마스 파동 형식

\right)^k f(z)\)가 성립한다.

\(\Delta_k f = sf\)이며, 여기서 \(\Delta_k\)는 다음과 같이 정의되는 무게 ''k'' 쌍곡 라플라시안이다: \(\Delta_k = -y^2 \left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}\right) + i k y \frac \partial {\partial x}\).

함수 \(f\)는 첨점에서 최대 다항식 성장을 보인다.

약한 마스 형태는 위와 유사하게 정의되지만, 함수 \(f\)가 첨점에서 최대 선형 지수 성장을 보인다는 조건으로 대체하여 정의한다. 또한, \(f\)는 라플라시안 연산자에 의해 소멸될 경우 조화라고 한다.

2. 1. 기본 정의

상반평면 \(\mathbb H=\{\tau\in\mathbb C\colon\operatorname{Im}\tau>0\}\) 위의 라플라스 연산자는 \(\tau=x+iy\)일 때 다음과 같다.

:\(\Delta=-y^2\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\right)\)

이는 쌍곡기하학에서의 곡률을 고려한 것이다.

'''약한 마스 파동 형식'''(Maass wave form^영어)은 다음 성질들을 만족시키는, 상반평면 위에 정의된 복소함수 \(\mathit{f} \colon \mathbb{H} \to \mathbb{C}\)이다.

• \(\mathit{f}\)는 모듈러 군 \(\operatorname{PSL}(2;\mathbb Z)\)의 작용에 불변이다. 즉, \(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in\operatorname{SL}(2;\mathbb Z)\)에 대하여 \(\mathit{f}((az+b)/(cz+d),(a\bar z+b),(c\bar z+d))=\mathit{f}(z,\bar z)\)이다.
• \(\mathit{f}\)는 상반평면 라플라스 연산자 \(\Delta\)의 고유함수이다. 즉, \(\Delta \mathit{f}=0\)이다.

'''마스 파동 형식'''은 다음 조건을 만족시키는 약한 마스 파동 형식이다.

• \(\operatorname{SL}(2;\mathbb Z)\)의 첨점 근처에서, \(\mathit{x,y}\)에 대한 다항식 이하의 속도로 증가한다.

스리니바사 라마누잔이 발견한 가짜 모듈러 형식(mock modular form^영어)은 약한 마스 파동 형식의 정칙적 부분이다.

''k''를 반정수, ''s''를 복소수, \(\Gamma\)를 의 이산 부분군으로 할때, \(\Gamma\)의 가중치 ''k'', 라플라스 고유값 ''s''의 '''마스 형식''' (Maass form)은 상반 평면에서 복소 평면으로의 매끄러운 함수로, 다음 조건을 만족하는 것이다.

• 모든 \(\gamma = \left(\begin{smallmatrix} a & b \\ c & d\end{smallmatrix}\right) \in \Gamma\)와 모든 \(\tau \in \mathbb{H}\)에 대해, \(f\left(\frac{a\tau+b}{c\tau+d}\right) = (c\tau+d)^k f(\tau)\)가 성립한다.
• \(\Delta_{k} f = s f \)가 성립한다. 단, \(\Delta_{k}\)는 \(\Delta_{k} = -y^{2} \left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}\right)+ i k y \left(\frac{\partial}{\partial x} + i \frac{\partial}{\partial y}\right)\) 로 정의된 가중치 ''k''의 쌍곡 라플라시안이다.
• 함수 ''f''는 첨점에서 기껏해야 다항식의 차수이다.

'''약한 마스 파동 형식''' (weak Maass wave form)은 위와 유사하게 정의되지만, 세 번째 조건이 "함수 ''f''는 첨점에서 기껏해야 선형 지수 성장이다."로 대체된다. 또한, ''f''가 '''조화''' (harmonic)하다는 것은 라플라스 작용소에 의해 0이 됨을 의미한다.

2. 2. 일반적인 정의

상반평면 \(\mathbb{H} = \{\tau \in \mathbb{C} \colon \operatorname{Im} \tau > 0 \}\) 위의 라플라스 연산자는 \(\tau = x + iy\)일 때 다음과 같다.

:$\backslash Delta\; =\; -y^2\; \backslash left(\; \backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; x^2\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; y^2\}\; \backslash right)$

이는 쌍곡기하학에서의 곡률을 고려한 것이다.

'''약한 마스 파동 형식'''(Maass wave form^영어)은 상반평면 위에 정의된 복소함수 \(\mathit{f} \colon \mathbb{H} \to \mathbb{C}\) 중 다음 성질들을 만족하는 함수이다.

• \(\mathit{f}\)는 모듈러 군 \(\operatorname{PSL}(2; \mathbb{Z})\)의 작용에 불변이다. 즉, \(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \operatorname{SL}(2; \mathbb{Z})\)에 대하여 \(\mathit{f}((az+b)/(cz+d), (a\bar{z}+b)/(c\bar{z}+d)) = \mathit{f}(z, \bar{z})\)이다.
• \(\mathit{f}\)는 상반평면 라플라스 연산자 \(\Delta\)의 고유함수이다. 즉, \(\Delta \mathit{f} = 0\)이다.

'''마스 파동 형식'''은 다음 조건을 만족시키는 약한 마스 파동 형식이다.

• \(\operatorname{SL}(2; \mathbb{Z})\)의 첨점 근처에서, \(\mathit{x}, \mathit{y}\)에 대한 다항식 이하의 속도로 증가한다.

스리니바사 라마누잔이 발견한 가짜 모듈러 형식(mock modular form^영어)은 약한 마스 파동 형식의 정칙적 부분이다.

정수 \(\mathit{k}\), 복소수 \(\mathit{s}\), 그리고 SL₂(R)의 이산 부분군 \(\Gamma\)가 주어졌을 때, 무게 \(\mathit{k}\)를 갖는 \(\Gamma\)에 대한 라플라스 고유값 \(\mathit{s}\)를 갖는 '''마스 형태'''는 다음 조건을 만족하는 매끄러운 함수이다. 이 함수는 상반 평면에서 복소수로의 함수이다.

• 모든 \(\gamma = \left( \begin{smallmatrix} a & b \\ c & d \end{smallmatrix} \right) \in \Gamma\)와 모든 \(\mathit{z} \in \mathbb{H}\)에 대해, \(f \left( \frac{az+b}{cz+d} \right) = \left( \frac{cz+d}

\right)^k f(z)\)가 성립한다.

\(\Delta_k f = sf\)이며, 여기서 \(\Delta_k\)는 다음과 같이 정의되는 무게 \(\mathit{k}\) 쌍곡 라플라시안이다: \(\Delta_k = -y^2 \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} \right) + iky \frac{\partial}{\partial x}\).

함수 \(\mathit{f}\)는 첨점에서 최대 다항식 성장을 보인다.

'''약한 마스 형태'''는 세 번째 조건을 "함수 \(\mathit{f}\)는 첨점에서 최대 선형 지수 성장을 보인다"로 대체하여 유사하게 정의된다. 또한, \(\mathit{f}\)는 라플라시안 연산자에 의해 소멸될 경우 '''조화'''라고 한다.

\(\mathit{k}\)를 반정수, \(\mathit{s}\)를 복소수, \(\Gamma\)를 SL₂(R)의 이산 부분군으로 한다. \(\Gamma\)의 가중치 \(\mathit{k}\), 라플라스 고유값 \(\mathit{s}\)의 '''마스 형식'''(Maass form)은 상반 평면에서 복소 평면으로의 매끄러운 함수로, 다음 조건을 만족하는 것이다.

• 모든 \(\gamma = \left( \begin{smallmatrix} a & b \\ c & d \end{smallmatrix} \right) \in \Gamma\)와 모든 \(\tau \in \mathbb{H}\)에 대해, \(f \left( \frac{a\tau + b}{c\tau + d} \right) = (c\tau + d)^k f(\tau)\)가 성립한다.
• \(\Delta_k f = sf\)가 성립한다. 단, \(\Delta_k\)는 \(\Delta_k = -y^2 \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} \right) + iky \left( \frac{\partial}{\partial x} + i \frac{\partial}{\partial y} \right)\)로 정의된 가중치 \(\mathit{k}\)의 쌍곡 라플라시안이다.
• 함수 \(\mathit{f}\)는 첨점에서 기껏해야 다항식의 차수이다.

'''약한 마스 파동 형식'''(weak Maass wave form)은 유사하게 정의되지만, 세 번째 조건이 다음으로 대체된다. "함수 \(\mathit{f}\)는 첨점에서 기껏해야 선형 지수 성장이다." 또한, \(\mathit{f}\)가 '''조화'''(harmonic)하다는 것은 라플라스 작용소에 의해 0이 됨을 의미한다.

3. 주요 성질 및 관계

상반평면 위의 라플라스 연산자는 다음과 같다. \(\tau = x+iy\)라면,

:\(\Delta=-y^2\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\right)\)

이다. 이는 쌍곡기하학에서의 곡률을 고려한 것이다.

'''약한 마스 파동 형식'''(Maass wave form^영어)은 상반평면 위에 정의된 복소함수 \(f\colon\mathbb H\to\mathbb C\)이며, 다음 성질들을 만족시킨다.

• \(f\)는 모듈러 군 \(\operatorname{PSL}(2;\mathbb Z)\)의 작용에 불변이다. 즉, \(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in\operatorname{SL}(2;\mathbb Z)\)에 대하여 \(f((az+b)/(cz+d),(a\bar z+b),(c\bar z+d))=f(z,\bar z)\)이다.
• \(f\)는 상반평면 라플라스 연산자 \(\Delta\)의 고유함수이다. 즉, \(\Delta f=0\)이다.

'''마스 파동 형식'''은 다음 조건을 만족시키는 약한 마스 파동 형식이다.

• \(\operatorname{SL}(2;\mathbb Z)\)의 첨점 근처에서, \(x,y\)에 대한 다항식 이하의 속도로 증가한다.

스리니바사 라마누잔이 발견한 가짜 모듈러 형식(mock modular form^영어)은 약한 마스 파동 형식의 정칙적 부분이다.

''k''를 반정수, ''s''를 복소수, Γ를 \(\operatorname{SL}_2(\mathbb R)\)의 이산 부분군이라 하자. Γ의 가중치 ''k'', 라플라스 고유값 ''s''의 '''마스 형식''' (Maass form)은 상반 평면에서 복소 평면으로의 매끄러운 함수이며, 다음 조건을 만족한다.

• 모든 \(\gamma = \left(\begin{smallmatrix} a & b \\ c & d\end{smallmatrix}\right) \in \Gamma\)와 모든 \( \tau \in \mathbb{H}\)에 대해, \( f\left(\frac{a\tau+b}{c\tau+d}\right) = (c\tau+d)^k f(\tau)\)가 성립한다.
• \(\Delta_{k} f = s f \)가 성립한다. 단, \(\Delta_{k}\)는 \(\Delta_{k} = -y^{2} \left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}\right)+ i k y \left(\frac{\partial}{\partial x} + i \frac{\partial}{\partial y}\right)\) 로 정의된 가중치 ''k''의 쌍곡 라플라시안이다.
• 함수 ''f''는 첨점에서 기껏해야 다항식의 차수이다.

'''약한 마스 파동 형식''' (weak Maass wave form)은 위와 유사하게 정의되지만, 세 번째 조건이 "함수 ''f''는 첨점에서 기껏해야 선형 지수 성장이다."로 대체된다. 또한, ''f''가 '''조화''' (harmonic)하다는 것은 라플라스 작용소에 의해 0이 됨을 의미한다.

\(f\)를 가중치 0인 마스 첨점 형식이라고 할 때, 소수 ''p''에서의 정규화된 푸리에 계수는 \(p^{7/64}\)로 억제된다.

3. 1. 디리클레 급수와의 관계

마스 형식을 $f$라고 하면, $\gamma := \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \in \Gamma (1)$ 이므로 $\forall z \in \mathbb{H}: \qquad f(z) = f(\gamma z) = f(z+1)$이 성립한다.

따라서 $f$는 다음과 같은 형태의 푸리에 전개를 갖는다.

$ f(x+iy) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_{n}(y)e^{2\pi inx}$

여기서 계수 함수는 $a_{n}, n \in \Z$이다. $f$가 마스 첨점 형식일 필요충분 조건은 $a_{0}(y)=0 \;\; \forall y > 0$임을 쉽게 보일 수 있다.

계수 함수를 정확하게 계산하기 위해 베셀 함수 $K_v$가 필요하다. 베셀 함수 $K_v$는 다음과 같이 정의된다.

$ K_s(y) := \frac{1}{2} \int_0^\infty e^{-\frac{y(t+t^{-1})}{2}}t^s\frac{dt}{t},

\qquad s \in \Complex, y > 0$

이 적분은 $s \in \Complex$에서 $ y > 0 $에 대해 국소적으로 균일하게 절대 수렴하며, $ y>4$에 대해 다음과 같은 부등식이 성립한다.

$ K_s(y) \leq e^{-\frac{y}{2}}K_{\operatorname{Re}(s)}(2)$

따라서 $|K_s|$는 $y \to \infty$에 대해 지수적으로 감소한다. 또한 모든 $s \in \Complex, y > 0$에 대해 $K_{-s}(y)=K_s(y)$이다.

$\lambda \in \Complex$를 $\Delta$에 해당하는 마스 형식 $f$의 고유값이라고 하면, 부호까지 고려하여 유일하게 $\lambda = \frac{1}{4} - \nu^2$을 만족하는 $\nu \in \Complex$가 존재한다. 그러면 $f$의 푸리에 계수는 다음과 같다.

$

\begin{align}

a_n(y) &= c_n\sqrt{y} K_\nu(2\pi |n|y) \quad c_n \in \Complex && n \neq 0 \\

a_0(y) &= c_0 y^{\frac{1}{2}-\nu} + d_0 y^{\frac{1}{2}+\nu} \quad c_{0}, d_0 \in \Complex && n=0

\end{align}

$

'''증명:''' $\Delta(f)=\left (\frac{1}{4} - \nu^{2} \right )f$ 이 성립하고, 푸리에 계수의 정의에 의해 $n \in \Z$에 대해 $ a_n(y) = \int_0^1 f(x+iy)e^{-2\pi inx} dx$ 이다.

따라서 다음이 성립한다.

$

\begin{align}

\left(\frac{1}{4} - \nu^2\right) a_n(y) &= \int_0^1 \left(\frac{1}{4} - \nu^2\right) f(x+iy)e^{-2\pi inx} dx \\[4pt]

&= \int_0^1 (\Delta f)(x+iy)e^{-2\pi inx} dx \\[4pt]

&= -y^2 \left(\int_0^1 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x+iy)e^{-2\pi inx} dx + \int_0^1 \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x+iy)e^{-2\pi inx} dx\right) \\[4pt]

&= -y^2 (2\pi i n)^2 a_n(y)- y^2\frac{\partial^2}{\partial y^2} \int_0^1 f(x+iy)e^{-2\pi inx} dx \\[4pt]

&= -y^2 (2\pi i n)^2 a_n(y)-y^2 \frac{\partial^2}{\partial y^2}a_n(y) \\[4pt]

&= 4 \pi^2 n^2 y^2 a_n(y)-y^2\frac{\partial^2}{\partial y^2}a_n(y)

\end{align}

$

$n \in \Z$에 대해.

위 식에서 첫 번째 합산 항에 대해 $\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}$의 ''n''번째 푸리에 계수는 $(2\pi i n)^{2}a_{n}(y)$임을 사용했다. 두 번째 항에서는 적분과 미분의 순서를 변경했는데, 이는 f가 y에 대해 매끄럽기 때문에 가능하다. 다음의 2차 선형 미분 방정식을 얻는다.

$ y^2\frac{\partial^2}{\partial y^2} a_n(y) + \left( \frac{1}{4} - \nu^2-4\pi n^2 y^2 \right)a_n(y) = 0 $

$ n = 0$의 경우, 모든 해 $f$에 대해 $ a_0(y)=c_0 y^{\frac{1}{2} - \nu} + d_0 y^{\frac{1}{2} + \nu}$를 만족하는 고유한 계수 $c_0, d_{0} \in \Complex$가 존재함을 보일 수 있다.

$n\neq 0$인 경우, 모든 해 $f$는 다음과 같은 형태의 계수를 갖는다.

$ a_n(y) = c_n\sqrt{y}K_v(2\pi|n|y)+ d_n\sqrt{y}I_v(2\pi|n|y)$

여기서 $c_n,d_n \in \Complex $는 고유하다. 여기서 $K_v(s)$와 $I_v(s)$는 베셀 함수이다.

베셀 함수 $I_v$는 지수적으로 증가하는 반면, 베셀 함수 $K_v$는 지수적으로 감소한다. 다항식 성장 조건과 함께 $f : a_{n}(y)=c_{n}\sqrt{y}K_{v}(2\pi|n|y) $ (또한 $d_{n} = 0$)가 유일한 $c_{n} \in \Complex$에 대해 성립한다.

$i(z):=-\overline{z}$라고 하면, ''i''는 $i(f):=f(i(z))$로 모든 함수 $f :\mathbb{H} \to \Complex$에 작용하며 쌍곡 라플라시안과 교환한다. 마스 형식 $f$가 $i(f)=f$이면 짝수, $i(f)=-f$이면 홀수라고 한다. f가 마스 형식인 경우, $\tfrac{1}{2}(f+i(f))$는 짝수 마스 형식이고, $\tfrac{1}{2}(f-i(f))$는 홀수 마스 형식이며 $f=\tfrac{1}{2}(f+i(f))+\tfrac{1}{2}(f-i(f))$가 성립한다.

$f(x+iy)=\sum_{n \neq 0} c_{n}\sqrt{y}K_{\nu}(2\pi|n|y)e^{2\pi inx}$를 마스 첨점 형식이라고 하면, $f$의 L-함수를 다음과 같이 정의한다.

$ L(s,f) = \sum_{n=1}^\infty c_n n^{-s}$

그러면 급수 $L(s,f)$는 $\Re(s) > \frac{3}{2}$에 대해 수렴하며, $\Complex$상에서 전체 함수로 해석적 연속될 수 있다.

만약 $f$가 짝함수이거나 홀함수이면, 다음을 얻는다.

$\Lambda(s,f) := \pi^{-s}\Gamma \left( \frac{s+\varepsilon+\nu}{2} \right) \Gamma \left( \frac{s+\varepsilon-\nu}{2} \right) L(s,f)$

여기서 $\varepsilon = 0$는 $f$가 짝함수일 경우이고, $\varepsilon = -1$은 $f$가 홀함수일 경우이다. 그러면 $\Lambda$는 다음과 같은 함수 방정식을 만족한다.

$\Lambda(s,f)=(-1)^\varepsilon \Lambda(1-s,f)$

3. 2. 아이젠슈타인 급수와의 관계

비정수형 아이젠슈타인 급수는 다음과 같이 정의된다.

:$E(z,s)\; :=\; \backslash pi^\{-s\}\backslash Gamma(s)\backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash sum\_\{(m,n)\; \backslash neq\; (0,0)\}\backslash frac\{y^s\}$

3. 3. 합동 부분군과 가중치 k 마스 형식

$\backslash Gamma\; (N)$을 레벨 $N$의 주 합동 부분군이라고 부른다. 부분군 $\backslash Gamma\; \backslash subseteq\; \backslash mathrm\{SL\}\_\{2\}(\backslash Z)$은 $\backslash Gamma\; (N)\; \backslash subseteq\; \backslash Gamma$인 $N\backslash in\; \backslash N$가 존재하면 합동 부분군이라고 한다.

$\backslash gamma\; \backslash infty$ ($\backslash gamma\; \backslash in\; S$)인 점들은 기본 영역 $SD$의 첨점이라고 불린다. 이들은 $\backslash Q\; \backslash cup\; \backslash \{\backslash infty\backslash \}$의 부분 집합이다. 모든 첨점 $c$에 대해 $\backslash sigma\; \backslash in\; \backslash Gamma(1)$가 존재하여 $\backslash sigma\; \backslash infty\; =\; c$가 된다. $\backslash Gamma$를 합동 부분군, $k\; \backslash in\; \backslash Z$라 하자.

가중치 $k$의 쌍곡 라플라스 연산자 $\backslash Delta\_\{k\}$는 다음과 같이 정의한다.

:$\backslash Delta\_\{k\}\; :\; C^\{\backslash infty\; \}(\backslash mathbb\{H\})\; \backslash to\; C^\{\backslash infty\}(\backslash mathbb\{H\}),$

:$\backslash Delta\_\{k\}\; =\; -y^\{2\}\; \backslash left\; (\backslash frac\{\backslash partial^\{2\}\}\{\backslash partial\; x^\{2\}\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial^\{2\}\}\{\backslash partial\; y^\{2\}\}\; \backslash right\; )\; +\; iky\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x\}.$

이는 쌍곡 라플라스 연산자 $\backslash Delta\_\{0\}=\backslash Delta$의 일반화이다.

가중치 $k\backslash in\; \backslash Z$에 대한 $\backslash Gamma$의 '''마스 형식'''은 $\backslash Delta\_\{k\}$의 고유함수이고 첨점에서 완만한 성장을 보이는 함수 $f\; \backslash in\; C^\{\backslash infty\}(\backslash Gamma\; \backslash backslash\; \backslash mathbb\{H\},\; k)$이다.

여기서,

• $C^\{\backslash infty\}(\backslash Gamma\; \backslash backslash\; \backslash mathbb\{H\},k)\; :=\; \backslash \{\; f\; \backslash in\; C^\{\backslash infty\}(\backslash mathbb\{H\})\; :\; f\_\{||k\}\backslash gamma\; =\; f\; \backslash forall\; \backslash gamma\; \backslash in\; \backslash Gamma\backslash \}$
• $f\_\{||k\}g(z)\; :=\; \backslash left(\backslash frac\{cz+d\}$

\right)^{-k}f(gz)

함수 $f\; \backslash in\; C^\{\backslash infty\}(\backslash Gamma\; \backslash backslash\; \backslash mathbb\{H\},\; k)$는 $y\; \backslash to\; \backslash infty$일 때 $f(x+iy)$가 ''y''의 다항식에 의해 경계가 져 있으면 무한대($\backslash infty$)에서 완만한 성장을 보인다. $c\; \backslash in\; \backslash Q$를 다른 첨점이라고 하자. 그러면 $\backslash theta\; (\backslash infty)=c$인 $\backslash theta\; \backslash in\; \backslash mathrm\{SL\}\_\{2\}(\backslash Z)$가 존재한다. $f\text{'}:=f\_\{||k\}\backslash theta$라고 하면, $f\text{'}\; \backslash in\; C^\{\backslash infty\}(\backslash Gamma\text{'}\; \backslash backslash\; \backslash mathbb\{H\},\; k)$이다. ($\backslash Gamma\text{'}$은 합동 부분군 $\backslash theta^\{-1\}\backslash Gamma\backslash theta$). $f$가 첨점 $c$에서 완만한 성장을 보인다는 것은 $f\text{'}$이 $\backslash infty$에서 완만한 성장을 보인다는 것을 의미한다.

$\backslash Gamma$가 레벨 $N$의 주 합동 부분군을 포함할 때, $f$가 무한대에서 '''첨점'''이려면 다음을 만족해야 한다.

:$\backslash forall\; z\; \backslash in\; \backslash mathbb\{H\}:\; \backslash quad\; \backslash int\_\{0\}^\{N\}\; f(z+u)\; du\; =\; 0.$

$f\text{'}$가 무한대에서 첨점이면 $f$가 첨점 $c$에서 첨점이라고 한다. 만약 $f$가 모든 첨점에서 첨점이라면, $f$를 '''첨점 형식'''이라고 부른다.

3. 4. 스펙트럼 문제

SL|2|R^영어의 합동 부분군 Γ를 생각하자. L²(Γ\H, k)는 모든 가측 함수 f:H → C의 벡터 공간으로, 모든 γ ∈ Γ에 대해 f_||kγ = f를 만족하고, 다음 조건을 갖는다.

:

여기서 ||f|| = 0인 함수는 제외한다. 함수 |f(z)|²는 Γ에 불변하므로 적분은 잘 정의된다. 내적은 다음과 같으며, 이는 힐베르트 공간이다.

:$\backslash langle\; f,g\backslash rangle\; =\; \backslash int\_\{\backslash Gamma\; \backslash backslash\; \backslash mathbb\{H\}\}\; f(z)\backslash overline\{g(z)\}\; d\backslash mu(z).$

연산자 Δ_k는 L²(Γ\H, k)에서 조밀한 벡터 공간 B ⊂ L²(Γ\H, k) ∩ C^∞(Γ\H, k)에서 정의될 수 있다. 여기서 Δ_k는 양의 준정부호 대칭 연산자이다. L²(Γ\H, k)에서 고유한 자기 수반 연장선이 존재함을 보일 수 있다.

C(Γ\H, k)를 모든 첨점 형태 L²(Γ\H, k) ∩ C^∞(Γ\H, k)의 공간으로 정의한다. 그러면 Δ_k는 C(Γ\H, k)에서 작동하며 이산 스펙트럼을 갖는다. 직교 여집합에 속하는 스펙트럼은 연속적인 부분을 가지며, (수정된) 비정칙 아이젠슈타인 급수, 그들의 유수 확장 및 그들의 잔차의 도움으로 설명할 수 있다.

Γ가 SL|2|R^영어의 이산 (비틀림이 없는) 부분군이어서 몫 Γ\H가 컴팩트하면 스펙트럼 문제가 단순해진다. 이는 이산 공컴팩트 부분군에는 첨점이 없기 때문이다. 여기서 공간 L²(Γ\H, k)의 전체가 고유 공간의 합이다.

f를 가중치 0인 마스 첨점 형식이라고 하자. 소수 ''p''에서의 정규화된 푸리에 계수는 p^7/64로 억제된다.

3. 5. 아델 군의 자기동형 표현

Adelic automorphic representation^영어를 번역하면 아델 군의 자기동형 표현이다.

$G\_\{\backslash mathbb\{A\}\}$의 기약적이고 허용 가능한 유니타리 표현을 $\backslash pi$라고 하자. 텐서 곱 정리에 의해 $\backslash pi$는 $\backslash pi\; =\; \backslash bigotimes\_\{p\backslash leq\; \backslash infty\}\; \backslash pi\_\{p\}$ 형태를 가진다. 여기서 $p$는 소수 또는 무한대를 의미하며, $\backslash pi\_p$는 각 위치 $p$에서의 국소 표현을 나타낸다.

$S$를 $\backslash infty$와 모든 분기된 소수(ramified prime)를 포함하는 유한한 장소(place) 집합이라고 하자. $\backslash pi$의 전역 헤케 L-함수(global Hecke L-function)는 다음과 같이 정의된다.

:$L^S(s,\backslash pi)\; :=\backslash prod\_\{p\; \backslash notin\; S\}\; L(s,\backslash pi\_\{p\})$

여기서 $L(s,\backslash pi\_p)$는 국소 표현 $\backslash pi\_p$의 국소 L-함수(local L-function)이다. 국소 L-함수의 구성은 Deitmar C. 8.2에서 찾을 수 있다.

$\backslash pi$가 첨점 표현(cuspidal representation)인 경우, L-함수 $L^S(s,\backslash pi)$는 복소 평면 $\backslash Complex$에서 유리형 연속(meromorphic continuation)을 갖는다. 이는 $L^S(s,\backslash pi)$가 특정 함수 방정식(functional equation)을 만족하기 때문이다.

4. 주요 정리 및 결과

함수 $f$를 가중치 0인 마스 첨점 형식이라고 할 때, 소수 ''p''에서의 정규화된 푸리에 계수는 ''p''^7/64 + ''p''^−7/64로 제한된다. 이 정리는 김형, Henry Kim과 피터 사르나크, Peter Sarnak의 결과이며, 라마누잔-페테르손 추측에 대한 근사이다.

김형과 피터 사르나크는 $f$를 가중치 0인 마스 첨점 형식이라고 할 때, 소수 ''p''에서의 정규화된 푸리에 계수를 $p^\{7/64\}$로 억제했다.

5. 응용 및 확장

마스 파동 형식은 여러 분야에서 응용 및 확장되어 연구되고 있다. 예를 들어, 고차원 마스 형식이나 가짜 모듈러 형식과의 관계 등이 연구되고 있다.

5. 1. 고차원 마스 형식

마스 첨점 형식은 GL^영어(2) 상의 자기동형 형식으로 간주될 수 있다. 마스 첨점 형식을 유리수 상의 GL^영어(n) 상의 구형 자기동형 형식으로 정의하는 것은 자연스럽다. 그들의 존재는 밀러(Miller), 뮐러(Mueller) 등에 의해 증명되었다.

5. 2. 가짜 모듈러 형식과의 관계

스리니바사 라마누잔이 발견한 가짜 모듈러 형식(mock modular form)은 약한 마스 파동 형식의 정칙적 부분이다.

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