매티그 공식

2. 암흑 에너지가 없는 경우의 광도 거리

암흑 에너지가 없는 프리드만 우주 모형에서 광도 거리를 계산하는 것은 우주론 연구에서 중요한 과제 중 하나이다. 암흑 에너지가 없는 경우의 광도 거리는 1958년 독일의 천문학자 볼프강 매티그(Wolfgang Mattig)에 의해 처음으로 수학적 공식으로 유도되었다.^[6][2] 매티그가 제시한 공식은 우주 상수를 고려하지 않았기 때문에, 감속 매개변수 $q\_0$가 0보다 클 때($q\_0\; >\; 0$)만 유효하다는 한계가 있다.^[7][3]

이러한 매티그 공식의 제한점을 보완하기 위해 1977년 제임스 테럴(James Terrell)은 새로운 공식을 제시했다.^[8][4] 테럴의 공식은 감속 매개변수 $q\_0$가 0 이상인($q\_0\; \backslash ge\; 0$) 모든 경우에 적용될 수 있어, 매티그 공식보다 더 일반적인 상황에서 광도 거리를 계산할 수 있게 해준다. 또한, 감속 매개변수가 정확히 0인 특별한 경우($q\_0=0$)에 대한 광도 거리 공식도 별도로 유도되어 사용된다.

각 공식과 관련 변수(고유 거리, 공변 거리, 감속 매개변수, 스케일 팩터, 허블 상수, 적색편이 등)에 대한 자세한 내용은 하위 섹션에서 다룬다.

2. 1. 매티그 공식 (1958)

2. 1. 1. 매티그 공식에 사용되는 변수

• $r\_1$: 관찰자로부터 천체의 원주좌표 거리. 이는 현재 시점의 고유 거리와 같다. $r\_1=\backslash frac\{d\_p\}\{R\}=\backslash frac\{d\_c\}\{R\_0\}$의 관계를 가진다.
• $d\_p$: 고유 거리(proper distance).
• $d\_c$: 공변 거리(comoving distance).
• $q\_0$: 감속 매개변수. $q\_0=\backslash Omega\_0/2$로 정의되며, $\backslash Omega\_0$는 현재 우주에 있는 물질의 밀도를 나타낸다.
• $R\_0$: 현재 시점의 스케일 팩터(척도 인자).
• $R$: 임의의 시간에서의 스케일 팩터(척도 인자).
• $H\_0$: 현재 시점의 허블 상수.
• $z$: 적색편이.^[7][3]

2. 2. 테럴 공식 (1977)

2. 3. 감속 매개변수가 0인 경우

참조

_[1] 서적 Observations in Cosmology http://ned.ipac.calt[...] Cambridge University Press
_[2] 논문 Über den Zusammenhang zwischen Rotverschiebung und scheinbarer Helligkeit 1958
_[3] 서적 An Introduction to Active Galactic Nuclei
_[4] 논문 The luminosity distance equation in Friedmann cosmology 1977
_[5] 서적 Observations in Cosmology http://ned.ipac.calt[...] Cambridge University Press
_[6] 논문 Über den Zusammenhang zwischen Rotverschiebung und scheinbarer Helligkeit 1958
_[7] 서적 An Introduction to Active Galactic Nuclei
_[8] 논문 The luminosity distance equation in Friedmann cosmology 1977