몰바이데 도법

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1. 개요
2. 특징
3. 공식
- 3.1. 뉴턴-랩슨 방법을 이용한 계산
4. 변형
5. 다른 투영법과의 관계
참조

1. 개요

몰바이데 도법은 가상 원통 투영의 일종으로, 지도상의 임의의 장소에서 실제 면적과의 비율이 같아지는 정적도법이다. 지구 전체를 타원형으로 표현하며, 위선은 수평선, 경선은 호를 그린다. 중앙 경선상에서 정각이 되는 위도는 40도 44분이다. 주로 분포도에 사용되며, 모양 왜곡을 줄이기 위해 '중단된' 버전을 사용하기도 한다. 몰바이데 도법은 여러 다른 투영법의 생성에 영감을 주었으며, 공식과 뉴턴-랩슨 방법을 이용한 계산법이 존재한다.

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몰바이데 도법
지도 정보
기본 정보
종류	유사원통 도법
도법	정적 도법
특징	면적은 정확하게 나타내지만, 형태, 거리, 방향은 왜곡되어 나타난다.
개발자	카를 몰바이데
개발 년도	1805년
수학적 정의
공식	x = Rλcos(θ) y = R√2sin(θ)
R	지구 반지름
λ	중심 자오선으로부터의 경도
θ	위도
활용
용도	세계 지도 주제도 천체 지도 WMAP의 우주배경복사 지도 위성 영상
장점	면적을 정확하게 나타낸다. 전 세계를 하나의 지도로 표현할 수 있다.
단점	형태, 거리, 방향이 왜곡되어 나타난다. 특히 극지방이 심하게 왜곡된다.
기타
다른 이름	몰위데 도법

2. 특징

몰바이데 도법은 가상 원통 투영의 일종으로, 지도상의 임의의 장소에서 실제 면적과의 비율이 같아지는 '''정적도법'''이다.^[8] 지구 전체를 한 장의 평면에 표현할 수 있으며, 지도의 외곽은 타원형이다. 타원의 장경(가로)과 단경(세로)의 비는 2:1이다.

위선은 모두 수평한 직선이 된다. 경선은 중앙 경선이 수직인 직선이 되지만, 그 이외의 경선은 호를 그린다. 등적이 되도록 위선의 간격을 조정하기 때문에, 거리의 비율은 일정하지 않다. 중앙 경선상에서 정각이 되는 것은 위도 40도 44분이다.^[9] 지도의 주변부의 왜곡이 커지지만, 산손도법만큼 크지는 않다. 중·고위도 지형의 왜곡은 작다. 주로 분포도에 이용된다.

모양 왜곡은 '중단된' 버전을 사용하여 줄일 수 있다. '사인곡선 중단' 몰바이데 투영은 중앙 자오선을 버리고 적도에 직각으로 끝나는 반 자오선을 번갈아 사용한다. 반대로, '병렬 중단' 몰바이데 투영은 여러 개의 분리된 중앙 자오선을 사용하여 적도에서 연결된 여러 개의 타원 효과를 낸다. 드물게, 이 투영은 왜곡 영역을 해양으로 이동시키기 위해 비스듬히 그릴 수 있으며, 대륙의 모양을 더 정확하게 유지할 수 있다.

몰바이데 투영 또는 그 특징은 구드 호몰로신 투영, 반 데어 그린텐 투영, 보그스 유모르픽 투영을 포함한 여러 다른 투영의 생성에 영감을 주었다.^[4]

3. 공식

지구를 반지름 1의 구로 하고, 적도를 축척 1로 몰바이데 투영법에 투영할 경우, 경도 λ, 위도 φ에 대응하는 점 (x, y)는 다음과 같다.^[5]

: $x = \frac{2 \sqrt 2}{\pi} \lambda \cos\left(\theta \right),$

: $y = \sqrt 2 \sin\left(\theta \right),\,$

여기서 θ는 라디안 단위로 다음 식을 만족하는 수이다.

: $2 \theta + \sin(2 \theta) = \pi \sin(\phi)\qquad (1)$

그리고 $\,\lambda$ 는 중앙 경선으로부터 떨어진 경도이고 $\,\phi$ 는 위도이다.

방정식 (1)은 뉴턴의 방법을 통해 해를 찾을 수 있다.

투영 변환은 다음 방정식을 통해 위도와 경도를 지도 좌표 x와 y로 변환한다.^[5]

: $\begin{align} x &= R \frac{2 \sqrt 2}{\pi} \left( \lambda - \lambda_{0} \right) \cos \theta, \\[5px] y &= R \sqrt 2 \sin \theta ,\end{align}$

여기서 θ는 보조각, λ는 경도, λ₀는 중앙 자오선, φ는 위도, R은 투영할 구의 반지름이다. 지도의 면적은 4πR²이며, 생성 구의 표면적과 일치한다. x좌표의 범위는 [−2R√2, 2R√2]이고, y좌표의 범위는 [−R√2, R√2]이다.

닫힌 형식 역변환은 다음과 같다.^[5]

: $\begin{align} \varphi &= \arcsin \frac{2 \theta + \sin 2\theta}{\pi}, \\[5px] \lambda &= \lambda_{0} + \frac{\pi x}{2 R \sqrt{2} \cos \theta}, \end{align}$

여기서 θ는 다음 관계식으로 구할 수 있다.

: $\theta = \arcsin \frac{y}{R \sqrt{2}}. \,$

역변환을 통해 지도 좌표 x와 y에 해당하는 위도와 경도를 찾을 수 있다.

적도 축척 1인 몰바이데 투영법의 면적은 지구 표면적의 π²/8 ≒ 1.234배이며, 정적도법이므로 어느 점에서도 이 면적 배율이다.^[10] 중앙 경선상에서의 세로 가로 왜곡은 (π²/8)(cosφ/cosθ)²이 된다.

위도 φ와 Y좌표의 관계^[11]
위도 φ	매개변수 θ	sinθ	왜곡 (π²/8)((cosφ)/(cosθ))²
0rad=0°	0rad=0°	0	1.23377
π/18rad=10°	0.13724rad= 7.863°	0.13681	1.21932
π/9rad=20°	0.27549rad=15.784°	0.27202	1.17643
π/6rad=30°	0.41586rad=23.827°	0.40398	1.10573
2π/9rad=40°	0.55975rad=32.071°	0.53097	1.00822
5π/18rad=50°	0.70911rad=40.629°	0.65116	0.88497
π/3rad=60°	0.86699rad=49.675°	0.76238	0.73650
7π/18rad=70°	1.03902rad=59.531°	0.86191	0.56129
4π/9rad=80°	1.23880rad=70.978°	0.94539	0.35019
π/2rad=90°	1.57079rad=90°	1	→0

3. 1. 뉴턴-랩슨 방법을 이용한 계산

위 식에서 θ를 구하기 위해 뉴턴-랩슨 방법을 사용할 수 있다. 초기값

\theta_0 = \varphi\,

로 두고 다음과 같이 반복 계산한다.

:

\theta_{n+1} = \theta_n - \frac{(2\theta_n + \sin(2\theta_n) - \pi \sin(\phi))}{2 + 2\cos(2\theta_n)}\,

φ = ±π/2이면 θ = ±π/2이므로 반복 계산을 건너뛴다.^[6]

4. 변형

모양 왜곡은 '중단된' 버전을 사용하여 줄일 수 있다. '사인곡선 중단' 몰바이데 투영은 중앙 자오선을 버리고 적도에 직각으로 끝나는 반 자오선을 번갈아 사용한다. 이것은 지구본을 여러 개의 엽으로 나누는 효과를 가진다. 반대로, '병렬 중단' 몰바이데 투영은 여러 개의 분리된 중앙 자오선을 사용하여 적도에서 연결된 여러 개의 타원 효과를 낸다. 더 드물게, 이 투영은 왜곡 영역을 해양으로 이동시키기 위해 비스듬히 그릴 수 있으며, 대륙의 모양을 더 정확하게 유지할 수 있다.^[4]

5. 다른 투영법과의 관계

몰바이데 투영 또는 그 특징은 구드 호몰로신 투영, 반 데어 그린텐 투영, 보그스 유모르픽 투영을 포함한 여러 다른 투영법의 생성에 영감을 주었다.^[4]

참조

_[1] 서적 Flattening the Earth: Two Thousand Years of Map Projections
_[2] 웹사이트 New 'Baby Picture' of Universe Unveiled http://www.space.com[...] Space.com 2012-12-21
_[3] 논문 Nine-Year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) Observations: Final Maps and Results
_[4] 간행물 Map Projections – A Working Manual https://pubs.er.usgs[...] United States Geological Survey
_[5] 웹사이트 Mollweide Projection
_[6] 문서 수치 계산에서 분모의 변화
_[7] 서적 地図の基本がわかる本地球丸
_[8] 서적 地図学用語辞典技報堂出版
_[9] 문서 구드 투영법에서의 위도
_[10] 문서 1:1 적도 축척 산손 투영법의 면적 배율
_[11] 서적 Portraits of the Earth, A Mathematician Looks at Maps AMS Mathematical World Volume 18

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