막스 뇌터

1. 개요

막스 뇌터는 독일의 수학자이다. 1844년 만하임에서 태어나 소아마비 후유증을 겪었지만 독학으로 수학을 공부하여 하이델베르크 대학교에서 교수로 재직했고, 이후 에를랑겐 대학교로 옮겨 대수기하학 분야를 개척했다. 그는 부유한 유대인 상인 가문의 딸과 결혼하여 에미 뇌터, 프리츠 뇌터 등 수학자를 배출했다. 뇌터는 대수 곡선과 대수 곡면 연구에 기여했으며, 브릴-뇌터 이론, 특이점 해소 기법, 뇌터 공식, 뇌터 부등식 등 주요 업적을 남겼다.

2. 생애

만하임에서 부유한 유대인 상인 가문에서 태어난 막스 뇌터는 14세에 소아마비를 앓았으나, 독학으로 수학을 공부해 하이델베르크 대학교와 에를랑겐 대학교 교수를 지냈다. 1880년 이다 아말리아 카우프만(Ida Amalia Kaufmann^독일어)과 결혼하여 에미 뇌터를 포함한 네 자녀를 두었다. 1921년 에를랑겐에서 사망했다.

2.1. 출생과 가계

1844년 만하임의 부유한 유대인 상인 가정에서 태어났다. 뇌터 가문의 원래 이름은 자무엘(Samuel^독일어)이었으나, 1809년 바덴 대공국의 유대인 개명 법령("관용 칙령")에 의하여 뇌터(Noether^독일어)로 바뀌었다. 아버지 헤르만 뇌터(Hermann Noether^독일어)는 할아버지 엘리아스 자무엘이 1797년 브루흐잘에서 시작한 철물 도매상을 물려받았다. 어머니는 아말리아 뷔르츠부르거(Amalia Würzburger^독일어)였고, 형제자매 5명 중 셋째였다.

2.2. 소아마비 투병과 학업

14세 때 소아마비에 걸려 평생 그 후유증에 시달렸다. 독학으로 고급 수학을 배우고 1865년 하이델베르크 대학교에 입학했다. 하이델베르크 대학교에서 몇 년 동안 교수로 재직한 후 1888년 에를랑겐 대학교로 옮겼다.

2.3. 에를랑겐 대학교 교수 재직

1888년 하이델베르크 대학교 교수직을 떠나 에를랑겐 대학교로 옮겨 대수기하학 분야에 기여했다. 1921년 3월 12일 에를랑겐에서 사망하였다.

2.4. 가족 관계

1880년 막스 뇌터는 부유한 유대인 상인 가문의 딸인 이다 아말리아 카우프만(Ida Amalia Kaufmann^독일어)과 결혼하였다. 1882년에는 장녀 에미 뇌터가 태어났는데, 어머니의 이름을 따서 '에미'라는 이름이 붙여졌다. 에미 뇌터는 훗날 추상대수학의 핵심 인물이 되었다. 1883년에는 아들 알프레트(Alfred^독일어)가 태어났으나, 화학을 공부하다 1918년에 사망하였다. 1884년에는 셋째 아들 프리츠 뇌터가 태어났으며, 에미처럼 수학자가 되었다. 그러나 그는 1941년 소련에서 처형되었다. 1889년에 태어난 넷째 아들 구스타프 로베르트(Gustav Robert^독일어)는 병약하여 1928년에 사망하였다.

3. 대수기하학 연구 업적

브릴과 막스 뇌터는 리만 곡면 이론을 대수적으로 재증명하고, 브릴-뇌터 이론을 발전시켰다. 쌍유리 기하학에서 블로잉 업 기법을 도입하여 평면 곡선의 특이점 해소를 증명했다. 뇌터는 대수 곡면 연구에 중요한 기여를 하였으며, 뇌터 공식은 곡면에 대한 리만-로흐 정리의 첫 번째 경우이다. 뇌터 부등식은 곡면의 가능한 이산 불변량에 대한 주요 제약 조건 중 하나이다. 뇌터-레프셰츠 정리(레프셰츠가 증명)는 P³에서 4 이상의 차수를 가진 매우 일반적인 곡면의 피카르 군이 선 다발 O(1)의 제한에 의해 생성된다고 말한다. 뇌터와 카스텔누오보는 복소 사영 평면의 쌍유리 자기 동형 사상인 크레모나 군이 "이차 변환"

: [x,y,z] ↦ [1/x, 1/y, 1/z]

과 P²의 자기 동형 사상 군인 PGL(3,C)에 의해 생성된다는 것을 보였다.

3.1. 브릴-뇌터 이론

브릴과 막스 뇌터는 리만의 리만 곡면에 대한 연구 상당 부분을 대수적 방법을 사용하여 대안적으로 증명했다. 브릴-뇌터 이론은 대수 곡선에서 사영 공간 Pⁿ으로의 주어진 차수 d의 사상 공간의 차원을 추정함으로써 더 나아갔다.

3.2. 특이점 해소

막스 뇌터는 브릴과 함께 쌍유리 기하학에서 평면 곡선의 특이점 해소를 증명하기 위해 블로잉 업이라는 기본적인 기법을 도입했다.

3.3. 뇌터 공식과 뇌터 부등식

브릴과 막스 뇌터는 리만의 리만 곡면에 대한 연구 상당 부분을 대수적 방법을 사용하여 대안적으로 증명했다. 쌍유리 기하학에서 뇌터는 평면 곡선에 대한 특이점 해소를 증명하기 위해 블로잉 업이라는 기본적인 기법을 도입했다.

뇌터는 대수 곡면 이론에 중요한 기여를 했다. 뇌터 공식은 곡면에 대한 리만-로흐 정리의 첫 번째 경우이다. 뇌터 부등식은 곡면의 가능한 이산 불변량에 대한 주요 제약 조건 중 하나이다.

3.4. 뇌터-레프셰츠 정리

뇌터-레프셰츠 정리(레프셰츠가 증명)는 P³에서 4 이상의 차수를 가진 매우 일반적인 곡면의 피카르 군이 선 다발 O(1)의 제한에 의해 생성된다고 말한다.

3.5. 크레모나 군 연구

카스텔누오보와 뇌터는 복소 사영 평면의 쌍유리 자기 동형 사상인 크레모나 군이 "이차 변환"

: [x,y,z] ↦ [1/x, 1/y, 1/z]

과 P²의 자기 동형 사상 군인 PGL(3,C)에 의해 생성된다는 것을 보였다. 오늘날에도 P³의 쌍유리 자기 동형 사상 군에 대한 명시적인 생성자는 알려져 있지 않다.