이집트 분수의 무한 급수로 표현할 수 있으며, 분모는 피보나치 수열과 유사한 재귀 관계식 a(n) = 34a(n−1) − a(n−2), a(0) = 0, a(1) = 6의 2ⁿ번째 항으로 정의된다.

:$\backslash sqrt\{2\}=\backslash frac\{3\}\{2\}-\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{1\}\{a(2^n)\}=\backslash frac\{3\}\{2\}-\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash left(\backslash frac\{1\}\{6\}+\backslash frac\{1\}\{204\}+\backslash frac\{1\}\{235416\}+\backslash dots\; \backslash right)$

제곱근 2는 다음과 같은 연분수 표현을 갖는다.
:$\backslash sqrt2\; =\; 1\; +\; \backslash cfrac\{1\}\{2\; +\; \backslash cfrac\{1\}\{2\; +\; \backslash cfrac\{1\}\{2\; +\; \backslash cfrac1\backslash ddots\}\}\}.$

이 표현을 잘라서 형성된 수렴 p/q는 제곱근 2를 점점 더 정확하게 근사하는 분수 시퀀스를 형성하며, 이는 펠 수 (즉, 1=p² − 2q² = ±1)로 설명된다. 처음 몇 개의 수렴은 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, 577/408이며, p/q 다음 수렴은 p + 2q/p + q이다. 수렴 p/q는 $\backslash sqrt\{2\}$와 거의 정확히 1/2√2q²만큼 차이가 나며, 이는 다음에서 따른다.
:$\backslash left|\backslash sqrt2\; -\; \backslash frac\{p\}\{q\}\backslash right|\; =\; \backslash frac$

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📌 열 고정 해제

{q^2\!\left(\sqrt{2}+\frac{p}{q}\right)} = \frac{1}{q^2\!\left(\sqrt2 + \frac{p}{q}\right)} \thickapprox \frac{1}{2\sqrt{2}q^2}

다음의 중첩 제곱 표현식은 √2로 수렴한다.
:$\backslash begin\{align\}$
\sqrt{2}
&= \tfrac32 - 2 \left( \tfrac14 - \left( \tfrac14 - \bigl( \tfrac14 - \cdots \bigr)^2 \right)^2 \right)^2 \\[10mu]
&= \tfrac32 - 4 \left( \tfrac18 + \left( \tfrac18 + \bigl( \tfrac18 + \cdots \bigr)^2 \right)^2 \right)^2.
\end{align}

제곱근 2는 후술하는 바와 같이 무리수이다. 제곱근 2는 인류 역사상 극히 초기 단계에 발견되었으며, 아마도 최초로 알려진 무리수라고 생각된다. 기하학적으로는 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선 길이에 해당한다.

2의 제곱근에는 양수와 음수의 두 가지가 있다. 그 중 양수인 것을
:$\backslash sqrt\{2\}$
라고 쓰고 "루트 2"라고 읽는다。또 이 때 음의 제곱근은
:$-\backslash sqrt\{2\}$
로 표기할 수 있다。

$\backslash sqrt\{2\}$는 무리수이므로, 그 소수점 이하는 순환하지 않는다。$\backslash sqrt\{2\}$의 소수점 이하 98자리는 다음과 같다。
: $\backslash sqrt\{2\}$ = 1.414213 562373 095048 801688 724209 698078 569671 875376 948073 176679 737990 732478 462107 038850 387534 327641 57…

위의 처음 몇 자리는, 말장난으로 "하룻밤 하룻밤에 사람을 보기 좋다(히토 요 히토 요 니 히토 미 고로)" 등과 같이 기억하는 기억법이 종종 사용된다.

* $\backslash sqrt\{2\}$는 대수적 정수이다. $\backslash sqrt\{2\}$의 유리수체 $\backslash mathbb\; Q$ 위의 기약 다항식은 x² − 2이다.
* $\backslash sqrt\{2\}$의 근사값으로 99/70 (= 1.41428571…)가 있다.
**분모와 분자가 두 자리수 이내인 분수 중에서는 이것이 $\backslash sqrt\{2\}$에 가장 가깝다。
* $\backslash sqrt\{2\}$의 연분수 전개는
:$\backslash sqrt\{2\}=1+\backslash cfrac\{1\}\{2+\backslash cfrac\{1\}\{2+\backslash cfrac\{1\}\{2+\backslash cfrac\{1\}\{2+\backslash cfrac\{1\}\{2+\backslash cfrac\{1\}\{2+\backslash cfrac\{1\}\{\backslash ddots\}\}\}\}\}\}\}$
이 된다. 이것은 종종 [1; 2, 2, 2,...]로 표기된다. 연분수 전개를 도중에 끊음으로써 $\backslash sqrt\{2\}$의 근사값을 계산할 수 있다.

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📌 열 고정 해제

연분수 전개에 의한 근사

계산 횟수	근사값	오차 (%)	계산 횟수	근사값	오차 (%)
0	1	-30	7	1.414216	1.50e-4
1	1.5	6.1	8	1.4142132	-2.58e-5
2	1.4	-1.0	9	1.4142136	4.42e-6
3	1.42	0.17	10	1.41421355	-7.59e-7
4	1.4138	-0.03	11	1.414213564	1.30e-7
5	1.41429	5.10e-3	12	1.4142135621	-2.23e-8
6	1.41420	-8.75e-4	13	1.41421356243	3.83e-9

4. 무리수 증명

5. 계산

제곱근 2를 구하기 위한 여러 방법이 있다.

* 바빌로니아 방법: 많은 컴퓨터와 계산기에서 기본으로 사용되는 알고리즘이다.
::$a\_\{n+1\}\; =\; \backslash frac\{a\_n\; +\; \backslash frac\{2\}\{a\_n\}\}\{2\}=\backslash frac\{a\_n\}\{2\}+\backslash frac\{1\}\{a\_n\}$ (단, a₀ > 0 )
::위의 식에 a₀ = 1 을 대입하고 알고리즘을 실행하면 다음과 같은 결과가 나온다. 순환을 반복할수록 더 정확한 근삿값을 얻는다.
::* 3/2 = 1.5
::* 17/12 = 1.416...
::* 577/408 = 1.414215...
::* 665857/470832 = 1.4142135623746...
* 연분수를 이용하는 방법
::$\backslash sqrt\{2\}\; =\; 1\; +\; \backslash cfrac\{1\}\{2\; +\; \backslash cfrac\{1\}\{2\; +\; \backslash cfrac\{1\}\{2\; +\; \backslash cfrac\{1\}\{2\; +\; \{\}\backslash ddots\}\}\}\}$
* 바빌로니아의 점토판 YBC 7289(기원전 1800년경–1600년경)는 $\backslash sqrt\{2\}$를 4자리 육십진법으로 근사한 값을 제공하는데, 이는 약 6자리의 십진법 숫자에 정확하며, 오차율은 –0.000042%에 불과하다.
::$1\; +\; \backslash frac\{24\}\{60\}\; +\; \backslash frac\{51\}\{60^2\}\; +\; \backslash frac\{10\}\{60^3\}\; =\; \backslash frac\{305470\}\{216000\}\; =\; 1.41421\backslash overline\{296\}.$
* 고대 인도 수학 텍스트인 술바수트라(기원전 800년경–200년경)에서는 다음과 같은 근사값을 제공한다.
::$1\; +\; \backslash frac\{1\}\{3\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{3\; \backslash times\; 4\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{3\; \backslash times4\; \backslash times\; 34\}\; =\; \backslash frac\{577\}\{408\}\; =\; 1.41421\backslash overline\{56862745098039\}.$
::이 근사값은 실제 값에서 약 +0.07% 벗어나며, 바빌로니아 근사값보다 약간 덜 정확하다.
* (≈ 1.4142857)은 간단한 유리수 근사값으로, 정확한 값과 미만의 차이를 보인다.
* (≈ 1.4141414...)는 오차가 약간 더 작고 (약 ), (≈ 1.4142012)는 오차가 약 이다.
* 에서 시작하여 바빌로니아 방법으로 네 번 반복하여 얻은 제곱근 2의 유리수 근사 ()는 약 만큼 크다. 그 제곱은 ≈ 이다.
* 제곱근 2는 다음과 같은 연분수 표현을 갖는다.
:$\backslash sqrt2\; =\; 1\; +\; \backslash cfrac\{1\}\{2\; +\; \backslash cfrac\{1\}\{2\; +\; \backslash cfrac\{1\}\{2\; +\; \backslash cfrac1\backslash ddots\}\}\}.$
::이 표현을 잘라서 형성된 수렴 은 제곱근 2를 점점 더 정확하게 근사하는 분수 수열을 형성하며, 이는 펠 수 (즉, )로 설명된다. 처음 몇 개의 수렴은 이며, 다음 수렴은 이다. 수렴 는 $\backslash sqrt\{2\}$와 거의 정확히 만큼 차이가 난다.
* 다음의 중첩 제곱 표현식은 로 수렴한다.
:$\backslash begin\{align\}$
\sqrt{2}
&= \tfrac32 - 2 \left( \tfrac14 - \left( \tfrac14 - \bigl( \tfrac14 - \cdots \bigr)^2 \right)^2 \right)^2 \\[10mu]
&= \tfrac32 - 4 \left( \tfrac18 + \left( \tfrac18 + \bigl( \tfrac18 + \cdots \bigr)^2 \right)^2 \right)^2.
\end{align}
* 의 소수 표기를 구하는 방법으로, 간단하게는 2×100ⁿ에 가까운 제곱수를 찾는 방법이 있다. 예를 들어, 200은 196(=14²)에 가깝기 때문에 10√2=√200≒√196=14보다 √2≒1.4 등이다.
* 2=100/50≒100/49=(10/7)²에서 √2≒10/7=1.428571...과 같이 2에 가까운 제곱수/제곱수를 찾는 방법도 있다.
* 더 효율적인 방법으로는 제곱근 계산법이 있다. 이는 일반적인 위치 기수법 표기에서도 가능하다.

6. 응용

긴 변의 길이가 짧은 변의 길이보다 $\backslash sqrt\{2\}$ 배 더 긴 종이는 반으로 접었을 때 짧은 변에 맞춰 정렬하면 원래와 정확히 같은 비율의 종이가 만들어진다는 것을 발견했다. 긴 변의 길이를 짧은 변의 길이로 나눈 이 비율은 종이를 선을 따라 반으로 자르면 작은 종이들이 원래 종이와 동일한 (근사적인) 비율을 갖도록 보장한다. 독일은 20세기 초 용지 크기를 표준화하면서 리히텐베르크의 비율을 사용하여 A 규격의 용지 크기를 만들었다. 오늘날, ISO 216 (A4, A0 등)에 따른 용지 크기의 (근사적인) 가로 세로비는 1:$\backslash sqrt\{2\}$이다.

증명:

$S\; =$ 종이의 짧은 변의 길이, $L\; =$ 긴 변의 길이, 그리고
:$R\; =\; \backslash frac\{L\}\{S\}\; =\; \backslash sqrt\{2\}$ (ISO 216에서 요구됨)라고 하자.
$R\text{'}\; =\; \backslash frac\{L\text{'}\}\{S\text{'}\}$을 반으로 자른 종이의 유사한 비율이라고 하면,
:$R\text{'}\; =\; \backslash frac\{S\}\{L/2\}\; =\; \backslash frac\{2S\}\{L\}\; =\; \backslash frac\{2\}\{(L/S)\}\; =\; \backslash frac\{2\}\{\backslash sqrt\{2\}\}\; =\; \backslash sqrt\{2\}\; =\; R.$

고대 로마 건축에서 비트루비우스는 제곱근 2 진행 또는 ad quadratum 기법의 사용에 대해 설명한다. 이는 기본적으로 산술적 방법이 아닌 기하학적 방법으로 정사각형을 두 배로 만드는 것으로, 원래 정사각형의 대각선이 결과 정사각형의 변과 같다. 비트루비우스는 이 아이디어를 플라톤에게 돌린다. 이 시스템은 원래 정사각형의 모서리에 45도의 접선을 사용하여 포장 도로를 건설하는 데 사용되었다. 또한 이 비율은 아 트리움을 설계하는 데 사용되었는데, 아 트리움의 길이를 의도된 아 트리움의 너비와 동일한 변을 가진 정사각형에서 가져온 대각선과 같게 했다.

다음은 물리학 분야에서 제곱근 2와 관련된 몇 가지 흥미로운 속성이다.

* 제곱근 2는 12음 평균율 음악에서 트라이톤 음정의 주파수 비율이다.
* 제곱근 2는 사진 렌즈의 f-스톱 관계를 형성하며, 이는 두 개의 연속적인 조리개 사이의 면적 비율이 2임을 의미한다.
* 뇌에는 2005년 May-Britt와 Edvard Moser가 이끄는 연구팀에 의해 발견된 격자 세포가 있다. "격자 세포는 해마 바로 옆에 위치한 피질 영역에서 발견되었습니다 [...] 이 피질 영역의 한쪽 끝에서 메쉬 크기가 작고 다른 쪽 끝에서는 매우 큽니다. 그러나 메쉬 크기의 증가는 우연에 맡겨진 것이 아니라 한 영역에서 다음 영역으로 제곱근 2만큼 증가합니다."

용지 사이즈 (A3나 A4 등)는 $1:\backslash sqrt\{2\}$(약 5:7)의 비율을 채택하며 (ISO 216에서 표준화), 건물 등에도 사용된다. 한 변과 다른 변의 길이가 이 비율이 되는 직사각형은 백은 직사각형 (silver rectangle^영어), 또는 루트 직사각형이라고 불린다.

이 비율이 용지 사이즈로 사용되는 이유는, 용지를 긴 방향으로 반으로 잘랐을 때 원래와 닮음 형태가 되기 때문에, 큰 용지를 자르는 것만으로 규격에 적합한 작은 용지를 얻을 수 있기 때문이다. 이러한 융통성은 실용상 매우 편리하다(용지의 세로, 가로의 길이 값은 74mm, 105mm, 148mm, 210mm, 297mm 등 공비를 $\backslash sqrt\{2\}$로 하는 등비수열로 되어 있다).

일본 건축에서 모듈의 하나로 $\backslash sqrt\{2\}$의 제곱근이 사용되는 것으로 알려져 있다. 예를 들어 호류지 오중탑을 위에서 본 투영 평면도에서 변(단변과 장변)의 관계가 있다. 목수의 도구인 사시가네 뒷면에는 우라메라고 불리는 눈금($\backslash sqrt\{2\}$를 곱한 것)이 새겨져 있다. 통나무에서 최대의 정방형 각재를 제재할 때 치수 측정에 사용된다. 통나무 직경을 1.414배 눈금으로 측정하여 구한 값의 뒷면에 해당하는 값이 최대 정방형의 한 변의 길이가 된다 (직각 이등변 삼각형에서의 변의 길이 관계 = 1:1:$\backslash sqrt\{2\}$).