맨위로가기

타원 적분

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.
목차

1. 개요

타원 적분은 세 가지 표준 유형으로 분류되며, 불완전 타원 적분과 완전 타원 적분으로 나뉜다. 제1종, 제2종, 제3종의 불완전 타원 적분은 르장드르와 야코비의 표준형으로 표현되며, 야코비 타원 함수와 관련된다. 완전 타원 적분은 진폭이 π/2일 때의 타원 적분을 의미하며, 제1종 완전 타원 적분 K(k)와 제2종 완전 타원 적분 E(k)는 각각 멱급수, 산술-기하 평균, 가우스 초 기하 함수 등을 통해 계산할 수 있다. 제3종 완전 타원 적분 Π(n,k)도 존재한다. 타원 적분은 란덴 변환과 가우스 변환을 통해 변환될 수 있으며, 타원의 호의 길이 계산, 단진자의 주기 계산 등 다양한 분야에 응용된다. 르장드르 관계식은 타원 적분 모듈러스와 그 반대되는 짝을 이루는 적분 K와 E의 관계를 나타낸다. 야코비 제타 함수는 타원 적분과 관련된 또 다른 함수이다.

2. 표준유형 3종

타원 적분의 세 가지 표준 유형에는 불완전 타원 적분과 완전 타원 적분이 있다. 야코비가 처음 제시한 표준형에서 적분 변수를 t=\sin{\theta}로 치환 적분하면, 더 간단한 르장드르의 표준형을 얻을 수 있다[15]。

르장드르 표준형은 다음과 같다.

:\begin{align}

F(\varphi,k) &= \int_0^\varphi \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}} \\

E(\varphi,k) &= \int_0^\varphi \sqrt{1-k^2\sin^2\theta} ~ d\theta \\

\Pi(a;\varphi,k) &= \int_0^\varphi \frac{d\theta}{(1-a\sin^2\theta)\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}

\end{align}

2. 1. 불완전 타원 적분

야코비 타원 함수가 제1종 불완전 타원 적분의 역함수라는 것을 보여주는 관계식은 다음과 같다.

: F(x;k) = u

여기서 x = sn(u,k)이다.

제1종 불완전 타원 적분은 다음과 같은 덧셈 정리를 갖는다.

: F\bigl[\arctan(x),k\bigr] + F\bigl[\arctan(y),k\bigr] = F\left[\arctan\left(\frac{x\sqrt{k'^2y^2+1}}{\sqrt{y^2+1}}\right) + \arctan\left(\frac{y\sqrt{k'^2x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}\right),k\right]

타원 계수는 다음과 같이 변환할 수 있다.

: F\bigl[\arcsin(x),k\bigr] = \frac{2}{1+\sqrt{1-k^2}}F\left[\arcsin\left(\frac{\left(1+\sqrt{1-k^2}\right)x}{1+\sqrt{1-k^2x^2}}\right),\frac{1-\sqrt{1-k^2}}{1+\sqrt{1-k^2}}\right]

'''제2종 불완전 타원 적분''' 는 르장드르의 삼각 함수 형태로 다음과 같이 표현된다.[15]

: E(\varphi,k) = E\left(\varphi \,|\,k^2\right) = E(\sin\varphi;k) = \int_0^\varphi \sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}\, d\theta.

t = \sin \theta와 x = \sin \varphi를 대입하면 야코비의 대수적 형태를 얻을 수 있다.

: E(x;k) = \int_0^x \frac{\sqrt{1-k^2 t^2} }{\sqrt{1-t^2}}\,dt.

또는 진폭과 모듈 각을 사용하여 다음과 같이 표현할 수도 있다.

: E(\varphi \setminus \alpha) = E(\varphi, \sin \alpha) = \int_0^\varphi \sqrt{1-\left(\sin \theta \sin \alpha\right)^2} \, d\theta.

야코비 타원 함수와의 관계는 다음과 같다.

: \begin{align}

E{\left(\operatorname{sn}(u ; k) ; k\right)}

&= \int_0^u \operatorname{dn}^2 (w ; k) \, dw \\

&= u - k^2 \int_0^u \operatorname{sn}^2 (w ; k) \, dw \\[1ex]

&= \left(1-k^2\right) u + k^2 \int_0^u \operatorname{cn}^2 (w ; k) \,dw.

\end{align}

적도에서 위도 \varphi까지의 자오선 호 길이는 E를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: m(\varphi) = a\left(E(\varphi,e)+\frac{d^2}{d\varphi^2}E(\varphi,e)\right),

여기서 a는 장반경, e는 이심률이다.

제2종 불완전 타원 적분은 다음과 같은 덧셈 정리를 갖는다.

: E{\left[\arctan(x), k\right]}

+ E{\left[\arctan(y), k\right]}

= E{\left[\arctan\left(\frac{x\sqrt{k'^2y^2+1}}{\sqrt{y^2+1}}\right) + \arctan\left(\frac{y\sqrt{k'^2x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}\right),k\right]}

+ \frac{k^2xy}{k'^2x^2y^2+x^2+y^2+1}\left(\frac{x\sqrt{k'^2y^2+1}}{\sqrt{y^2+1}}+\frac{y\sqrt{k'^2x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}\right)

타원 모듈은 다음과 같은 방식으로 변환될 수 있다.

: E{\left[\arcsin(x),k\right]}

= \left(1+\sqrt{1-k^2}\right) E{\left[\arcsin\left(\frac{\left(1+\sqrt{1-k^2}\right)x}{1+\sqrt{1-k^2x^2}}\right),\frac{1-\sqrt{1-k^2}}{1+\sqrt{1-k^2}}\right]}

  • \sqrt{1-k^2} F{\left[\arcsin(x),k\right]}

+ \frac{k^2x\sqrt{1-x^2}}{1+\sqrt{1-k^2x^2}}

'''제3종 불완전 타원 적분''' \Pi는 다음과 같다.

: \Pi(n ; \varphi \setminus \alpha) = \int_0^\varphi \frac{1}{1-n\sin^2 \theta} \frac{d\theta}{\sqrt{1-\left(\sin\theta\sin \alpha\right)^2}}

또는

: \Pi(n ; \varphi \,|\,m) = \int_{0}^{\sin \varphi} \frac{1}{1-nt^2} \frac{dt}{\sqrt{\left(1-m t^2\right)\left(1-t^2\right) }}.

수 n은 '''특성'''이라고 하며 다른 인자와 독립적으로 어떤 값이든 가질 수 있다.

야코비 타원 함수와의 관계는 다음과 같다.

: \Pi\bigl(n; \,\operatorname{am}(u;k); \,k\bigr) = \int_0^u \frac{dw} {1 - n \,\operatorname{sn}^2 (w;k)}.

적도의 위도 \varphi에서 자오선 호의 길이는 \Pi의 특수한 경우와 관련이 있다.

: m(\varphi)=a\left(1-e^2\right)\Pi\left(e^2 ; \varphi \,|\,e^2\right).

2. 2. 완전 타원 적분

타원 적분은 진폭이 \varphi = 이고 따라서 x = 1 일 때 '완전'하다고 한다.

'''제1종 완전 타원 적분''' ''K''는 다음과 같이 정의할 수 있다.[1]

:K(k) = \int_0^\tfrac{\pi}{2} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}} = \int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{\left(1-t^2\right)\left(1-k^2 t^2\right)}}

제1종 불완전 적분을 사용하여 더 간결하게 나타낼 수 있다.

:K(k) = F\left(\tfrac{\pi}{2},k\right) = F\left(\tfrac{\pi}{2} \,|\, k^2\right) = F(1;k).

이것은 다음과 같은 멱급수로 표현할 수 있다.

:K(k) = \frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{(2n)!}{2^{2 n} (n!)^2}\right)^2 k^{2n} = \frac{\pi}{2} \sum_{n=0}^\infty \bigl(P_{2 n}(0)\bigr)^2 k^{2n}

여기서 P_n은 르장드르 다항식이며, 이는 다음과 같다.

:K(k) = \frac{\pi}{2}\left(1+\left(\frac{1}{2}\right)^2 k^2+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)^2 k^4+\cdots+\left(\frac{\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!}\right)^2 k^{2n}+\cdots\right)

여기서 n!!는 이중 계승을 나타낸다. 가우스 초기하 함수의 관점에서, 제1종 완전 타원 적분은 다음과 같이 표현할 수 있다.

:K(k) = \tfrac{\pi}{2} \,{}_2F_1 \left(\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}; 1; k^2\right).

제1종 완전 타원 적분은 때때로 사분 주파수라고도 한다. 이는 산술-기하 평균의 관점에서 매우 효율적으로 계산할 수 있다.

:K(k) = \frac{\pi}{2\operatorname{agm}\left(1,\sqrt{1-k^2}\right)}.

따라서 모듈러스는 다음과 같이 변환될 수 있다.

:\begin{align}

K(k) &= \frac{\pi}{2\operatorname{agm}\left(1,\sqrt{1-k^2}\right)} \\[4pt]

& = \frac{\pi}{2\operatorname{agm}\left(\frac12+\frac\sqrt{1-k^2}{2},\sqrt[4]{1-k^2}\right)} \\[4pt]

&= \frac{\pi}{\left(1+\sqrt{1-k^2}\right)\operatorname{agm}\left(1,\frac{2\sqrt[4]{1-k^2}}{\left(1+\sqrt{1-k^2}\right)}\right)} \\[4pt]

& = \frac{2}{1+\sqrt{1-k^2}}K\left(\frac{1-\sqrt{1-k^2}}{1+\sqrt{1-k^2}}\right)

\end{align}

이 표현은 모든 n \isin \mathbb{N}과 0 \le k \le 1에 유효하다.

:K(k) = n\left[\sum_{a = 1}^{n} \operatorname{dn}\left(\frac{2a}{n}K(k);k\right)\right]^{-1}K\left[k^n\prod_{a=1}^{n}\operatorname{sn}\left(\frac{2a-1}{n}K(k);k\right)^2\right]

만약 k^2 = \lambda(i\sqrt{r}) 이고 r \isin \mathbb{Q}^+ (여기서 \lambda는 모듈러 람다 함수) 이면, K(k)는 감마 함수를 사용하여 닫힌 형식으로 표현할 수 있다.[2] 예를 들어, r=2, r=3 그리고 r=7은 각각 다음을 제공한다,[3]

:K\left(\sqrt{2}-1\right)=\frac{\Gamma \left(\frac18\right)\Gamma \left(\frac38\right)\sqrt{\sqrt{2}+1}}{8\sqrt[4]{2}\sqrt{\pi}}

:K\left(\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}\right)=\frac{1}{8\pi}\sqrt[4]{3}\,\sqrt[3]{4}\,\Gamma\biggl(\frac{1}{3}\biggr)^3

:K\left(\frac{3-\sqrt{7}}{4\sqrt{2}}\right)=\frac{\Gamma \left(\frac17\right)\Gamma \left(\frac27\right)\Gamma \left(\frac47\right)}{4\sqrt[4]{7}\pi}

더 일반적으로, 다음 조건이

:\frac{iK'}{K}=\frac{iK\left(\sqrt{1-k^2}\right)}{K(k)}

허수 이차체[4]에 속한다는 것은 충분하다.[5][6] 예를 들어, 만약 k = e^{5\pi i/6}이면, \frac{iK'}{K} = e^{2\pi i/3} 이고[7]

:K\left(e^{5\pi i/6}\right)=\frac{e^{-\pi i/12}\Gamma ^3\left(\frac13\right)\sqrt[4]{3}}{4\sqrt[3]{2}\pi}

'''제2종 완전 타원 적분''' ''E''는 다음과 같이 정의된다.

:E(k) = \int_0^\tfrac{\pi}{2} \sqrt{1-k^2 \sin^2\theta} \, d\theta = \int_0^1 \frac{\sqrt{1-k^2 t^2}}{\sqrt{1-t^2}} \, dt

또는 제2종 불완전 적분 E(\varphi,k)를 사용하여 더 간결하게 표현하면 다음과 같다.

:E(k) = E\left(\tfrac{\pi}{2},k\right) = E(1;k).

장반경 a와 단반경 b 및 이심률 e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}을 갖는 타원의 둘레 C는 제2종 완전 타원 적분 E(e)의 4배이며, 장반경 a를 단위로 한다. 즉, 다음과 같다.

:C = 4 a E(e).

제2종 완전 타원 적분은 거듭제곱 급수로 나타낼 수 있다.[9]

:E(k) = \frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{(2n)!}{2^{2n} \left(n!\right)^2}\right)^2 \frac{k^{2n}}{1-2n}

이는 다음과 동일하다.

:E(k) = \frac{\pi}{2}\left(1-\left(\frac12\right)^2 \frac{k^2}{1}-\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)^2 \frac{k^4}{3}-\cdots-\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2 \frac{k^{2n}}{2n-1}-\cdots\right).

가우스 초 기하 함수를 사용하여 제2종 완전 타원 적분은 다음과 같이 표현할 수 있다.

:E(k) = \tfrac{\pi}{2} \,{}_2F_1 \left(\tfrac12, -\tfrac12; 1; k^2 \right).

모듈러스는 다음과 같은 방식으로 변환될 수 있다.

:E(k) = \left(1+\sqrt{1-k^2}\right)\,E\left(\frac{1-\sqrt{1-k^2}}{1+\sqrt{1-k^2}}\right) - \sqrt{1-k^2}\,K(k)

제1종 완전 타원 적분과 마찬가지로, 제2종 완전 타원 적분 역시 산술-기하 평균을 사용하여 매우 효율적으로 계산할 수 있다.

수열 a_n과 g_n을 정의하며, a_0 = 1, g_0 = \sqrt{1 - k^2} = k'이고 점화 관계 a_{n + 1} = \frac{a_n + g_n}{2}, g_{n + 1} = \sqrt{a_n g_n}이 성립한다. 또한, 다음과 같이 정의한다.

:c_n=\sqrt{\left|a_n^2-g_n^2\right|}.

정의에 따라,

:a_\infty = \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} g_n = \operatorname{agm}\left(1, \sqrt{1-k^2}\right).

또한

:\lim_{n\to\infty} c_n=0.

그러면

:E(k) = \frac{\pi}{2a_\infty}\left(1-\sum_{n=0}^{\infty} 2^{n-1} c_n^2\right).

실제로 산술-기하 평균은 어떤 한계까지 단순히 계산될 것이다. 이 공식은 |k| \le 1에 대해 2차적으로 수렴한다. 계산을 더욱 빠르게 하기 위해, 관계 c_{n + 1} = \frac{c_n^2}{4a_{n + 1}}을 사용할 수 있다.

더욱이, 만약 k^2 = \lambda(i\sqrt{r})이고 r \in \mathbb{Q}^+ (여기서 \lambda는 모듈러 람다 함수)이면, E(k)는 다음을 사용하여 닫힌 형식으로 표현될 수 있다.

:K(k)=\frac{\pi}{2\operatorname{agm}\left(1,\sqrt{1-k^2}\right)}

따라서 무한 합 항을 필요로 하지 않고도 계산할 수 있다. 예를 들어, r=1, r=3 및 r=7은 각각,[10]

:E\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{1}{2}K\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)+\frac{\pi}{4K\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}

:E\left(\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}\right)=\frac{3+\sqrt{3}}{6}K\left(\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}\right)+\frac{\pi\sqrt{3}}{12K\left(\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}\right)}

:E\left(\frac{3-\sqrt{7}}{4\sqrt{2}}\right)=\frac{7+2\sqrt{7}}{14}K\left(\frac{3-\sqrt{7}}{4\sqrt{2}}\right)+\frac{\pi\sqrt{7}}{28K\left(\frac{3-\sqrt{7}}{4\sqrt{2}}\right)}

'''제3종 완전 타원 적분''' \Pi은 다음과 같이 정의될 수 있다.

:\Pi(n,k) = \int_0^\frac{\pi}{2} \frac{d\theta}{\left(1-n\sin^2\theta\right)\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}.

때때로 제3종 타원 적분은 ''특성'' n에 대해 부호가 반대로 정의되기도 한다.

:\Pi'(n,k) = \int_0^\frac{\pi}{2} \frac{d\theta}{\left(1+n\sin^2\theta\right)\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}.

제1종 및 제2종 완전 타원 적분과 마찬가지로, 제3종 완전 타원 적분은 산술 기하 평균을 사용하여 매우 효율적으로 계산할 수 있다.

제1종 완전 타원 적분은 르장드르의 표준형에 있어서 제1종 타원 적분의 적분 범위를 \theta=\pi/2까지로 한 것이다.[17]

:K(k)=F\left(\frac{\pi}{2},k\right)=\int_0^{\pi/2}{\frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}}d\theta

k^2\sin^2\theta의 테일러 급수로 전개한 후, 월리스 공식을 이용하여 항별로 적분하면

:\begin{align}K(k)

&=\int_0^{\pi/2}{\left(1-k^2\sin^2\theta\right)^{-\frac{1}{2}}}d\theta\\

&=\int_0^{\pi/2}{\left(1+\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(2n-1)!!}{2^n}\frac{(k^2\sin^2\theta )^n}{n!}}\right)}d\theta\\

&=\frac{\pi}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}k^{2n}\int_0^{\pi/2}{\sin^{2n}\theta}d\theta}\\

&=\frac{\pi}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}k^{2n}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{\pi}{2}}\\

&=\frac{\pi}{2}\left(1+\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2k^{2n}}\right)\\

&=\frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^{\infty}{\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2k^{2n}}\\

\end{align}

이 된다. 단, (-1)!!=1로 정의한다.

제2종 완전 타원 적분은 르장드르의 표준형에서의 제2종 타원 적분의 적분 범위를 \theta=\pi/2까지로 한 것이다.[19]

:E(k)=E\left(\frac{\pi}{2},k\right)=\int_0^{\pi/2}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}d\theta

k^2\sin^2\theta의 테일러 급수로 전개한 후, 윌리스 공식을 사용하여 항별로 적분하면

:\begin{align}E(k)

&=\int_0^{\pi/2}{\left(1-k^2\sin^2\theta\right)^{\frac{1}{2}}}d\theta\\

&=\int_0^{\pi/2}{\left(1-\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(2n-1)!!}{(2n-1)2^n}\frac{(k^2\sin^2\theta )^n}{n!}}\right)}d\theta\\

&=\frac{\pi}{2}-\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(2n-1)!!}{(2n-1)(2n)!!}k^{2n}\int_0^{\pi/2}{\sin^{2n}\theta}d\theta}\\

&=\frac{\pi}{2}-\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(2n-1)!!}{(2n-1)(2n)!!}k^{2n}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{\pi}{2}}\\

&=\frac{\pi}{2}\left(1-\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2\frac{k^{2n}}{2n-1}}\right)\\

&=\frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^{\infty}{\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2\frac{k^{2n}}{1-2n}}\\

\end{align}

가 된다. 단, (-1)!!=1로 정의한다.

3. 인수 표기법

하나의 인수를 표현하기 위해 다음을 사용한다.


  • α영어, '''모듈 각도'''
  • , '''타원 모듈''' 또는 '''이심률'''
  • , '''매개변수'''


위의 세 가지 양은 다른 것들로부터 완전히 결정된다(비음수라는 것을 감안할 때). 따라서 서로 바꿔서 사용할 수 있다.

다른 인수는 , '''진폭''', 또는 또는 로 표현할 수 있으며, 여기서 이고 은 야코비 타원 함수 중 하나이다.

이러한 양 중 하나의 값을 지정하면 다른 것들이 결정된다. 또한 에 따라 달라진다. 와 관련된 몇 가지 추가 관계는 다음과 같다.

:\cos \varphi = \operatorname{cn} u, \quad \textrm{and} \quad \sqrt{1 - m \sin^2 \varphi} = \operatorname{dn} u.

후자는 때때로 '''델타 진폭'''이라고 불리며 로 표기된다. 때때로 문헌에서는 '''보완 매개변수''', '''보완 모듈''' 또는 '''보완 모듈 각도'''도 언급한다. 이에 대한 추가 정의는 4분의 주기에 대한 문서에서 확인할 수 있다.

이 표기법에서 구분 기호로 수직선(|) 사용은 그 뒤에 오는 인수가 "매개변수"(위에 정의된 대로)임을 나타내는 반면, 백슬래시(\)는 모듈 각도임을 나타낸다. 세미콜론(;)을 사용하면 그 앞에 오는 인수가 진폭의 사인임을 의미한다.

: F(\varphi, \sin \alpha) = F\left(\varphi \mid \sin^2 \alpha\right) = F(\varphi \setminus \alpha) = F(\sin \varphi ; \sin \alpha).

이러한 다른 인수 구분 기호의 잠재적으로 혼란스러운 사용은 타원 적분에서 전통적이며, 표기법의 상당 부분은 Abramowitz and Stegun의 참고 도서와 Gradshteyn and Ryzhik의 적분표에서 사용된 표기법과 호환된다.

문헌에서 사용되는 타원 적분 표기법에 대한 또 다른 규칙이 있다. 인수가 서로 바뀐 표기법, 가 종종 사용되며, 두 번째 종류의 적분에 대해서도 마찬가지로 가 사용된다. Abramowitz and Stegun은 두 번째 및 세 번째 종류의 적분에 대한 정의에서, 이 인수가 수직선으로 구분되지 않는 한, 두 번째 및 세 번째 종류의 적분 정의에서 첫 번째 종류의 적분 를 인수 대신 사용한다. 즉, 는 를 의미한다. 또한, 그들의 완전 적분은 모듈 대신 매개변수 를 인수로 사용한다. 즉, 대신 를 사용한다. 그리고 Gradshteyn and Ryzhik에 의해 정의된 세 번째 종류의 적분 는 "특성" 이 아닌 진폭 를 먼저 넣는다.

따라서 이러한 함수를 사용할 때는 표기법에 주의해야 한다. 다양한 신뢰할 수 있는 참고 자료와 소프트웨어 패키지에서 타원 함수 정의에 다른 규칙을 사용하기 때문이다. 예를 들어, Wolfram의 Mathematica 소프트웨어와 Wolfram Alpha는 첫 번째 종류의 완전 타원 적분을 타원 모듈 대신 매개변수 을 사용하여 정의한다.

4. 특수한 경우

k=0인 경우 역삼각 함수가 되고, k=1인 경우 역쌍곡선 함수가 된다.[16]

:\begin{align}

F(x,0) &= \sin^{-1}x \\

F(x,1) &= \tanh^{-1}x \\

E(x,0) &= \sin^{-1}x \\

E(x,1) &= x

\end{align}

:\begin{align}

F(\varphi,0) &= E(\varphi,0)=\varphi \\

F(\varphi,1) &= \operatorname{gd}^{-1}\varphi \\

E(\varphi,1) &= \sin\varphi \\

\end{align}

단, \operatorname{gd}^{-1}\varphi는 역 구데르만 함수이다. 또한 특히 a=k^2일 때, 제3종 타원 적분은 제2종 타원 적분으로 나타낼 수 있으며, 다음 식이 성립한다.

:\Pi(k^2;\varphi,k)=\frac{1}{1-k^2}\left\{E(\varphi,k)-\frac{k^2\sin2\varphi}{2\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}}\right\}=\frac{1}{1-k^2}\left\{E(\varphi,k)+\frac{d^2}{d\varphi^2}E(\varphi,k)\right\}

4. 1. 야코비 표준형

Jacobi영어 표준형은 야코비 타원 함수를 사용하여 타원 적분을 표현하는 방법이다.

타원 적분은 일반적으로 다음과 같은 매개변수들로 표현된다.

  • \alpha는 '''모듈 각도'''이다.
  • k = \sin \alpha는 '''타원 모듈''' 또는 '''이심률'''이다.
  • m = k^2 = \sin^2 \alpha는 '''매개변수'''이다.


이 세 가지 매개변수는 서로 변환 가능하다.

\varphi는 '''진폭'''이라고 불리며, x = \sin \varphi = \operatorname{sn} u로 표현할 수 있다. 여기서 \operatorname{sn}은 야코비 타원 함수 중 하나이다.

u는 m에 따라 달라지며, 다음과 같은 관계를 가진다.

\cos \varphi = \operatorname{cn} u, \quad \textrm{and} \quad \sqrt{1 - m \sin^2 \varphi} = \operatorname{dn} u.

\sqrt{1 - m \sin^2 \varphi} = \operatorname{dn} u는 '''델타 진폭'''이라고 불린다.

타원 적분의 표기법은 문헌마다 다를 수 있으므로 주의해야 한다. 예를 들어, Abramowitz and Stegun과 Gradshteyn and Ryzhik의 표기법은 서로 다르다.[16] Wolfram의 Mathematica 소프트웨어와 Wolfram Alpha는 첫 번째 종류의 완전 타원 적분을 타원 모듈 k 대신 매개변수 m을 사용하여 정의한다.

k=0인 경우 타원 적분은 역삼각 함수가 되고, k=1인 경우 역쌍곡선 함수가 된다.[16]

4. 2. 르장드르 표준형

야코비의 표준형에서 적분 변수 t=\sin{\theta}로 치환하면(치환 적분), 약간 더 간단한 르장드르의 표준형을 얻을 수 있다[15]。

:\begin{align}

F(\varphi,k) &= \int_0^\varphi \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}} \\

E(\varphi,k) &= \int_0^\varphi \sqrt{1-k^2\sin^2\theta} ~ d\theta \\

\Pi(a;\varphi,k) &= \int_0^\varphi \frac{d\theta}{(1-a\sin^2\theta)\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}

\end{align}

:\begin{align}

F(\varphi,0) &= E(\varphi,0)=\varphi \\

F(\varphi,1) &= \int_0^{\varphi}{\frac1{\sqrt{1-\sin^2\theta}}}d\theta = \operatorname{gd}^{-1}\varphi \\

E(\varphi,1) &= \int_0^{\varphi}{\sqrt{1-\sin^2\theta}} ~ d\theta = \sin\varphi \\

\end{align}

단, \operatorname{gd}^{-1}\varphi는 역 구데르만 함수이다. 또한 특히 a=k^2일 때, 제3종 타원 적분은 제2종 타원 적분으로 나타낼 수 있으며, 다음 식이 성립한다.

:\Pi(k^2;\varphi,k)=\frac{1}{1-k^2}\left\{E(\varphi,k)-\frac{k^2\sin2\varphi}{2\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}}\right\}=\frac{1}{1-k^2}\left\{E(\varphi,k)+\frac{d^2}{d\varphi^2}E(\varphi,k)\right\}

5. 계산 및 급수 전개

연분수 전개는 다음과 같다.[7]

:영어\frac{K(k)}{2\pi} = -\frac{1}{4} + \sum^{\infty}_{n=0} \frac{q^n}{1+q^{2n}} = -\frac{1}{4} + \cfrac{1}{1-q+ \cfrac{\left(1-q\right)^2}{1-q^3+ \cfrac{q\left(1-q^2\right)^2}{1-q^5+ \cfrac{q^2\left(1-q^3\right)^2}{1-q^7+\cfrac{q^3\left(1-q^4\right)^2}{1-q^9+\cdots}}}}},

여기서 노메는 :영어 q = q(k) = \exp[-\pi K'(k)/K(k)] 로 정의된다.

제곱 함수가 복소 평면에서 역함수를 구할 때 문제를 일으키기 때문에, 매개변수 :영어m을 갖는 제1종 완전 타원 적분을 대신 사용한다.

:영어K[m]=\int_0^{\pi/2}\dfrac{d\theta}{\sqrt{1-m\sin^2\theta}}

:영어\theta_2(\tau)=2e^{\pi i\tau/4}\sum_{n=0}^\infty q^{n(n+1)},\quad q=e^{\pi i\tau},\, \operatorname{Im}\tau >0,

:영어\theta_3(\tau)=1+2\sum_{n=1}^\infty q^{n^2},\quad q=e^{\pi i\tau},\,\operatorname{Im}\tau >0

위의 식에서 :영어\theta_2(\tau)와 :영어\theta_3(\tau)는 세타 함수이다.

다음 방정식

:영어\tau=i\frac{K[1-m]}{K[m]}

는 (해 :영어m이 존재한다는 조건 하에)

:영어m=\frac{\theta_2(\tau)^4}{\theta_3(\tau)^4}

에 의해 풀 수 있으며, 이는 사실 모듈러 람다 함수이다.

계산을 위해, 오차 분석은 다음과 같다.[8]

:영어\left|{e}^{-\pi i \tau / 4} \theta_{2}\!\left(\tau\right) - 2\sum_{n=0}^{N - 1} {q}^{n \left(n + 1\right)}\right| \le \begin{cases} \frac{2 {\left|q\right|}^{N \left(N + 1\right)}}{1 - \left|q\right|^{2N+1}}, & \left|q\right|^{2N+1} < 1\\\infty, & \text{otherwise}\\ \end{cases}\;

:영어\left|\theta_{3}\!\left(\tau\right) - \left(1+2\sum_{n=1}^{N - 1} {q}^{n^2}\right)\right| \le \begin{cases} \frac{2 {\left|q\right|}^{N^2}}{1 - \left|q\right|^{2N+1}}, & \left|q\right|^{2N+1} < 1\\\infty, & \text{otherwise}\\ \end{cases}\;

여기서 :영어N\in\mathbb{Z}_{\ge 1}이고 :영어\operatorname{Im}\tau >0이다.

또한

:영어K[m]=\frac{\pi}{2}\theta_3(\tau )^2,\quad \tau=i\frac{K[1-m]}{K[m]}

여기서 :영어m\in\mathbb{C}\setminus\{0,1\}이다.

제1종 완전 타원 적분은 르장드르 표준형에서 제1종 타원 적분의 적분 범위를 까지로 한 것이다.[17]

:영어K(k)=F\left(\frac{\pi}{2},k\right)=\int_0^{\pi/2}{\frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}}d\theta

의 테일러 급수로 전개한 후, 월리스 공식을 이용하여 항별로 적분하면 다음과 같이 표현할 수 있다.

:영어\begin{align}K(k)

&=\int_0^{\pi/2}{\left(1-k^2\sin^2\theta\right)^{-\frac{1}{2}}}d\theta\\

&=\int_0^{\pi/2}{\left(1+\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(2n-1)!!}{2^n}\frac{(k^2\sin^2\theta )^n}{n!}}\right)}d\theta\\

&=\frac{\pi}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}k^{2n}\int_0^{\pi/2}{\sin^{2n}\theta}d\theta\\

&=\frac{\pi}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}k^{2n}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{\pi}{2}}\\

&=\frac{\pi}{2}\left(1+\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2k^{2n}}\right)\\

&=\frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^{\infty}{\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2k^{2n}}\\

\end{align}

(단, [18]로 정의한다.)

제2종 완전 타원 적분은 르장드르 표준형에서 제2종 타원 적분의 적분 범위를 까지로 한 것이다.[19]

:영어E(k)=E\left(\frac{\pi}{2},k\right)=\int_0^{\pi/2}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}d\theta

의 테일러 급수로 전개한 후, 월리스 공식을 사용하여 항별로 적분하면 다음과 같이 표현할 수 있다.

:영어\begin{align}E(k)

&=\int_0^{\pi/2}{\left(1-k^2\sin^2\theta\right)^{\frac{1}{2}}}d\theta\\

&=\int_0^{\pi/2}{\left(1-\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(2n-1)!!}{(2n-1)2^n}\frac{(k^2\sin^2\theta )^n}{n!}}\right)}d\theta\\

&=\frac{\pi}{2}-\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(2n-1)!!}{(2n-1)(2n)!!}k^{2n}\int_0^{\pi/2}{\sin^{2n}\theta}d\theta}\\

&=\frac{\pi}{2}-\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(2n-1)!!}{(2n-1)(2n)!!}k^{2n}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{\pi}{2}}\\

&=\frac{\pi}{2}\left(1-\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2\frac{k^{2n}}{2n-1}}\right)\\

&=\frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^{\infty}{\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2\frac{k^{2n}}{1-2n}}\\

\end{align}

(단, 로 정의한다.)

5. 1. 제1종 완전 타원 적분

타원 적분은 진폭이 이고 따라서 일 때 '완전'하다고 한다.

따라서 '''제1종 완전 타원 적분''' 는 다음과 같이 정의할 수 있다.[17]

:

또는 제1종 불완전 적분을 사용하여 더 간결하게 나타낼 수 있다.

:

이것은 다음과 같은 멱급수로 표현할 수 있다.

:

여기서 은 르장드르 다항식이며, 이는 다음과 같다.

:

여기서 는 이중 계승을 나타낸다. 가우스 초기하 함수의 관점에서, 제1종 완전 타원 적분은 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

제1종 완전 타원 적분은 때때로 사분 주기라고도 한다. 이는 산술-기하 평균의 관점에서 매우 효율적으로 계산할 수 있다.

:

따라서 모듈러스는 다음과 같이 변환될 수 있다.

:

이 표현은 모든 과 에 유효하다.

다음 근사식이 성립한다.

:

이 근사는 에서 보다 더 나은 상대 정밀도를 가진다. 처음 두 항만 유지하면 에서 0.01 정밀도로 정확하다.

제1종 타원 적분에 대한 미분 방정식은 다음과 같다.

:

이 방정식의 두 번째 해는 이다. 이 해는 다음 관계를 만족한다.

:

연분수 전개는 다음과 같다.[7]

:

여기서 노메는 로 정의된다.

제곱 함수가 복소 평면에서 역함수를 구할 때 문제를 일으키기 때문에, ''매개변수'' 을 갖는 제1종 완전 타원 적분을 대신 사용한다. 따라서 다음과 같이 정의한다.

:

그리고 다음과 같이 정의한다.

:

:

위의 식에서 는 세타 함수이다.

다음 방정식

:

는 (해 이 존재한다는 조건 하에)

:

에 의해 풀 수 있으며, 이는 사실 모듈러 람다 함수이다.

계산을 위해, 오차 분석은 다음과 같다.[8]

:

:

여기서 이고 이다.

또한

:

여기서 이다.

의 테일러 급수로 전개한 후, 월리스 공식을 이용하여 항별로 적분하면 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

이 된다. 단, 로 정의한다.[18]

5. 2. 제2종 완전 타원 적분

'''제2종 완전 타원 적분'''(E)는 다음과 같이 정의된다.

E(k) = \int_0^\tfrac{\pi}{2} \sqrt{1-k^2 \sin^2\theta} \, d\theta = \int_0^1 \frac{\sqrt{1-k^2 t^2}}{\sqrt{1-t^2}} \, dt

제2종 불완전 타원 적분 를 사용하면 더 간결하게 표현할 수 있다.

E(k) = E\left(\tfrac{\pi}{2},k\right) = E(1;k)

장반경 와 단반경 및 이심률 을 갖는 타원의 둘레 는 제2종 완전 타원 적분 의 4배이며, 장반경 를 단위로 한다. 즉, 다음과 같다.

C = 4 a E(e)

제2종 완전 타원 적분은 거듭제곱 급수로 나타낼 수 있다.[9]

E(k) = \frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{(2n)!}{2^{2n} \left(n!\right)^2}\right)^2 \frac{k^{2n}}{1-2n}

이는 다음과 동일하다.

E(k) = \frac{\pi}{2}\left(1-\left(\frac12\right)^2 \frac{k^2}{1}-\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)^2 \frac{k^4}{3}-\cdots-\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2 \frac{k^{2n}}{2n-1}-\cdots\right)

가우스 초 기하 함수를 사용하여 제2종 완전 타원 적분을 표현하면 다음과 같다.

E(k) = \tfrac{\pi}{2} \,{}_2F_1 \left(\tfrac12, -\tfrac12; 1; k^2 \right)

모듈러스는 다음과 같이 변환할 수 있다.

E(k) = \left(1+\sqrt{1-k^2}\right)\,E\left(\frac{1-\sqrt{1-k^2}}{1+\sqrt{1-k^2}}\right) - \sqrt{1-k^2}\,K(k)

제1종 완전 타원 적분과 마찬가지로, 제2종 완전 타원 적분 역시 산술-기하 평균을 사용하여 매우 효율적으로 계산할 수 있다.

수열 과 을 , 이고 점화 관계 , 으로 정의한다. 또한, 로 정의한다.

정의에 따라,

a_\infty = \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} g_n = \operatorname{agm}\left(1, \sqrt{1-k^2}\right)

이며,

\lim_{n\to\infty} c_n=0

이다. 그러면

E(k) = \frac{\pi}{2a_\infty}\left(1-\sum_{n=0}^{\infty} 2^{n-1} c_n^2\right)

이다. 실제로 산술-기하 평균은 특정 한계까지만 계산된다. 이 공식은 에 대해 2차적으로 수렴한다. 계산 속도를 높이기 위해, 관계를 사용할 수 있다.

또한, 이고 r \isin \mathbb{Q}^+ (여기서 는 모듈러 람다 함수)이면, 는

K(k)=\frac{\pi}{2\operatorname{agm}\left(1,\sqrt{1-k^2}\right)}

를 사용하여 닫힌 형식으로 표현될 수 있다. 따라서 무한 합 항 없이도 계산할 수 있다. 예를 들어, , 및 에 대해 각각,[10]

E\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{1}{2}K\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)+\frac{\pi}{4K\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)},

E\left(\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}\right)=\frac{3+\sqrt{3}}{6}K\left(\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}\right)+\frac{\pi\sqrt{3}}{12K\left(\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}\right)},

E\left(\frac{3-\sqrt{7}}{4\sqrt{2}}\right)=\frac{7+2\sqrt{7}}{14}K\left(\frac{3-\sqrt{7}}{4\sqrt{2}}\right)+\frac{\pi\sqrt{7}}{28K\left(\frac{3-\sqrt{7}}{4\sqrt{2}}\right)}

이다.

제2종 완전 타원 적분은 르장드르 표준형에서의 제2종 타원 적분의 적분 범위를 까지로 한 것이다.[19]

d\theta}}

의 테일러 급수로 전개한 후, 윌리스 공식을 사용하여 항별로 적분하면

}d\theta\\

&=\int_0^{\pi/2}{\left(1-\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(2n-1)!!}{(2n-1)2^n}\frac{(k^2\sin^2\theta )^n}{n!}}\right)}d\theta\\

&=\frac{\pi}{2}-\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(2n-1)!!}{(2n-1)(2n)!!}k^{2n}\int_0^{\pi/2}{\sin^{2n}\theta}d\theta}\\

&=\frac{\pi}{2}-\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(2n-1)!!}{(2n-1)(2n)!!}k^{2n}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{\pi}{2}}\\

&=\frac{\pi}{2}\left(1-\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2\frac{k^{2n}}{2n-1}}\right)\\

&=\frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^{\infty}{\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2\frac{k^{2n}}{1-2n}}\\

\end{align}}}

가 된다. 단, 로 정의한다.

5. 3. 제3종 완전 타원 적분

제3종 완전 타원 적분 은 다음과 같이 정의될 수 있다.

:\Pi(n,k) = \int_0^\frac{\pi}{2} \frac{d\theta}{\left(1-n\sin^2\theta\right)\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}.

때때로 제3종 타원 적분은 ''특성'' 에 대해 부호가 반대로 정의되기도 한다.

:\Pi'(n,k) = \int_0^\frac{\pi}{2} \frac{d\theta}{\left(1+n\sin^2\theta\right)\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}.

제1종 및 제2종 완전 타원 적분과 마찬가지로, 제3종 완전 타원 적분은 산술 기하 평균을 사용하여 매우 효율적으로 계산할 수 있다.[10]

:\begin{align}

\frac{\partial\Pi(n,k)}{\partial n} &= \frac{1}{2\left(k^2-n\right)(n-1)}\left(E(k)+\frac{1}{n}\left(k^2-n\right)K(k) + \frac{1}{n} \left(n^2-k^2\right)\Pi(n,k)\right) \\[8pt]

\frac{\partial\Pi(n,k)}{\partial k} &= \frac{k}{n-k^2}\left(\frac{E(k)}{k^2-1}+\Pi(n,k)\right)

\end{align}

6. 미분 방정식

제1종 타원 적분에 대한 미분 방정식은 다음과 같다.

:\frac{d}{dk}\left(k\left(1-k^2\right)\frac{dK(k)}{dk}\right) = k \, K(k)

이 방정식의 두 번째 해는 K\left(\sqrt{1-k^2}\right)이다. 이 해는 다음 관계를 만족한다.

:\frac{d}{dk}K(k) = \frac{E(k)}{k\left(1-k^2\right)}-\frac{K(k)}{k}.

:\frac{dE(k)}{dk} = \frac{E(k)-K(k)}{k}

:\left(k^2-1\right) \frac{d}{dk} \left( k \;\frac{dE(k)}{dk} \right) = k E(k)

이 방정식의 또 다른 해는 E\left(\sqrt{1 - k^2}\right) - K\left(\sqrt{1 - k^2}\right)이다.

7. 르장드르 관계식

르장드르 관계식(Legendre's relation) 또는 '르장드르 항등식'은 타원 적분 모듈러스와 그 반대되는 짝을 이루는 적분 K와 E의 관계를 2차 적분 방정식으로 나타낸다.[11][12]

두 모듈이 피타고라스 짝을 이룰 때, 다음 관계식이 성립한다.

:K(\varepsilon) E\left(\sqrt{1-\varepsilon^2}\right) + E(\varepsilon) K\left(\sqrt{1-\varepsilon^2}\right) - K(\varepsilon) K\left(\sqrt{1-\varepsilon^2}\right) = \frac {\pi}{2}

예시:

:K({\color{blueviolet}\tfrac{3}{5}})E({\color{blue}\tfrac{4}{5}}) + E({\color{blueviolet}\tfrac{3}{5}})K({\color{blue}\tfrac{4}{5}}) - K({\color{blueviolet}\tfrac{3}{5}})K({\color{blue}\tfrac{4}{5}}) = \tfrac{1}{2}\pi

그리고 두 모듈이 접선 짝을 이룰 때, 다음 관계식이 성립한다.

:(1 + \varepsilon)K(\varepsilon)E(\tfrac{1 - \varepsilon}{1 + \varepsilon}) + \tfrac{2}{1 + \varepsilon}E(\varepsilon)K (\tfrac{1 - \varepsilon}{1 + \varepsilon}) - 2K(\varepsilon)K(\tfrac{1 - \varepsilon}{1 + \varepsilon}) = \tfrac{1}{2}\pi

예시:

:\tfrac{4}{3}K({\color{blue}\tfrac{1}{3}})E({\color{green}\tfrac{1}{2}}) + \tfrac{3}{2}E({\color{blue}\tfrac{1}{3}})K({\color{green}\tfrac{1}{2}}) - 2K({\color{blue}\tfrac{1}{3}})K({\color{green}\tfrac{1}{2}}) = \tfrac{1}{2}\pi

접선 모듈 짝에 대한 르장드르 관계식은 피타고라스 모듈 짝에 랜던 변환을 적용하여 피타고라스 모듈 짝에 대한 르장드르 항등식으로부터 직접적으로 유도된다.

르미스카트 경우에 대해, 타원 모듈 또는 특정 이심률 ε은 2의 제곱근의 절반과 같다. 르미스카트 경우에 대한 르장드르 항등식은 다음과 같이 증명할 수 있다.

연쇄 법칙에 따르면, 다음의 도함수들이 성립한다.

:\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y} \,K\bigl(\frac{1}{2}\sqrt{2}\bigr) - F\biggl[\arccos (xy);\frac{1}{2}\sqrt{2}\biggr] = \frac{\sqrt{2}\,x}{\sqrt{1 - x^4 y^4}}

:\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y} \,2E\bigl(\frac{1}{2}\sqrt{2}\bigr) - K\bigl(\frac {1}{2}\sqrt{2}\bigr) - 2E\biggl[\arccos(xy);\frac{1}{2}\sqrt{2}\biggr] + F\biggl[\arccos(xy );\frac{1}{2}\sqrt{2}\biggr] = \frac{\sqrt{2}\,x^3 y^2}{\sqrt{1 - x^4 y^4}}

미적분학의 기본 정리를 사용하여 다음 공식을 생성할 수 있다.

:K\bigl(\frac{1}{2}\sqrt{2}\bigr) - F\biggl[\arccos (x);\frac{1}{2}\sqrt{2}\biggr] = \int_{0}^{1} \frac{\sqrt{2}\,x}{\sqrt{1 - x^4 y^4}} \,\mathrm{d}y

:2E\bigl(\frac{1}{2}\sqrt{2}\bigr) - K\bigl(\frac {1}{2}\sqrt{2}\bigr) - 2E\biggl[\arccos(x);\frac{1}{2}\sqrt{2}\biggr] + F\biggl[\arccos(x);\frac{1}{2}\sqrt{2}\biggr] = \int_{0}^{1} \frac{\sqrt{2}\,x^3 y^2}{\sqrt{1 - x^4 y^4}} \,\mathrm{d}y

이제 언급된 두 적분의 선형 결합은 다음 공식을 이끈다.

:

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1 - x^4}} \biggl\{2E\bigl(\frac{1}{2}\sqrt{2}\bigr) - K\bigl(\frac{1}{2}\sqrt{2}\bigr) - 2E\biggl[\arccos(x);\frac{1}{2}\sqrt{2}\biggr] + F\biggl[\arccos( x);\frac{1}{2}\sqrt{2}\biggr]\biggr\} \,+



:

+ \,\frac{\sqrt{2} \,x^2}{\sqrt{1 - x^4}} \biggl\{K\bigl(\frac{1}{2}\sqrt{2}\bigr) - F\biggl[\arccos(x);\frac{1}{2}\sqrt{2}\biggr]\biggr\} = \int_{0}^{1} \frac{2\,x ^3 (y^2 + 1)}{\sqrt{(1 - x^4)(1 - x^4\,y^4)}} \,\mathrm{d}y



곱의 법칙을 사용하여 현재 표시된 함수에서 x에 관련된 원래 부정 도함수를 형성하면 이 공식이 나온다.

: \biggl\{K\bigl(\frac{1}{2}\sqrt{2}\bigr) - F\biggl[\arccos(x);\frac{1}{2}\sqrt{ 2}\biggr]\biggr\}\biggl\{2E\bigl(\frac{1}{2}\sqrt{2}\bigr) - K\bigl(\frac{1}{2}\sqrt{2 }\bigr) - 2E\biggl[\arccos(x);\frac{1}{2}\sqrt{2}\biggr] + F\biggl[\arccos(x);\frac{1}{2} \sqrt{2}\biggr]\biggr\} =



: = \int_{0}^{1} \frac{1}{y^2}(y^2 + 1)\biggl[\text{artanh}(y^2) - \text{artanh} \bigl(\frac{\sqrt{1 - x^4}\,y^2}{\sqrt{1 - x^4 y^4}}\bigr)\biggr] \mathrm{d}y

만약 값 x = 1이 이 적분 항등식에 삽입되면, 다음 항등식이 나타난다.

: K\bigl(\frac{1}{2}\sqrt{2}\bigr)\biggl[2\,E\bigl(\frac{1}{2}\sqrt{2}\bigr) - K\bigl (\frac{1}{2}\sqrt{2}\bigr)\biggr] = \int_{0}^{1} \frac{1}{y^2}(y^2 + 1) \,\text{artanh}(y^2) \,\mathrm{d}y =

: = \biggl[2\arctan(y) - \frac{1}{y}(1 - y^2)\,\text{artanh}(y^2)\biggr]_{y = 0}^{y = 1} = 2\arctan(1) = \frac{\pi}{2}

다음은 르장드르 항등식의 르미스카트 발췌 내용이다.

:2E\bigl(\frac{1}{2}\sqrt{2}\bigr)K\bigl(\frac{1}{2}\sqrt{2}\bigr) - K\bigl(\frac{1}{2}\sqrt{2}\bigr)^2 = \frac{\pi}{2}

이제 모듈러 일반적인 경우가 전개되었다. 이를 위해 완전 타원 적분의 도함수를 모듈러스 \varepsilon 에 대해 구한 다음 결합한다. 그런 다음 르장드르 항등식의 균형이 결정된다.

'원 함수'의 도함수는 '동일 매핑 함수'와 원 함수의 역수의 음의 곱이므로 다음과 같다.

:\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\varepsilon}\sqrt{1 - \varepsilon^2} = -\,\frac{\varepsilon}{\sqrt{1 - \varepsilon^2}}

이것은 K와 E의 도함수이다.

:\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\varepsilon} K(\varepsilon) = \frac{1}{\varepsilon(1-\varepsilon^2)} \bigl[E( \varepsilon) - (1-\varepsilon^2)K(\varepsilon)\bigr]

:\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\varepsilon} E(\varepsilon) = - \,\frac{1}{\varepsilon}\bigl[K(\varepsilon) - E (\varepsilon)\bigr]

원 함수의 도함수와 결합하면 다음과 같은 도함수가 유효하다.

:\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\varepsilon}K(\sqrt{1 - \varepsilon^2}) = \frac{1}{\varepsilon(1-\varepsilon^ 2)} \bigl[\varepsilon^2 K(\sqrt{1 - \varepsilon^2}) - E(\sqrt{1 - \varepsilon^2})\bigr]

:\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\varepsilon }E(\sqrt{1 - \varepsilon ^2}) = \frac{\varepsilon }{1 - \varepsilon ^2} \bigl[K(\sqrt{1 - \varepsilon^2}) - E(\sqrt{1 - \varepsilon^2})\bigr]

르장드르 항등식은 임의의 두 완전 타원 적분의 곱을 포함한다. 르장드르 항등식의 방정식 규모에서 함수 측의 도출을 위해, 곱의 법칙이 적용된다.

:\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\varepsilon}K(\varepsilon)E(\sqrt{1 - \varepsilon^2}) = \frac{1}{\varepsilon( 1-\varepsilon^2)} \bigl[E(\varepsilon)E(\sqrt{1 - \varepsilon^2}) - K(\varepsilon)E(\sqrt{1 - \varepsilon^2}) + \varepsilon^2 K(\varepsilon)K(\sqrt{1 - \varepsilon^2})\bigr]

:\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\varepsilon}E(\varepsilon)K(\sqrt{1 - \varepsilon^2}) = \frac{1}{\varepsilon( 1-\varepsilon^2)} \bigl[- E(\varepsilon)E(\sqrt{1 - \varepsilon^2}) + E(\varepsilon)K(\sqrt{1 - \varepsilon^2}) - (1 - \varepsilon^2) K(\varepsilon)K(\sqrt{1 - \varepsilon^2})\bigr]

:\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\varepsilon}K(\varepsilon)K(\sqrt{1 - \varepsilon^2}) = \frac{1}{\varepsilon( 1-\varepsilon^2)} \bigl[E(\varepsilon)K(\sqrt{1 - \varepsilon^2}) - K(\varepsilon)E(\sqrt{1 - \varepsilon^2}) - ( 1 - 2\varepsilon^2) K(\varepsilon)K(\sqrt{1 - \varepsilon^2})\bigr]

이 세 가지 방정식 중 처음 두 방정식을 더하고 마지막 방정식을 빼면 다음과 같은 결과가 나온다.

:\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\varepsilon} \bigl[K(\varepsilon)E(\sqrt{1 - \varepsilon^2}) + E(\varepsilon)K (\sqrt{1 - \varepsilon^2}) - K(\varepsilon)K(\sqrt{1 - \varepsilon^2})\bigr] = 0

\varepsilon 와 관련하여 방정식 균형은 항상 0 값을 제공한다.

이전에 결정된 결과는 모듈러스 \varepsilon = 1/\sqrt{2}에 대한 르장드르 방정식과 결합된다.

:2E\bigl(\frac{1}{2}\sqrt{2}\bigr)K\bigl(\frac{1}{2}\sqrt{2}\bigr) - K\bigl(\frac{1}{2}\sqrt{2}\bigr)^2 = \frac{\pi}{2}

마지막 두 공식을 결합하면 다음과 같은 결과가 나온다.

:K(\varepsilon)E(\sqrt{1 - \varepsilon^2}) + E(\varepsilon)K(\sqrt{1 - \varepsilon^2}) - K(\varepsilon)K(\sqrt{1 - \varepsilon^2}) = \tfrac{1}{2}\pi

연속 함수의 도함수가 항상 0 값을 가지면 해당 함수는 상수 함수이기 때문이다. 즉, 이 함수는 각 가로좌표 값 \varepsilon 에 대해 동일한 함수 값을 생성하며, 관련 함수 그래프는 수평 직선이다.

8. 란덴 변환과 가우스 변환

란덴 변환과 가우스 변환은 타원 적분에서 사용되는 특수한 형태의 변환이다. 이 변환들은 타원 적분의 값을 계산하거나, 다른 형태의 타원 적분으로 변환하는 데 사용된다. 란덴 변환에는 가우스 변환식도 포함된다.[1]

8. 1. 란덴 변환

다음은 란덴 변환에 대한 항등식이다.

:F\left(\sin\alpha,k\right)=\frac{2}{1+k}F\left(\frac{1}{2}\sqrt{\left(1+k\right)^2\sin^2\alpha+\left(\sqrt{1-k^2\sin^2\alpha}-\sqrt{1-\sin^2\alpha}\right)^2},\frac{2\sqrt{k}}{1+k}\right)

다음은 가우스 변환에 대한 항등식이다.

:F\left(\sin\alpha,k\right)=\frac{1}{1+k}F\left(\frac{(1+k)\sin\alpha}{1+k\sin^2\alpha},\frac{2\sqrt{k}}{1+k}\right)

8. 2. 가우스 변환

다음 항등식을 가우스 변환이라고 한다.

:F\left(\sin\alpha,k\right)=\frac{1}{1+k}F\left(\frac{(1+k)\sin\alpha}{1+k\sin^2\alpha},\frac{2\sqrt{k}}{1+k}\right)[1]

9. 타원 적분의 응용

타원 적분은 타원의 호의 길이를 구하는 문제 등 여러 분야에 응용된다. 자오선 호의 길이 계산, 진자의 운동 등에도 타원 적분이 사용된다.

9. 1. 타원의 호장

타원 x^2 + (y/c)^2 = 1의 호의 길이는 다음과 같다.

:\begin{align}

L&=\int{ds}=\int{\sqrt{dx^2+dy^2}}=\int{\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}}dx\\

&=\int{\sqrt{1+\left(\mp\frac{cx}{\sqrt{1-x^2}}\right)^2}}dx\\

&=\int{\sqrt{\frac{1-x^2+c^2x^2}{1-x^2}}}dx

\end{align}

여기서 이심률 k=\sqrt{1-c^2}를 사용하면, 위 식은 다음과 같다.

:L=\int{\sqrt{\frac{1-k^2x^2}{1-x^2}}}dx

따라서, 제2종 타원 적분이 나타난다. 타원의 원주 상에서 x 좌표가 0인 점에서 x 좌표가 x인 점까지의 호의 길이는 L(x)=E(x,k)가 된다. 여기서 k=0으로 하면 타원은 원이 되고, 호의 길이는 L(x)=E(x,0)=\sin^{-1}{x}가 된다 (여기서는 \sin이 x축 방향에 있다는 것에 주의).

9. 2. 단진자의 주기

단진자의 등시성 파괴

10. 야코비 제타 함수

1829년, 야코비는 '''야코비 제타 함수'''를 다음과 같이 정의했다.

:Z(\varphi,k)=E(\varphi,k)-\frac{E(k)}{K(k)}F(\varphi,k).

이 함수는 \varphi에 대해 최소 주기 \pi를 갖는 주기 함수이다. 이 함수는 자코비 zn 함수와 Z(\varphi,k)=\operatorname{zn}(F(\varphi,k),k)의 관계를 갖는다. 문헌(예: Whittaker와 Watson (1927))에서는 때때로 Z가 위키백과의 \operatorname{zn}을 의미한다. 일부 저자(예: King (1924))는 위키백과의 Z와 \operatorname{zn} 둘 다에 Z를 사용한다.

참조

[1] 서적 Pi and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity Wiley-Interscience
[2] 서적 Pi and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity Wiley-Interscience
[3] 문서 K can be [[Analytic continuation|analytically extended]] to the [[complex plane]].
[4] 논문 On Epstein's Zeta Function (I).
[5] 논문 On Epstein's Zeta-Function https://eudml.org/do[...]
[6] 웹사이트 Legendre elliptic integrals (Entry 175b7a) https://fungrim.org/[...]
[7] 간행물 Evaluations of a Continued fraction of Ramanujan
[8] 웹사이트 Approximations of Jacobi theta functions https://fungrim.org/[...] Fredrik Johansson 2024-08-29
[9] 웹사이트 Complete elliptic integral of the second kind: Series representations (Formula 08.01.06.0002) https://functions.wo[...]
[10] 서적 Pi and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity Wiley-Interscience
[11] 웹사이트 Legendre-Relation https://www.spektrum[...] 2022-11-29
[12] 웹사이트 Legendre Relation https://archive.lib.[...] 2022-11-29
[13] 웹사이트 integration - Proving Legendres Relation for elliptic curves https://math.stackex[...] 2023-02-10
[14] 간행물 Paul Halmos celebrating 50 years of mathematics https://archive.org/[...] New York : Springer-Verlag 2023-02-10
[15] 문서 ルジャンドルの標準形のφとヤコービの標準形のxとの間には、\sin{\varphi}=xの関係がある。詳しくは[[置換積分]]を参照。
[16] 문서 第二種楕円積分では、k=1と置くと双曲線関数でもない[[一次関数|一次式]]のxとなる。
[17] 문서 ヤコービの標準形においては、積分範囲はt=1までとなる。
[18] 문서 詳しくは[[二重階乗]]の記事を参照。
[19] 문서 ヤコービの標準形においては、積分範囲はt=1までとなる。


본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com