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반정수

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목차

1. 개요

반정수는 정수와 1/2의 합으로 표현되는 수이다. 수학적으로, 반정수는 정수에 1/2을 더한 형태이며, 정수와 반정수의 집합은 덧셈에 대해 군을 형성하지만, 환은 아니다. 반정수는 사칙 연산에 닫혀 있지 않으며, 물리학과 수학 분야에서 중요한 역할을 한다. 양자역학에서 각운동량의 고유값과 페르미온의 스핀은 반정수 값을 가지며, 4차원 격자 포장과 감마 함수에서도 나타난다.

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반정수
정의
설명정수에 1/2을 더한 유리수
명명법
다른 이름반정수 (半整數), half-odd-integer
예시
예시n + 1/2 (n은 정수)
수학적 표현
수식n + 1/2
관련 개념
관련 개념유리수, 정수

2. 수학적 성질


  • 반정수에 반정수를 더하거나 빼면 정수이다.
  • 정수를 2로 나누면 정수 또는 반정수이다.
  • 반정수에 홀수를 곱하면 반정수이다.
  • 반정수에 짝수를 곱하면 정수이다.
  • 반정수에 4의 배수를 곱하면 짝수이다.
  • 반정수를 2배 하면 홀수가 되고, 4배 하면 단우수가 된다.
  • 정수는 덧셈, 뺄셈, 곱셈에 대해 닫혀 있지만, 반정수는 사칙 연산 중 어느 연산에 대해서도 닫혀 있지 않다. 반정수끼리의 합, 차, 곱, 몫은 모두 반정수가 될 수 없다.
  • ''z''가 반정수일 때, 감마 함수 Γ(''z'')영어의 값은 \sqrt{\pi}의 유리수 배가 된다. 다음은 그 예이다.


:\begin{align}

\Gamma\left(-\frac{1}{2}\right) &= -2\sqrt{\pi} \\

\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) &= \sqrt{\pi} \\

\Gamma\left(\frac{3}{2}\right) &= \frac {\sqrt{\pi}}{2} \\

\Gamma\left(\frac{5}{2}\right) &= \frac {3 \sqrt{\pi}}{4}

\end{align}

2. 1. 정의


  • 반정수에 반정수를 더하거나 빼면 정수이다.
  • 정수를 2로 나누면 정수 또는 반정수이다.
  • 반정수에 홀수를 곱하면 반정수이다.
  • 반정수에 짝수를 곱하면 정수이다.
  • 반정수에 4의 배수를 곱하면 짝수이다.

모든 반정수의 집합은 종종 다음과 같이 표기된다.

:\mathbb Z + \tfrac{1}{2} \quad = \quad \left( \tfrac{1}{2} \mathbb Z \right) \smallsetminus \mathbb Z ~.

정수와 반정수는 덧셈 연산에 대해 함께 군을 형성하며, 이는 다음과 같이 표기될 수 있다.[2]

:\tfrac{1}{2} \mathbb Z ~.

그러나 이 숫자들은 환을 형성하지 않는다. 왜냐하면 두 반정수의 곱은 반정수가 아니기 때문이다. 예를 들어 ~\tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{2} ~=~ \tfrac{1}{4} ~ \notin ~ \tfrac{1}{2} \mathbb Z ~.[3] 이들을 포함하는 최소 환은 이진 유리수의 환인 \Z\left[\tfrac12\right]이다.

모든 반정수의 집합은 다음과 같은 형태로 표현된다.

:\left\{\left.n + {1 \over 2}\right|n\in\mathbb{Z}\right\}

여기서 \mathbb{Z}는 정수 전체의 집합이다.

2. 2. 연산


  • 반정수에 반정수를 더하거나 빼면 정수이다.
  • 정수를 2로 나누면 정수 또는 반정수이다.
  • 반정수에 홀수를 곱하면 반정수이다.
  • 반정수에 짝수를 곱하면 정수이다.
  • 반정수에 4의 배수를 곱하면 짝수이다.
  • 모든 반정수의 집합은 종종 다음과 같이 표기된다.

:\mathbb Z + \tfrac{1}{2} \quad = \quad \left( \tfrac{1}{2} \mathbb Z \right) \smallsetminus \mathbb Z ~.

  • 정수와 반정수는 덧셈 연산에 대해 함께 군을 형성하며, 이는 \tfrac{1}{2} \mathbb Z ~.로 표기될 수 있다.[2]
  • 그러나 이 숫자들은 환을 형성하지 않는다. 왜냐하면 두 반정수의 곱은 반정수가 아니기 때문이다. 예를 들어 ~\tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{2} ~=~ \tfrac{1}{4} ~ \notin ~ \tfrac{1}{2} \mathbb Z ~.이다.[3] 이들을 포함하는 최소 환은 이진 유리수의 환인 \Z\left[\tfrac12\right]이다.
  • 반정수를 2배 하면 홀수가 되고, 4배 하면 단우수가 된다.
  • 정수는 덧셈, 뺄셈, 곱셈에 대해 닫혀 있는 반면, 반정수는 사칙 연산 중 어느 연산에 대해서도 닫혀 있지 않을 뿐만 아니라, 반정수끼리의 합, 차, 곱, 몫은 모두 반정수가 될 수 없다.
  • ''z''가 반정수일 때, 감마 함수의 값은 \sqrt{\pi}의 유리수 배가 된다. 다음은 그 예이다.

:\begin{align}

\Gamma\left(-\frac{1}{2}\right) &= -2\sqrt{\pi} \\

\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) &= \sqrt{\pi} \\

\Gamma\left(\frac{3}{2}\right) &= \frac {\sqrt{\pi}}{2} \\

\Gamma\left(\frac{5}{2}\right) &= \frac {3 \sqrt{\pi}}{4}

\end{align}

2. 3. 기타 성질


  • 반정수에 반정수를 더하거나 빼면 정수이다.
  • 정수를 2로 나누면 정수 또는 반정수이다.
  • 반정수에 홀수를 곱하면 반정수이다.
  • 반정수에 짝수를 곱하면 정수이다.
  • 반정수에 4의 배수를 곱하면 짝수이다.
  • ''n''개의 반정수의 합은 ''n''이 홀수일 때에만 반정수가 된다. (빈 합 0은 반정수가 아니므로 ''n''=0을 포함)
  • 반정수의 음수는 반정수이다.
  • 반정수 집합의 기수는 정수의 기수와 같다. (정수에서 반정수로의 전단사가 존재하기 때문)
  • 반정수를 2배 하면 홀수가 되고, 4배 하면 단우수가 된다.
  • 정수는 덧셈, 뺄셈, 곱셈에 대해 닫혀 있지만, 반정수는 사칙 연산 중 어느 연산에 대해서도 닫혀 있지 않다. 반정수끼리의 합, 차, 곱, 몫은 모두 반정수가 될 수 없다.
  • ''z''가 반정수일 때, 감마 함수 Γ(''z'')의 값은 \sqrt{\pi}의 유리수 배가 된다. 다음은 그 예이다.


:\begin{align}

\Gamma\left(-\frac{1}{2}\right) &= -2\sqrt{\pi} \\

\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) &= \sqrt{\pi} \\

\Gamma\left(\frac{3}{2}\right) &= \frac {\sqrt{\pi}}{2} \\

\Gamma\left(\frac{5}{2}\right) &= \frac {3 \sqrt{\pi}}{4}

\end{align}

3. 응용 분야

물리학의 양자역학에서 각운동량의 고유값은 정수이거나 반정수이다.[5] 전자를 비롯한 페르미온은 반정수 스핀 양자수를 갖는다.

3. 1. 물리학

물리학의 양자역학에서 각운동량의 고유값은 정수이거나 반정수이다. 물리학에서 파울리 배타 원리는 페르미온을 반정수 스핀을 갖는 입자로 정의한 결과이다.[5] 양자 조화 진동자의 에너지 준위는 반정수에서 발생하므로 최저 에너지는 0이 아니다.[6] 전자를 비롯한 페르미온은 반정수 스핀 양자수를 갖는다.

3. 2. 수학

물리학의 양자역학에서 각운동량의 고유값은 정수이거나 반정수이다.

모든 반정수의 집합은 종종 다음과 같이 표기된다.

\mathbb Z + \tfrac{1}{2} \quad = \quad \left( \tfrac{1}{2} \mathbb Z \right) \smallsetminus \mathbb Z ~.

정수와 반정수는 덧셈 연산에 대해 함께 군을 형성하며, 이는 다음과 같이 표기될 수 있다.[2]

\tfrac{1}{2} \mathbb Z ~.

그러나 이 숫자들은 환을 형성하지 않는데, 그 이유는 두 반정수의 곱이 반정수가 아니기 때문이다. 예를 들어 ~\tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{2} ~=~ \tfrac{1}{4} ~ \notin ~ \tfrac{1}{2} \mathbb Z ~.이다.[3] 이들을 포함하는 최소 환은 이진 유리수의 환인 \Z\left[\tfrac12\right]이다.

4차원에서 가장 조밀한 격자 포장은 (''D''4 격자라고 불림) 모든 좌표가 정수이거나 반정수인 점에 구를 위치시킨다. 이 포장은 허위츠 정수와 밀접한 관련이 있는데, 이는 실수 계수가 모두 정수이거나 모두 반정수인 사원수를 말한다.[4]

팩토리얼 함수는 정수 인수에 대해서만 정의되지만, 감마 함수를 사용하여 분수 인수로 확장할 수 있다. 반정수에 대한 감마 함수는 반지름 R인 n차원 공의 부피에 대한 공식에서 중요한 부분이다.[7]

V_n(R) = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2} + 1)}R^n~.

반정수에서의 감마 함수 값은 파이 제곱근의 정수 배수이다.

\Gamma\left(\tfrac{1}{2} + n\right) ~=~ \frac{\,(2n-1)!!\,}{2^n}\, \sqrt{\pi\,} ~=~ \frac{(2n)!}{\,4^n \, n!\,} \sqrt{\pi\,} ~

여기서 n!!은 이중 팩토리얼을 나타낸다.

  • 반정수를 2배 하면 홀수가 되고, 4배 하면 단우수가 된다.
  • 정수는 덧셈, 뺄셈, 곱셈에 대해 닫혀 있지만, 반정수는 사칙 연산 중 어느 연산에 대해서도 닫혀 있지 않다. 반정수끼리의 합, 차, 곱, 몫은 모두 반정수가 될 수 없다.
  • ''z''가 반정수일 때, 감마 함수 의 값은 의 유리수 배가 된다. 다음은 그 예이다.

:\begin{align}

\Gamma\left(-\frac{1}{2}\right) &= -2\sqrt{\pi} \\

\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) &= \sqrt{\pi} \\

\Gamma\left(\frac{3}{2}\right) &= \frac {\sqrt{\pi}}{2} \\

\Gamma\left(\frac{5}{2}\right) &= \frac {3 \sqrt{\pi}}{4}

\end{align}

참조

[1] 서적 Analysis and Design of Univariate Subdivision Schemes https://books.google[...] Springer
[2] 서적 Quantum Invariants of Knots and 3-Manifolds Walter de Gruyter
[3] 서적 Computability and Logic https://books.google[...] Cambridge University Press
[4] 간행물 Review ''On Quaternions and Octonions: Their geometry, arithmetic, and symmetry'' by John H. Conway and Derek A. Smith http://math.ucr.edu/[...]
[5] 서적 The High Energy Universe: Ultra-high energy events in astrophysics and cosmology https://books.google[...] Cambridge University Press
[6] 서적 Quantum Optics: An introduction https://books.google[...] Oxford University Press
[7] 웹사이트 Equation 5.19.4 http://dlmf.nist.gov[...] U.S. [[National Institute of Standards and Technology]] 2013-05-06


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