단면 이차 모멘트

3. 단위

국제 단위로 네제곱 미터(m⁴)를 사용한다. 야드파운드법과 미국 단위계에서는 네제곱 인치(in.⁴)도 사용된다.

4. 평행축 정리

• ''I''_x' - x' 축에 대한 단면 이차 모멘트
• ''I''_x - x' 축과 평행하고 단면의 도심을 지나는 축 x에 대한 단면 이차 모멘트 (중립축과 일치)
• ''A'' - 단면의 넓이
• ''d'' - 축 사이의 거리

5. 수직축 정리

수직축 정리는 서로 수직인 두 축에 대한 단면 이차 모멘트를 알고 있을 때, 이 두 축에 모두 수직인 세 번째 축에 대한 단면 이차 모멘트(극 관성 모멘트)를 구할 수 있게 해준다. z축에 대한 극 관성 모멘트 polar moment of inertia|폴라 모멘트 오브 이너셔^영어 ''J''_z는 다음과 같이 계산된다.^[10]

:''J''_z = ''I''_x + ''I''_y

이 관계는 피타고라스 정리와 적분의 선형성에 의존한다.

6. 단면적 곱 모멘트

더 일반적으로, '''단면적 곱 모멘트'''는 다음과 같이 정의된다.^[3]

:$$I\_\{xy\}\; =\; \backslash iint\_\{R\}\; yx\backslash ,\; dx\backslash ,\; dy$$

7. 합성 단면의 단면 이차 모멘트

복잡한 형태의 단면은 여러 개의 단순한 도형으로 나누어 계산할 수 있다. 합성 단면의 단면 이차 모멘트는 각 부분의 단면 이차 모멘트를 합산하여 구한다. 구멍이나 빈 공간이 있는 경우, 해당 부분의 단면 이차 모멘트는 빼준다.

x축에 대해 대칭인 합성 단면의 경우, 단면 이차 모멘트는 다음과 같이 계산된다.

:$I\_\{xx\}=\; \backslash Sigma\backslash \; y^\{2\}A\; +I\_\{local\}$

x축에 대해 대칭이 아닌 경우, xx, yy 및 xy축에 대한 단면 이차 모멘트는 다음과 같다.

:$I\_\{yy\}=\; \backslash Sigma\backslash \; x^\{2\}A\; +I\_\{local\}$

:$I\_\{xy\}=\; \backslash Sigma\backslash \; yxA$

• A: 해당 부분의 단면적
• $I\_\{local\}$: 합성 단면 중 해당 부분의 단면 이차 모멘트

8. 대표적인 도형에 대한 단면 이차 모멘트

설명	그림	단면 이차 모멘트	비고
반지름 $r\; \backslash ,$(지름 D)인 원		$I\_0\; =\; \backslash pi\; r^4/4=\backslash pi\; D^4/64$
너비 $b\; \backslash ,$, 높이 $h\; \backslash ,$인 직사각형		$I\_0\; =\; bh^3/12\; \backslash ,$
너비 $b\; \backslash ,$, 높이 $h\; \backslash ,$인 직사각형		$I\; =\; bh^3/3\; \backslash ,$	단면의 밑변을 지나는 축에 대한 값.
밑변 $b\; \backslash ,$, 높이 $h$인 삼각형		$I\_0\; =\; bh^3/36\; \backslash ,$
밑변 $b\; \backslash ,$, 높이 $h$인 삼각형		$I\; =\; bh^3/12\; \backslash ,$	단면의 밑변을 지나는 축에 대한 값. 평행축 정리를 이용해 구할 수 있음(도심으로부터 축까지의 거리 $h/3\; \backslash ,$).

9. 단면 이차 극 모멘트

'''단면 이차 극 모멘트''' (polar moment of inertia of area^영어)는 원점으로부터 미소 면적 d''A''까지의 거리를 ''r''로 하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$I\_\backslash mathrm\{p\}=\backslash int\_A\; r^2\; \backslash mathrm\{d\}A$

여기서 같은 원점으로부터 ''x''축, ''y''축에 관한 단면 이차 모멘트 ''I_x'', ''I_y''를 사용하면 다음 식이 성립한다.

:$I\_\backslash mathrm\{p\}=I\_x+I\_y$

단면 이차 극 모멘트는 둥근 막대의 비틀림을 계산할 때 등에 사용된다. 가로 탄성 계수 ''G''와 단면 이차 극 모멘트의 곱은 '''비틀림 강성'''이라고 불리며, 비틀림 강성 ''GI''_p의 둥근 막대에 토크 ''T''를 가하면, 부재 길이 l의 둥근 막대의 비틀림각 θ는 다음과 같이 주어진다.

:$\backslash theta=\backslash frac\{Tl\}\{G\; I\_\backslash mathrm\{p\}\}$

다음 식으로 주어지는 ''Z''_p를 '''극 단면 계수'''^[10]라고 하며, 단면에 생기는 전단 응력의 최대값 τ_max를 구할 때 사용된다.

:$Z\_\backslash mathrm\{p\}:=\backslash frac\{I\_\backslash mathrm\{p\}\}\{d/2\}$

:$\backslash tau\_\backslash mathrm\{max\}=\backslash frac\{T\}\{Z\_\backslash mathrm\{p\}\}$

여기서 ''d''는 직경이다.

예로, 직경 ''d''인 중실 원형 막대의 단면 이차 극 모멘트 ''I''_p와 극 단면 계수 ''Z''_p는 다음과 같다.

:$I\_\backslash mathrm\{p\}=\backslash frac\{\backslash pi\; d^4\}\{32\}$

:$Z\_\backslash mathrm\{p\}=\backslash frac\{\backslash pi\; d^3\}\{16\}$

10. 들보의 응력

오일러-베르누이 들보 방정식에 따라, 휨 응력은 다음과 같이 계산된다.

:$\{\backslash sigma\}=\; \backslash frac\{M\}\{I\_x\}\; y$

• σ: 휨 응력
• ''M'': 단면에 가해지는 휨모멘트
• ''y'': 단면 중립축으로부터 휨응력을 구하고자 하는 지점까지 수직거리
• ''I''_''x'': 중립축(x 축)에 대한 단면 이차 모멘트

11. 임의의 다각형에 대한 단면 이차 모멘트

참조

_[1] 서적 Vector Mechanics for Engineers McGraw-Hill 2013
_[2] 서적 Analysis and Design of Elastic Beams https://archive.org/[...] John Wiley & Sons, Inc 2002
_[3] 서적 Vector Mechanics for Engineers McGraw-Hill 2013
_[4] 서적 Statics and Mechanics of Materials Pearson Prentice Hall 2004
_[5] 서적 Vector Mechanics for Engineers McGraw-Hill 2013
_[6] 간행물 Calculation of the Moments of Polygons https://apps.dtic.mi[...]
_[7] 서적 Mechanical Simmetry https://www.research[...] AuthorHouse
_[8] 웹사이트 On the Calculation of Arbitrary Moments of Polygons https://pdfs.semanti[...]
_[9] 웹사이트 On the Computation of the Moments of a Polygon, with some Applications https://repository.t[...]
_[10] 서적 現代材料力学 朝倉書店