모듈러 람다 함수

3. 성질

모듈러 람다 함수는 바이어슈트라스 타원함수를 통해 정의되며, 타원 곡선과 리만 구면 사이의 관계를 나타낸다. 이 함수는 비조화비(anharmonic ratio)로 표현될 수 있다.^[4] 모듈러 람다 함수 $\backslash lambda(\backslash tau)$는 합동 부분군 $\backslash Gamma(2)$에 대해 불변이지만, 모듈러 군 $\backslash Gamma(1)$에 대해서는 특정한 방식으로 변환된다.

3. 1. 함수 방정식

3. 2. 급수 전개

4. 타원의 모듈러스

모듈러 람다 함수는 타원 곡선의 모듈러스와 밀접하게 관련되어 있다.^[5] 모듈러 람다 함수는 타원 모듈러스의 제곱이며,^[5] 데데킨트 에타 함수 및 세타 함수를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$\backslash lambda(\backslash tau)\; =\; k^2(\backslash tau)$

:$\backslash lambda(\backslash tau)\; =\; \backslash Bigg(\backslash frac\{\backslash sqrt\{2\}\backslash ,\backslash eta(\backslash tfrac\{\backslash tau\}\{2\})\backslash eta^2(2\backslash tau)\}\{\backslash eta^3(\backslash tau)\}\backslash Bigg)^8\; =\; \backslash frac\{16\}\{\backslash left(\backslash frac\{\backslash eta(\backslash tau/2)\}\{\backslash eta(2\backslash tau)\}\backslash right)^8\; +\; 16\}\; =\backslash frac\{\backslash theta\_2^4(\backslash tau)\}\{\backslash theta\_3^4(\backslash tau)\}$

:$\backslash frac\{1\}\{\backslash big(\backslash lambda(\backslash tau)\backslash big)^\{1/4\}\}-\backslash big(\backslash lambda(\backslash tau)\backslash big)^\{1/4\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash left(\backslash frac\{\backslash eta(\backslash tfrac\{\backslash tau\}\{4\})\}\{\backslash eta(\backslash tau)\}\backslash right)^4\; =\; 2\backslash ,\backslash frac\{\backslash theta\_4^2(\backslash tfrac\{\backslash tau\}\{2\})\}\{\backslash theta\_2^2(\backslash tfrac\{\backslash tau\}\{2\})\}$

여기서^[6]

:$\backslash theta\_2(\backslash tau)\; =\backslash sum\_\{n=-\backslash infty\}^\backslash infty\; e^\{\backslash pi\; i\backslash tau\; (n+1/2)^2\}$

:$\backslash theta\_3(\backslash tau)\; =\; \backslash sum\_\{n=-\backslash infty\}^\backslash infty\; e^\{\backslash pi\; i\backslash tau\; n^2\}$

:$\backslash theta\_4(\backslash tau)\; =\; \backslash sum\_\{n=-\backslash infty\}^\backslash infty\; (-1)^n\; e^\{\backslash pi\; i\backslash tau\; n^2\}$

바이어슈트라스 타원 함수의 반주기를 사용하여, $[\backslash omega\_1,\backslash omega\_2]$를 $\backslash tau=\backslash frac\{\backslash omega\_2\}\{\backslash omega\_1\}$인 주기의 기본쌍이라고 하면, 다음이 성립한다.^[5]

:$e\_1\; =\; \backslash wp\backslash left(\backslash frac\{\backslash omega\_1\}\{2\}\backslash right),\; \backslash quad\; e\_2\; =\; \backslash wp\backslash left(\backslash frac\{\backslash omega\_2\}\{2\}\backslash right),\backslash quad\; e\_3\; =\; \backslash wp\backslash left(\backslash frac\{\backslash omega\_1+\backslash omega\_2\}\{2\}\backslash right)$

:$\backslash lambda\; =\; \backslash frac\{e\_3-e\_2\}\{e\_1-e\_2\}\; \backslash ,\; .$

세 개의 반주기 값이 다르므로, $\backslash lambda$는 0 또는 1의 값을 갖지 않는다.^[5]

j-불변량과의 관계는 다음과 같다.^[7][8]

:$j(\backslash tau)\; =\; \backslash frac\{256(1-\backslash lambda(1-\backslash lambda))^3\}\{(\backslash lambda(1-\backslash lambda))^2\}\; =\; \backslash frac\{256(1-\backslash lambda+\backslash lambda^2)^3\}\{\backslash lambda^2\; (1-\backslash lambda)^2\}\; \backslash \; .$

이는 르장드르 형식 $y^2=x(x-1)(x-\backslash lambda)$의 타원 곡선의 ''j''-불변량이다.

$m\backslash in\backslash mathbb\{C\}\backslash setminus\backslash \{0,1\backslash \}$이 주어졌을 때,

:$\backslash tau=i\backslash frac\{K\backslash \{1-m\backslash \}\}\{K\backslash \{m\backslash \}\}$

여기서 $K$는 매개변수 $m=k^2$를 갖는 제1종 완전 타원 적분이다. 그렇다면

:$\backslash lambda\; (\backslash tau)=m.$

4. 1. 람다-별 (Lambda-star) 함수

• 홀수 (4z+3) 위치의 람다 값:

• 짝수 4z 위치의 람다 값:

4. 1. 1. 람다-별 함수의 정의 및 계산

4. 1. 2. 람다-별 함수의 성질 및 값

• 홀수 (8z+1) 위치의 람다 값:

• 홀수 (8z+5) 위치의 람다 값:

• 짝수 (8z+2) 위치의 람다 값:

4. 2. 라마누잔의 클래스 불변량

5. 다른 함수와의 관계

모듈러 람다 함수는 j-불변량, 타원 모듈러스 등 다른 함수들과 밀접한 관계를 맺고 있다. 이러한 관계는 바이어슈트라스 타원 함수, 데데킨트 에타 함수, 세타 함수 등을 통해 표현된다.^[5][6][7][8]

5. 1. 타원 모듈러스와의 관계

5. 2. j-불변량과의 관계

5. 3. 모듈러 방정식

• $p=2$: $(1+u^4)^2v^8-4u^4=0$
• $p=3$: $u^4-v^4+2uv(1-u^2v^2)=0$
• $p=5$: $u^6-v^6+5u^2v^2(u^2-v^2)+4uv(1-u^4v^4)=0$
• $p=7$: $(1-u^8)(1-v^8)-(1-uv)^8=0$

• $n$이 짝수일 때:

• $n$이 홀수일 때:

6. 응용

람다 함수는 리틀 피카르 정리의 원래 증명에 사용된다.^[18] 또한, ${\displaystyle \tau \mapsto 16/\lambda (2\tau )-8}$는 군 ${\displaystyle \Gamma _{0}(4)}$에 대한 정규화된 하우프트모듈이며, 이 함수의 ''q''-전개 ${\displaystyle q^{-1}+20q-62q^{3}+\dots }$ (여기서 ${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$)는 몬스터군의 켤레류 4C의 임의의 원소가 몬스터 정점 대수에 작용하는 등급화된 지표이다.

6. 1. 피카르 소정리

6. 2. 달빛 이론 (Moonshine)

참조

_[1] 문서 '\lambda(\tau) is not a modular function (per the Wikipedia definition), but every modular function is a rational function in \lambda(\tau). Some authors use a non-equivalent definition of "modular functions".'
_[2] 서적
_[3] 서적
_[4] 서적
_[5] 서적
_[6] 서적
_[7] 서적
_[8] 서적
_[9] 서적 Pi and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity Wiley-Interscience
_[10] 문서 "For any [[prime power]], we can iterate the modular equation of degree $p$. This process can be used to give algebraic values of $\backslash lambda\; (ni)$ for any $n\backslash in\backslash mathbb\{N\}.$"
_[11] 서적 Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum
_[12] 문서 $\backslash operatorname\{sl\}a\backslash varpi$ is algebraic for every $a\backslash in\backslash mathbb\{Q\}.$
_[13] 서적 Pi and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity Wiley-Interscience
_[14] 논문 On Epstein's Zeta Function (I). 1949
_[15] 웹사이트 On Epstein's Zeta-Function https://eudml.org/do[...]
_[16] 논문 Ramanujan's class invariants, Kronecker's limit formula, and modular equations https://www.ams.org/[...] 1997-06-06
_[17] 서적 Autour du nombre Pi HERMANN
_[18] 서적
_[19] 서적