마름모십이면체

3. 다른 도형과의 관계

쌍대다면체는 육팔면체이다. 마름모의 둔각 3개가 모인 꼭짓점 8개를 이으면 정육면체가 되고, 예각 4개가 모인 꼭짓점 6개를 이으면 정팔면체가 된다. 이 방법으로 만든 정육면체와 정팔면체를 겹치면 서로의 모서리 중앙 부분이 완전히 겹치는 복합체가 된다.

정팔포체의 한 꼭짓점을 중심으로 한 3차원 투영 모습의 겉 부분이다.

정이십사포체의 3차원 단면 중 하나이며, 정이십사포체와 가장 가까운 3차원 도형이다.

4. 공간 채우기

마름모십이면체는 단독으로 3차원 유클리드 공간을 채울 수 있는 공간채우기 다면체이다. 마치 육각형이 평면을 채우는 것처럼, 마름모십이면체는 공간을 채우도록 쌓을 수 있다. 모든 복사본이 면과 면이 맞닿도록 벌집을 공간 채우기할 수 있기 때문에 평행다면체의 일종이다.^[1] 마름모십이면체벌집은 모든 마름모십이면체로 채워진 벌집의 예시이다. 반입방벌집과 쌍대이며, 면심입방격자의 보로노이 테셀레이션으로 볼 수 있다. 석류석과 같은 일부 광물은 마름모십이면체 결정 습성을 형성한다.^[1]

5. 자연 및 응용

석류석 결정은 마름모십이면체 형태를 띤다.^[1] 꿀벌은 벌집을 만들 때 마름모십이면체의 기하학을 사용한다.^[1] 마름모십이면체는 다이아몬드와 다이아몬도이드의 단위 셀에도 나타난다.^[1]

우주선 반작용 휠 배치에서 4개의 휠을 사면체 형태로 배치할 때, 3차원 공간에 투영하여 얻을 수 있는 3차원 다면체는 마름모십이면체이다.^[2] 이 다면체는 HEALPix 그리드의 기반이 되어 우주 마이크로파 배경 지도를 저장하고 조작하는 데 사용된다.

프톨레마이오스 시대 이집트에서 마름모십이면체 모양의 주사위가 발견되었다. 면에는 1부터 12까지의 숫자를 나타내는 그리스 문자가 새겨져 있다.

6. 위상 동등 형태

마름모십이면체는 다른 대칭 구조를 가지며, 평행다면체로서 공간 채우기 잘린팔면체의 변형과 유사하다.^[3] 예를 들어, 4개의 정사각형 면과 60도 마름모꼴 면을 가지고, D_4h 이면체 대칭(16차)을 가지는 경우가 있다. 이는 위아래에 정사각뿔이 붙어있는 입방팔면체로 볼 수 있다.

1960년, 스탄코 빌린스키는 12개의 합동인 마름모꼴 면을 가진 두 번째 마름모십이면체인 빌린스키 십이면체를 발견했다. 이는 위상적으로는 동일하지만 기하학적으로는 다르다. 이 형태의 마름모꼴 면은 황금비를 갖는다.

''델토이드십이면체''는 마름모십이면체의 또 다른 위상 동등 형태이다.^[4] 이것은 등면체이며 사면체 대칭(24차)을 가지고, 마름모꼴 면을 연(델토이드)으로 왜곡한다. 이것은 4개씩 번갈아가며 안쪽 또는 바깥쪽으로 조정된 8개의 꼭짓점을 가지며, 극한의 경우 사면체 외곽선이 된다. 변형은 (''a'',''b'')로 매개변수화할 수 있으며, 여기서 ''b''와 ''a''는 면의 네 꼭짓점으로 정의된 사면체의 부피가 0, 즉 평면 면이 되도록 서로 의존한다. (1,1)은 마름모꼴 해이다. ''a''가 1/2에 접근함에 따라 ''b''는 무한대로 접근한다. 항상 1/''a'' + 1/''b'' = 2가 성립하며, ''a'', ''b'' > 1/2이다.

:(±2, 0, 0), (0, ±2, 0), (0, 0, ±2)

:(''a'', ''a'', ''a''), (−''a'', −''a'', ''a''), (−''a'', ''a'', −''a''), (''a'', −''a'', −''a'')

:(−''b'', −''b'', −''b''), (−''b'', ''b'', ''b''), (''b'', −''b'', ''b''), (''b'', ''b'', −''b'')

(1,1)	(7/8, 7/6)	(3/4, 3/2)	(2/3, 2)	(5/8, 5/2)	(9/16, 9/2)

7. 별모양화

마름모십이면체는 면이나 모서리를 확장하여 새로운 다면체를 형성할 때까지 이어 붙여 별모양으로 만들 수 있다. 도르먼 루크(Dorman Luke)는 이러한 몇 가지 별모양 마름모십이면체를 설명했다.^[1] 첫 번째 별모양 다면체는 종종 별모양 십이면체라고 불리며, 각 면에 마름모꼴 밑면의 피라미드를 붙여 마름모꼴 십이면체로 볼 수 있다. 피라미드의 높이는 인접한 면의 면 평면에 측면이 놓이도록 한다. 루크는 두 번째와 세 번째 별모양 다면체(바깥쪽으로 확장), 두 번째를 세 번째에서 제거하여 형성된 것, 그리고 이전 것에 원래의 마름모꼴 십이면체를 다시 추가하여 형성된 것 등 네 가지 별모양 다면체를 더 설명한다.

8. 관련 다면체

마름모십이면체와 관련된 다면체는 다음과 같다.

• 육방팔면체: 마름모십이면체의 각 면의 중심을 들어 올려 변형한 형태이다.
• 연형이십사면체: 마름모십이면체의 각 면의 중심을 더욱 들어 올린 형태이다.
• 오각이십사면체: 마름모십이면체의 각 꼭짓점을 인접한 꼭짓점이 반대 방향이 되도록 비틀어 만든 형태이다.
• 정육면체와 정팔면체를 겹쳐서 각 모서리 중앙 부분이 완전히 겹치는 복합체를 만들 수 있다.

참조

_[1] 웹사이트 Dodecahedral Crystal Habit http://www.khulsey.c[...] 2009-04-12
_[2] 웹사이트 Maximum Torque and Momentum Envelopes for Reaction-Wheel Arrays https://ntrs.nasa.go[...] 2020-08-20
_[3] 서적 Order in Space: A design source book
_[4] 서적 Economic Mineralogy: A Practical Guide to the Study of Useful Minerals https://archive.org/[...]
_[5] Youtube There are SIX Platonic Solids https://www.youtube.[...] 2015-11-30
_[6] 서적 Convex Polyhedra Springer
_[7] 논문 Regular-faced convex polyhedra
_[8] 서적 Polyhedra https://archive.org/[...] Cambridge University Press
_[9] 웹사이트 The Rhombic Dodecahedron as a Cube with Pyramids - Some Basic Measurement https://old.maa.org/[...]
_[10] 논문 2642. Unitary Construction of Certain Polyhedra
_[11] 서적 Regular polytopes Dover Publications
_[12] 서적 Multi-shell Polyhedral Clusters https://books.google[...] Springer
_[13] 논문 Zonohedra and zonotopes http://www.ics.uci.e[...]
_[14] 논문 The Bilinski dodecahedron and assorted parallelohedra, zonohedra, monohedra, isozonohedra, and otherhedra
_[15] 논문 Stellations of the rhombic dodecahedron
_[16] 논문 Le jeu alexandrin de l'icosaèdre
_[17] 서적 The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design https://archive.org/[...] Dover Publications, Inc.
_[18] 논문 Zonohedrification http://www.georgehar[...]
_[19] 웹사이트 Rhombic Dodecahedron https://archive.lib.[...] 2018-08-29
_[20] 서적 CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, Second Edition https://books.google[...] CRC Press