단면 이차 모멘트

1. 개요

단면 이차 모멘트는 단면의 형상 분포를 나타내는 값으로, 특정 축을 기준으로 정의되며, 주로 구조 역학에서 사용된다. x축에 대한 단면 이차 모멘트는 ∫y² dA로, y축에 대한 단면 이차 모멘트는 ∫x² dA로 정의된다. 평행축 정리, 수직축 정리, 단면적 곱 모멘트 등을 활용하여 복잡한 단면의 단면 이차 모멘트를 계산할 수 있으며, 들보의 휨 응력 계산에 중요한 역할을 한다. 단면 이차 극 모멘트는 비틀림 문제에 사용되며, 다양한 형태의 단면에 대한 단면 이차 모멘트 공식이 존재한다.

2. 정의

단면 이차 모멘트는 특정 축을 기준으로 단면의 형상이 어떻게 분포되어 있는지를 나타내는 값이다. 일반적으로, x축에 대한 단면 이차 모멘트 I_x와 y축에 대한 단면 이차 모멘트 I_y는 다음과 같이 정의된다.

:$I\_x\; =\; \backslash int\_A\; y^2\; dA$
:$I\_y\; =\; \backslash int\_A\; x^2\; dA$

* I_x - x 축에 대한 단면 이차 모멘트
* I_y - y 축에 대한 단면 이차 모멘트
* dA - 면적 요소
* x - y 축에서부터 면적 요소 도심까지 수직 거리
* y - x 축에서부터 면적 요소 도심까지 수직 거리

임의의 형상 R의 임의의 축 $BB\text{'}$에 대한 단면 이차 모멘트는 다음과 같이 정의된다. ($BB\text{'}$ 축은 그림에 그려져 있지 않음; x 및 y 축과 동일 평면에 있으며 선분 $\backslash rho$에 수직인 축임)

:$$J\_\{BB\text{'}\}\; =\; \backslash iint\_\{R\}\; \{\backslash rho\}^2\; \backslash ,\; dA$$

여기서
* $dA$는 무한소 면적 요소이고,
* $\backslash rho$는 $BB\text{'}$ 축으로부터의 거리이다.

예를 들어, 원하는 기준 축이 x축일 때, 단면 이차 모멘트 $I\_\{xx\}$(종종 $I\_x$로 표시됨)는 데카르트 좌표계에서 다음과 같이 계산할 수 있다.

:$$I\_\{x\}\; =\; \backslash iint\_\{R\}\; y^2\backslash ,\; dx\backslash ,\; dy$$

단면 이차 모멘트는 가는 보의 오일러-베르누이 보 이론에서 매우 중요하다. 단면을 포함하는 평면에 x 축, y 축이 있다고 가정한다. x 축에 관한 단면 이차 모멘트 I_x는 단면의 미소 면적 요소 dA와, 미소 요소의 x 축으로부터의 거리 y를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$I\_x=\backslash int\_A\; y^2\; \backslash mathrm\{d\}A$

마찬가지로, y 축에 관한 단면 이차 모멘트 I_y는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$I\_y=\backslash int\_A\; x^2\; \backslash mathrm\{d\}A$

3. 단위

국제 단위로 네제곱 미터(m⁴)를 사용한다. 야드파운드법과 미국 단위계에서는 네제곱 인치(in.⁴)도 사용된다.

4. 평행축 정리

중립축과 평행한 임의의 축 x'에 대한 단면 이차 모멘트는 다음과 같이 주어진다.

* I_x' - x' 축에 대한 단면 이차 모멘트
* I_x - x' 축과 평행하고 단면의 도심을 지나는 축 x에 대한 단면 이차 모멘트 (중립축과 일치)
* A - 단면의 넓이
* d - 축 사이의 거리

도심 축 x를 가진 형상에서 평행축 정리는 x 축에 대한 단면 이차 모멘트를 구하는 데 사용할 수 있다. 때로는 형상의 도심 축과 다른 x' 축에 대해 형상의 단면 이차 모멘트를 계산해야 할 필요가 있다. 그러나 도심 축인 x에 대한 단면 이차 모멘트를 구하고 평행축 정리를 사용하여 x' 축에 대한 단면 이차 모멘트를 구하는 것이 종종 더 쉽다.

비슷한 방법으로 y' 축과 평행한 도심 y 축에 대해서도 계산할 수 있다. 일반적으로 모든 도심 B 축과 평행한 B' 축에 대해서도 계산할 수 있다.

단면을 포함하는 평면에 x 축, y 축이 있다고 가정한다. x 축에 관한 단면 이차 모멘트 I_x는 단면의 미소 면적 요소 dA와, 미소 요소의 x 축으로부터의 거리 y를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$I\_x=\backslash int\_A\; y^2\; \backslash mathrm\{d\}A$

마찬가지로, y 축에 관한 단면 이차 모멘트 I_y는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$I\_y=\backslash int\_A\; x^2\; \backslash mathrm\{d\}A$

도심을 통과하는 X 축에 관한 단면 이차 모멘트 I_X와, X 축에서 거리 b만큼 이동한 x 축에 관한 단면 이차 모멘트 I_x의 관계는, 도형의 단면적 A를 사용하면 다음과 같다.

:$I\_x=I\_X+b^2\; A$

도심을 통과하는 축에서 단면의 가장 멀리 떨어진 지점까지의 거리로, 도심을 통과하는 단면 이차 모멘트 I_x를 나눈 값을 단면 계수'라고 부르며, 보에 발생하는 최대 굽힘 응력을 계산할 때 사용한다.

5. 수직축 정리

수직축 정리는 서로 수직인 두 축에 대한 단면 이차 모멘트를 알고 있을 때, 이 두 축에 모두 수직인 세 번째 축에 대한 단면 이차 모멘트(극 관성 모멘트)를 구할 수 있게 해준다. z축에 대한 극 관성 모멘트 polar moment of inertia^영어 J_z는 다음과 같이 계산된다.

:J_z = I_x + I_y

이 관계는 피타고라스 정리와 적분의 선형성에 의존한다.

6. 단면적 곱 모멘트

더 일반적으로, 단면적 곱 모멘트는 다음과 같이 정의된다.

:$$I\_\{xy\}\; =\; \backslash iint\_\{R\}\; yx\backslash ,\; dx\backslash ,\; dy$$

7. 합성 단면의 단면 이차 모멘트

복잡한 형태의 단면은 여러 개의 단순한 도형으로 나누어 계산할 수 있다. 합성 단면의 단면 이차 모멘트는 각 부분의 단면 이차 모멘트를 합산하여 구한다. 구멍이나 빈 공간이 있는 경우, 해당 부분의 단면 이차 모멘트는 빼준다.

x축에 대해 대칭인 합성 단면의 경우, 단면 이차 모멘트는 다음과 같이 계산된다.

:$I\_\{xx\}=\; \backslash Sigma\backslash \; y^\{2\}A\; +I\_\{local\}$

x축에 대해 대칭이 아닌 경우, xx, yy 및 xy축에 대한 단면 이차 모멘트는 다음과 같다.

:$I\_\{yy\}=\; \backslash Sigma\backslash \; x^\{2\}A\; +I\_\{local\}$

:$I\_\{xy\}=\; \backslash Sigma\backslash \; yxA$

* A: 해당 부분의 단면적
* $I\_\{local\}$: 합성 단면 중 해당 부분의 단면 이차 모멘트

8. 대표적인 도형에 대한 단면 이차 모멘트

9. 단면 이차 극 모멘트

단면 이차 극 모멘트 (polar moment of inertia of area^영어)는 원점으로부터 미소 면적 dA까지의 거리를 r로 하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$I\_\backslash mathrm\{p\}=\backslash int\_A\; r^2\; \backslash mathrm\{d\}A$

여기서 같은 원점으로부터 x축, y축에 관한 단면 이차 모멘트 I_x, I_y를 사용하면 다음 식이 성립한다.

:$I\_\backslash mathrm\{p\}=I\_x+I\_y$

단면 이차 극 모멘트는 둥근 막대의 비틀림을 계산할 때 등에 사용된다. 가로 탄성 계수 G와 단면 이차 극 모멘트의 곱은 비틀림 강성이라고 불리며, 비틀림 강성 GI_p의 둥근 막대에 토크 T를 가하면, 부재 길이 l의 둥근 막대의 비틀림각 θ는 다음과 같이 주어진다.

:$\backslash theta=\backslash frac\{Tl\}\{G\; I\_\backslash mathrm\{p\}\}$

다음 식으로 주어지는 Z_p를 극 단면 계수라고 하며, 단면에 생기는 전단 응력의 최대값 τ_max를 구할 때 사용된다.
:$Z\_\backslash mathrm\{p\}:=\backslash frac\{I\_\backslash mathrm\{p\}\}\{d/2\}$
:$\backslash tau\_\backslash mathrm\{max\}=\backslash frac\{T\}\{Z\_\backslash mathrm\{p\}\}$

여기서 d는 직경이다.

예로, 직경 d인 중실 원형 막대의 단면 이차 극 모멘트 I_p와 극 단면 계수 Z_p는 다음과 같다.
:$I\_\backslash mathrm\{p\}=\backslash frac\{\backslash pi\; d^4\}\{32\}$
:$Z\_\backslash mathrm\{p\}=\backslash frac\{\backslash pi\; d^3\}\{16\}$

10. 들보의 응력

오일러-베르누이 들보 방정식에 따라, 휨 응력은 다음과 같이 계산된다.

:$\{\backslash sigma\}=\; \backslash frac\{M\}\{I\_x\}\; y$

* σ: 휨 응력
* M: 단면에 가해지는 휨모멘트
* y: 단면 중립축으로부터 휨응력을 구하고자 하는 지점까지 수직거리
* I_x: 중립축(x 축)에 대한 단면 이차 모멘트

11. 임의의 다각형에 대한 단면 이차 모멘트

XY 평면상의 모든 단순 다각형에 대한 원점에서의 단면 이차 모멘트는 면적을 일련의 삼각형으로 나눈 후 다각형의 각 선분으로부터의 기여를 합산하여 일반적으로 계산할 수 있다. 이 공식은 신발끈 공식과 관련이 있으며 그린 정리의 특수한 경우로 간주될 수 있다.

다각형은 반시계 방향으로 번호가 매겨진 $n$개의 정점을 갖는 것으로 가정한다. 다각형 정점이 시계 방향으로 번호가 매겨진 경우 반환 값은 음수이지만 절대 값은 정확하다.

:$$\backslash begin\{align\}$$
I_y &= \frac{1}{12}\sum_{i=1}^{n} \left( x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i\right)\left( x_i^2 + x_i x_{i+1} + x_{i+1}^2 \right)
\\
I_x &= \frac{1}{12}\sum_{i=1}^{n} \left( x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i\right)\left( y_i^2 + y_i y_{i+1} + y_{i+1}^2 \right) \\
I_{xy} &= \frac{1}{24}\sum_{i=1}^{n} \left( x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i\right) \left( x_i y_{i+1} + 2 x_i y_i + 2 x_{i+1} y_{i+1} + x_{i+1} y_i \right)
\end{align}

여기서 $x\_i,y\_i$는 $1\; \backslash le\; i\; \backslash le\; n$에 대한 $i$번째 다각형 정점의 좌표이다. 또한 $x\_\{n+1\},\; y\_\{n+1\}$은 첫 번째 정점의 좌표와 같다고 가정하며, 즉 $x\_\{n+1\}\; =\; x\_1$이고 $y\_\{n+1\}\; =\; y\_1$이다.