모멘트 분배법

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1. 개요
2. 특징
3. 구현
4. 뼈대 구조에의 적용
5. 예제
참조

1. 개요

모멘트 분배법은 부재의 고정단 모멘트에서 시작하여 구조물 전체의 평형이 만족될 때까지 불균형 모멘트를 반복적으로 분배하고 전달하는 구조 해석 방법이다. 이는 선형 연립방정식의 근사해를 구하는 반복 계산 기법으로, 수계산에 편리하며 처짐각법에서 발전되었다. 자유도를 갖는 모든 절점을 구속한 후, 고정단 모멘트를 절점 구속을 풀면서 전체 구조물로 분배하는 과정을 반복하여 원하는 정밀도의 결과를 얻는다. 분배율, 전달률, 휨 강성, 고정단 모멘트 등과 같은 개념을 활용하며, 뼈대 구조물에도 적용 가능하다.

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모멘트 분배법
개요
이름	모멘트 분배법
영문 명칭	Moment distribution method
분야	구조역학
사용	부정정 구조물의 해석
상세 내용
개발자	하디 크로스
개발 연도	1930년
목적	연속적인 보 라멘 부정정 구조물의 해석
특징	반복적인 근사법 수계산에 적합 처짐의 영향 무시
원리	각 절점의 모멘트 평형 조건 각 부재의 강성
장점	간단한 계산 과정 직관적인 이해
단점	복잡한 구조물에 적용하기 어려움 컴퓨터를 이용한 해석에 비해 비효율적
관련 개념
관련 개념	처짐각법 기울기-처짐 방법 유한요소법 구조 해석 모멘트 강성 분배 계수

2. 특징

모멘트 분배법은 부재의 고정단 모멘트로부터 시작하여, 구조물 전체의 평형이 만족될 때까지 순차적으로 불균형 모멘트를 분배하고 인접 부재로 배분하는 반복적인 계산 방법이다. 이 방법은 구조해석에서 자주 나타나는 선형 연립방정식의 해를 직접 구하는 대신, 가우스-조던 방법이나 가우스-사이델 방법과 같은 반복법을 사용하여 근사해를 구한다. 따라서 손으로 계산하기에 매우 편리하다는 장점이 있다.

모멘트 분배법은 기본적으로 처짐각법에서 발전된 방법이다. 그러나 처짐각법이 각 절점의 처짐각을 미지수로 사용하는 반면, 모멘트 분배법은 처짐각과 부재의 상대적 강도로부터 유도된 부재단 모멘트를 미지수로 하여 해석한다.

계산 과정은 먼저 구조물의 모든 절점을 움직이지 않도록 고정시켜 '고정단 모멘트'를 발생시킨다. 이후 각 고정 절점을 하나씩 풀어주면서, 해당 절점의 불균형한 고정단 모멘트를 인접한 부재들에게 나누어 분배하는 과정을 반복하여 전체 구조물이 평형 상태에 이르도록 한다. 수학적으로는 연립 방정식을 반복법을 통해 푸는 과정으로 볼 수 있다.

모멘트 분배법은 구조 해석 방법 중 변위법에 속한다.

3. 구현

모멘트 분배법은 부재의 고정단 모멘트에서 시작하여, 구조물 전체의 평형이 만족될 때까지 반복적으로 불균형 모멘트를 분배하고 인접 부재로 배분하는 구조해석 방법이다. 이는 구조 해석에서 흔히 나타나는 선형 연립방정식의 해를 직접 구하지 않고, 가우스-사이델 방법과 같은 반복법을 통해 근사해를 구하는 방식으로, 수계산에 매우 편리하다는 장점이 있다.

이 방법은 기본적으로 처짐각법에서 발전했지만, 처짐각법이 각 절점의 처짐각을 미지수로 삼는 것과 달리, 모멘트 분배법은 처짐각과 부재의 상대적 강성으로 유도된 부재단 모멘트를 미지수로 사용한다.

해석 과정은 먼저 모든 자유도를 가진 절점을 구속시킨 상태에서 하중에 의한 고정단 모멘트를 계산한다. 이후 각 절점의 구속을 순차적으로 풀면서 발생하는 불균형 모멘트를 인접 부재로 분배하는 과정을 원하는 정밀도의 결과에 도달할 때까지 반복한다. 모멘트 분배법은 구조 해석의 변위법 범주에 속한다.

모멘트 분배법을 적용하여 구조를 분석하려면 다음 요소들을 고려해야 한다. 자세한 내용은 각 하위 문서를 참고할 수 있다.

고정단 모멘트
휨 강성
분배율
전달률
부호 규약

3. 1. 고정단 모멘트

고정단 모멘트(Fixed-end moment, FEM)는 부재의 양단 절점을 회전하지 않도록 고정했을 때 외부 하중에 의해 발생하는 휨 모멘트이다. 각 지지점을 고정단으로 가정하고, 부재에 작용하는 하중의 종류(집중 하중, 등분포 하중 등)와 위치에 따라 정해진 공식을 이용하여 계산한다. 모멘트 분배법은 이 고정단 모멘트로부터 계산을 시작한다.

예를 들어 오른쪽 그림과 같은 연속보 구조물을 해석해 보자.

부재 AB, BC, CD의 길이는 모두 $L = 10m$ 로 같다.
휨 강성(탄성 계수 E와 단면 이차 모멘트 I의 곱)은 각각 EI, 2EI, EI이다.
부재 AB는 지점 A로부터 $a = 3m$ 의 위치에 크기 $P = 10 \ kN$ 인 집중 하중이 작용한다. (따라서 $b = L - a = 7m$ 이다.)
부재 BC는 부재 전체에 걸쳐 $q = 1 \ kN/m$ 의 등분포 하중이 작용한다.
부재 CD는 중앙( $L/2$ 지점)에 크기 $P = 10 \ kN$ 인 집중 하중이 작용한다.

계산 과정에서 반시계 방향의 모멘트를 양(+)으로 정의하면, 각 부재 양단의 고정단 모멘트는 다음과 같이 계산된다.

:

M _{AB} ^f = - \frac{Pb^2a }{L^2} = - \frac{10 \times 7^2 \times 3}{10^2} = - 14.700 \ kN\cdot m

:

M _{BA} ^f = \frac{Pa^2b}{L^2} = \frac{10 \times 3^2 \times 7}{10^2} = + 6.300 \ kN\cdot m

:

M _{BC} ^f = - \frac{qL^2}{12} =- \frac{1 \times 10^2}{12} = - 8.333 \ kN\cdot m

:

M _{CB} ^f = \frac{qL^2}{12} = \frac{1 \times 10^2}{12} = + 8.333 \ kN\cdot m

:

M _{CD} ^f =  - \frac{PL}{8} = -  \frac{10 \times 10}{8} = - 12.500 \ kN\cdot m

:

M _{DC} ^f =\frac{PL}{8} =\frac{10 \times 10}{8} = + 12.500 \ kN\cdot m

3. 2. 휨 강성 (Bending Stiffness)

전달률(전달계수)과 분배율(분배계수)을 계산하기 위해서는 각 부재의 길이와 더불어, 탄성 계수(E)와 단면 이차 모멘트(I)의 곱으로 주어지는 휨 강성(Bending Stiffness)의 상대적인 비율을 알아야 한다. 휨 강성은 부재가 휨 모멘트에 저항하는 정도를 나타내는 값이다.

모멘트 분배법에서는 각 부재의 절대적인 휨 강성 값보다는 부재 간의 상대적인 휨 강성 비가 중요하다. 계산의 편의를 위해 휨 강성(EI)을 부재의 길이(L)로 나눈 값인 굽힘 강성(Stiffness factor, K = EI/L)을 사용하기도 한다. 모멘트 분배법에서 필요한 것은 특정 값이 아니라 모든 부재 간의 굽힘 강성 비율이다. 이 굽힘 강성의 상대적인 비율을 이용하여 각 절점에서 모멘트가 분배되는 비율인 분배율을 결정하게 된다.

3. 3. 분배율 (Distribution Factor)

하나 이상의 부재가 모이는 절점에서, 절점을 구속할 때 재하되는 불균형 모멘트에 대해, 구속을 제거할 때 발생하는 회전 변위에 저항하기 위해(즉 정역학적 평형을 만족하기 위해) 각 부재단에 발생하는 모멘트(분배모멘트, distributed moment)들의 상대적인 비를 나타낸다.

관절이 풀리고 불균형 모멘트 하에서 회전하기 시작하면, 관절에 연결된 각 부재에 저항력이 발생한다. 총 저항력은 불균형 모멘트와 같지만, 각 부재에서 발생하는 저항력의 크기는 부재의 휨 강성에 따라 다르다. 분배율(Distribution Factor, DF)은 각 부재가 부담하는 불균형 모멘트의 비율로 정의할 수 있다. 수학적으로, 절점

j

에 연결된 부재

k

의 분배율

D_{jk}

는 해당 절점에 연결된 모든 부재의 강성(

\sum K

)에 대한 부재

jk

의 강성(

K_{jk}

)의 비로 정의된다.

:

D_{jk} = \frac{K_{jk}}{\sum K} = \frac{\frac{E_k I_k}{L_k}}{\sum_{i=1}^{i=n} \frac{E_i I_i}{L_i}}

여기서,

$K_{jk}$ : 부재 $jk$ 의 강성 (Stiffness)
$\sum K$ : 절점 $j$ 에 연결된 모든 부재의 강성 합
$E_k$ : 부재 $k$ 의 탄성 계수
$I_k$ : 부재 $k$ 의 단면 이차 모멘트
$L_k$ : 부재 $k$ 의 길이
$n$ : 절점 $j$ 에 연결된 부재의 개수

오른쪽 그림과 같은 연속보 구조물을 예로 들어 분배율을 계산해 보자.

부재 AB, BC, CD의 길이는 모두 $L = 10m$ 로 같고,
휨 강성은 각각 EI, 2EI, EI이다.
절점 A는 힌지단, 절점 D는 고정단이다.

분배율 계산 시, 부재의 강성은 원단(부재의 끝단)의 조건에 따라 수정될 수 있다(수정 강성, modified stiffness).

원단이 고정단이거나 연속단일 경우: $K = \frac{4EI}{L}$
원단이 힌지단일 경우: $K = \frac{3EI}{L}$

각 절점에서의 분배율은 해당 절점에 연결된 부재들의 상대적 강성 비율이므로 다음과 같이 구할 수 있다. (결과를 순환 소수 표기법으로 표현)

'''절점 B''' (연결 부재: BA, BC)
* 부재 BA의 강성 $K_{BA}$ : 원단 A가 힌지이므로 수정 강성 적용 $K_{BA} = \frac{3EI}{L}$
* 부재 BC의 강성 $K_{BC}$ : 원단 C가 연속단이므로 $K_{BC} = \frac{4(2EI)}{L} = \frac{8EI}{L}$

:

D_{BA} = \frac{K_{BA}}{K_{BA}+K_{BC}} = \frac{\frac{3EI}{L}}{\frac{3EI}{L}+\frac{8EI}{L}} = \frac{3EI}{11EI} = \frac{3}{11} = 0.(27)

:

D_{BC} = \frac{K_{BC}}{K_{BA}+K_{BC}} = \frac{\frac{8EI}{L}}{\frac{3EI}{L}+\frac{8EI}{L}} = \frac{8EI}{11EI} = \frac{8}{11} = 0.(72)

(참고:

D_{BA} + D_{BC} = \frac{3}{11} + \frac{8}{11} = 1

)

'''절점 C''' (연결 부재: CB, CD)
* 부재 CB의 강성 $K_{CB}$ : 원단 B가 연속단이므로 $K_{CB} = \frac{4(2EI)}{L} = \frac{8EI}{L}$
* 부재 CD의 강성 $K_{CD}$ : 원단 D가 고정단이므로 $K_{CD} = \frac{4EI}{L}$

:

D_{CB} = \frac{K_{CB}}{K_{CB}+K_{CD}} = \frac{\frac{8EI}{L}}{\frac{8EI}{L}+\frac{4EI}{L}} = \frac{8EI}{12EI} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} = 0.(66)

:

D_{CD} = \frac{K_{CD}}{K_{CB}+K_{CD}} = \frac{\frac{4EI}{L}}{\frac{8EI}{L}+\frac{4EI}{L}} = \frac{4EI}{12EI} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} = 0.(33)

(참고:

D_{CB} + D_{CD} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1

)

'''절점 A (힌지단)'''

:

D_{AB} = 1

(힌지단은 모멘트에 저항할 수 없으므로 불균형 모멘트가 모두 단부로 분배된다고 보아 분배율은 1이다. 즉, 연결된 부재가 하나뿐이고 그 끝이 힌지이면 분배율은 1이다.)

'''절점 D (고정단)'''

:

D_{DC} = 0

(고정단은 회전 변위가 발생하지 않아 모멘트를 분배받을 수 없으므로 분배율은 0이다.)

3. 4. 전달률 (Carryover Factor)

부재의 한쪽 끝 절점에 모멘트가 작용하여 회전할 때, 그 부재의 다른 쪽 끝(고정단)에도 모멘트가 유발된다. 이렇게 전달되는 모멘트를 전달 모멘트(carryover moment)라고 하며, 원래 작용한 모멘트에 대한 전달 모멘트의 비율을 전달률(Carryover Factor)이라고 한다.

예를 들어, 보의 한쪽 끝 A에 모멘트

M_A

를 가해

\theta_A

만큼 회전시키고 다른 쪽 끝 B는 고정되어 있다고 가정하자. 이때 B단에 발생하는 모멘트

M_B

와의 비율로 전달률

C_{AB}

를 정의할 수 있다.

:

C_{AB} = \frac{M_B}{M_A}

휨 강성이

EI

이고 길이가

L

이며 단면이 일정한 보의 경우, 처짐각법에 의해 각 단의 모멘트는 다음과 같이 표현된다. (단, B단은 고정단이므로

\theta_B = 0

)

:

M_A = 4 \frac{EI}{L} \theta_A + 2 \frac{EI}{L} \theta_B = 4 \frac{EI}{L} \theta_A

:

M_B = 2 \frac{EI}{L} \theta_A + 4 \frac{EI}{L} \theta_B = 2 \frac{EI}{L} \theta_A

따라서 전달률은 다음과 같이 계산된다.

:

C_{AB} = \frac{M_B}{M_A} = \frac{2 \frac{EI}{L} \theta_A}{4 \frac{EI}{L} \theta_A} = \frac{1}{2}

즉, 단면이 일정한 부재에서 한쪽 끝의 모멘트는 다른 쪽 고정단으로 절반(

\frac{1}{2}

)이 전달된다. 만약 모멘트가 전달되는 쪽 끝이 힌지나 롤러 지지점과 같이 회전이 자유로운 단이라면 모멘트가 전달되지 않으므로 전달률은 0이다. 또한, 고정단에서는 회전이 발생하지 않아 다른 쪽으로 모멘트를 전달하지 않으므로, 고정단에서 연결된 부재 쪽으로의 전달률은 0이다.

3. 5. 부호 규약 (Sign Convention)

계산 과정의 편의를 위해 시계방향 또는 반시계방향의 모멘트를 임의로 양(+)의 값으로 정할 수 있다. 보통 처짐각법의 부호 규약을 따른다.

일단 부호 규약이 선택되면, 전체 구조물에 걸쳐 일관되게 적용해야 한다. 일반적인 공학적 부호 규약(예: 부재를 아래로 휘게 하는 모멘트를 양(+)으로 보는 규약)이 모멘트 분배법 계산 과정 자체에 직접 사용되지는 않지만, 최종 계산 결과는 이러한 일반적인 규약에 맞춰 표현할 수 있다. 예를 들어, 휨 모멘트도(BMD)를 작성할 때, 부재의 왼쪽 끝 모멘트가 시계 방향이고 오른쪽 끝 모멘트가 반시계 방향일 경우 부재가 아래로 오목하게 휘는 상태를 나타내며, 이를 양(+)의 휨 또는 처짐이라고 표현하는 일반적인 방식과 연결될 수 있다.

4. 뼈대 구조에의 적용

모멘트 분배법은 연속보와 같은 방식으로 뼈대 구조에도 적용할 수 있다. 뼈대 구조를 해석할 때는 절점의 횡변위(가로 방향의 움직임, sidesway) 발생 여부를 고려해야 한다.

횡변위가 없는 뼈대 구조는 연속보와 동일한 방법으로 모멘트 분배법을 적용하여 해석할 수 있다.

그러나 절점에 횡변위가 발생하는 경우에는 해석 과정이 달라진다. 이 경우, 먼저 모든 절점의 횡변위를 구속하여 움직이지 못하게 고정한 상태에서 모멘트 분배법으로 해석한다. 그 다음, 각 절점에서 발생할 수 있는 횡변위를 임의의 값으로 가정하고, 각각의 경우에 대해 모멘트 분배법 해석을 수행한다. 마지막으로, 이렇게 얻어진 해석 결과들을 중첩의 원리와 평형 조건을 이용하여 조합하면 전체 뼈대 구조물의 최종적인 모멘트 분포를 구할 수 있다.

5. 예제

오른쪽 그림과 같은 연속보 구조물을 모멘트 분배법을 이용하여 해석하는 예제이다.
구조물 조건:

부재 AB, BC, CD의 경간 길이는 모두 $L = 10m$ 로 같다.
휨 강성은 각각 EI, 2EI, EI이다.
부재 AB: 지점 A로부터 $a = 3m$ 위치에 크기 $P = 10 \ kN$ 인 집중 하중이 작용한다.
부재 BC: 부재 전체에 걸쳐 $q = 1 \ kN/m$ 의 등분포 하중이 작용한다.
부재 CD: 중앙에 크기 $P = 10 \ kN$ 인 집중 하중이 작용한다.

계산 과정에서, 반시계 방향의 모멘트를 양(+)으로 가정한다.
모멘트 분배 계산 과정:

구분	절점 A		절점 B		절점 C		절점 D
부재	AB		BA	BC	CB	CD	DC
분배율	1		0.27	0.73	0.67	0.33	0
고정단 모멘트 (kN·m)	14.7		-6.3	8.33	-8.33	12.5	-12.5
절점 A 분배·전달	-14.7 \| → \| style="text-align:right;" \| -7.35					colspan="2"\|
절점 B 분배·전달	colspan="2"\|	1.44	3.88 \| → \| style="text-align:right;" \| 1.94		colspan="2"\|
절점 C 분배·전달	colspan="2"\|	← \| style="text-align:right;" \| -2.05	-4.09	-2.02 \| → \| style="text-align:right;" \| -1.01
절점 B 분배·전달	colspan="2"\|	0.55	1.50 \| → \| style="text-align:right;" \| 0.75		colspan="2"\|
절점 C 분배·전달	colspan="2"\|	← \| style="text-align:right;" \| -0.25	-0.50	-0.25 \| → \| style="text-align:right;" \| -0.13
절점 B 분배·전달	colspan="2"\|	0.07	0.18 \| → \| style="text-align:right;" \| 0.09		colspan="2"\|
절점 C 분배·전달	colspan="2"\|	← \| style="text-align:right;" \| -0.03	-0.06	-0.03 \| → \| style="text-align:right;" \| -0.02
절점 B 분배	colspan="2"\|	0.01	0.02			colspan="2"\|
최종 모멘트 합 (kN·m)	0		-11.58	11.58	-10.20	10.20	-13.66

위 표에서 회색 음영은 각 절점의 불균형 모멘트가 분배된 분배 모멘트를 의미한다.
화살표( → / ← )는 해당 부재 단 모멘트의 1/2이 다른 쪽 단으로 전달되는 전달 모멘트를 나타낸다.
최종 모멘트 합은 각 열의 모든 모멘트(고정단 모멘트, 분배 모멘트, 전달 모멘트)의 대수 합으로 구한다.

계산 결과:

절점 모멘트:
$M_A = 0 \ kN \cdot m$ (힌지 지지점)
$M_B = -11.58 \ kN \cdot m$
$M_C = -10.20 \ kN \cdot m$
$M_D = -13.66 \ kN \cdot m$ (고정단 모멘트와 분배/전달 모멘트의 합)
여기서 음(-)의 부호는 부재의 상단에 인장 응력이 발생하도록 하는 휨 모멘트(부모멘트)를 의미한다.

전단력 선도 (Shear Force Diagram, SFD):

휨 모멘트 선도 (Bending Moment Diagram, BMD):

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