아이젠슈타인 급수

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1. 개요
2. 정의
3. 모듈러 군의 아이젠슈타인 급수
4. 푸리에 급수
- 4.1. q-전개
5. 점화 관계
6. 아이젠슈타인 급수를 이용한 항등식
7. 일반화
참조

1. 개요

아이젠슈타인 급수는 모듈러 형식의 일종으로, 특정 조건을 만족하는 수열의 합으로 정의된다. 이 급수는 정칙 모듈러 형식이며, 모듈러 군의 변환에 따라 변하는 성질을 갖는다. 아이젠슈타인 급수는 푸리에 급수로 표현될 수 있으며, 약수 함수와 리만 제타 함수를 포함하는 공식을 통해 계산된다. 또한, 아이젠슈타인 급수는 세타 함수, 모듈러 불변량, 그리고 람베르트 급수와 같은 다른 수학적 개념과 밀접한 관련이 있다. 아이젠슈타인 급수는 모듈러 형식의 곱과 관련된 항등식을 생성하며, 라마누잔 항등식과 같은 다양한 수학적 관계를 보여준다. 아이젠슈타인 급수는 오토모픽 형식으로 일반화될 수 있으며, 이는 일반적인 리 군에 대한 모듈러 형식의 개념을 확장한다.

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아이젠슈타인 급수
정의
정의	모듈러 형식을 나타내는 급수
관련 분야	수론, 복소해석학
종류
홀형 아이젠슈타인 급수	모듈러 형식 이론에서 중요한 역할을 하는 특정 형태의 급수
비홀형 아이젠슈타인 급수	실해석적 모듈러 형식
성질
수렴성	특정 조건 하에서 수렴
함수 방정식	특정 함수 방정식을 만족
모듈러 성질	모듈러 변환에 대한 특정 변환 규칙을 따름
응용
수론	정수론 문제 연구에 활용
끈 이론	끈 이론과 같은 물리학 분야에 응용
일반화
Siegel 아이젠슈타인 급수	더 높은 차원으로 일반화된 아이젠슈타인 급수
역사적 맥락
이름 유래	고트홀트 아이젠슈타인의 이름에서 유래

2. 정의

모든 $k=2,3,4,\dots$ 에 대하여, '''아이젠슈타인 열''' $G_{2k}$ 는 다음과 같은 모듈러 형식이다.

: $G_{2k}(\tau)=\sum_{(m,n)\ne(0,0)}(m+n\tau)^{-2k}$

$G_{2k}$ 는 무게가 $2k$ 인 정칙 모듈러 형식이다. 만약 $k=1$ 인 경우는 이는 모듈러 형식을 이루지 않는다. (무게가 2인 정칙 모듈러 형식은 존재하지 않는다.)

$q$ 에 대한 $G_6$ 의 실수 부분, 단위 원판. 음수는 검은색이다.

\tau

를 엄격하게 양의 허수 부분을 갖는 복소수라고 하자. 가중치

2k

의 '''정칙 아이젠슈타인 급수'''

G_{2k}(\tau)

를 정수

k \ge 2

에 대해 다음 급수로 정의한다.^[2]

:

G_{2k}(\tau) = \sum_{ (m,n)\in\Z^2\setminus\{(0,0)\}} \frac{1}{(m+n\tau )^{2k}}.

이 급수는 절대 수렴하여 상반 평면에서

\tau

의 정칙 함수로 수렴하며, 아래에 주어진 푸리에 전개는

\tau = i\infty

에서 정칙 함수로 확장됨을 보여준다. 아이젠슈타인 급수가 모듈 형식이라는 것은 놀라운 사실이다. 실제로 핵심 속성은

SL(2, \mathbb{Z})

-공변성이다. 구체적으로

a, b, c, d \in \mathbb{Z}

이고

ad - bc = 1

이면 다음과 같다.

:

G_{2k} \left( \frac{ a\tau +b}{ c\tau + d} \right) = (c\tau +d)^{2k} G_{2k}(\tau)

급수가 절대 수렴하도록

k \ge 2

가 필요하며,

(-m, -n)

과

(m, n)

항이 상쇄되므로

k

는 짝수여야 한다.

k = 1

에 대해서는 급수가 수렴하지만 모듈 형식은 아니다.

모듈러 불변량

g_2

와

g_3

는 처음 두 개의 아이젠슈타인 급수로 주어진다:^[3]

:

\begin{align} g_2 &= 60 G_4 \\ g_3 &= 140 G_6 .\end{align}

타원 곡선의 모듈러 불변량 g₂와 g₃는 아이젠슈타인 급수의 처음 두 항으로, 다음과 같이 주어진다.

:

g_2 = 60 G_4

:

g_3 = 140 G_6

3. 모듈러 군의 아이젠슈타인 급수

$\tau$ 를 엄격하게 양의 허수 부분을 갖는 복소수라고 할 때, 가중치 $2k$ 의 정칙 아이젠슈타인 급수 $G_{2k}(\tau)$ 는 정수 $k \ge 2$ 에 대해 다음과 같이 정의된다.^[2]

: $G_{2k}(\tau) = \sum_{ (m,n)\in\Z^2\setminus\{(0,0)\}} \frac{1}{(m+n\tau )^{2k}}.$

이 급수는 상반 평면에서 $\tau$ 의 정칙 함수로 절대 수렴하며, $\tau = i\infty$ 에서 정칙 함수로 확장된다. 아이젠슈타인 급수는 $\text{SL}(2, \mathbb{Z})$ -공변성을 가지며, 이는 모듈러 형식의 핵심 속성이다. 즉, $a, b, c, d \in \mathbb{Z}$ 이고 $ad - bc = 1$ 이면 다음이 성립한다.

: $G_{2k} \left( \frac{ a\tau +b}{ c\tau + d} \right) = (c\tau +d)^{2k} G_{2k}(\tau)$

4. 푸리에 급수

아이젠슈타인 급수의 푸리에 급수는 약수 함수 $\sigma_k(n)$ 으로 나타낼 수 있다. $q=\exp(2\pi i\tau)$ 라고 쓰면,

: $\frac{(2k-1)!}{(2\pi i)^{2k}}G_{2k}=\frac12\zeta(1-2k)+\sum_{n=1}^\infty\sigma_{k-1}(n)q^n$

이다. 여기서 $\zeta$ 는 리만 제타 함수이다.

$q = e^{2\pi i\tau}$ 로 정의할 때, 아이젠슈타인 급수의 푸리에 급수는 다음과 같다.

: $G_{2k}(\tau) = 2\zeta(2k) \left(1+c_{2k}\sum_{n=1}^\infty \sigma_{2k-1}(n)q^n \right)$

여기서 계수 $c_{2k}$ 는 다음과 같이 주어진다.

: $\begin{align}c_{2k} &= \frac{(2\pi i)^{2k}}{(2k-1)! \zeta(2k)} \\[4pt]&= \frac {-4k}{B_{2k}} = \frac 2 {\zeta(1-2k)}.\end{align}$

여기서 $B_{n}$ 은 베르누이 수, $\zeta(z)$ 는 리만 제타 함수, $\sigma_{p}(n)$ 는 약수 합 함수이며, $n$ 의 약수의 $p$ 제곱의 합이다.

$q$ 에 대한 합은 람베르트 급수로 다시 합산될 수 있다. 즉, 임의의 복소수 $|q| < 1$ 및 $a$ 에 대해 다음이 성립한다.

: $\sum_{n=1}^{\infty} q^n \sigma_a(n) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^a q^n}{1-q^n}$

4. 1. q-전개

q=e^{2\pi i\tau}

로 정의한다. (일부 오래된 책에서는

q

를 노메

q=e^{i\pi\tau}

로 정의하기도 하지만, 현재는

q=e^{2\pi i\tau}

가 수론에서 표준적이다.)

아이젠슈타인 급수의 푸리에 급수는 다음과 같다.

:

G_{2k}(\tau) = 2\zeta(2k) \left(1+c_{2k}\sum_{n=1}^\infty \sigma_{2k-1}(n)q^n \right)

여기서 푸리에 계수

c_{2k}

는 다음과 같이 주어진다.

:

c_{2k} = \frac{(2\pi i)^{2k}}{(2k-1)! \zeta(2k)} = \frac {-4k}{B_{2k}} = \frac {2}{\zeta(1-2k)}.

여기서

B_{n}

은 베르누이 수,

\zeta(z)

는 리만 제타 함수,

\sigma_{p}(n)

는 약수 함수이며,

n

의 약수의

p

제곱의 합이다.

특히, 다음이 성립한다.

:

\begin{align}G_4(\tau)&=\frac{\pi^4}{45} \left[ 1+ 240\sum_{n=1}^\infty \sigma_3(n) q^{n} \right] \\[4pt]G_6(\tau)&=\frac{2\pi^6}{945} \left[ 1- 504\sum_{n=1}^\infty \sigma_5(n) q^{n} \right].\end{align}

n

에 대한 합은 람베르트 급수로 나타낼 수 있다. 즉, 임의의 복소수

|q| \le 1

과

a

에 대해, 다음이 성립한다.

:

\sum_{n=1}^{\infty} q^n \sigma_a(n) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^a q^n}{1-q^n}

아이젠슈타인 급수의 q-전개를 고려하면, 다음과 같은 표현이 자주 사용된다.

:

E_{2k}(\tau)=\frac{G_{2k}(\tau)}{2\zeta (2k)}= 1+\frac {2}{\zeta(1-2k)}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2k-1} q^n}{1-q^n} = 1 - \frac{4k}{B_{2k}} \sum_{d,n \geq 1} n^{2k-1} q^{n d}

5. 점화 관계

모듈러 군에 대한 모든 정칙 모듈 형식^[4]은 와 의 다항식으로 나타낼 수 있다. 구체적으로, 고차 는 점화 관계를 통해 와 로 표현할 수 있다. 라고 하자. 예를 들어, 이고 이다. 그러면 는 다음 관계를 만족한다.

: $\sum_{k=0}^n {n \choose k} d_k d_{n-k} = \frac{2n+9}{3n+6}d_{n+2}$

이는 모든 에 대해 성립한다. 여기서 $n \choose k$ 는 이항 계수이다.

는 바이어슈트라스 타원 함수의 급수 전개에 나타난다.

: $\begin{align}\wp(z) &=\frac{1}{z^2} + z^2 \sum_{k=0}^\infty \frac {d_k z^{2k}}{k!} \\&=\frac{1}{z^2} + \sum_{k=1}^\infty (2k+1) G_{2k+2} z^{2k}.\end{align}$

6. 아이젠슈타인 급수를 이용한 항등식

가중치 $2k$의 모듈러 형식 공간은 $2k = 4, 6, 8, 10, 14$일 때 차원이 1이다. 따라서 해당 가중치를 가진 아이젠슈타인 급수의 곱은 스칼라 배수를 제외하고 같다.^[7] 이는 다음과 같은 항등식으로 나타낼 수 있다.

: $E_4^2 = E_8, \quad E_4 E_6 = E_{10}, \quad E_4 E_{10} = E_{14}, \quad E_6 E_8 = E_{14}.$

아이젠슈타인 급수의 $q$ 전개를 사용하면, 이를 약수의 거듭제곱의 합과 관련된 항등식으로 다시 표현할 수 있다. 예를 들어 다음과 같다.

: $\left(1+240\sum_{n=1}^\infty \sigma_3(n) q^n\right)^2 = 1+480\sum_{n=1}^\infty \sigma_7(n) q^n,$

따라서 다음 관계가 성립한다.

: $\sigma_7(n)=\sigma_3(n)+120\sum_{m=1}^{n-1}\sigma_3(m)\sigma_3(n-m)$

스리니바사 라마누잔은 처음 몇 개의 아이젠슈타인 급수의 미분을 포함하는 몇 가지 흥미로운 항등식을 제시했다.^[9]

$L(q) = 1 - 24 \sum_{n=1}^\infty \frac{nq^n}{1-q^n} = E_2(\tau)$

$M(q) = 1 + 240 \sum_{n=1}^\infty \frac{n^3q^n}{1-q^n} = E_4(\tau)$

$N(q) = 1 - 504 \sum_{n=1}^\infty \frac{n^5q^n}{1-q^n} = E_6(\tau)$

라고 하면, 다음이 성립한다.

: $q\frac{dL}{dq} = \frac{L^2 - M}{12}$

: $q\frac{dM}{dq} = \frac{LM - N}{3}$

: $q\frac{dN}{dq} = \frac{LN - M^2}{2}$

이러한 항등식은 약수 함수의 컨볼루션과 관련된 산술적인 항등식을 생성한다.

6. 1. 세타 함수 표현

q|q^영어는 e|e^영어^2π''iτ''로 정의된다. 야코비 세타 함수를 이용하여 아이젠슈타인 급수를 표현할 수 있다. 이때 사용되는 야코비 세타 함수는 다음과 같이 정의된다.^[6]

:

\begin{align}a&=\theta_2\left(0; e^{\pi i\tau}\right)=\vartheta_{10}(0; \tau) \\b&=\theta_3\left(0; e^{\pi i\tau}\right)=\vartheta_{00}(0; \tau) \\c&=\theta_4\left(0; e^{\pi i\tau}\right)=\vartheta_{01}(0; \tau)\end{align}

여기서

\theta_{m}

과

\vartheta_{n}

은 야코비 세타 함수의 다른 표기법이다.

이때 아이젠슈타인 급수는 다음과 같이 표현된다.

:

\begin{align}E_4(\tau)&= \tfrac{1}{2}\left(a^8+b^8+c^8\right) \\[4pt]E_6(\tau)&= \tfrac{1}{2}\sqrt{\frac{\left(a^8+b^8+c^8\right)^3-54(abc)^8}{2}} \\[4pt]E_8(\tau)&= \tfrac{1}{2}\left(a^{16}+b^{16}+c^{16}\right) = a^8b^8 +a^8c^8 +b^8c^8\end{align}

6. 2. 아이젠슈타인 급수의 곱

가중치 $2k$의 모듈러 형식 공간은 $2k = 4, 6, 8, 10, 14$일 때 차원이 1이다. 따라서 해당 가중치를 가진 아이젠슈타인 급수의 곱은 스칼라 배수를 제외하고 같다.^[7] 이는 다음과 같은 항등식으로 나타낼 수 있다.

:

E_4^2 = E_8, \quad E_4 E_6 = E_{10}, \quad E_4 E_{10} = E_{14}, \quad E_6 E_8 = E_{14}.

아이젠슈타인 급수의 $q$ 전개를 사용하면, 이를 약수의 거듭제곱의 합과 관련된 항등식으로 다시 표현할 수 있다. 예를 들어,

:

\left(1+240\sum_{n=1}^\infty \sigma_3(n) q^n\right)^2 = 1+480\sum_{n=1}^\infty \sigma_7(n) q^n,

따라서

:

\sigma_7(n)=\sigma_3(n)+120\sum_{m=1}^{n-1}\sigma_3(m)\sigma_3(n-m)

과 같은 관계가 성립한다.

8차원 짝수 유니모듈러 격자 $\Gamma$의 세타 함수는 가중치 4의 모듈러 형식이므로, E₈형의 근 격자에서 제곱 길이 $2n$인 벡터의 개수 $r_{\Gamma}(n)$에 대해 다음 항등식이 성립한다.

:

\theta_\Gamma (\tau)=1+\sum_{n=1}^\infty r_{\Gamma}(2n) q^{n} = E_4(\tau), \qquad r_{\Gamma}(n) = 240\sigma_3(n)

디리클레 문자로 꼬인 정칙 아이젠슈타인 급수와 관련된 유사한 기술은 정수 $n$을 $n$의 약수 관점에서 두 개, 네 개 또는 여덟 개의 제곱의 합으로 나타내는 식을 생성한다.

위의 재귀 관계를 사용하면 모든 상위 $E_{2k}$를 $E_4$와 $E_6$의 다항식으로 표현할 수 있다.

아이젠슈타인 급수의 곱 사이의 많은 관계는 한켈 행렬식을 사용하여 표현할 수 있다. 예를 들어, Garvan의 항등식은 다음과 같다.^[8]

:

\left(\frac{\Delta}{(2\pi)^{12}}\right)^2=-\frac{691}{1728^2\cdot250}\det \begin{vmatrix}E_4&E_6&E_8\\ E_6&E_8&E_{10}\\ E_8&E_{10}&E_{12}\end{vmatrix}

여기서

:

\Delta=\frac{E_4^3-E_6^2}{1728}

는 모듈러 판별식이다.

6. 3. 라마누잔 항등식

스리니바사 라마누잔은 처음 몇 개의 아이젠슈타인 급수의 미분을 포함하는 몇 가지 흥미로운 항등식을 제시했다.^[9]

:

L(q) = 1 - 24 \sum_{n=1}^\infty \frac{nq^n}{1-q^n} = E_2(\tau)

:

M(q) = 1 + 240 \sum_{n=1}^\infty \frac{n^3q^n}{1-q^n} = E_4(\tau)

:

N(q) = 1 - 504 \sum_{n=1}^\infty \frac{n^5q^n}{1-q^n} = E_6(\tau)

라고 하면, 다음이 성립한다.

:

q\frac{dL}{dq} = \frac{L^2 - M}{12}

:

q\frac{dM}{dq} = \frac{LM - N}{3}

:

q\frac{dN}{dq} = \frac{LN - M^2}{2}

이러한 항등식은 약수 함수의 컨볼루션과 관련된 산술적인 항등식을 생성한다. 라마누잔에 따르면, 이러한 항등식을 가장 단순한 형태로 만들기 위해

\sigma_p(n)

의 범위를 0을 포함하도록 확장해야 한다.

:

\sigma_p(0) = \tfrac{1}{2}\zeta(-p)

즉,

::

\begin{align}\sigma(0) &= -\tfrac{1}{24} \\\sigma_3(0) &= \tfrac{1}{240} \\\sigma_5(0) &= -\tfrac{1}{504}\end{align}

예를 들어,

:

\sum_{k=0}^n \sigma(k)\sigma(n-k) = \tfrac{5}{12}\sigma_3(n) - \tfrac{1}{2}n\sigma(n)

L

,

M

,

N

함수 사이의 이전 관계와 직접 관련되지 않은 다른 유형의 항등식이 스리니바사 라마누잔과 주세페 멜피에 의해 증명되었다.^[10]^[11] 예를 들어,

:

\begin{align}\sum_{k=0}^n \sigma_3(k)\sigma_3(n-k) &= \tfrac{1}{120}\sigma_7(n) \\\sum_{k=0}^n \sigma(2k+1)\sigma_3(n-k) &= \tfrac{1}{240}\sigma_5(2n+1) \\\sum_{k=0}^n \sigma(3k+1)\sigma(3n-3k+1) &= \tfrac{1}{9}\sigma_3(3n+2)\end{align}

7. 일반화

오토모픽 형식은 일반적인 리 군에 대한 모듈 형식의 개념을 일반화하며, 아이젠슈타인 급수는 유사한 방식으로 일반화된다.^[1]

Hilbert-Blumenthal modular group|힐베르트-블루멘탈 모듈러 군^영어은 PSL(2,O_K)로 정의할 수 있다. 여기서 ''O_K''는 전실체 ''K''의 정수환이다.^[4] 따라서, 아이젠슈타인 급수를 힐베르트-블루멘탈 모듈러 군의 모든 첨점과 관련시킬 수 있다.^[4]

참조

_[1] 웹사이트 Gotthold Eisenstein - Biography https://mathshistory[...] 2023-09-05
_[2] 논문 PARA-EISENSTEIN SERIES FOR THE MODULAR GROUP GL(2, 𝔽q[T]) https://www.jstor.or[...] 2011
_[3] 논문 Eisenstein Series in String Theory 2000-03-07
_[4] 논문 Lacunary recurrences for Eisenstein series 2015
_[5] 논문 Fourier Coefficients of Certain Eisenstein Series https://www.jstor.or[...] 1974
_[6] 웹사이트 How to prove this series identity involving Eisenstein series? https://math.stackex[...] 2023-09-05
_[7] 논문 Products of Eisenstein series and Fourier expansions of modular forms at cusps 2018
_[8] arXiv Hankel Determinants of Eisenstein Series
_[9] 논문 On a Ramanujan's Eisenstein series identity of level fifteen https://doi.org/10.1[...] 2019-06-24
_[10] 서적 Collected Papers Chelsea 1962
_[11] 서적 Number Theory, Diophantine, Computational and Algebraic Aspects: Proceedings of the International Conference held in Eger, Hungary Walter de Grutyer & Co. 1998
_[12] 간행물 Hankel Determinants of Eisenstein Series http://arxiv.org/pdf[...]

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