제곱근 2

3. 성질

직각삼각형에서 빗변의 길이를 Z, 다른 변의 길이를 각각 X, Y라 하면 피타고라스 정리에 따라

:$X^2\; +\; Y^2\; =\; Z^2$

이고, 따라서

:$Z\; =\; \backslash sqrt\{X^2\; +\; Y^2\}$

가 된다. 왼쪽 그림과 같이 빗변이 아닌 두 변의 길이가 1인 직각삼각형의 빗변의 길이는 다음과 같이 계산할 수 있다.

: $Z\; =\; \backslash sqrt\{X^2\; +\; Y^2\}\; =\; \backslash sqrt\{1^2\; +\; 1^2\}\; =\; \backslash sqrt\{2\}$

고대 그리스의 피타고라스 학파인 히파소스는 이 계산에서 나타나는 2의 제곱근을 기약분수로 나타낼 수 없다는 사실을 발견하였다.^[38] 그런데 피타고라스 학파에서는 자연수와 이의 비로 나타낼 수 있는 기약분수, 즉 유리수 만을 진정한 수로 취급하였기 때문에 무리수의 존재를 인정하는 것은 금기였다. 히파소스는 무리수의 존재를 세상에 알렸다는 이유로 이단으로 취급받았으며, 일설에 의하면 피타고라스 학파에 의해 죽임을 당하였다고 한다.^[39][40] 무리수라는 이름은 피타고라스 학파의 수에 대한 이러한 가치관이 반영된 것이다.

헬레니즘 시기 알렉산드리아의 수학자 에우클레이데스(유클리드)는 2의 제곱근이 무리수라는 것을 증명하였다.

다음과 같은 연분수를 사용하여도 2의 제곱근을 계산할 수 있다.

:$\backslash sqrt\{2\}\; =\; 1\; +\; \backslash cfrac\{1\}\{2\; +\; \backslash cfrac\{1\}\{2\; +\; \backslash cfrac\{1\}\{2\; +\; \backslash cfrac\{1\}\{2\; +\; \{\}\backslash ddots\}\}\}\}$

위 연분수는 아래와 같은 방식으로 전개된 것이다.^[41]

:$\backslash sqrt\{2\}\; =\; 1\; +\; \backslash sqrt\{2\}\; -\; 1$

::$=\; 1\; +\; (\backslash sqrt\{2\}\; -\; 1)\; \backslash cdot\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{2\}\; +\; 1\}\{\backslash sqrt\{2\}\; +\; 1\}\; =\; 1\; +\; \backslash frac\{2-1\}\{\backslash sqrt\{2\}\; +\; 1\}\; =\; 1\; +\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\}\; +\; 1\}$

::$=\; 1\; +\; \backslash frac\{1\}\{1\; +\; \backslash sqrt\{2\}\; \}\; =\; 1\; +\; \backslash frac\{1\}\{1+\; 1\; +\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\}\; +\; 1\}\; \}\; =\; 1\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\; +\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\}\; +\; 1\}\; \}$

::$=\; 1\; +\; \backslash cfrac\{1\}\{2\; +\; \backslash cfrac\{1\}\{2\; +\; \backslash cfrac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\}\; +\; 1\}\; \}\}$

::$=\; 1\; +\; \backslash cfrac\{1\}\{2\; +\; \backslash cfrac\{1\}\{2\; +\; \backslash cfrac\{1\}\{2\; +\; \backslash cfrac\{1\}\{2\; +\; \{\}\backslash ddots\}\}\}\}.$

일반적으로 무리수는 순환되는 연분수로 표현될 수 있다.^[41]

바빌로니아의 점토판 YBC 7289(기원전 1800년경 – 1600년경)는 $\backslash sqrt\{2\}$를 4자리 육십진법으로 근사한 값을 제공하는데, 이는 약 6자리의 십진법 숫자에 정확하며,^[3] $\backslash sqrt\{2\}$의 가능한 세 자리 육십진법 표현 중 가장 근접한 것으로, 오차율은 –0.000042%에 불과하다.

:$1\; +\; \backslash frac\{24\}\{60\}\; +\; \backslash frac\{51\}\{60^2\}\; +\; \backslash frac\{10\}\{60^3\}\; =\; \backslash frac\{305470\}\{216000\}\; =\; 1.41421\backslash overline\{296\}.$

또 다른 초기 근사값은 고대 인도 수학 텍스트인 술바수트라(기원전 800년경 – 200년경)에서 다음과 같이 제공된다. "변의 길이를 3분의 1만큼 늘리고, 이 3분의 1을 다시 그 4분의 1만큼 늘린 다음, 그 4분의 1의 34분의 1을 뺀다."^[4] 즉,

:$1\; +\; \backslash frac\{1\}\{3\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{3\; \backslash times\; 4\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{3\; \backslash times4\; \backslash times\; 34\}\; =\; \backslash frac\{577\}\{408\}\; =\; 1.41421\backslash overline\{56862745098039\}.$

이 근사값은 $\backslash sqrt\{2\}$의 실제 값에서 약 +0.07% 벗어나며, $\backslash sqrt\{2\}$의 연분수 전개를 기반으로 하는 펠 수의 수열을 기반으로 하는 일련의 점점 더 정확한 근사값 중 일곱 번째 값이다. 분모가 더 작음에도 불구하고 바빌로니아 근사값보다 약간 덜 정확하다.

피타고라스 학파는 정사각형의 대각선이 그 변과 통약 불가능하다는 것을 발견했는데, 이는 현대 언어로 말하면 제곱근 2가 무리수라는 것이다. 이 발견의 시기나 상황에 대해서는 확실히 알려진 바가 거의 없지만, 메타폰툼의 히파소스의 이름이 종종 언급된다. 한동안, 피타고라스 학파는 제곱근 2가 무리수라는 발견을 공식적인 비밀로 취급했고, 전설에 따르면 히파소스는 그것을 누설했다는 이유로 살해당했지만, 이는 전통적인 역사학적 관행에서 실질적인 증거가 거의 또는 전혀 없다.^[5][6] 제곱근 2는 때때로 '''피타고라스의 수'''^[7] 또는 '''피타고라스의 상수'''라고 불린다.

간단한 유리수 근사 99/70 (≈ 1.4142857)이 가끔 사용된다. 분모가 70에 불과함에도 불구하고, 정확한 값과 1/10,000 (약 0.72e-4) 미만의 차이를 보인다.

그 다음 두 개의 더 나은 유리수 근사는 140/99 (≈ 1.4141414...)로 오차가 약간 더 작고 (약 -0.72e-4), 239/169 (≈ 1.4142012)로 오차가 약 -0.12e-4이다.

1에서 시작하여 바빌로니아 방법의 네 번의 반복으로 얻은 제곱근 2의 유리수 근사 (665,857/470,832)는 약 1.6e-12만큼 크다. 그 제곱은 ≈2.0000000000045이다.

제곱근 2의 곱셈 역원 (역수)는 널리 사용되는 수학 상수이며, 소수 값은 다음과 같다:^[20]

:0.70710 67811 86547 52440 08443 62104 84903 92848 35937 68847...

이는 45° 각도를 이루는 단위 벡터가 평면의 축과 좌표를 가지기 때문에 기하학 및 삼각법에서 자주 사용된다.

:$\backslash left(\backslash frac\{\backslash sqrt\{2\}\}\{2\},\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{2\}\}\{2\}\backslash right)\backslash !.$

각 좌표는 다음을 만족한다.

:$\backslash frac\{\backslash sqrt\{2\}\}\{2\}\; =\; \backslash sqrt\{\backslash tfrac\{1\}\{2\}\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\}\}\; =\; \backslash sin\; 45^\backslash circ\; =\; \backslash cos\; 45^\backslash circ.$

$\backslash sqrt\{2\}$의 한 가지 흥미로운 속성은 다음과 같다.

:$\backslash !\backslash \; \{1\; \backslash over\; \{\backslash sqrt\{2\}\; -\; 1\}\}\; =\; \backslash sqrt\{2\}\; +\; 1$

이유는 다음과 같다.

:$\backslash left(\backslash sqrt\{2\}+1\backslash right)\backslash !\backslash left(\backslash sqrt\{2\}-1\backslash right)\; =\; 2-1\; =\; 1.$

이것은 은비의 속성과 관련이 있다.

$\backslash sqrt\{2\}$는 또한 허수 단위 ''i''의 복사본을 사용하여 제곱근과 산술 연산만 사용하여 표현할 수 있다. 단, 제곱근 기호는 복소수 ''i'' 및 -''i''에 적절하게 해석된다.

:$\backslash frac\{\backslash sqrt\{i\}+i\; \backslash sqrt\{i\}\}\{i\}\backslash text\{\; and\; \}\backslash frac\{\backslash sqrt\{-i\}-i\; \backslash sqrt\{-i\}\}\{-i\}$

$\backslash sqrt\{2\}$는 1 외에도 무한 테트레이션(즉, 무한 지수 탑)이 자신의 제곱과 같은 유일한 실수이다. 즉, ''c'' > 1에 대해 ''x''₁ = ''c'' 및 ''x''_''n''+1 = ''c''^''x''_''n'', ''n'' > 1에 대해 ''n'' → ∞일 때 ''x''_''n''의 극한은 (이 극한이 존재한다면) ''f''(''c'')라고 한다. 그런 다음 $\backslash sqrt\{2\}$는 ''f''(''c'') = ''c''²인 유일한 숫자 ''c'' > 1이다. 또는 기호로:

:$\backslash sqrt\{2\}^\{\backslash sqrt\{2\}^\{\backslash sqrt\{2\}^\{~\backslash cdot^\{~\backslash cdot^\{~\backslash cdot\}\}\}\}\}\; =\; 2.$

$\backslash sqrt\{2\}$는 π에 대한 비에트의 공식에 나타난다.

:$$

\frac2\pi = \sqrt\frac12 \cdot \sqrt{\frac12 + \frac12\sqrt\frac12} \cdot \sqrt{\frac12 + \frac12\sqrt{\frac12 + \frac12\sqrt\frac12}} \cdots,



이는 다음 공식과 관련이 있다.^[21]

:$\backslash pi\; =\; \backslash lim\_\{m\backslash to\backslash infty\}\; 2^\{m\}\; \backslash underbrace\{\backslash sqrt\{2-\backslash sqrt\{2+\backslash sqrt\{2+\backslash sqrt\{2+\backslash cdots+\backslash sqrt\{2\}\}\}\}\}\}\_\{m\backslash text\{\; square\; roots\}\}\backslash ,.$

유사하게 보이지만 항의 수가 유한한 $\backslash sqrt\{2\}$는 다양한 삼각 상수에 나타난다.^[22]

:$\backslash begin\{align\}$

\sin\frac{\pi}{32} &= \tfrac12\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}} &\quad

\sin\frac{3\pi}{16} &= \tfrac12\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2}}} &\quad

\sin\frac{11\pi}{32} &= \tfrac12\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2}}}} \\[6pt]

\sin\frac{\pi}{16} &= \tfrac12\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}} &\quad

\sin\frac{7\pi}{32} &= \tfrac12\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}} &\quad

\sin\frac{3\pi}{8} &= \tfrac12\sqrt{2+\sqrt{2}} \\[6pt]

\sin\frac{3\pi}{32} &= \tfrac12\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2}}}} &\quad

\sin\frac{\pi}{4} &= \tfrac12\sqrt{2} &\quad

\sin\frac{13\pi}{32} &= \tfrac12\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2}}}} \\[6pt]

\sin\frac{\pi}{8} &= \tfrac12\sqrt{2-\sqrt{2}} &\quad

\sin\frac{9\pi}{32} &= \tfrac12\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}} &\quad

\sin\frac{7\pi}{16} &= \tfrac12\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}} \\[6pt]

\sin\frac{5\pi}{32} &= \tfrac12\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2}}}} &\quad

\sin\frac{5\pi}{16} &= \tfrac12\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2}}} &\quad

\sin\frac{15\pi}{32} &= \tfrac12\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}

\end{align}

$\backslash sqrt\{2\}$가 정규수인지 여부는 알려져 있지 않으며, 이는 무리성보다 더 강력한 속성이지만, 그 이진 전개에 대한 통계적 분석은 그것이 밑수 2에 대해 정규수라는 가설과 일치한다.^[23]

다음 등식 cos(π/4) = sin(π/4) = 1/√2와 사인 및 코사인의 무한곱 표현을 통해 다음 곱을 얻을 수 있다.

:$\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\; 2\}\; =\; \backslash prod\_\{k=0\}^\backslash infty\; \backslash left(1-\backslash frac\{1\}\{(4k+2)^2\}\backslash right)\; =$

\left(1-\frac{1}{4}\right)\!\left(1-\frac{1}{36}\right)\!\left(1-\frac{1}{100}\right) \cdots

그리고

:$\backslash sqrt\{2\}\; =\; \backslash prod\_\{k=0\}^\backslash infty\backslash frac\{(4k+2)^2\}\{(4k+1)(4k+3)\}\; =$

\left(\frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 3}\right)\!\left(\frac{6 \cdot 6}{5 \cdot 7}\right)\!\left(\frac{10 \cdot 10}{9 \cdot 11}\right)\!\left(\frac{14 \cdot 14}{13 \cdot 15}\right) \cdots

또는 동등하게,

:$\backslash sqrt\{2\}\; =\; \backslash prod\_\{k=0\}^\backslash infty\backslash left(1+\backslash frac\{1\}\{4k+1\}\backslash right)\backslash left(1-\backslash frac\{1\}\{4k+3\}\backslash right)\; =$

\left(1+\frac{1}{1}\right)\!\left(1-\frac{1}{3}\right)\!\left(1+\frac{1}{5}\right)\!\left(1-\frac{1}{7}\right) \cdots.

이 수는 삼각 함수의 테일러 급수를 사용하여 표현할 수도 있다. 예를 들어, cos(π/4)의 급수는 다음과 같다.

:$\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\}\}\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{(-1)^k\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash pi\}\{4\}\backslash right)^\{2k\}\}\{(2k)!\}.$

√1 + ''x''의 테일러 급수에 ''x'' = 1을 대입하고 이중 계승 ''n''!!을 사용하면 다음과 같다.

:$\backslash sqrt\{2\}\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; (-1)^\{k+1\}\; \backslash frac\{(2k-3)!!\}\{(2k)!!\}\; =$

1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2\cdot4} + \frac{1\cdot3}{2\cdot4\cdot6} - \frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6\cdot8} + \cdots = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{8} + \frac{1}{16} - \frac{5}{128} + \frac{7}{256} + \cdots.

이 급수의 수렴은 오일러 변환을 사용하여 가속화할 수 있으며, 다음과 같은 결과를 얻는다.

:$\backslash sqrt\{2\}\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{(2k+1)!\}\{2^\{3k+1\}(k!)^2\; \}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; +\backslash frac\{3\}\{8\}\; +\; \backslash frac\{15\}\{64\}\; +\; \backslash frac\{35\}\{256\}\; +\; \backslash frac\{315\}\{4096\}\; +\; \backslash frac\{693\}\{16384\}\; +\; \backslash cdots.$

$\backslash sqrt\{2\}$가 BBP 형식 공식으로 표현될 수 있는지는 알려져 있지 않다. 그러나, π√2와 √2ln(1+√2)에 대한 BBP 형식 공식은 알려져 있다.^[24]

이 수는 이집트 분수의 무한 급수로 표현할 수 있으며, 분모는 피보나치 수열과 유사한 재귀 관계식 ''a''(''n'') = 34''a''(''n''−1) − ''a''(''n''−2), ''a''(0) = 0, ''a''(1) = 6의 2^''n''번째 항으로 정의된다.^[25]

:$\backslash sqrt\{2\}=\backslash frac\{3\}\{2\}-\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{1\}\{a(2^n)\}=\backslash frac\{3\}\{2\}-\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash left(\backslash frac\{1\}\{6\}+\backslash frac\{1\}\{204\}+\backslash frac\{1\}\{235416\}+\backslash dots\; \backslash right)$

제곱근 2는 다음과 같은 연분수 표현을 갖는다.

:$\backslash sqrt2\; =\; 1\; +\; \backslash cfrac\{1\}\{2\; +\; \backslash cfrac\{1\}\{2\; +\; \backslash cfrac\{1\}\{2\; +\; \backslash cfrac1\backslash ddots\}\}\}.$

이 표현을 잘라서 형성된 수렴 p/q는 제곱근 2를 점점 더 정확하게 근사하는 분수 시퀀스를 형성하며, 이는 펠 수 (즉, 1=''p''² − 2''q''² = ±1)로 설명된다. 처음 몇 개의 수렴은 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, 577/408이며, p/q 다음 수렴은 p + 2q/p + q이다. 수렴 p/q는 $\backslash sqrt\{2\}$와 거의 정확히 1/2√2''q''²만큼 차이가 나며, 이는 다음에서 따른다.

:$\backslash left|\backslash sqrt2\; -\; \backslash frac\{p\}\{q\}\backslash right|\; =\; \backslash frac$

4. 무리수 증명

• '''에우클레이데스의 증명'''^[43][44]

• '''기하학적 증명'''^[16][45]

• '''무한 강하법을 이용한 증명'''^[12]

• '''소인수 분해의 유일성을 이용한 증명'''

• '''유리근 정리를 이용한 증명'''

5. 계산

제곱근 2를 구하기 위한 여러 방법이 있다.

• 바빌로니아 방법: 많은 컴퓨터와 계산기에서 기본으로 사용되는 알고리즘이다.

• 연분수를 이용하는 방법^[41]

• 바빌로니아의 점토판 YBC 7289(기원전 1800년경–1600년경)는 $\backslash sqrt\{2\}$를 4자리 육십진법으로 근사한 값을 제공하는데, 이는 약 6자리의 십진법 숫자에 정확하며,^[3] 오차율은 –0.000042%에 불과하다.

• 고대 인도 수학 텍스트인 술바수트라(기원전 800년경–200년경)에서는 다음과 같은 근사값을 제공한다.^[4]

• (≈ '''1.4142'''857)은 간단한 유리수 근사값으로, 정확한 값과 미만의 차이를 보인다.
• (≈ '''1.414'''1414...)는 오차가 약간 더 작고 (약 ), (≈ '''1.4142'''012)는 오차가 약 이다.
• 에서 시작하여 바빌로니아 방법으로 네 번 반복하여 얻은 제곱근 2의 유리수 근사 ()는 약 만큼 크다. 그 제곱은 ≈ 이다.
• 제곱근 2는 다음과 같은 연분수 표현을 갖는다.

• 다음의 중첩 제곱 표현식은 로 수렴한다.

• 의 소수 표기를 구하는 방법으로, 간단하게는 2×100ⁿ에 가까운 제곱수를 찾는 방법이 있다. 예를 들어, 200은 196(=14²)에 가깝기 때문에 10√2=√200≒√196=14보다 √2≒1.4 등이다.
• 2=100/50≒100/49=(10/7)²에서 √2≒10/7=1.428571...과 같이 2에 가까운 제곱수/제곱수를 찾는 방법도 있다.
• 더 효율적인 방법으로는 제곱근 계산법이 있다. 이는 일반적인 위치 기수법 표기에서도 가능하다.

6. 응용

• 제곱근 2는 12음 평균율 음악에서 트라이톤 음정의 주파수 비율이다.
• 제곱근 2는 사진 렌즈의 f-스톱 관계를 형성하며, 이는 두 개의 연속적인 조리개 사이의 ''면적'' 비율이 2임을 의미한다.
• 뇌에는 2005년 May-Britt와 Edvard Moser가 이끄는 연구팀에 의해 발견된 격자 세포가 있다. "격자 세포는 해마 바로 옆에 위치한 피질 영역에서 발견되었습니다 [...] 이 피질 영역의 한쪽 끝에서 메쉬 크기가 작고 다른 쪽 끝에서는 매우 큽니다. 그러나 메쉬 크기의 증가는 우연에 맡겨진 것이 아니라 한 영역에서 다음 영역으로 제곱근 2만큼 증가합니다."^[27]

참조

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