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추상대수학

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목차

1. 개요

추상대수학은 대수적 구조를 연구하는 수학의 한 분야로, 구체적인 문제와 예시를 통해 발전해왔다. 19세기 말까지 대수 방정식 이론에 관련된 문제들이 주류를 이루었으며, 연립 선형 방정식, 다항식의 근을 구하는 문제, 디오판토스 방정식 연구 등이 추상대수학의 발전에 기여했다. 추상대수학은 군, 환, 체와 같은 다양한 대수 구조의 공리적 정의를 통해 발전했으며, 군론, 환론, 가환대수학, 체론, 격자론, 보편대수학, 범주론 등의 분야로 나뉜다. 현대 수학과 수리물리학에서 널리 응용되며, 이론물리학, 표현론, 대수적 위상수학, 대수적 정수론, 대수기하학 등 다양한 분야에서 활용된다.

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추상대수학
개요
분야수학
하위 분야군론
환론
체론
가군론
선형대수학
격자 이론
전순서 집합
관련 분야범주론
정수론
대수기하학
대수적 위상수학
암호학
역사
이전 명칭현대 대수학
기원19세기 초
주요 인물에바리스트 갈루아
닐스 헨리크 아벨
에미 뇌터
에른스트 스타이니츠
리처드 데데킨트
주요 개념
대수 구조군
환
체
가군
벡터 공간
대수
격자
사상준동형 사상
동형 사상
자기 동형 사상
기타부분 구조
잉여류
직접곱
생성원
관계
응용
활용 분야암호학
코딩 이론
물리학
컴퓨터 과학

2. 역사

추상대수학은 19세기에 방정식의 해법 연구, 정수론, 기하학 등 다양한 분야에서 등장한 문제들을 해결하는 과정에서 발전하였다. 19세기 말엽까지 대수 방정식 이론이 주류를 이루었으며, 다음과 같은 예시들이 있었다.



19세기 말과 20세기 초, 수학의 방법론에 변화가 일어나면서 추상대수학은 '현대대수학'이라는 이름으로 20세기 초에 등장했다.[19] 이는 수학에서 더욱 엄밀한 논리적 엄격성을 추구하는 노력의 일환이었다. 처음에는 고전 대수의 가정이 공리계 형태로 나타났고, 점차 일반 이론으로 발전하였다. 19세기에 특정 대수적 구조의 공식적인 정의가 등장하기 시작했으며, 다양한 수학적 대상의 구조와 분류에 대한 질문이 중요해졌다.

이러한 과정은 수학 전반에 걸쳐 일어났지만, 특히 대수학에서 두드러졌다. 군론, 환론, 체론과 같은 기본적인 대수 구조에 대해 원시 연산과 공리를 통한 공식적인 정의가 제안되었다. 에른스트 슈타이니츠의 일반 체에 대한 대수적 연구와 데이비드 힐베르트, 에밀 아르틴, 에미 뇌터에 의한 교환환과 일반환에 대한 연구는 추상대수학을 정의하는 데 큰 영향을 미쳤다. 19세기 후반과 20세기 초반의 이러한 발전은 반 데르 바르덴의 ''Moderne Algebra''(1930-1931)에 체계적으로 제시되었으며, 이 책은 대수의 개념을 "방정식의 이론"에서 "대수적 구조의 이론"으로 재정립했다.[2]

하나의 이항연산으로 이루어지는 대수적 구조의 가장 간단한 것은 마그마이며, 거기에 부가적인 조건을 부여함으로써 준군, 모노이드, 반군 등의 개념이, 그리고 가장 중요한 수학적 구조로 여겨지는 군의 개념이 얻어진다. 더 복잡한 예로는 환, 체, 가군, 벡터 공간, 선형환, 결합 대수, 리 대수, 격자, 불 대수 등이 있다.

에바리스트 갈루아는 수학적 대상의 구체적인 정의에서 벗어나 구조에만 주목하는 생각을 제시했으며, 에미 뇌터와 반 데르 바르덴에 의한 가군의 연구와 부르바키의 「수학원론」에 의해 집합론적인 추상대수학의 오늘날의 공식화가 달성되었다.

역사적으로, 다양한 대수적 구조는 추상대수학에서 갑자기 정의된 것이 아니라, 수학의 다른 분야에서 나타났다. 그 후 추상대수적인 구조가 공리적으로 추출되었다. 소푸스 리에 의해 19세기 말에야 겨우 꺼내어진 대수 구조인 리 대수 등의 추상대수학의 결과는, 현대의 다양한 수학이나 수리물리학에서 적극적으로 이용되고 있다. 대수적 정수론이나 대수적 위상기하학, 대수기하학 등은 대수의 방법을 다른 영역에 적용하고 있는 수학의 분야이다.

2. 1. 초등 대수학

대수 방정식에 대한 연구는 오랜 역사를 지니고 있다. 기원전 1700년경 바빌로니아인들은 이차 방정식을 풀 수 있었으며,[3] 이는 수사 대수학으로 분류되어 16세기까지 주된 접근 방식이었다. 알콰리즈미는 서기 830년에 "대수학"이라는 단어를 만들었지만 그의 작업은 전적으로 수사 대수학이었다. 완전한 기호 대수학은 프랑수아 비에트의 1591년 신대수학까지 등장하지 않았고, 르네 데카르트의 1637년 기하학에서도 기호로 주어진 일부 철자 단어만 있었을 뿐이다.[3] 이러한 방정식 풀이에 대한 연구는 추상대수학의 초기 발전에 중요한 기반을 제공하였다.

2. 2. 초기 군론

조지 피콕의 1830년 ''대수 논문''은 대수를 엄격하게 기호적 기반 위에 놓으려는 최초의 시도였다. 그는 기존의 산술 대수학과는 별개로 새로운 기호 대수학을 구별했다. 산술 대수학에서 a - b는 a \geq b로 제한되는 반면, 기호 대수학에서는 모든 연산 규칙이 제한 없이 적용된다. 이를 이용하여 피콕은 (a - b)(c - d)=ac + bd - ad - bc에서 a=0,c=0을 대입하여 (-a)(-b) = ab와 같은 법칙을 보일 수 있었다. 피콕은 자신의 주장을 정당화하기 위해 동등 형태의 영속성 원리라고 부르는 것을 사용했지만, 그의 추론은 귀납 문제로 고통받았다.[3] 예를 들어, \sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}는 음이 아닌 실수에 대해서는 성립하지만 일반적인 복소수에 대해서는 성립하지 않는다.

1770년 라그랑주는 5차 방정식의 해에 대한 연구를 통해 다항식의 갈루아 군을 연구하게 되었다. 1801년 가우스는 페르마의 소정리에 대한 연구를 통해 n을 법으로 하는 정수환, n을 법으로 하는 정수의 승법군, 그리고 더 일반적인 개념인 순환군과 아벨 군을 연구하였다. 1872년 클라인은 에를랑겐 프로그램을 통해 기하학을 연구하였고, 유클리드 군과 사영 변환 군과 같은 대칭군을 연구하였다. 1874년 리는 "미분 방정식의 갈루아 이론"을 목표로 리 군 이론을 도입하였다. 1876년 푸앵카레와 클라인은 해석학에서 자기 동형 함수에 대한 연구를 기반으로 뫼비우스 변환 군과 그 부분군인 모듈러 군과 푸크스 군을 도입하였다.[4]

군의 추상적인 개념은 19세기 중반에 걸쳐 서서히 등장하였다. 1832년 갈루아는 처음으로 "군"이라는 용어를 사용하였는데,[5] 이는 합성에 대해 닫혀 있는 치환들의 집합을 의미한다.[6] 1854년 아서 케일리는 논문 "군 이론에 관하여"에서 결합법칙을 만족하는 연산과 항등원 1을 갖는 집합으로 군을 정의하였는데, 오늘날 이는 모노이드라고 한다.[7] 1870년 크로네커는 닫혀 있고, 교환법칙, 결합법칙을 만족하며 좌측 소거 법칙 b\neq c \to a\cdot b\neq a\cdot c을 갖는 추상적인 이항 연산을 정의하였는데,[8] 이는 유한 아벨 군에 대한 현대적인 법칙과 유사하다.[9] 1882년 베버는 결합법칙을 만족하고 좌측 및 우측 소거 법칙을 갖는 닫힌 이항 연산으로 군을 정의하였다.[10] 발터 폰 다이크는 1882년 최초로 역원을 군의 정의의 일부로 요구하였다.[11]

이 추상적인 군의 개념이 등장한 후, 실로의 정리는 프로베니우스가 1887년 유한 군의 법칙으로부터 직접 재증명하였지만, 프로베니우스는 이 정리가 치환군에 대한 코시의 정리와 모든 유한 군이 치환군의 부분군이라는 사실로부터 따른다고 언급하였다.[12][13] 오토 홀더는 이 분야에서 특히 많은 업적을 남겼는데, 1889년 몫군, 1893년 군 자기 동형사상, 그리고 단순군을 정의하였다. 그는 또한 조르당-홀더 정리를 완성하였다. 데데킨트와 밀러는 독립적으로 해밀턴 군을 특징짓고 두 원소의 교환자 개념을 도입하였다. 번사이드, 프로베니우스, 몰리엔은 19세기 말에 유한 군의 표현론을 창안하였다.[14]

2. 3. 초기 환론

비가환환론은 19세기 중반 윌리엄 로원 해밀턴의 사원수 발견에서 비롯되었다.[9] 이후 테사린,[10] 코사원수, 분리 이사원수 등 다양한 초복소수 체계가 연구되었다. 1870년 벤자민 피어스는 6차원 미만의 150개가 넘는 초복소수 체계를 분류하고, 결합 대수에 대한 정의를 제시했다.

가환환론은 카를 프리드리히 가우스의 정수론 연구에서 시작되었다. 가우스는 가우스 정수를 이차 상호 법칙과 연관지어 연구했다. 에른스트 쿠머와 리하르트 데데킨트는 대수적 정수를 연구하며 소수 이상의 유일한 곱으로 표현되는 데데킨트 정역 이론을 만들었다. 또한, 다항식 환의 이상에 대한 연구가 이루어졌는데, 이는 에미 노터의 연구에 중요한 영향을 미쳤다.

1920년대 에미 노터는 환의 이상에 대한 획기적인 연구를 통해 현대적인 환론의 기초를 확립하였다. 어빙 카플란스키는 노터의 연구를 "혁명적"이라고 평가했다.[15]

2. 4. 초기 체론

19세기 초, 카를 프리드리히 가우스는 p를 법으로 하는 정수를 연구하였고, 에바리스트 갈루아는 유한체의 개념을 도입하였다. 리하르트 데데킨트는 사칙연산에 대해 닫혀 있는 실수 또는 복소수 집합에 대해 "신체" 또는 "집단"을 의미하는 독일어 단어 ''Körper''를 도입하였다. 영어 용어 "field"(체)는 1893년 무어(Moore)에 의해 도입되었다.[16] 레오폴트 크로네커는 1881년에 현대적인 용어로는 유리 함수체인 '유리수 영역'이라고 부르는 것을 정의했다. 하인리히 마르틴 베버는 1893년에 추상적인 체에 대한 최초의 명확한 정의를 제시하였다. 베버의 정의에는 곱셈에 대한 결합법칙은 빠져 있었지만, 유한체와 대수적 정수론 및 대수 기하학의 체를 포함하였다. 1910년 에른스트 슈타이니츠는 그때까지 축적된 추상적 체 이론의 지식을 종합했다. 그는 체를 공리적으로 정의하고, 표수에 따라 분류하는 등 체론의 주요 정리들을 증명하였다.

3. 주요 분야

추상대수학은 다루는 대수 구조에 따라 여러 분야로 분류된다.



하나의 이항 연산으로 이루어지는 대수적 구조의 가장 간단한 것은 마그마이며, 거기에 부가적인 조건을 부여함으로써 준군, 모노이드, 반군 등과 가장 중요한 수학적 구조로 여겨지는 군의 개념이 만들어진다. 더 복잡한 예로는 두 개의 연산을 갖는 환이나 체, 외적 연산을 갖는 가군이나 벡터 공간, 체 위의 선형환, 결합 대수와 리 대수, 기호논리학적인 격자나 부울 대수 등이 있다. 이러한 대상들은 준동형(각각의 구조를 보존하는 사상)과 함께 범주를 이루고, 범주론에 의해 서로 다른 종류의 대수적 구조를 비교하거나 번역할 수 있다.

3. 1. 군론

군의 성질과 구조를 연구하는 분야는 군론이라고 불린다. 군은 하나의 이항 연산과 항등원, 역원, 결합 법칙을 만족하는 대수적 구조이다.[5]

수학의 여러 분야는 군의 연구로 이어졌다. 1770년, 라그랑주는 5차 방정식의 해에 대한 연구를 통해 다항식의 갈루아 군을 연구했다. 1801년, 가우스는 페르마의 소정리에 대한 연구를 통해 순환군과 아벨 군을 연구하였다. 1872년, 클라인은 에를랑겐 프로그램을 통해 기하학을 연구했고, 대칭군을 연구하였다. 1874년, 소푸스 리는 리 군 이론을 도입하였다. 1876년, 푸앵카레와 클라인은 뫼비우스 변환 군과 그 부분군인 모듈러 군과 푸크스 군을 도입하였다.

19세기 중반에 걸쳐 군의 추상적인 개념이 등장하였다. 1832년, 갈루아는 처음으로 "군"이라는 용어를 사용하였다.[5] 1854년, 아서 케일리는 논문 "군 이론에 관하여"에서 군을 정의하였는데, 오늘날 이는 모노이드라고 불린다.[6] 1870년, 레오폴트 크로네커는 추상적인 이항 연산을 정의하였는데,[7] 이는 유한 아벨 군에 대한 현대적인 법칙과 유사하다. 1882년, 하인리히 마르틴 베버는 군을 정의하였다. 같은 해, 발터 폰 다이크는 최초로 역원을 군의 정의의 일부로 요구하였다.

실로의 정리는 페르디난트 게오르크 프로베니우스가 1887년 유한 군의 법칙으로부터 직접 재증명하였지만, 프로베니우스는 이 정리가 치환군에 대한 오귀스탱 루이 코시의 정리와 모든 유한 군이 치환군의 부분군이라는 사실로부터 따른다고 언급하였다.[8] 오토 횔더는 1889년 몫군, 1893년 군 자기 동형사상, 그리고 단순군을 정의하였다. 그는 또한 조르당-횔더 정리를 완성하였다. 리하르트 데데킨트와 밀러는 독립적으로 해밀턴 군을 특징짓고 두 원소의 교환자 개념을 도입하였다. 윌리엄 번사이드, 프로베니우스, 몰리엔은 19세기 말에 유한 군의 표현론을 창안하였다.

군(群)은 집합 G와 이항 연산 ⋅: G × G → G를 함께 갖는 구조이며 다음과 같은 공리를 만족한다.

  • '''항등원''': 모든 원소 a ∈ G에 대해 e ⋅ a = a ⋅ e = a를 만족하는 원소 e가 존재한다.

  • '''역원''': 모든 원소 a ∈ G에 대해 a ⋅ b = b ⋅ a = e를 만족하는 원소 b가 존재한다.

  • '''결합법칙''': 모든 원소 a, b, c ∈ G에 대해 (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c)가 성립한다.

3. 2. 환론

환론은 환의 성질과 구조를 연구하는 분야이다. 환은 덧셈과 곱셈 두 개의 이항 연산을 가지며, 덧셈에 대해 가환군, 곱셈에 대해 모노이드를 이루고, 분배 법칙을 만족하는 대수적 구조이다.

3. 3. 가환대수학

가환환과 그 위의 가군을 연구하는 추상대수학의 한 분야이다. 가환환은 곱셈에 대해 교환법칙이 성립하는 환이다. 선형대수학은 체 위의 가군을 연구하는 가환대수학의 특수한 경우이며, 대수기하학과 밀접한 관련이 있다.[19]

3. 4. 체론

체론은 체의 성질과 구조를 연구하는 추상대수학의 한 분야이다. 체는 덧셈과 곱셈 두 개의 이항 연산을 가지며, 0을 제외한 모든 원소가 곱셈에 대한 역원을 갖는 가환환이다. 체론은 수론과 겹치는 부분이 많다.[16]

1801년 가우스는 p를 법으로 하는 정수를 도입했다. 1830년 갈루아는 이를 확장하여 p^n개의 원소를 갖는 유한체를 정의했다. 1871년 리하르트 데데킨트는 사칙연산에 대해 닫혀있는 실수 또는 복소수 집합에 대해 "신체"를 의미하는 독일어 단어 ''Körper''를 도입했다. 영어 용어 "field"(체)는 1893년 무어에 의해 도입되었다.[16] 1881년 레오폴트 크로네커는 현대적인 용어로는 유리 함수체인 ''유리수 영역''이라고 부르는 것을 정의했다. 추상적인 체에 대한 최초의 명확한 정의는 1893년 하인리히 마르틴 베버에 의해 이루어졌다. 1910년 슈타이니츠는 그때까지 축적된 추상적 체 이론의 지식을 종합하여 체를 공리적으로 정의하고, 표수에 따라 분류하고, 오늘날 일반적으로 볼 수 있는 많은 정리를 증명했다.

3. 5. 격자론

격자론에서는 각종 격자, 헤이팅 대수, 불 대수를 연구한다.[19]

3. 6. 보편대수학

대수 구조에 공통되는 특성은 '''보편대수학'''(universal algebra영어) 및 범주론에서 연구된다. 범주론은 서로 다른 대수 구조들을 비교하고 둘 사이의 대응 관계를 연구할 수 있는 형식적 수단을 제공한다.[19] 보편대수학에서는 다양한 대수적 구조의 정의와 성질이 통일적으로 다루어진다.

3. 7. 범주론

범주론은 서로 다른 대수 구조들을 비교하고 그 사이의 대응 관계를 연구할 수 있는 형식적 수단을 제공한다. 이는 대수적 구조와 그 사이의 준동형을 추상적으로 연구하는 분야이다.[19] 범주론을 통해 서로 다른 종류의 대수적 구조를 비교하거나 번역할 수 있다.

4. 응용

이론물리학에서는 리 대수가 중요한 도구로 사용되며, 표현론(Representation theory)은 대수 구조와 벡터 공간 위의 선형 변환의 관계를 연구한다. 대수적 수론, 대수적 위상수학, 대수기하학 등은 추상대수학을 다른 수학 분야에 적용한 예이다.[17] 대수적 위상수학에서는 대수적 대상을 사용하여 위상을 연구하며, 푸앵카레 추측은 다양체의 기본군을 통해 다양체가 구인지 판별할 수 있다는 내용을 담고 있다. 대수적 정수론은 정수 집합을 일반화한 다양한 수 환을 연구하며, 페르마의 마지막 정리 증명에 사용되었다.

물리학에서 군은 대칭 연산을 나타내는 데 사용되며, 군론은 미분 방정식을 단순화한다. 게이지 이론에서는 국소 대칭을 이용하여 시스템을 설명하는 방정식을 유도하며, 이 대칭을 설명하는 군이 리 군이다. 리 군과 리 대수의 연구는 물리 시스템에 대한 많은 정보를 제공하며, 이론에서 힘 매개입자의 수는 리 대수의 차원과 같고, 리 대수가 비가환적인 경우 보손은 자신이 매개하는 힘과 상호 작용한다.[18]

참조

[1] 서적 Abstract Algebra: Structure and Application https://books.google[...] Springer 2014-08-29
[2] 서적 Modern Algebra. Vol I Frederick Ungar Publishing Co.
[3] 서적 Introductio in Analysin Infinitorum https://books.google[...] Marc Michel Bosquet & Co. 1748
[4] 서적 Negative Math Princeton University Press 2014
[5] MacTutor The abstract group concept
[6] 학술지 On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θn = 1 https://babel.hathit[...] 1854
[7] 서적 Leopold Kronecker's werke : Herausgegeben auf veranlassung der Königlich preussischen akademie der wissenschaften https://archive.org/[...] Leipzig; Berlin: B.G. Teubner 1895
[8] 학술지 Neuer Beweis des Sylowschen Satzes http://mmsengineerin[...] 2008-04
[9] 학술지 On Certain Functions Resembling Quaternions and on a New Imaginary in Algebra https://www.biodiver[...] Taylor & Francis 1848
[10] 학술지 On Systems of Algebra involving more than one Imaginary https://www.biodiver[...] Taylor & Francis 1849
[11] 서적 Über das Dirichletsche Prinzip
[12] 학술지 Beweis, dass jede Covariante und Invariante einer binären Form eine ganze Funktion mit numerischen Coeffizienten einer endlichen Anzahl solcher Formen ist https://zenodo.org/r[...]
[13] 학술지 Über die Teiler der Null und die Zerlegung von Ringen
[14] 학술지 The origins of the definition of abstract rings https://projecteucli[...] 2000-01
[15] 서적 Emmy Noether: 1882–1935 Birkhäuser
[16] 웹사이트 Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (F) http://jeff560.tripo[...]
[17] 서적 The Chinese roots of linear algebra https://www.worldcat[...] Johns Hopkins University Press 2011
[18] 서적 Deep Down Things https://archive.org/[...] Johns Hopkins University Press
[19] 서적 A History of Abstract Algebra Springer Verlag


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