3. 주요 성질 및 관계
상반평면 위의 라플라스 연산자는 다음과 같다. \(\tau = x+iy\)라면,
:\(\Delta=-y^2\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\right)\)
이다. 이는 쌍곡기하학에서의 곡률을 고려한 것이다.
약한 마스 파동 형식(Maass wave form영어)은 상반평면 위에 정의된 복소함수 \(f\colon\mathbb H\to\mathbb C\)이며, 다음 성질들을 만족시킨다.
* \(f\)는 모듈러 군 \(\operatorname{PSL}(2;\mathbb Z)\)의 작용에 불변이다. 즉, \(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in\operatorname{SL}(2;\mathbb Z)\)에 대하여 \(f((az+b)/(cz+d),(a\bar z+b),(c\bar z+d))=f(z,\bar z)\)이다.
* \(f\)는 상반평면 라플라스 연산자 \(\Delta\)의 고유함수이다. 즉, \(\Delta f=0\)이다.
마스 파동 형식은 다음 조건을 만족시키는 약한 마스 파동 형식이다.
* \(\operatorname{SL}(2;\mathbb Z)\)의 첨점 근처에서, \(x,y\)에 대한 다항식 이하의 속도로 증가한다.
스리니바사 라마누잔이 발견한 가짜 모듈러 형식(mock modular form영어)은 약한 마스 파동 형식의 정칙적 부분이다.
k를 반정수, s를 복소수, Γ를 \(\operatorname{SL}_2(\mathbb R)\)의 이산 부분군이라 하자. Γ의 가중치 k, 라플라스 고유값 s의 마스 형식 (Maass form)은 상반 평면에서 복소 평면으로의 매끄러운 함수이며, 다음 조건을 만족한다.
* 모든 \(\gamma = \left(\begin{smallmatrix} a & b \\ c & d\end{smallmatrix}\right) \in \Gamma\)와 모든 \( \tau \in \mathbb{H}\)에 대해, \( f\left(\frac{a\tau+b}{c\tau+d}\right) = (c\tau+d)^k f(\tau)\)가 성립한다.
* \(\Delta_{k} f = s f \)가 성립한다. 단, \(\Delta_{k}\)는 \(\Delta_{k} = -y^{2} \left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}\right)+ i k y \left(\frac{\partial}{\partial x} + i \frac{\partial}{\partial y}\right)\) 로 정의된 가중치 k의 쌍곡 라플라시안이다.
* 함수 f는 첨점에서 기껏해야 다항식의 차수이다.
약한 마스 파동 형식 (weak Maass wave form)은 위와 유사하게 정의되지만, 세 번째 조건이 "함수 f는 첨점에서 기껏해야 선형 지수 성장이다."로 대체된다. 또한, f가 조화 (harmonic)하다는 것은 라플라스 작용소에 의해 0이 됨을 의미한다.
\(f\)를 가중치 0인 마스 첨점 형식이라고 할 때, 소수 p에서의 정규화된 푸리에 계수는 \(p^{7/64}\)로 억제된다.
3.1. 디리클레 급수와의 관계
마스 형식을 $f$라고 하면, $\gamma := \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \in \Gamma (1)$ 이므로 $\forall z \in \mathbb{H}: \qquad f(z) = f(\gamma z) = f(z+1)$이 성립한다.
따라서 $f$는 다음과 같은 형태의 푸리에 전개를 갖는다.
$ f(x+iy) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_{n}(y)e^{2\pi inx}$
여기서 계수 함수는 $a_{n}, n \in \Z$이다. $f$가 마스 첨점 형식일 필요충분 조건은 $a_{0}(y)=0 \;\; \forall y > 0$임을 쉽게 보일 수 있다.
계수 함수를 정확하게 계산하기 위해 베셀 함수 $K_v$가 필요하다. 베셀 함수 $K_v$는 다음과 같이 정의된다.
$ K_s(y) := \frac{1}{2} \int_0^\infty e^{-\frac{y(t+t^{-1})}{2}}t^s\frac{dt}{t},
\qquad s \in \Complex, y > 0$
이 적분은 $s \in \Complex$에서 $ y > 0 $에 대해 국소적으로 균일하게 절대 수렴하며, $ y>4$에 대해 다음과 같은 부등식이 성립한다.
$ K_s(y) \leq e^{-\frac{y}{2}}K_{\operatorname{Re}(s)}(2)$
따라서 $|K_s|$는 $y \to \infty$에 대해 지수적으로 감소한다. 또한 모든 $s \in \Complex, y > 0$에 대해 $K_{-s}(y)=K_s(y)$이다.
$\lambda \in \Complex$를 $\Delta$에 해당하는 마스 형식 $f$의 고유값이라고 하면, 부호까지 고려하여 유일하게 $\lambda = \frac{1}{4} - \nu^2$을 만족하는 $\nu \in \Complex$가 존재한다. 그러면 $f$의 푸리에 계수는 다음과 같다.
$
\begin{align}
a_n(y) &= c_n\sqrt{y} K_\nu(2\pi |n|y) \quad c_n \in \Complex && n \neq 0 \\
a_0(y) &= c_0 y^{\frac{1}{2}-\nu} + d_0 y^{\frac{1}{2}+\nu} \quad c_{0}, d_0 \in \Complex && n=0
\end{align}
$
증명: $\Delta(f)=\left (\frac{1}{4} - \nu^{2} \right )f$ 이 성립하고, 푸리에 계수의 정의에 의해 $n \in \Z$에 대해 $ a_n(y) = \int_0^1 f(x+iy)e^{-2\pi inx} dx$ 이다.
따라서 다음이 성립한다.
$
\begin{align}
\left(\frac{1}{4} - \nu^2\right) a_n(y) &= \int_0^1 \left(\frac{1}{4} - \nu^2\right) f(x+iy)e^{-2\pi inx} dx \\[4pt]
&= \int_0^1 (\Delta f)(x+iy)e^{-2\pi inx} dx \\[4pt]
&= -y^2 \left(\int_0^1 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x+iy)e^{-2\pi inx} dx + \int_0^1 \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x+iy)e^{-2\pi inx} dx\right) \\[4pt]
&= -y^2 (2\pi i n)^2 a_n(y)- y^2\frac{\partial^2}{\partial y^2} \int_0^1 f(x+iy)e^{-2\pi inx} dx \\[4pt]
&= -y^2 (2\pi i n)^2 a_n(y)-y^2 \frac{\partial^2}{\partial y^2}a_n(y) \\[4pt]
&= 4 \pi^2 n^2 y^2 a_n(y)-y^2\frac{\partial^2}{\partial y^2}a_n(y)
\end{align}
$
$n \in \Z$에 대해.
위 식에서 첫 번째 합산 항에 대해 $\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}$의 n번째 푸리에 계수는 $(2\pi i n)^{2}a_{n}(y)$임을 사용했다. 두 번째 항에서는 적분과 미분의 순서를 변경했는데, 이는 f가 y에 대해 매끄럽기 때문에 가능하다. 다음의 2차 선형 미분 방정식을 얻는다.
$ y^2\frac{\partial^2}{\partial y^2} a_n(y) + \left( \frac{1}{4} - \nu^2-4\pi n^2 y^2 \right)a_n(y) = 0 $
$ n = 0$의 경우, 모든 해 $f$에 대해 $ a_0(y)=c_0 y^{\frac{1}{2} - \nu} + d_0 y^{\frac{1}{2} + \nu}$를 만족하는 고유한 계수 $c_0, d_{0} \in \Complex$가 존재함을 보일 수 있다.
$n\neq 0$인 경우, 모든 해 $f$는 다음과 같은 형태의 계수를 갖는다.
$ a_n(y) = c_n\sqrt{y}K_v(2\pi|n|y)+ d_n\sqrt{y}I_v(2\pi|n|y)$
여기서 $c_n,d_n \in \Complex $는 고유하다. 여기서 $K_v(s)$와 $I_v(s)$는 베셀 함수이다.
베셀 함수 $I_v$는 지수적으로 증가하는 반면, 베셀 함수 $K_v$는 지수적으로 감소한다. 다항식 성장 조건과 함께 $f : a_{n}(y)=c_{n}\sqrt{y}K_{v}(2\pi|n|y) $ (또한 $d_{n} = 0$)가 유일한 $c_{n} \in \Complex$에 대해 성립한다.
$i(z):=-\overline{z}$라고 하면, i는 $i(f):=f(i(z))$로 모든 함수 $f :\mathbb{H} \to \Complex$에 작용하며 쌍곡 라플라시안과 교환한다. 마스 형식 $f$가 $i(f)=f$이면 짝수, $i(f)=-f$이면 홀수라고 한다. f가 마스 형식인 경우, $\tfrac{1}{2}(f+i(f))$는 짝수 마스 형식이고, $\tfrac{1}{2}(f-i(f))$는 홀수 마스 형식이며 $f=\tfrac{1}{2}(f+i(f))+\tfrac{1}{2}(f-i(f))$가 성립한다.
$f(x+iy)=\sum_{n \neq 0} c_{n}\sqrt{y}K_{\nu}(2\pi|n|y)e^{2\pi inx}$를 마스 첨점 형식이라고 하면, $f$의 L-함수를 다음과 같이 정의한다.
$ L(s,f) = \sum_{n=1}^\infty c_n n^{-s}$
그러면 급수 $L(s,f)$는 $\Re(s) > \frac{3}{2}$에 대해 수렴하며, $\Complex$상에서 전체 함수로 해석적 연속될 수 있다.
만약 $f$가 짝함수이거나 홀함수이면, 다음을 얻는다.
$\Lambda(s,f) := \pi^{-s}\Gamma \left( \frac{s+\varepsilon+\nu}{2} \right) \Gamma \left( \frac{s+\varepsilon-\nu}{2} \right) L(s,f)$
여기서 $\varepsilon = 0$는 $f$가 짝함수일 경우이고, $\varepsilon = -1$은 $f$가 홀함수일 경우이다. 그러면 $\Lambda$는 다음과 같은 함수 방정식을 만족한다.
$\Lambda(s,f)=(-1)^\varepsilon \Lambda(1-s,f)$
3.2. 아이젠슈타인 급수와의 관계
비정수형 아이젠슈타인 급수는 다음과 같이 정의된다.
:
여기서 는 감마 함수이다. 이 급수는 -불변성을 가지며, 쌍곡 라플라스 연산자의 고유 형태이다.
:
위 식에서 는 에 대한 의 연산에 해당하는 의 안정화 부분군이다.
또한, 이다.
아이젠슈타인 급수는 다음의 성질을 만족한다.
* -불변이다. 즉, 모든 에 대해 이다.
* 쌍곡 라플라스 연산자()의 고유형태이다. 즉, 를 만족한다.
비정칙 아이젠슈타인 급수는 다음과 같은 푸리에 전개를 갖는다.
:
여기서
:
또한, 아이젠슈타인 급수는 다음 함수 방정식을 만족한다.
:
3.3. 합동 부분군과 가중치 k 마스 형식
을 레벨 의 주 합동 부분군이라고 부른다. 부분군 은 인 가 존재하면 합동 부분군이라고 한다.
()인 점들은 기본 영역 의 첨점이라고 불린다. 이들은 의 부분 집합이다. 모든 첨점 에 대해 가 존재하여 가 된다. 를 합동 부분군, 라 하자.
가중치 의 쌍곡 라플라스 연산자 는 다음과 같이 정의한다.
:
:
이는 쌍곡 라플라스 연산자 의 일반화이다.
가중치 에 대한 의 마스 형식은 의 고유함수이고 첨점에서 완만한 성장을 보이는 함수 이다.
여기서,
*
*
