타원

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1. 개요

타원은 평면 위의 두 초점으로부터의 거리의 합이 일정한 점들의 집합으로 정의되는 기하학적 도형이다. 타원은 중심, 장축, 단축, 초점 거리, 이심률 등의 용어로 특징지어진다. 타원의 방정식은 직교 좌표계에서 표준형, 일반형, 매개변수 방정식 등으로 표현되며, 기하학적 성질로는 넓이, 이심률, 반사 성질 등이 있다. 타원은 실과 압정을 이용한 작도, 타원 컴퍼스, 종이띠 작도법 등 다양한 방법으로 그릴 수 있으며, 천문학, 광학, 음향학, 기계 공학, 통계학, 컴퓨터 그래픽스 등 다양한 분야에 응용된다. 고대 그리스 수학자들에 의해 연구되었으며, 케플러의 행성 운동 법칙과 뉴턴의 만유인력의 법칙을 통해 그 중요성이 입증되었다.

타원

개요

이미지 준비중입니다.

타원의 기하학적 표현

정의

정의	평면 위의 두 정점으로부터 거리의 합이 일정한 점들의 자취
초점	타원의 정의에 사용되는 두 정점
장축	타원의 중심을 지나고 초점을 지나는 가장 긴 지름
단축	타원의 중심을 지나고 장축에 수직인 가장 짧은 지름
중심	장축과 단축이 교차하는 점
꼭짓점	타원과 장축, 단축이 만나는 점

성질

대칭	타원은 장축과 단축에 대하여 대칭이며, 중심에 대하여 점대칭이다.
이심률	타원의 찌그러진 정도를 나타내는 값 (0 ≤ e < 1)

방정식

중심이 원점인 경우	x²/a² + y²/b² = 1 (a는 장반축, b는 단반축)
중심이 (h,k)인 경우	(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1
극좌표 방정식	r = l/(1 + e cos θ) (l은 준선으로부터 초점까지의 거리, e는 이심률)

타원의 넓이

넓이	πab (a는 장반축, b는 단반축)

기타

응용	천문학에서 행성의 궤도 광학에서 반사경, 렌즈 건축 음향 디자인 공학 디자인

초점 거리	두 초점 사이의 거리
장반축	장축 길이의 절반
단반축	단축 길이의 절반
준선	초점과 짝을 이루는 직선

2. 타원의 정의 및 용어

타원은 유클리드 평면에서 점들의 집합 또는 자취로 기하학적으로 정의할 수 있다.

두 고정된 점 F₁^영어, F₂^영어(초점)와 초점 사이의 거리보다 큰 거리 2a^영어가 주어지면, 타원은 점 P^영어의 집합으로서, 거리 PF₁^영어, PF₂^영어의 합이 2a^영어와 같다.

초점을 잇는 선분의 중점 C^영어를 타원의 중심이라고 한다. 초점을 지나는 선을 장축, 중심을 지나 장축에 수직인 선을 단축이라고 한다. 장축은 타원과 두 꼭짓점 V₁^영어, V₂^영어에서 만나며, 이 꼭짓점들은 중심으로부터 a^영어만큼 떨어져 있다. 초점에서 중심까지의 거리 c^영어를 초점 거리 또는 선형 이심률이라고 한다. e = c/a^영어의 비율을 이심률이라고 한다.

F₁ = F₂^영어인 경우는 원이 되며, 타원의 특수한 형태로 포함된다.

두 초점이 가까워질수록 타원은 원에 가까워지고, 두 초점이 일치하면 타원은 그 점을 중심으로 하는 원이 된다. 따라서 원은 타원의 특수한 경우라고 생각할 수 있다.

타원의 두 초점을 지나는 직선과 타원의 두 교점을 양 끝점으로 하는 선분을 장축이라고 한다. 장축의 길이를 장경이라고 한다. 장축과 타원의 교점에서는 두 초점으로부터의 거리의 차가 최대가 된다. 또한, 장축의 수직이등분선과 타원의 두 교점을 양 끝점으로 하는 선분을 단축이라고 한다. 단축의 길이를 단경이라고 한다.

* 장축과 단축의 교점은 타원의 중심이라고 한다.
* 장축을 중심에서 나눈 두 선분을 장반축이라고 하며, 그 길이를 장반경이라고 한다.
* 단축을 중심에서 나눈 두 선분을 단반축이라고 하며, 그 길이를 단반경이라고 한다.
* 단경과 장경의 비율을 이심률이라고 한다.

thumb

3. 타원의 방정식

2차원 직교좌표계에서 원점 O가 타원의 장축과 단축의 교점이며, 각 축이 x축이나 y축과 일치할 때 타원의 방정식은 다음과 같이 간단히 표현된다. 이를 타원의 표준형이라고 한다.

:

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

장축이 x축과 일치할 때,

2a

는 타원의 장축의 길이,

2b

는 단축의 길이가 된다. 이 때의 초점을 (±c,0)이라 할 때

c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}

이다.

같은 타원을 호도각에 따른 매개변수 t로 나타내면 다음과 같다.

:

x = a\,\cos t

y = b\,\sin t

0 \leq t < 2\pi

이는 타원이 원의 정사영이기 때문이다.

x축으로 α만큼, y축으로 β만큼 평행이동한 타원의 방정식은 다음과 같다.

:

\frac{(x-\alpha)^{2}}{a^{2}} + \frac{(y-\beta)^{2}}{b^{2}} = 1

해석기하학에서 타원은 이차 곡면으로 정의된다. 즉, 축퇴되지 않은 경우 카르테시안 평면의 점

(x,\, y)

들의 집합으로서 다음과 같은 음함수 방정식을 만족한다.

:

Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0

단,

B^2 - 4AC < 0.

이 방정식을 일반형이라고 한다.

극좌표계에서 타원의 중심을 원점으로 하고 장축에서 측정한 각좌표를 θ라고 하면, 타원의 방정식은 다음과 같다.

:

r(\theta) = \frac{ab}{\sqrt{(b \cos \theta)^2 + (a\sin \theta)^2}}=\frac{b}{\sqrt{1 - (e\cos\theta)^2}}

여기서 e는 이심률이며, 오일러의 수가 아니다.

만약 한 초점을 원점으로 하는 극좌표를 사용하고, 각도 좌표 θ = 0을 여전히 장축에서 측정한다면, 타원의 방정식은 다음과 같다.

:

r(\theta)=\frac{a (1-e^2)}{1\pm e\cos\theta }

여기서 분모의 부호는 기준 방향 θ = 0이 중심을 향할 때(오른쪽 그림과 같이) 음수이고, 중심에서 멀어지는 방향을 가리킬 때 양수이다.

4. 타원의 기하학적 성질

타원은 원을 축 방향으로 확대, 축소하여 얻을 수 있으며, 이는 반지름이 $a$ 인 원의 정사영으로 볼 수 있다. 이때 긴반지름의 길이가 $a$ , 짧은반지름의 길이가 $b$ , 짧은반지름과 긴반지름의 비율이 ${b \over a}=r$ 라 하면 $r=\cos {\theta}$ ( $\theta$ 는 원래 원과 정사영이 이루는 각)이고 타원의 넓이는 $S'=S\cos{\theta}$ ( $S$ 는 원의 넓이)이므로 $S'=S\cos{\theta}=Sr=\pi r a^2$ 이다. 이때 정의에 의해 $ar=b$ 이므로 $S'=ab\pi$ 이다.

타원이 찌그러진 정도를 나타내는 이심률 $E=\frac {c} {a}$ 는 다음과 같이 정의된다.
: $E = \sqrt{1 - \frac{r^2}{R^2}}$
(r은 타원의 짧은 반지름, R은 타원의 긴 반지름이다)
원은 이심률이 0인 경우이고, 이심률이 작을 수록 원에 가깝다.

타원은 유클리드 평면에서 점들의 집합 또는 자취로 기하학적으로 정의할 수 있다.

두 고정된 점

F_1, F_2

(초점이라고 함)와 초점 사이의 거리보다 큰 거리

2a

가 주어지면, 타원은 점

P

의 집합으로서, 거리

|PF_1|,\ |PF_2|

의 합이

2a

와 같다.

초점을 잇는 선분의 중점

C

를 타원의 중심이라고 한다. 초점을 지나는 선을 장축, 중심을 지나 장축에 수직인 선을 단축이라고 한다. 장축은 타원과 두 꼭짓점

V_1,V_2

에서 만나며, 이 꼭짓점들은 중심으로부터

a

만큼 떨어져 있다. 초점에서 중심까지의 거리

c

를 초점 거리 또는 선형 이심률이라고 한다.

e = \tfrac{c}{a}

의 비율을 이심률이라고 한다.

F_1 = F_2

인 경우는 원이 되며, 타원의 특수한 형태로 포함된다.

방정식

\left|PF_2\right| + \left|PF_1\right| = 2a

는 다른 방식으로 볼 수 있다(그림 참조).

만약

c_2

가 중심이

F_2

이고 반지름이

2a

인 원이라면, 점

P

에서 원

c_2

까지의 거리는 초점

F_1

까지의 거리와 같다.

c_2

를 타원의 원형 준선(초점

F_2

와 관련됨)이라고 한다. 이 성질은 아래에서 준선을 사용하여 타원을 정의하는 것과 혼동해서는 안 된다.

단델랭 구를 사용하면, 평면이 꼭짓점을 포함하지 않고 원뿔의 선보다 기울기가 작다는 가정 하에, 평면으로 원뿔의 단면을 취하면 항상 타원이 됨을 증명할 수 있다.

이심률은 다음과 같이 표현할 수 있다.

e = \frac{c}{a} = \sqrt{1 - \left(\frac{b}{a}\right)^2},

단,

a > b.

축의 길이가 같은 타원(

a = b

)의 이심률은 0이며, 이는 원이다.
한 초점을 지나고 장축에 수직인 현의 길이를 준선(latus rectum)이라고 한다. 그 절반의 길이를 반준선(semi-latus rectum)

\ell

이라고 한다. 계산 결과는 다음과 같다.

\ell = \frac{b^2}a = a \left(1 - e^2\right).

반준선

\ell

은 꼭짓점에서의 곡률반지름과 같다.

단축에 평행하고 단축으로부터

d = \frac{a^2}{c} = \frac{a}{e}

만큼 떨어진 두 직선 각각을 타원의 준선이라고 한다(그림 참조).
: 임의의 타원 위의 점

P

에 대해, 한 초점까지의 거리와 해당 준선까지의 거리의 비율(그림 참조)은 이심률과 같다.

\frac{\left|PF_1\right|}{\left|Pl_1\right|} = \frac{\left|PF_2\right|}{\left|Pl_2\right|} = e = \frac{c}{a}\ .

F_1, l_1

쌍에 대한 증명은

\left|PF_1\right|^2 = (x - c)^2 + y^2,\ \left|Pl_1\right|^2 = \left(x - \tfrac{a^2}{c}\right)^2

이고

y^2 = b^2 - \tfrac{b^2}{a^2}x^2

이 다음 방정식을 만족한다는 사실에서 비롯된다.

\left|PF_1\right|^2 - \frac{c^2}{a^2}\left|Pl_1\right|^2 = 0\, .

두 번째 경우도 유사하게 증명된다.

역도 참이며, 타원을 정의하는 데 사용될 수 있다(포물선의 정의와 유사한 방식으로).
: 임의의 점

F

(초점),

F

를 통과하지 않는 임의의 직선

l

(준선), 그리고

0 < e < 1

인 임의의 실수

e

에 대해, 타원은 점과 직선까지의 거리의 비율이

e

인 점들의 자취이다. 즉,

E = \left\{P\ \left|\ \frac

👆

좌우로 밀어서 보기

👆

좌우로 밀어서 보기

= e\right.\right\}.

원의 이심률인

e = 0

로의 확장은 유클리드 평면의 이러한 맥락에서는 허용되지 않는다. 그러나 원의 준선을 무한 원점에서의 사영 평면으로 간주할 수 있다.

(

e = 1

을 선택하면 포물선이 되고,

e > 1

이면 쌍곡선이 된다.)

;증명

F = (f,\, 0),\ e > 0

이고,

(0,\, 0)

이 곡선 위의 점이라고 가정하자. 준선

l

의 방정식은

x = -\tfrac{f}{e}

이다.

P = (x,\, y)

로 하면,

|PF|^2 = e^2|Pl|^2

관계는 다음 방정식을 생성한다.
:

(x - f)^2 + y^2 = e^2\left(x + \frac{f}{e}\right)^2 = (ex + f)^2

그리고

x^2\left(e^2 - 1\right) + 2xf(1 + e) - y^2 = 0.

p = f(1 + e)

를 대입하면

x^2\left(e^2 - 1\right) + 2px - y^2 = 0.

이것은 타원(

e < 1

), 또는 포물선(

e = 1

), 또는 쌍곡선(

e > 1

)의 방정식이다. 이러한 모든 비퇴화 원추곡선은 공통적으로 원점을 꼭짓점으로 갖는다(그림 참조).

e < 1

이면,

1 - e^2 = \tfrac{b^2}{a^2}, \text{ and }\ p = \tfrac{b^2}{a}

가 되도록 새로운 매개변수

a,\, b

를 도입하면, 위의 방정식은

\frac{(x - a)^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\, ,

이 된다. 이것은 중심이

(a,\, 0)

이고, 장축이 x축이며, 장반축/단반축이

a,\, b

인 타원의 방정식이다.

;일반적인 타원

초점이

F = \left(f_1,\, f_2\right)

이고 준선이

ux + vy + w = 0

이면, 다음 방정식을 얻는다.

\left(x - f_1\right)^2 + \left(y - f_2\right)^2 = e^2 \frac{\left(ux + vy + w\right)^2}{u^2 + v^2}\ .

(방정식의 우변은 직선의 헤세 정규형을 사용하여 거리

|Pl|

을 계산한다.)

타원은 다음과 같은 성질을 가지고 있다.

: 한 점 P에서의 법선은 선분 PF₁, PF₂가 이루는 각을 이등분한다.

;증명
접선은 법선에 수직이므로, 이와 동등한 명제는 접선이 초점을 향하는 선분들의 외각 이등분선이라는 것이다 (그림 참조).
초점 F₂에 대한 거리가 2a (a는 타원의 장반축)인 선분 PF₂ 위의 점을 L이라고 하자. 직선 w를 선분 PF₁과 PF₂의 외각 이등분선이라고 하자. w 위의 다른 임의의 점을 Q라고 하자. 삼각부등식과 각의 이등분선 정리에 의해, 2a = |LF₂| < |QF₂| + |QL| = |QF₂| + |QF₁| 이므로, Q는 타원의 외부에 있어야 한다. 이것은 Q의 선택에 상관없이 항상 성립하므로, w는 타원과 점 P에서만 교차하므로 접선이어야 한다.

; 응용
한 초점에서 나온 광선은 타원에 의해 다른 초점으로 반사된다. 이 성질은 포물선의 반사 성질과 유사하게 광학 및 음향 응용 분야에 사용된다.

또한, 타원의 초점 간 반사 특성으로 인해, 광선이 계속 전파되도록 허용되면, 반사된 광선은 결국 장축에 가깝게 정렬될 것이다.

원의 직교하는 지름과 접선으로 이루어진 정사각형, 평행한 현의 중점, 그리고 아핀 변환된 타원과 켤레지름, 접선으로 이루어진 평행사변형, 현의 중점을 나타낸 그림

원은 다음과 같은 성질을 가지고 있다.
: 평행한 현의 중점들은 지름 위에 놓인다.

아핀 변환은 평행성과 선분의 중점을 보존하므로, 이 성질은 모든 타원에 대해 성립한다. (평행한 현과 지름은 더 이상 직교하지 않는다는 점에 유의한다.)

; 정의:
타원의 두 지름

d_1,\, d_2

가

d_1

에 평행한 현의 중점들이

d_2

위에 놓일 때, 이 두 지름은 켤레지름이다.

그림에서 다음을 알 수 있다.
: 타원의 두 지름

\overline{P_1 Q_1},\, \overline{P_2 Q_2}

는

P_1

과

Q_1

에서의 접선이

\overline{P_2 Q_2}

에 평행할 때 켤레지름이다.

타원의 켤레지름은 원의 직교하는 지름을 일반화한 것이다.

일반적인 타원의 매개변수 방정식

\vec x = \vec p(t) = \vec f\!_0 +\vec f\!_1 \cos t + \vec f\!_2 \sin t,

에서 임의의 두 점

\vec p(t),\ \vec p(t + \pi)

는 지름 위에 놓이며,

\vec p\left(t + \tfrac{\pi}{2}\right),\ \vec p\left(t - \tfrac{\pi}{2}\right)

는 그 켤레지름 위에 놓인다.

\tfrac{x^2}{a^2}+\tfrac{y^2}{b^2}=1

이라는 방정식을 가진 타원의 일반적인 매개변수 표현

(a\cos t,b\sin t)

에 대해 다음을 얻는다.
* 점들

(x_1,y_1)=(\pm a\cos t,\pm b\sin t)

(부호: (+,+) 또는 (−,−) )
* 점들

(x_2,y_2)=({\color{red}{\mp}} a\sin t,\pm b\cos t)

(부호: (−,+) 또는 (+,−) )
는 켤레지름이며,
:

\frac{x_1x_2}{a^2}+\frac{y_1y_2}{b^2}=0

이다.
원의 경우 마지막 방정식은

x_1x_2+y_1y_2=0

으로 축소된다.

반축의 길이가

a,\, b

인 타원에 대해 다음이 성립한다.

: 두 개의 공액지름의 절반을

c_1

과

c_2

라고 하면 (그림 참조)
:#

c_1^2 + c_2^2 = a^2 + b^2

.
:# 변의 길이가

c_1,\, c_2

인 삼각형

O,P_1,P_2

(그림 참조)의 넓이는 상수

A_\Delta = \frac{1}{2}ab

이고,

A_\Delta=\tfrac 1 2 c_2d_1=\tfrac 1 2 c_1c_2\sin\alpha

로도 표현될 수 있다.

d_1

은 점

P_1

의 높이이고

\alpha

는 반지름 사이의 각이다. 따라서 타원의 넓이는

A_{el}=\pi ab=\pi c_2d_1=\pi c_1c_2\sin\alpha

로 쓸 수 있다.
:# 주어진 공액지름에 인접한 접선의 평행사변형의 넓이는

\text{Area}_{12} = 4ab

이다.

; 증명:

매개변수 방정식

\vec p(t) = (a\cos t,\, b\sin t)

를 갖는 정준형 타원을 생각하자.

두 점

\vec c_1 = \vec p(t),\ \vec c_2 = \vec p\left(t + \frac{\pi}{2}\right)

는 공액지름 위에 있다(이전 섹션 참조). 삼각함수 공식을 이용하면

\vec c_2 = (-a\sin t,\, b\cos t)^\mathsf{T}

를 얻고

\left|\vec c_1\right|^2 + \left|\vec c_2\right|^2 = \cdots = a^2 + b^2\, .

를 얻는다.

\vec c_1,\, \vec c_2

에 의해 생성된 삼각형의 넓이는

A_\Delta = \tfrac{1}{2} \det\left(\vec c_1,\, \vec c_2\right) = \cdots = \tfrac{1}{2}ab

이고, 그림에서 평행사변형의 넓이는

A_\Delta

의 8배임을 알 수 있다. 따라서

\text{Area}_{12} = 4ab\, .

이다.

타원

\tfrac{x^2}{a^2} + \tfrac{y^2}{b^2} = 1

의 경우, 직교하는 접선들의 교점은 원

x^2 + y^2 = a^2 + b^2

위에 놓인다.

이 원을 타원의 정직교 또는 정준원이라고 한다(위에서 정의한 원형 준선과 혼동해서는 안 된다).

5. 타원의 작도

실과 압정을 이용해 타원을 작도할 수 있다. 타원의 두 초점에 압정을 고정하고, 실을 팽팽하게 유지하면서 연필로 그리면 타원이 그려진다. 이 방법은 정원사가 화단을 만들 때 사용하는 방법과 유사하므로 '정원사의 타원'이라고도 불린다. 비잔티움 건축가 트랄레스의 안테미우스는 이 방법을 사용하여 타원형 반사경을 구성하는 방법을 설명했으며, 이는 알-하산 이븐 무사의 현재는 사라진 9세기 논문에서 자세히 설명되었다.

타원 컴퍼스를 사용해서 타원을 작도할 수도 있다. 아르키메데스의 타원 컴퍼스 등 다양한 타원 작도 도구가 존재한다.

종이띠 작도법은 주어진 장반축과 단반축 길이를 이용하여 타원을 그리는 방법이다. 길이가

a + b

인 종이 조각을 사용하며, 반축이 만나는 점을 P로 표시한다. 종이 조각의 양 끝이 타원의 축 위에 있도록 움직이면 점 P는 타원을 그리게 된다.

드 라 히르의 점 작도법은 매개변수 방정식을 기반으로 타원의 점들을 하나씩 작도하는 방법이다. 타원의 중심을 기준으로 반지름이

a

b

인 두 개의 원을 그리고, 중심을 지나는 직선을 그어 각 원과의 교점 A, B를 찾는다. A를 지나고 단축에 평행한 직선과 B를 지나고 장축에 평행한 직선의 교점이 타원 위의 점이 된다.

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슈타이너 생성은 두 선다발의 사영 사상을 이용하여 타원을 생성하는 방법이다. 타원의 꼭짓점 V₁, V₂에서의 선다발을 이용하고, 점 P = (0, b)와 A = (-a, 2b), B = (a, 2b)를 정의한다. 직사각형 V₁V₂BA의 변 AB를 n개의 등간격 선분으로 나누고, 이를 대각선 AV₂에 평행하게 투영하여 V₁B에 분할을 할당한다. 이 평행 투영을 통해 얻어지는 V₁과 V₂에서의 선다발 사이의 사영 사상으로 타원을 생성한다.

접촉원을 이용한 근사는 타원의 꼭짓점에서 곡률 반지름을 갖는 원(접촉원)을 이용하여 타원을 근사하는 방법이다. 꼭짓점 V₁, V₂에서의 곡률 반지름은

\frac{b^2}{a}

, 공꼭짓점 V₃, V₄에서의 곡률 반지름은

\frac{a^2}{b}

이다.

타원은 외주곡선의 특수한 경우로, 반지름 R = 2r일 때 나타난다. 특히 반지름 r인 원이 반지름 R = 2r인 원 안에서 움직이는 경우를 투시 쌍이라고 한다.
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6. 타원의 응용

한 초점에서 출발한 빛은 타원에서 반사된 후 다른 초점을 지난다는 타원의 반사 성질은 다양한 분야에서 응용된다.

* 천문학: 행성은 태양을 한 초점으로 하는 타원 궤도를 따라 운동한다. (케플러의 행성 운동 법칙)
* 광학: 타원형 거울은 한 초점에서 나온 빛을 다른 초점으로 모은다. 이러한 성질은 일부 문서 스캐너에 사용되는 타원형 단면을 가진 원통형 거울 등에 활용된다.
* 음향학: 속삭이는 회랑은 타원의 반사 성질을 이용한 구조이다. 큰 타원형 방에서 한 초점에 서 있는 사람은 다른 초점에 서 있는 사람의 말을 매우 잘 들을 수 있다. 미국 국회 의사당의 국립 조각상 홀, 솔트레이크시티의 템플 스퀘어에 있는 몰몬 성전 등이 그 예시이다.
* 기계 공학: 타원형 기어는 회전 운동을 다양한 속도와 토크로 변환하는 데 사용된다. 방적 기계에서 원추형 보빈에 실을 감는 장치 등에 사용된다.
* 통계학: 타원 분포는 금융 분야에서 포트폴리오 이론 등에 활용된다.
* 컴퓨터 그래픽스: 타원은 2D 그래픽에서 기본적인 도형 요소로 사용된다.

7. 역사

고대 그리스 수학자 메나이크모스가 처음으로 타원을 연구한 것으로 알려져 있다. 아폴로니오스는 원뿔 곡선에 대한 연구에서 타원을 체계적으로 다루었다. 요하네스 케플러는 행성의 궤도가 타원임을 발견하고, 아이작 뉴턴은 이를 만유인력의 법칙으로 설명하였다.

동아시아에서는 중국에서 타원의 형태를 나무의 잘린 면 모양에서 유래한 "타원(楕円)"으로 불렀다. 일본에서는 에도 시대(1603~1868)에 "옆 원(側円)"이라고 불리다가 메이지 시대(1868~1912)에 "타원(楕円)"으로 바뀌었다.

8. 추가 정보

* 극좌표 표현: 타원은 중심 또는 초점을 기준으로 극좌표로 표현할 수 있다.
* 준선의 성질: 타원의 각 점에서 초점까지의 거리와 준선까지의 거리의 비율은 이심률과 같다.
* 극-극선 관계: 타원 외부의 한 점에서 그은 두 접선의 접점을 지나는 직선을 극선, 원래의 점을 극이라고 한다. 타원의 극-극선 관계는 다음과 같은 성질을 갖는다.
* 타원 위의 점(극)에 대해, 극선은 이 점에서의 접선이다.
* 타원 외부의 극에 대해, 그 극선과 타원의 교점은 극을 지나는 두 접선의 접점이다.
* 타원 내부의 점에 대해, 극선은 타원과 공통점이 없다.
* 내접각과 세 점 형태: 원의 내접각 정리와 유사한 타원의 내접각 정리가 존재하며, 이를 이용하여 세 점으로 타원을 정의할 수 있다.
* 진화곡선: 타원의 모든 곡률 중심의 자취는 아스트로이드 형태이다.
* 삼각형 기하학: 슈타이너 타원, 내접타원 등 삼각형과 관련된 타원들이 존재한다.
* 이차곡면의 평면 단면: 타원체, 타원뿔, 타원원기둥, 쌍곡면(일엽면), 쌍곡면(이엽면)의 평면 단면으로 타원이 나타난다.
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* --
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정의	평면 위의 두 정점으로부터 거리의 합이 일정한 점들의 자취
초점	타원의 정의에 사용되는 두 정점
장축	타원의 중심을 지나고 초점을 지나는 가장 긴 지름
단축	타원의 중심을 지나고 장축에 수직인 가장 짧은 지름
중심	장축과 단축이 교차하는 점
꼭짓점	타원과 장축, 단축이 만나는 점

성질

대칭	타원은 장축과 단축에 대하여 대칭이며, 중심에 대하여 점대칭이다.
이심률	타원의 찌그러진 정도를 나타내는 값 (0 ≤ e < 1)

방정식

중심이 원점인 경우	x²/a² + y²/b² = 1 (a는 장반축, b는 단반축)
중심이 (h,k)인 경우	(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1
극좌표 방정식	r = l/(1 + e cos θ) (l은 준선으로부터 초점까지의 거리, e는 이심률)

타원의 넓이

넓이	πab (a는 장반축, b는 단반축)

기타

응용	천문학에서 행성의 궤도 광학에서 반사경, 렌즈 건축 음향 디자인 공학 디자인