선형성

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 수학에서의 선형성
3. 미분 방정식에서의 선형성
4. 물리학에서의 선형성
5. 전자공학에서의 선형성
- 5.1. 적분 선형성 (Integral Linearity)
참조

1. 개요

선형성은 수학, 물리학, 전자공학 등 다양한 분야에서 사용되는 개념으로, 특정 조건들을 만족하는 함수나 시스템의 성질을 나타낸다. 수학에서는 가산성과 동차성을 만족하는 함수를 선형이라고 정의하며, 선형대수학, 함수해석학 등에서 중요한 연구 대상이 된다. 미분 방정식과 물리학 시스템에서도 선형성은 중요한 속성으로, 중첩의 원리를 통해 해를 구하거나 시스템을 분석하는 데 활용된다. 전자공학에서는 입력과 출력 간의 비례 관계를 나타내는 선형성이 증폭기 등의 성능을 평가하는 중요한 지표로 사용되며, 적분 선형성은 장치의 변환 특성이 직선에 얼마나 가까운지를 나타내는 척도로 활용된다.

더 읽어볼만한 페이지

초등대수학 - 이차 방정식
이차 방정식은 최고차항이 2차인 대수 방정식으로, $ax^2 + bx + c = 0$ 형태로 표현되며 근의 공식으로 해를 구하고 판별식에 따라 실근 또는 허근을 가지며 여러 분야에 응용된다.
초등대수학 - 방정식
방정식은 수학에서 두 식이 등호로 연결된 형태로, 미지수의 값을 구하는 것을 목표로 하며, 다양한 종류로 분류되어 여러 수학 및 과학 분야에서 활용된다.
물리학 개념 - 절연체
절연체는 전기 전도성을 막아 전기의 흐름을 제어하고 안전을 확보하며, 밴드 이론에 따라 큰 띠틈을 가져 외부 전압이 띠틈을 넘어서면 절연 파괴가 발생하며, 유리에서 세라믹, 고분자 복합 재료 등으로 제작되어 전선, 케이블 등 다양한 분야에 사용된다.
물리학 개념 - 전기 전도체
전기 전도체는 전기를 잘 통하는 물질로, 금속, 전해질, 초전도체, 반도체 등이 있으며, 구리, 은, 알루미늄 등 다양한 재료가 전선 등에 사용된다.

선형성
선형성
선형성	수학에서 선형성(線型性, 영어: linearity)은 함수 또는 사상이 갖는 특성으로, 함수의 입력에 대한 출력이 입력의 선형 결합에 비례하는 성질을 가리킨다.
선형 대수학
선형 사상	선형 사상은 두 벡터 공간 사이의 함수로, 벡터 덧셈과 스칼라 곱셈을 보존하는 성질을 갖는다.
선형 결합	선형 결합은 벡터들의 스칼라 배를 더한 것으로, 벡터 공간의 기본적인 연산 중 하나이다.
해석학
선형 연산자	선형 연산자는 함수 공간에서 정의되는 선형 사상으로, 미분 연산자나 적분 연산자 등이 그 예이다.
선형 근사	선형 근사는 복잡한 함수를 선형 함수로 근사하는 방법으로, 미분계수를 이용하여 접선을 구하는 것이 대표적이다.
미분 방정식
선형 미분 방정식	선형 미분 방정식은 미지 함수와 그 도함수들의 선형 결합으로 이루어진 방정식으로, 해의 존재성과 유일성, 중첩 원리 등의 중요한 성질을 갖는다.
응용
선형 계획법	선형 계획법은 제약 조건이 선형 부등식으로 주어지고, 최적화하려는 목적 함수가 선형 함수인 최적화 문제의 일종이다.
선형 회귀	선형 회귀는 독립 변수와 종속 변수 사이의 선형 관계를 모델링하는 통계적 방법으로, 데이터 분석에서 널리 사용된다.
선형 시불변 시스템	선형 시불변 시스템 (LTI 시스템)은 신호 처리, 제어 공학 등에서 사용되는 시스템으로, 선형성과 시불변성을 만족하는 시스템이다.
기타
비선형성	비선형성은 선형성을 만족하지 않는 성질을 의미하며, 현실 세계의 많은 현상들이 비선형성을 보인다.

2. 수학에서의 선형성

수학에서 선형성은 함수나 사상이 가산성과 동차성을 만족하는지를 나타낸다.

가산성(Additivity): 임의의 수 $x$ , $y$ 에 대해 $f(x+y) = f(x) + f(y)$ 가 항상 성립한다.
동차성(Homogeneity): 임의의 수 $x$ 와 $\alpha$ 에 대해 $f(\alpha x) = \alpha f(x)$ 가 항상 성립한다.

여기서

x

는 실수나 복소수, 또는 벡터 공간 등 일반적으로 환상의 아벨 군의 원소이며,

\alpha

는 스칼라 곱을 의미한다.

예를 들어, 일차함수의 경우, 원점을 지날 때 선형성을 갖는다.

선형대수학은 이러한 선형 변환과 이로써 확보되는 공간의 성질에 대하여 연구하는 학문이다. 벡터 공간, 행렬을 이용하여 표시되는 선형사상 또는 선형방정식 계열에서 취급된다.

함수해석학에서는 함수를 함수로 투영하는 사상인 작용소의 선형성을 다룬다. 함수의 미분을 작용소로 생각하여 얻어낼 수 있는 미분작용소(예: ∇ 나 라플라스 방정식)의 개념은, 선형 작용소의 중요한 예가 된다.

영어 수학 용어 linear에 해당하는 일본어 번역으로, 선형(線型)이 원래 표기라는 지적이 있기도 하지만^[7], 그 외에도 선형(線形), 선상(線状) 등의 표기도 종종 사용된다. 또한 '''일차'''라는 표기·표현도 자주 사용되는데, 이는 linear가 (다변수의) 제일차 함수를 가리키는 것으로 생각해도 틀리지 않는 경우가 많기 때문이다^[8].

2. 1. 선형 사상 (Linear Maps)

수학에서 선형 사상(線型寫像, linear map) 또는 선형 함수 ''f''(''x'')는 다음 두 가지 속성을 만족하는 함수이다.^[1]

'''가법성(Additivity):''' 임의의 ''x'', ''y''에 대해 $f(x+y) = f(x) + f(y)$ 이다.
'''1차 동차성(Homogeneity):''' 임의의 ''x''와 α에 대해 $f(\alpha x) = \alpha f(x)$ 이다.

이러한 속성은 중첩의 원리라고도 한다. 여기서 ''x''는 반드시 실수일 필요는 없으며, 일반적으로 모든 벡터 공간의 원소가 될 수 있다. 초등 수학에서 사용되는 선형 함수에 대한 특별한 정의는 선형 사상의 정의와 일치하지 않는다.

가법성만으로도 유리수 α에 대한 동차성이 암시되는데,

f(x+x)=f(x)+f(x)

는 수학적 귀납법에 의해 모든 자연수 ''n''에 대해

f(nx)=n f(x)

를 의미하고,

n f(x) = f(nx)=f(m\tfrac{n}{m}x)= m f(\tfrac{n}{m}x)

는

f(\tfrac{n}{m}x) = \tfrac{n}{m} f(x)

를 의미하기 때문이다. 실수의 유리수의 조밀성은 가법적인 연속 함수가 모든 실수 α에 대해 동차이고, 따라서 선형임을 의미한다.

선형성의 개념은 선형 연산자로 확장될 수 있다. 선형 연산자의 중요한 예로는 미분 연산자로 간주되는 미분과 델 및 라플라시안과 같이 여기서 구성된 다른 연산자가 있다. 미분 방정식을 선형 형태로 표현할 수 있는 경우 일반적으로 방정식을 더 작은 조각으로 나누고, 각 조각을 풀고, 해를 합산하여 풀 수 있다.

선형대수학은 이러한 선형 변환과 그것에 의해 보존되는 공간의 성질에 대해 연구하는 학문이며, 벡터, 벡터 공간 및 행렬에 의해 표현되는 선형 사상이나 선형 방정식을 다룬다. 또한 함수를 함수로 사상하는 사상인 작용소의 선형성은 함수 해석학에서 다루어진다.

2. 2. 선형 다항식 (Linear Polynomials)

1차 다항식은 그 함수의 그래프가 직선으로 나타나기 때문에 선형이라고 불린다.^[2]

실수 집합에서 선형 방정식의 간단한 예는 다음과 같다.

:

y = m x + b\

여기서 ''m''은 기울기 또는 구배라고 불리며, ''b''는 y 절편으로, 함수 그래프와 ''y''축 사이의 교점을 나타낸다.

이러한 용어 사용은 위의 섹션에서 언급된 선형성의 정의와는 다르다는 점에 유의해야 한다. 실수에 대한 선형 다항식은 일반적으로 가산성이나 동차성을 만족하지 않는다. 상수항 ''b''가 0일 때만, 즉 ''b'' = 0일 경우에만 선형성을 만족한다. 만약 ''b'' ≠ 0이면, 이 함수는 '''아핀 함수'''라고 불린다 (더 일반적인 경우는 아핀 변환 참조).

2. 3. 부울 함수 (Boolean Functions)

부울 대수에서 선형 함수는

a_0, a_1, \ldots, a_n \in \{0,1\}

가 존재하여 :

f(b_1, \ldots, b_n) = a_0 \oplus (a_1 \land b_1) \oplus \cdots \oplus (a_n \land b_n)

이 되는 함수

f

이며, 여기서

b_1, \ldots, b_n \in \{0,1\}

이다.

만약

a_0 = 1

이면, 위의 함수는 선형 대수에서 아핀 함수(즉, 선형이 아님)로 간주된다.

부울 함수는 함수의 진리표에 대해 다음 중 하나가 참이면 선형이다.

# 함수의 진리값이 T인 모든 행에는 인수에 할당된 T의 개수가 홀수이고, 함수가 F인 모든 행에는 인수에 할당된 T의 개수가 짝수이다. 특히 ''f''(F, F, ..., F) = F이고, 이러한 함수는 부울 벡터 공간에 대한 선형 맵에 해당한다.

# 함수의 값이 T인 모든 행에는 함수의 인수에 할당된 T의 개수가 짝수이고, 함수의 진리값이 F인 모든 행에는 인수에 할당된 T의 개수가 홀수이다. 이 경우 ''f''(F, F, ..., F) = T.

이것을 표현하는 또 다른 방법은 각 변수가 항상 연산의 진리값에 차이를 만들거나 전혀 차이를 만들지 않는다는 것이다.

부정, 논리적 쌍조건자, 배타적 논리합, 항진 명제, 그리고 모순은 선형 함수이다.

2. 4. 중선형성 (Multilinear)

수학에서 다변수 함수의 선형성으로 중선형성(다중 선형성)이 있다. 이는 각 변수에 대해 독립적으로 선형성을 만족해야 한다는 개념이다.

2변수의 경우 쌍선형성은 다음을 만족한다:

''f''(''x'' + ''y'', ''z'') = ''f''(''x'', ''z'') + ''f''(''y'', ''z'')
''f''(''x'', ''y'' + ''z'') = ''f''(''x'', ''y'') + ''f''(''x'', ''z'')
''f''(''cx'', ''y'' ) = ''f''(''x'', ''cy'') = ''cf'' (''x'', ''y'')

쌍선형 형식의 예로는 내적이나 외적이 있다.

다변수의 경우 다중 선형성은 다음을 만족한다:

$f(x_1, \ldots, x_i + x'_i, \ldots, x_n) =$

f(x_1, \ldots, x_i, \ldots, x_n) +f(x_1, \ldots, x'_i, \ldots, x_n)

$f(x_1, \ldots, c\cdot x_i, \ldots, x_n) =$

c\cdot f(x_1, \ldots, x_i, \ldots, x_n)

예를 들어, 행렬식은 열 또는 행 벡터에 주목하면 다중 선형 형식이다.

3. 미분 방정식에서의 선형성

미분 방정식이 선형일 경우에는, 선형대수학의 수준으로 해를 찾아내는 것이 가능하다. 그러나 혼돈과 같이 선형이 아닌 ('''비선형'''인) 경우에는 해를 구하는 것이 매우 어렵게 되어 버린다. 그러나 한편 팽르베 방정식과 같이, 어느 종의 대칭성을 가지고 있으며, 기하학적으로 다양한 성질을 내포하는 경우가 존재하는 등의 이유로, 수학자나 물리학자들의 관심의 대상이 되고 있는 것들 또한 비선형 미분방정식이기도 하다.^[3]

동차 미분 방정식의 선형성은 두 함수 ''f''와 ''g''가 방정식의 해인 경우, 임의의 선형 결합 ''af'' + ''bg''도 해가 된다는 것을 의미한다.

4. 물리학에서의 선형성

물리학에서 ''선형성''은 많은 시스템을 지배하는 미분 방정식의 속성이다. 예를 들어, 맥스웰 방정식 또는 확산 방정식이 있다.^[3]

동차 미분 방정식의 선형성은 두 함수 ''f''와 ''g''가 방정식의 해인 경우, 임의의 선형 결합 ''af'' + ''bg''도 해가 된다는 것을 의미한다.

계측에서 선형성은 입력 변수의 주어진 변화가 측정 장치의 출력에서 동일한 변화를 제공한다는 것을 의미한다. 이는 과학 연구에서 매우 바람직하다. 일반적으로 기기는 특정 범위 내에서 선형에 가깝고 해당 범위 내에서 가장 유용하다. 반대로, 인간의 감각은 매우 비선형적이다. 예를 들어, 뇌는 특정 절대 역치 광자 수를 초과하지 않는 한 들어오는 빛을 완전히 무시한다.

선형 운동은 직선 궤적을 추적한다.

5. 전자공학에서의 선형성

전자 회로에서 선형성은 입력과 출력 간의 비례 관계를 의미하며, 신호 왜곡을 최소화하는 데 중요한 역할을 한다. 선형 회로는 입력과 출력 사이에 선형 관계가 성립하는 회로를 의미한다. 증폭 회로의 선형성은 증폭된 신호의 정확도를 결정하는 중요한 요소이며, 선형 필터, 선형 증폭기 등이 선형성을 활용하는 대표적인 예이다.^[4]

전자공학에서 트랜지스터와 같은 장치의 선형 동작 영역은 출력 종속 변수 (예: 트랜지스터 컬렉터 전류)가 입력 종속 변수 (예: 베이스 전류)에 직접적으로 비례하는 영역을 말한다. 이는 아날로그 출력이 일반적으로 더 높은 진폭(증폭)을 가지며 입력의 정확한 표현임을 보장한다. 고충실도 오디오 증폭기는 신호의 파형을 변경하지 않고 신호를 증폭해야 하는 선형 장비의 전형적인 예이다.

대부분의 과학 및 기술 응용 분야에서, 특성이 정확하지는 않지만 거의 직선에 가까울 경우 선형이라고 설명할 수 있으며, 선형성은 특정 작동 영역 내에서만 유효할 수 있다. 예를 들어, 고충실도 증폭기는 작은 신호를 왜곡시킬 수 있지만 허용될 만큼 충분히 적게 왜곡하며, 입력이 특정 값을 초과하면 매우 심하게 왜곡될 수 있다.

5. 1. 적분 선형성 (Integral Linearity)

전자 장치(또는 다른 물리적 장치)에서 어떤 양을 다른 양으로 변환할 때, 입력과 출력 간의 관계가 얼마나 직선에 가까운지를 나타내는 척도를 적분 선형성이라고 한다.^[5]^[6]

적분 선형성에는 독립 선형성, 영점 기반 선형성, 종단점(터미널) 선형성의 세 가지 주요 정의가 있다. 이들은 모두 작동 범위 내에서 장치의 실제 성능이 직선에 얼마나 근접하는지를 나타낸다. 선형성은 이상적인 직선으로부터의 편차, 즉 비선형성으로 측정되며, 이는 일반적으로 전체 스케일의 백분율(%) 또는 ppm(parts per million)으로 표현된다. 보통 직선은 데이터의 최소 자승 적합을 통해 얻어진다. 세 가지 정의는 직선이 실제 장치의 성능과 어떻게 관련되는지에 따라 달라진다. 이 정의들은 실제 장치 성능 특성의 이득 또는 오프셋 오류는 무시한다.

참조

_[1] 서적 Linear Algebra https://books.google[...] Springer
_[2] 서적 Calculus: Early Transcendentals Brooks Cole Cengage Learning
_[3] 간행물 Partial differential equations https://www.ams.org/[...] American Mathematical Society
_[4] 서적 The RF transmission systems handbook https://books.google[...] CRC Press
_[5] 웹사이트 Understanding Linearity and Monotonicity http://www.analogzon[...] analogZONE 2014-09-24
_[6] 논문 Understanding Linearity and Monotonicity http://caod.oriprobe[...] 2014-09-25
_[7] 문서 岩波国語辞典第五版
_[8] 문서 "「一次」も、必ずしも「線型」を意味しない。例えば一般の[[一次関数]] (linear function) の「一次」および linear は本項にいう意味では線型でない（[[アフィン写像|アフィン]]である）。「線形代数」「線型代数」を「一次代数」とは云わない。"

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com