비조화비
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1. 개요
비조화비는 실수 또는 복소수 직선 위의 네 점의 비율로 정의되며, 사영 기하학에서 사영 변환에 의해 보존되는 불변량이다. 비조화비는 네 점의 순서를 바꿈에 따라 변환되며, 대칭군 S₄의 작용으로 볼 수 있다. 비조화비는 사영 기하학, 쌍곡 기하학, 타원 함수 등 다양한 분야에 응용되며, 네 점이 매우 가까워질 때는 미분 기하학적인 성질을 띠기도 한다. 고차원 공간으로의 일반화는 점들의 배치 공간이 복잡해짐에 따라 쉽지 않다.
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| 비조화비 | |
|---|---|
| 개요 | |
| 정의 | 사영기하학에서 네 개의 공선점의 교차비는 사영 불변량이다. |
| 다른 이름 | 복비 (複比) 비조화비 (非調和比) |
| 정의 | |
| 기호 | (A, B; C, D) |
| 공식 | (A, B; C, D) = AC/BC : AD/BD |
| 설명 | 여기서 A, B, C, D는 동일 선상에 있는 점들이며, AC는 점 A와 C 사이의 (방향이 있는) 거리이다. |
| 불변성 | |
| 설명 | 사영 변환 하에서 교차비는 불변이다. 즉, 점 A, B, C, D를 사영 변환하여 얻은 점 A', B', C', D'에 대해 (A, B; C, D) = (A', B'; C', D')이 성립한다. |
| 특별한 경우 | |
| 조화비 | 교차비가 -1인 경우, 네 점은 조화로운 관계에 있다고 한다. |
| 활용 | |
| 사영기하학 | 사영기하학에서 중요한 불변량으로 사용된다. |
| 컴퓨터 비전 | 이미지에서 객체 인식 및 3차원 복원 등에 활용된다. |
2. 정의
같은 실수 또는 복소수 직선 위에 있는 네 점 의 '''비조화비''' 는 다음과 같다.
비조화비의 개념은 알렉산드리아의 파푸스가 저서 《수학집》 제7권에서 암묵적으로 사용했다.[2][10] 파푸스의 초기 사용자로는 아이작 뉴턴, 미셸 찰스, 로버트 심슨 등이 있다.[2][10]
네 점 A, B, C, D의 비조화비는 다음과 같이 쓸 수 있다.
:
이 비율은 네 점 중 하나가 무한대()일 때도 극한의 개념을 통해 정의될 수 있다. 예를 들어:
:
동일한 공식은 네 개의 서로 다른 복소수 또는, 더 일반적으로, 임의의 체의 원소에 적용될 수 있으며, 위에서처럼 그 중 하나가 인 경우에도 사영적으로 확장될 수 있다.
3. 역사
19세기 초, 라자르 카르노는 그의 저서 《위치 기하학》에서 비조화비를 현대적인 형태로 사용하기 시작했다.[3] 1837년, 미셸 찰스는 프랑스어 용어 "rapport anharmonique" (비조화비)를 만들었다.[4] 독일 기하학자들은 이를 "das Doppelverhältnis" (이중비)라고 불렀다.[4][11]
카를 폰 슈타우트는 유클리드 거리의 대수적 조작에 의존하는 이전의 정의에 불만을 품고, 1847년에 사영 조화 공액의 작도에 기초한 대수를 만들어 대수적 구조가 사영 기하학에 내재되어 있음을 보여주었다.[5] 그는 이것을 '던지기'(독일어: ''Wurf'')라고 불렀다.[5][11] 그의 ''던지기의 대수''는 일반적으로 공리로 받아들여지지만 사영 기하학에서 증명되는 수치적 명제에 대한 접근 방식을 제공한다.[5]
1878년, 윌리엄 킹던 클리포드는 영어 용어 "cross-ratio"를 도입했다.[6][12]
4. 성질
:(A,B;C,D) = (AC : CB)/(AD : DB)
여기서 AC:CB는 점 C가 선분 AB를 나누는 비율을 나타내며, AD:DB는 점 D가 동일한 선분을 나누는 비율을 나타낸다. 따라서 비조화비는 비율들의 비율로 나타나며, 두 점 C와 D가 선분 AB와 관련하여 어떻게 위치하는지를 설명한다. 점 A, B, C, D가 서로 다르면 비조화비 (''A'', ''B''; ''C'', ''D'')는 0이 아닌 실수이다. 다음을 쉽게 추론할 수 있다.
공선상의 네 점 ''A'', ''B'', ''C'', ''D''의 교차비는 다음과 같이 표기할 수 있다.
: (A,B;C,D) = (AC/CB):(AD/DB)
여기서 AC/CB는 점 ''C''가 선분 AB를 분할하는 비율을 나타내고, AD/DB는 점 ''D''가 같은 선분을 분할하는 비율을 나타낸다. 즉, 교차비는 비율의 비로 나타나며, 두 점 C, D가 선분 AB에 대해 어떻게 위치해 있는지를 나타낸다. 점 ''A, B, C, D''가 서로 다를 경우, 교차비 (A, B; C, D)는 0이 아닌 실수이다. 다음은 쉽게 추론할 수 있다.4. 1. 대칭군의 작용
네 점의 순서를 바꾸면, 비조화비 는 다음과 같이 변환된다.
| width=50px | | ||
}}의 안정자는 삼각 쌍성 다면체의 회전군, 이항면체군 과 동형이다.
이는 대칭군 의 작용으로 볼 수 있다. 다만, 가운데 일부 원소들은 자명하게 작용하는데, 이는 다음과 같다.
:
의 작용의 핵은 클라인 4원군 이며, 따라서 이는 사실 의 작용이 된다. 이 군을 '''비조화군'''(非調和群, anharmonic group영어)이라고 한다.
비조화군의 작용은 뫼비우스 변환으로 나타낼 수 있다. 예를 들어, 과 에 의해 생성된다.
4. 2. 조화비
비조화군의 작용 궤도 \(\{\lambda^{\pm1},(1-\lambda)^{\pm1},(\lambda/(\lambda-1))^{\pm1}\}\)는 보통 크기가 6이지만, 예외적인 경우 이보다 작을 수 있다.이러한 궤도는 세 가지가 있는데, 궤도 \(\{-1, 1/2, 2\}\)는 조화비라고 불리며, 이는 차수가 2인 원소 \(\lambda\mapsto1/\lambda\), \(\lambda\mapsto1-\lambda\), \(\lambda\mapsto\lambda/(1-\lambda)\)에 대응한다. 복소수체에서는 궤도 \(\{\exp(\pm\pi i/3)\}\)가 존재하며, 이는 차수가 3인 원소 \(\lambda\mapsto1/(1-\lambda)\) 및 \(\lambda\mapsto(\lambda-1)/\lambda\)에 대응한다.
특정 \(\lambda\) 값에 대해서는 더 큰 대칭성이 존재하며, 따라서 교차비의 가능한 값은 6개 미만이 된다. 이러한 \(\lambda\) 값은 리만 구면에서 S3의 작용의 고정점에 해당하며, 이 순열 그룹에서 비자명한 안정자를 갖는 점에 해당한다.
고정점 집합 \(\{-1, \tfrac12, 2\}\)인 상황은 고전적으로 조화 교차비라고 불리며, 사영 조화 공액에서 발생한다. 실수인 경우에는 다른 예외적인 궤도가 없다.
복소수인 경우, 가장 대칭적인 교차비는 \(\lambda = e^{\pm i\pi/3}\)일 때 발생하며, 이 값들은 교차비의 유일한 두 값이고, 순열의 부호에 따라 작용한다.
5. 사영기하학
비조화비는 사영 기하학에서 사영 변환에 의해 보존되는 사영 불변량이다. 특히, 네 점이 의 직선 위에 놓여 있다면, 비조화비는 직선에서 원점과 척도의 선택에 관계없이 잘 정의된다.
[[파일:https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/Cross_ratio_metrology_example.svg|링크=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/Cross_ratio_metrology_example.svg|썸네일|사영 기하학에서 교차비를 사용하여 투시 투영으로 그려진 지형지물의 실제 치수를 측정. A, B, C, D, V는 이미지상의 점이며, 그 간격은 픽셀 단위로 표시된다. A', B', C', D'는 실제 세계에 있으며, 미터 단위로 분리된다.
- (1) 샛길의 폭 W는 인접한 상점의 알려진 폭에서 계산된다.
- (2) 소실점 V가 표시되므로, 하나의 상점 폭만 필요하다.
]]
를 동일한 점 를 지나는 평면상의 네 개의 서로 다른 직선이라고 할 때, 를 지나지 않는 임의의 직선 은 이들 직선과 네 개의 서로 다른 점 에서 교차한다. 이 점들의 비조화비(고정된 순서로)는 직선 의 선택에 의존하지 않으므로, 네 개의 직선 의 불변량이다.
만약 과 이 를 지나지 않는 두 개의 직선이라면, 중심 를 갖는 에서 로의 투시 변환은 의 점의 4중항 를 의 점의 4중항 로 변환하는 사영 변환이다.
따라서 직선의 사영 자기동형사상에 대한 비조화비의 불변성은 직선 의 네 개의 공선 점 의 비조화비가 그 점들을 포함하는 직선의 선택에 독립적임을 의미한다.
6. 동차 좌표
만약 네 개의 공선점이 동차 좌표로 벡터 ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }$로 표현되고, ${\displaystyle \gamma =a\alpha +b\beta }$ 및 ${\displaystyle \delta =c\alpha +d\beta }$라면, 이들의 교차비는 ${\displaystyle (b/a)/(d/c)}$이다.[7] 동일 선상에 있는 4개의 점이 벡터 '''a''', '''b''', '''c''', '''d'''에 의해 동차 좌표로 표시되고, '''c''' = '''a''' + '''b''' 및 '''d''' = '''ka''' + '''b'''인 경우, 이들의 교차비는 ''k''이다.[13]
7. 비유클리드 기하학
아서 케일리와 펠릭스 클라인은 비조화비를 비유클리드 기하학에 적용하는 방법을 찾았다. 실수 사영 평면에서 비특이 원뿔 곡선 가 주어지면, 사영군 에서의 해당 안정자 는 내부의 점들에 대해 추이적으로 작용한다. 그러나 가 점들의 ''쌍''에 작용하는 데에는 불변량이 존재하며, 이러한 모든 불변량은 적절한 비조화비의 함수로 표현할 수 있다.
구체적으로, 원뿔 곡선을 단위 원이라고 하자. 단위 원 내부의 임의의 두 점 와 에 대해, 이들을 연결하는 선이 원과 두 점, 와 에서 만나고, 점들이 순서대로 라고 하자. 그러면 쌍곡 기하학의 케일리-클라인 모델에서 와 사이의 쌍곡 거리는 다음과 같이 표현될 수 있다.
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