모듈러 람다 함수

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요

모듈러 람다 함수는 복소 상반평면에서 복소수로 가는 함수로, 바이어슈트라스 타원 함수를 사용하여 정의된다. 이 함수는 야코비 세타 함수, 데데킨트 에타 함수, 타원 모듈러스, j-불변량 등과 밀접한 관련을 맺고 있으며, 여러 가지 표현과 성질을 갖는다. 모듈러 람다 함수는 모듈러 군의 작용에 따라 변환되며, 급수 전개 형태로 나타낼 수 있다. 또한, 람다-별 함수와 라마누잔의 클래스 불변량과도 연결되어 있다. 이 함수는 피카르 소정리의 증명과 달빛 이론 등 다양한 분야에 응용된다.

모듈러 람다 함수

기본 정보

이미지 준비중입니다.

복소 평면에서 모듈러 람다 함수

정의	상반평면에서 정의된 홀로모픽 함수
기호	λ(τ) 또는 μ(τ)

관련 함수	모듈러 형식

2. 정의

모듈러 람다 함수는 복소 상반평면 위의 한 점을 입력으로 받아 복소수를 출력하는 함수이다. 바이어슈트라스 타원함수, 야코비 세타 함수, 데데킨트 에타 함수를 사용하여 정의할 수 있다.

바이어슈트라스 타원함수 $\wp(-;\omega_1,\omega_2)\colon\mathbb C/\langle\omega_1,\omega_2\rangle\to\widehat{\mathbb C}$ 는 타원 곡선 $\mathbb C/\langle1,\tau\rangle$ 에서 리만 구면 $\widehat{\mathbb C}$ 으로 가는 함수이며, 이는 리만 구면의 2겹 분지 피복을 이룬다. 이 피복사상은 다음 4개의 점에서 분기화한다.
: $e_1=\wp(\omega_1/2;\omega_1,\omega_2)$
: $e_2=\wp(\omega_2/2;\omega_1,\omega_2)$
: $e_3=\wp(\omega_1/2+\omega_2/2;\omega_1,\omega_2)$
: $e_4=\wp(0;\omega_1,\omega_2)=\widehat\infty$
모듈러 람다 함수는 이 점들의 비조화비(anharmonic ratio)이다.
: $\lambda(\omega_2/\omega_1)=\frac{(e_3-e_2)(e_4-e_1)}{(e_1-e_2)(e_4-e_3)}=\frac{e_3-e_2}{e_1-e_2}$
이에 따라, $\lambda$ 는 비조화군(anharmonic group) $\Gamma(1)/\Gamma(2)\cong S_3$ 의 작용에 따라 변환한다.

함수 $\lambda(\tau)$ 는 다음으로 생성되는 군에 대해 불변이다.

: $\tau \mapsto \tau+2 \ ;\ \tau \mapsto \frac{\tau}{1-2\tau} \ .$

모듈러 군의 생성자는 다음과 같이 작용한다.

: $\tau \mapsto \tau+1 \ :\ \lambda \mapsto \frac{\lambda}{\lambda-1} \, ;$
: $\tau \mapsto -\frac{1}{\tau} \ :\ \lambda \mapsto 1 - \lambda \ .$

결과적으로 모듈러 군이 $\lambda(\tau)$ 에 미치는 작용은 무조화군의 작용과 같으며, 이는 교차비의 여섯 가지 값을 제공한다.

: $\left\lbrace { \lambda, \frac{1}{1-\lambda}, \frac{\lambda-1}{\lambda}, \frac{1}{\lambda}, \frac{\lambda}{\lambda-1}, 1-\lambda } \right\rbrace \ .$

2.1. 바이어슈트라스 타원함수를 이용한 정의

$\mathbb H$ 가 복소 상반평면이라고 하자. 모듈러 람다 함수 $\lambda\colon\mathbb H\to\mathbb C$ 는 바이어슈트라스 타원함수로 다음과 같이 정의할 수 있다. 만약 $\tau=\omega_2/\omega_1$ 이라면,
: $\lambda(\tau)=\frac{\wp(\omega_1/2+\omega_2/2;\omega_1,\omega_2)-\wp(\omega_2/2;\omega_1,\omega_2)}{\wp(\omega_1/2;\omega_1,\omega_2)-\wp(\omega_2/2;\omega_1,\omega_2)}$
이다.

2.2. 야코비 세타 함수를 이용한 정의

$\mathbb H$ 가 복소 상반평면일 때, 모듈러 람다 함수 $\lambda\colon\mathbb H\to\mathbb C$ 는 야코비 세타 함수를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
: $\lambda(\tau) = \frac{\theta_2^4(0,\tau)}{\theta_3^4(0,\tau)} = \left(\frac{\sqrt2\eta(\tau/2)\eta^2(2\tau)}{\eta^3(\tau)}\right)^8$

2.3. 데데킨트 에타 함수를 이용한 정의

바이어슈트라스 타원함수를 사용하여 다음과 같이 정의할 수 있다. 만약 $\tau=\omega_2/\omega_1$ 이라면,
: $\lambda(\tau)=\frac{\wp(\omega_1/2+\omega_2/2;\omega_1,\omega_2)-\wp(\omega_2/2;\omega_1,\omega_2)}{\wp(\omega_1/2;\omega_1,\omega_2)-\wp(\omega_2/2;\omega_1,\omega_2)}$
이다. 또한, 야코비 세타 함수나 데데킨트 에타 함수를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
: $\lambda(\tau) = \frac{\theta_2^4(0,\tau)}{\theta_3^4(0,\tau)} = \left(\frac{\sqrt2\eta(\tau/2)\eta^2(2\tau)}{\eta^3(\tau)}\right)^8$

3. 성질

모듈러 람다 함수는 바이어슈트라스 타원함수를 통해 정의되며, 타원 곡선과 리만 구면 사이의 관계를 나타낸다. 이 함수는 비조화비(anharmonic ratio)로 표현될 수 있다. 모듈러 람다 함수 $\lambda(\tau)$ 는 합동 부분군 $\Gamma(2)$ 에 대해 불변이지만, 모듈러 군 $\Gamma(1)$ 에 대해서는 특정한 방식으로 변환된다.

3.1. 함수 방정식

모듈러 람다 함수 $\lambda(\tau)$ 는 합동 부분군 $\Gamma(2)$ 에 대해 불변이며, 다음과 같은 함수 방정식을 만족시킨다. 모든 $\tau\in\mathbb C$ 에 대하여 다음이 성립한다.

: $\lambda(\tau+2)=\lambda(\tau/(1-2\tau))=\lambda(\tau)$

이에 따라, 모듈러 람다 함수는 종수 0의 리만 곡면인 모듈러 곡선 $X(2)=\mathbb H/\Gamma(2)$ 와 리만 구면 $\hat{\mathbb C}$ 사이의 구체적인 동형사상을 정의한다.

모듈러 군 $\Gamma(1)=\operatorname{PSL}(2;\mathbb Z)$ 에 대해서는 다음과 같이 변환한다.

: $\lambda(\tau+1)=\frac{\lambda(\tau)}{\lambda(\tau)-1}$
: $\lambda(-1/\tau)=\lambda(\tau)-1$

함수 $\lambda(\tau)$ 는 다음으로 생성되는 군에 대해 불변이다.

: $\tau \mapsto \tau+2 \ ;\ \tau \mapsto \frac{\tau}{1-2\tau} \ .$

모듈러 군의 생성자는 다음과 같이 작용한다.

: $\tau \mapsto \tau+1 \ :\ \lambda \mapsto \frac{\lambda}{\lambda-1} \, ;$
: $\tau \mapsto -\frac{1}{\tau} \ :\ \lambda \mapsto 1 - \lambda \ .$

결과적으로 모듈러 군이 $\lambda(\tau)$ 에 미치는 작용은 무조화군의 작용과 같으며, 이는 교차비의 여섯 가지 값을 제공한다.

: $\left\lbrace { \lambda, \frac{1}{1-\lambda}, \frac{\lambda-1}{\lambda}, \frac{1}{\lambda}, \frac{\lambda}{\lambda-1}, 1-\lambda } \right\rbrace \ .$

3.2. 급수 전개

모듈러 람다 함수는 $q=\exp(\pi i\tau)$ 에 대한 다음과 같은 급수 전개를 갖는다.

: $\lambda(\tau) = 16q - 128q^2 + 704 q^3 - 3072q^4 + 11488q^5 - 38400q^6 + \dots$

4. 타원의 모듈러스

모듈러 람다 함수는 타원 곡선의 모듈러스와 밀접하게 관련되어 있다. 모듈러 람다 함수는 타원 모듈러스의 제곱이며, 데데킨트 에타 함수 및 세타 함수를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $\lambda(\tau) = k^2(\tau)$

: $\lambda(\tau) = \Bigg(\frac{\sqrt{2}\,\eta(\tfrac{\tau}{2})\eta^2(2\tau)}{\eta^3(\tau)}\Bigg)^8 = \frac{16}{\left(\frac{\eta(\tau/2)}{\eta(2\tau)}\right)^8 + 16} =\frac{\theta_2^4(\tau)}{\theta_3^4(\tau)}$

: $\frac{1}{\big(\lambda(\tau)\big)^{1/4}}-\big(\lambda(\tau)\big)^{1/4} = \frac{1}{2}\left(\frac{\eta(\tfrac{\tau}{4})}{\eta(\tau)}\right)^4 = 2\,\frac{\theta_4^2(\tfrac{\tau}{2})}{\theta_2^2(\tfrac{\tau}{2})}$

여기서

: $\theta_2(\tau) =\sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i\tau (n+1/2)^2}$

: $\theta_3(\tau) = \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i\tau n^2}$

: $\theta_4(\tau) = \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n e^{\pi i\tau n^2}$

바이어슈트라스 타원 함수의 반주기를 사용하여, $[\omega_1,\omega_2]$ 를 $\tau=\frac{\omega_2}{\omega_1}$ 인 주기의 기본쌍이라고 하면, 다음이 성립한다.

: $e_1 = \wp\left(\frac{\omega_1}{2}\right), \quad e_2 = \wp\left(\frac{\omega_2}{2}\right),\quad e_3 = \wp\left(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}\right)$

: $\lambda = \frac{e_3-e_2}{e_1-e_2} \, .$

세 개의 반주기 값이 다르므로, $\lambda$ 는 0 또는 1의 값을 갖지 않는다.

j-불변량과의 관계는 다음과 같다.

: $j(\tau) = \frac{256(1-\lambda(1-\lambda))^3}{(\lambda(1-\lambda))^2} = \frac{256(1-\lambda+\lambda^2)^3}{\lambda^2 (1-\lambda)^2} \ .$

이는 르장드르 형식 $y^2=x(x-1)(x-\lambda)$ 의 타원 곡선의 j-불변량이다.

$m\in\mathbb{C}\setminus\{0,1\}$ 이 주어졌을 때,

: $\tau=i\frac{K\{1-m\}}{K\{m\}}$

여기서 $K$ 는 매개변수 $m=k^2$ 를 갖는 제1종 완전 타원 적분이다. 그렇다면

: $\lambda (\tau)=m.$

4.1. 람다-별 (Lambda-star) 함수

람다-별 함수(λ*)는 타원 적분과 관련된 특별한 함수로, 모듈러 람다 함수와 밀접하게 관련되어 있다.

: $\lambda^*(x) = \sqrt{\lambda(i\sqrt{x})}$

양의 유리수 x에 대해 λ*(x)는 항상 대수적인 수이다.

: $\lambda^*(x \in \mathbb{Q}^+) \in \mathbb{A}^+$

모든 자연수 n에 대해 다음 식이 성립한다.

: $\sqrt{n} = \sum_{a = 1}^{n} \operatorname{dn}\biggl\{\frac{2a}{n}K\biggl[\lambda^*\biggl(\frac{1}{n}\biggr)\biggr];\lambda^*\biggl(\frac{1}{n}\biggr)\biggr\}$

여기서 dn은 야코비 타원함수 중 델타 진폭 함수이다.

하나의 람다-별 함수값을 알면, 다음 공식을 통해 관련된 다른 람다-별 함수값을 계산할 수 있다.

: $\lambda^*(n^2 x) = \lambda^*(x)^n\prod_{a=1}^{n}\operatorname{sn}\left\{\frac{2a-1}{n}K[\lambda^*(x)];\lambda^*(x)\right\}^2$

여기서 sn은 야코비 타원함수 중 사인 진폭 함수이고, n은 자연수이다.

람다-별 함수는 다음과 같은 항등식들을 만족한다.

: $\lambda^*(x)^2 + \lambda^*(1/x)^2 = 1$
: $\lambda^*(4x) = \frac{1-\sqrt{1-\lambda^*(x)^2}}{1+\sqrt{1-\lambda^*(x)^2}} = \tan\{\arcsin[\lambda^*(x)]/2\}^2$
: $\tan\{2\arctan[\lambda^*(x)]\}\tan\{2\arctan[\lambda^*(4/x)]\} = 1$
: $\lambda^*(x)\lambda^*(4/x)+\lambda^*(x)+\lambda^*(4/x) = 1$
: $\lambda^*(x) - \lambda^*(9x) = 2\lambda^*(x)^{1/4}\lambda^*(9x)^{1/4} - 2\lambda^*(x)^{3/4}\lambda^*(9x)^{3/4}$
: $\tan\{2\arctan[\lambda^*(x)]\} - \tan\{2\arctan[\lambda^*(9x)]\} = 2\sqrt{2}\tan\{2\arctan[\lambda^*(x)]\}^{1/4}\tan\{2\arctan[\lambda^*(9x)]\}^{1/4} + 2\sqrt{2}\tan\{2\arctan[\lambda^*(x)]\}^{3/4}\tan\{2\arctan[\lambda^*(9x)]\}^{3/4}$
: $\tan\{2\arctan[\lambda^*(x)]\}^{1/2} - \tan\{2\arctan[\lambda^*(25x)]\}^{1/2} = 2\tan\{2\arctan[\lambda^*(x)]\}^{1/12}\tan\{2\arctan[\lambda^*(25x)]\}^{1/12} + 2\tan\{2\arctan[\lambda^*(x)]\}^{5/12}\tan\{2\arctan[\lambda^*(25x)]\}^{5/12}$

* 홀수 (4z+3) 위치의 람다 값:

👆

좌우로 밀어서 보기

x	λ*(x)
3	{{frac^영어(√3-1)
7	{{frac^영어(3-√7)
11	{{frac^영어(√11+3)(-{{frac^영어{{3^영어 - {{frac^영어{{3^영어 + {{frac^영어√11 - 1)⁴
15	{{frac^영어(3-√5)(√5-√3)(2-√3)
19	{{frac^영어(3√19+13)[{{frac^영어(√19-2+√3){{3^영어 - {{frac^영어(√19-2-√3){{3^영어 - {{frac^영어(5-√19)]⁴
23	{{frac^영어(5+√23)[{{frac^영어(√3+1){{3^영어 - {{frac^영어(√3-1){{3^영어 + {{frac^영어]⁴

* 짝수 4z 위치의 람다 값:

👆

좌우로 밀어서 보기

x	λ*(x)
4	(√2-1)²
8	(√2+1-√(2√2+2)^영어)²
12	(√3-√2)²(√2-1)²
16	(√2+1)²({{4^영어-1)⁴

4.1.1. 람다-별 함수의 정의 및 계산

람다-별 함수 λ*(x)는 타원 모듈러스를 제공하며, 모듈러스 자체의 완전한 타원 적분을 모듈러스의 반대 피타고라스의 완전한 타원 적분으로 나눈 몫은 x의 제곱근과 같다.

: $\frac{K[\sqrt{1-\lambda^*(x)^2}]}{K[\lambda^*(x)]} = \sqrt{x}$

여기서 K는 제1종 완전 타원 적분이다.

λ*(x)의 값은 다음과 같이 계산할 수 있다.

: $\lambda^*(x) = \frac{\vartheta^2_2[0;\exp(-\pi\sqrt{x})]}{\vartheta^2_3[0;\exp(-\pi\sqrt{x})]}$

: $\lambda^*(x) = \biggl\{\sum_{a=-\infty}^\infty\exp[-(a+1/2)^2\pi\sqrt{x}]\biggr\}^2 \biggl[\sum_{a=-\infty}^\infty\exp(-a^2\pi\sqrt{x})\biggr]^{-2}$

: $\lambda^*(x) = \biggl\{\sum_{a=-\infty}^\infty\operatorname{sech}[(a+1/2)\pi\sqrt{x}]\biggr\} \biggl[\sum_{a=-\infty}^\infty\operatorname{sech}(a\pi\sqrt{x})\biggr]^{-1}$

함수 λ*(x) 및 λ(x)는 다음과 같이 서로 관련된다.

: $\lambda^*(x) = \sqrt{\lambda(i\sqrt{x})}$

4.1.2. 람다-별 함수의 성질 및 값

람다-별 함수는 양의 유리수에 대해 대수적인 값을 가지며, 다양한 항등식을 만족한다. 다음은 특정 값에 대한 람다-별 함수의 값이다.

* 홀수 (8z+1) 위치의 람다 값:

👆

좌우로 밀어서 보기

x	λ*(x)
1	{{frac^영어√2
9	{{frac^영어(√3-1)(√2-{{4^영어)
17	sin{{frac^영어arcsin[(5/4 + 1/4√17 - 1/4√(10√17 + 26)^영어)³]
25	{{frac^영어√2(√5-2)(3-2{{4^영어)
33	sin{{frac^영어arcsin[(10-3√11)(2-√3)³]
41	sin{{frac^영어arcsin[(1/8√41 + 5/8 + 1/8√(2√41 + 10)^영어 - 1/4√(√58√41 + 370) + 3√41 + 3^영어)⁶]
49	{{frac^영어√2[2√2 - {{8^영어√3+√7({{4^영어 - √7 + 1)]⁴

* 홀수 (8z+5) 위치의 람다 값:

👆

좌우로 밀어서 보기

x	λ*(x)
5	sin[{{frac^영어arcsin(√5-2)]
13	sin[{{frac^영어arcsin(5√13-18)]
21	sin{{frac^영어arcsin[(8-3√7)(2√7-3√3)]

* 짝수 (8z+2) 위치의 람다 값:

👆

좌우로 밀어서 보기

x	λ*(x)
2	√2-1
10	(√10-3)(√2-1)²
18	(2-√3)²(√2-1)³
26	(√26+5)(√2-1)²tan[{{frac^영어π - arctan({{frac^영어{{3^영어 - {{frac^영어{{3^영어 + {{frac^영어√26 - {{frac^영어√2)]⁴
34	tan{{frac^영어arctan[(1/4√(14 + 2√17)^영어 - 1/4√(2√17 - 2)^영어)¹²]
42	(8-3√7)(√7-√6)(2-√3)²(√2-1)²
50	(√2-1)tan[arctan({{frac^영어√5 - {{frac^영어{{3^영어 + {{frac^영어{{3^영어) - {{frac^영어π]⁴
58	(13√58-99)(√2-1)⁶
66	tan{{frac^영어arcsin[(13/62 + 1/186√33 - 1/186√(3426√33 - 17790)^영어)²]

4.2. 라마누잔의 클래스 불변량

라마누잔의 클래스 불변량 $G_n$ 과 $g_n$ 은 다음과 같이 정의된다.

: $G_n=2^{-1/4}e^{\pi\sqrt{n}/24}\prod_{k=0}^\infty \left(1+e^{-(2k+1)\pi\sqrt{n}}\right),$

: $g_n=2^{-1/4}e^{\pi\sqrt{n}/24}\prod_{k=0}^\infty \left(1-e^{-(2k+1)\pi\sqrt{n}}\right),$

여기서 $n\in\mathbb{Q}^+$ 이다. 이러한 $n$ 에 대해 클래스 불변량은 대수적 수이다. 예를 들어

: $g_{58}=\sqrt{\frac{5+\sqrt{29}}{2}}, \quad g_{190}=\sqrt{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{10}+3)}.$

클래스 불변량에 대한 항등식은 다음과 같다.

: $G_n=G_{1/n},\quad g_{n}=\frac{1}{g_{4/n}},\quad g_{4n}=2^{1/4}g_nG_n.$

클래스 불변량은 베버 모듈러 함수 $\mathfrak{f}$ 와 $\mathfrak{f}_1$ 와 매우 밀접한 관련이 있다. 다음은 람다-별과 클래스 불변량 사이의 관계이다.

: $G_n = \sin\{2\arcsin[\lambda^*(n)]\}^{-1/12} = 1\Big /\left[\sqrt[12]{2\lambda^*(n)}\sqrt[24]{1-\lambda^*(n)^2}\right]$

: $g_n = \tan\{2\arctan[\lambda^*(n)]\}^{-1/12} = \sqrt[12]{[1-\lambda^*(n)^2]/[2\lambda^*(n)]}$

: $\lambda^*(n) = \tan\left\{ \frac{1}{2}\arctan[g_n^{-12}]\right\} = \sqrt{g_n^{24}+1}-g_n^{12}$

5. 다른 함수와의 관계

모듈러 람다 함수는 j-불변량, 타원 모듈러스 등 다른 함수들과 밀접한 관계를 맺고 있다. 이러한 관계는 바이어슈트라스 타원 함수, 데데킨트 에타 함수, 세타 함수 등을 통해 표현된다.

5.1. 타원 모듈러스와의 관계

함수 λ*(x)는 타원 모듈러스를 제공하며, 모듈러스 자체의 완전 타원 적분으로 나눈 모듈러스의 반대 피타고라스의 완전 타원 적분의 몫은 x의 제곱근과 같다.

: $\frac{K[\sqrt{1-\lambda^*(x)^2}]}{K[\lambda^*(x)]} = \sqrt{x}$

여기서 K는 제1종 완전 타원 적분이다.

함수 λ*(x)와 λ(x)는 다음과 같이 서로 관련된다.

: $\lambda^*(x) = \sqrt{\lambda(i\sqrt{x})}$

타원 모듈러스의 제곱은 $\lambda(\tau)=k^2(\tau)$ 이다. 데데킨트 에타 함수 $\eta(\tau)$ 및 세타 함수를 사용하여 나타내면,

: $\lambda(\tau) = \Bigg(\frac{\sqrt{2}\,\eta(\tfrac{\tau}{2})\eta^2(2\tau)}{\eta^3(\tau)}\Bigg)^8 = \frac{16}{\left(\frac{\eta(\tau/2)}{\eta(2\tau)}\right)^8 + 16} =\frac{\theta_2^4(\tau)}{\theta_3^4(\tau)}$

: $\frac{1}{\big(\lambda(\tau)\big)^{1/4}}-\big(\lambda(\tau)\big)^{1/4} = \frac{1}{2}\left(\frac{\eta(\tfrac{\tau}{4})}{\eta(\tau)}\right)^4 = 2\,\frac{\theta_4^2(\tfrac{\tau}{2})}{\theta_2^2(\tfrac{\tau}{2})}$

여기서

: $\theta_2(\tau) =\sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i\tau (n+1/2)^2}$

: $\theta_3(\tau) = \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i\tau n^2}$

: $\theta_4(\tau) = \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n e^{\pi i\tau n^2}$

바이어슈트라스 타원 함수의 반주기를 사용하여, $[\omega_1,\omega_2]$ 를 $\tau=\frac{\omega_2}{\omega_1}$ 인 주기의 기본쌍이라고 하자.

: $e_1 = \wp\left(\frac{\omega_1}{2}\right), \quad e_2 = \wp\left(\frac{\omega_2}{2}\right),\quad e_3 = \wp\left(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}\right)$

그러면 다음이 성립한다.

: $\lambda = \frac{e_3-e_2}{e_1-e_2} \, .$

세 개의 반주기 값이 다르므로, $\lambda$ 는 0 또는 1의 값을 갖지 않는다.

$m\in\mathbb{C}\setminus\{0,1\}$ 이 주어졌을 때,

: $\tau=i\frac{K\{1-m\}}{K\{m\}}$

여기서 $K$ 는 매개변수 $m=k^2$ 를 갖는 제1종 완전 타원 적분이다.
그렇다면

: $\lambda (\tau)=m.$

5.2. j-불변량과의 관계

j-불변량과의 관계는 다음과 같다.

: $j(\tau) = \frac{256(1-\lambda(1-\lambda))^3}{(\lambda(1-\lambda))^2} = \frac{256(1-\lambda+\lambda^2)^3}{\lambda^2 (1-\lambda)^2} \ .$

이는 르장드르 형식 $y^2=x(x-1)(x-\lambda)$ 의 타원 곡선의 j-불변량이다.

$m\in\mathbb{C}\setminus\{0,1\}$ 이 주어졌을 때,

: $\tau=i\frac{K\{1-m\}}{K\{m\}}$

여기서 $K$ 는 매개변수 $m=k^2$ 를 갖는 제1종 완전 타원 적분이다. 그렇다면

: $\lambda (\tau)=m.$

5.3. 모듈러 방정식

차수 $p$ ( $p$ 는 소수)의 모듈러 방정식은 $\lambda (p\tau)$ 와 $\lambda (\tau)$ 에 대한 대수 방정식이다. 만약 $\lambda (p\tau)=u^8$ 이고 $\lambda (\tau)=v^8$ 이면, 차수가 $p=2,3,5,7$ 인 모듈러 방정식은 각각 다음과 같다.

* $p=2$ : $(1+u^4)^2v^8-4u^4=0$
* $p=3$ : $u^4-v^4+2uv(1-u^2v^2)=0$
* $p=5$ : $u^6-v^6+5u^2v^2(u^2-v^2)+4uv(1-u^4v^4)=0$
* $p=7$ : $(1-u^8)(1-v^8)-(1-uv)^8=0$

수량 $v$ (따라서 $u$ )는 상반평면 $\operatorname{Im}\tau>0$ 에서 정칙 함수로 생각할 수 있다.

: $\begin{align}v&=\prod_{k=1}^\infty \tanh\frac{(k-1/2)\pi i}{\tau}=\sqrt{2}e^{\pi i\tau/8}\frac{\sum_{k\in\mathbb{Z}}e^{(2k^2+k)\pi i\tau}}{\sum_{k\in\mathbb{Z}}e^{k^2\pi i\tau}}\\&=\cfrac{\sqrt{2}e^{\pi i\tau/8}}{1+\cfrac{e^{\pi i\tau}}{1+e^{\pi i\tau}+\cfrac{e^{2\pi i\tau}}{1+e^{2\pi i\tau}+\cfrac{e^{3\pi i\tau}}{1+e^{3\pi i\tau}+\ddots}}}}\end{align}$

$\lambda(i)=1/2$ 이므로 모듈러 방정식을 사용하여 모든 소수 $p$ 에 대해 $\lambda(pi)$ 의 대수적 값을 구할 수 있다. $\lambda(ni)$ 의 대수적 값은 다음과 같다.

* $n$ 이 짝수일 때:
: $\lambda (ni)=\prod_{k=1}^{n/2} \operatorname{sl}^8\frac{(2k-1)\varpi}{2n}$

* $n$ 이 홀수일 때:
: $\lambda (ni)=\frac{1}{2^n}\prod_{k=1}^{n-1} \left(1-\operatorname{sl}^2\frac{k\varpi}{n}\right)^2$

여기서 $\operatorname{sl}$ 은 레므니스케이트 사인이고 $\varpi$ 는 레므니스케이트 상수이다.

6. 응용

람다 함수는 리틀 피카르 정리의 원래 증명에 사용된다. 또한, ${\displaystyle \tau \mapsto 16/\lambda (2\tau )-8}$는 군 ${\displaystyle \Gamma _{0}(4)}$에 대한 정규화된 하우프트모듈이며, 이 함수의 q-전개 ${\displaystyle q^{-1}+20q-62q^{3}+\dots }$ (여기서 ${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$)는 몬스터군의 켤레류 4C의 임의의 원소가 몬스터 정점 대수에 작용하는 등급화된 지표이다.

6.1. 피카르 소정리

람다 함수는 리틀 피카르 정리의 원래 증명에 사용된다. 이 정리는 1879년에 피카르에 의해 증명되었다. λ는 정칙 함수이므로, 0, 1, ∞가 아닌 곳에서 정의된 국소 정칙 역 ω를 가진다. 함수 z → ω(f(z))를 고려해 보자. 모노드로미 정리에 의해 이 함수는 정칙 함수이며 복소 평면 C를 상반 평면에 매핑한다. 이것으로부터, 리우빌의 정리에 의해 상수가 되어야 하는 C에서 단위 원판으로의 정칙 함수를 쉽게 구성할 수 있다.

6.2. 달빛 이론 (Moonshine)

함수 ${\displaystyle \tau \mapsto 16/\lambda (2\tau )-8}$는 군 ${\displaystyle \Gamma _{0}(4)}$에 대한 정규화된 하우프트모듈이며, 이 함수의 q-전개 ${\displaystyle q^{-1}+20q-62q^{3}+\dots }$ (여기서 ${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$)는 몬스터군의 켤레류 4C의 임의의 원소가 몬스터 정점 대수에 작용하는 등급화된 지표이다.