직선

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1. 개요
2. 정의
3. 평면 직선
4. 공간 직선
5. 고차원의 경우
6. 유클리드 기하학 밖의 경우
7. 관련 개념
참조

1. 개요

직선은 유클리드 기하학에서 무정의 용어로 취급되며, 점들과의 관계를 통해 정의된다. 평면 상의 직선은 일차 방정식으로 표현되며, 기울기, 절편, 두 점을 지나는 방정식 등 다양한 형태로 나타낼 수 있다. 3차원 공간에서는 매개변수 방정식이나 두 평면의 교선으로 표현되며, 두 직선의 위치 관계는 일치, 평행, 교차, 꼬인 위치 등으로 분류된다. 직선은 유클리드 기하학뿐만 아니라 구면 기하학, 쌍곡 기하학 등 다양한 기하학적 공간에서도 정의되며, 반직선, 선분, 접선, 할선 등 관련 개념들이 존재한다.

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직선
개요
정의	폭과 깊이가 없는 곧은 도형
차원	1차원 도형
관련 개념	점, 평면, 공간
상세 정보
유클리드 기하학 정의	폭이 없는 길이를 가진다.
현대 수학적 정의	두 점 사이의 최단 경로
표현 방법	방정식: y = mx + b (직선 함수) 매개변수 방정식: r = r₀ + tv (벡터 형식)
성질
최소 거리	두 점 사이를 잇는 가장 짧은 경로
곡률	곡률이 0이다.
방정식	1차 방정식으로 표현 가능
활용
좌표계	좌표 평면에서 위치 표현
컴퓨터 그래픽스	기본 도형 요소
선형 대수학	벡터 공간에서의 직선
관련 용어
반직선	한 점에서 시작하여 한 방향으로 무한히 뻗어나가는 선
선분	두 점 사이에 있는 직선의 일부분
평행선	서로 만나지 않는 두 직선
수직선	직각으로 만나는 두 직선

2. 정의

유클리드 기하학을 처음 다룬 《원론》은 선을 "길이가 있되 너비가 없다"고 정의하였고, 직선을 "그 위의 점이 평등히 놓인 선"이라고 정의했지만, 이는 오늘날의 기준에서 정의에 속하지 않는다.^[1] 직선을 기술하는 공리들 역시 정의되지 않은 용어를 사용한다는 점에서 엄밀하지 않다. 힐베르트 공리계는 점과 직선의 관계에 대한 공리의 엄밀한 서술과 직선이 만족시켜야 하는 아르키메데스 성질 및 완비성을 추가하여 유클리드 기하학을 엄밀하게 정의하였다.

유클리드의 기하학에서, 직선은 본질적으로 무정의 용어이다. 즉, "직선이란 무엇인가"를 직접 정의하지 않고, 단지 어떤 관계(공리·공준)를 만족하는 것으로 하여 이론을 전개해 나가는 것이다. 유클리드 기하학에서는 다음과 같다.

두 개의 서로 다른 점이 주어지면, 그 점을 지나는 직선은 하나로 결정된다.
하나의 직선과 그 위에 있지 않은 하나의 점이 주어졌을 때, 주어진 점을 지나고 주어진 직선에 평행한 직선을 단 하나 그릴 수 있다.

아핀 공간(벡터)의 이론을 도입하면, 다음과 같이 직선을 정의할 수 있다. 유클리드 공간 ''E''^''n''에 대해, 임의의 한 점 ''P''와 0이 아닌 하나의 벡터 '''a'''가 주어졌을 때,

:

L = \{P + \lambda \mathbf{a} \mid \lambda \in \mathbb{R}\}

로 표시되는 집합 ''L''을 직선이라고 한다.

3. 평면 직선

데카르트 좌표계에서 평면 직선은 일반적으로 이변수 일차 방정식으로 표현된다. 예를 들어, 모든 직선은 다음과 같은 형태로 나타낼 수 있다.^[10]

: $L = \{(x,y)\mid ax+by=c\}$

여기서 ''a'', ''b'', ''c''는 실수이며, ''a''와 ''b''는 동시에 0이 아니다. 이 표현에서 ''b'' = 0이면 수직선이 된다.

직선의 방정식을 나타내는 방법은 여러 가지가 있다. 기울기-절편 형식은 다음과 같다.

: $y=mx+b$

여기서

''m''은 직선의 기울기이다.
''b''는 직선의 y절편이다.
''x''는 함수 $y=f(x)$ 의 독립 변수이다.

두 점

P_0( x_0, y_0 )

과

P_1(x_1, y_1)

을 지나는 직선의 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

(y - y_0)(x_1 - x_0) = (y_1 - y_0)(x - x_0)

만약

x_0 \neq x_1

이면, 이 방정식은 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

y=(x-x_0)\,\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}+y_0

또는

:

y=x\,\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}+\frac{x_1y_0-x_0y_1}{x_1-x_0}\,

평면 위의 두 직선은 일치, 평행, 교차의 세 가지 위치 관계를 가질 수 있다. 두 직선이 일치하는 경우, 두 직선은 완전히 겹쳐진다. 두 직선이 평행한 경우, 두 직선은 만나지 않는다. 두 직선이 교차하는 경우, 두 직선은 한 점에서 만난다. 이러한 위치 관계는 방정식의 계수를 통해 판별할 수 있다.

3. 1. 방정식

직교 좌표계 (또는 극좌표계)를 갖춘 평면 위의 직선은 매개 변수를 사용하지 않으면 하나의 이변수 일차 방정식으로 표현되며, 이러한 방정식에는 여러 가지 꼴이 있다. 가장 일반적인 형식은 다음과 같다.^[10]

:''Ax'' + ''By'' + ''C'' = 0

여기서 (''A'', ''B'') ≠ (0, 0)이다. 모든 직선은 이러한 꼴의 방정식을 갖는다. 기울기가 ''m'', ''y''절편이 ''n''인 직선의 방정식은

:''y'' = ''mx'' + ''n''

이다. 수직선은 이러한 꼴의 방정식을 갖지 못한다. 점 (''x''₁, ''y''₁)을 지나고 기울기가 ''m''인 직선의 방정식은

:''y'' - ''y''₁ = ''m''(''x'' - ''x''₁)

이다. 수직선은 이렇게 나타낼 수 없다. 두 점 (''x''₁, ''y''₁) ≠ (''x''₂, ''y''₂)을 지나는 직선의 방정식은

:(''y'' - ''y''₁)(''x''₂ - ''x''₁) = (''x'' - ''x''₁)(''y''₂ - ''y''₁)

이다. 이는 모든 직선에 적용할 수 있다. ''x''절편이 ''x''₀ ≠ 0, ''y''절편이 ''y''₀ ≠ 0인 직선의 방정식은

:''x''/''x''₀ + ''y''/''y''₀ = 1

이다. 수평선이나 수직선이나 원점을 지나는 직선은 이러한 방정식을 가질 수 없다.

3. 2. 기울기와 절편

평면 직선의 방정식 계수를 사용하여 직선의 속성을 나타내는 공식은 다음과 같다. 분모가 0일 경우, 해당 속성은 존재하지 않거나 무한대라고 생각할 수 있다.

직선의 방정식	$Ax+By+C=0$	$y=mx+n$	$x/x_0+y/y_0=1$
기울기	$-A/B$	$m$	$-y_0/x_0$
x절편	$-C/A$	$-n/m$	$x_0$
y절편	$-C/B$	$n$	$y_0$

기울기-절편 형식에서 수직선이 아닌 선의 방정식은 다음과 같이 주어진다.

: $y=mx+b$

여기서,

''m''은 선의 기울기이다.
''b''는 선의 y-절편이다.
''x''는 함수 $y=f(x)$ 의 독립 변수이다.

점

A(x_a, y_a)

와

B(x_b, y_b)

를 지나는 선의 기울기는

x_a \neq x_b

일 때

m = (y_b - y_a)/(x_b - x_a)

로 주어지며, 이 선의 방정식은

y = m (x - x_a) + y_a

로 쓸 수 있다.

3. 3. 두 직선의 위치 관계

평면 위의 두 직선의 위치 관계는 일치, 평행, 교차 세 가지뿐이다. 즉, 완전히 겹치거나, 교점이 없거나, 교점이 유일하다. 이는 더 높은 차원에서는 성립하지 않는다. 교차할 경우 수직인지(둘 사이의 각이 직각인지)를 논할 수도 있다. 각 위치 관계의 필요충분조건은 방정식의 계수를 통해 나타낼 수 있으며, 이는 다음과 같다.

직선의 방정식	Ax+By+C=0	y=mx+n	$\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OP}+t\mathbf u$
직선의 방정식	'Ax+By+C=0''	'y=mx+n	' $\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OP$ }+t\mathbf u/math>
일치	'AB=BA, 'BC=CB	'm=m , n=n	' $\mathbf u\parallel\mathbf u$ \parallel\overrightarrow{PP
평행	'AB=BA, 'BC≠CB	'm=m , n≠n	' $\mathbf u\parallel\mathbf u$ \nparallel\overrightarrow{PP
교차	'AB≠BA	'm≠m ''	' $\mathbf u\nparallel\mathbf u$ ''
수직	'AA+BB0	'mm=-1''	$\mathbf u\perp\mathbf u$

4. 공간 직선

3차원 공간에서 직선은 하나의 일차 방정식으로 표현되지 않는다. 대신, 점과 방향 벡터를 이용하여 매개변수 방정식으로 나타내거나, 두 평면의 교선으로 나타낼 수 있다.

일반적으로, n차원 공간에서 n-1개의 1차 방정식은 적절한 조건 하에서 선을 정의한다. 예를 들어, 3차원 공간에서 두 개의 1차 방정식은 두 평면이 평행하지 않은 경우, 평면의 교차점인 선을 정의한다.

더 일반적인 유클리드 공간 '''R'''^''n'' (및 다른 모든 아핀 공간에서도 유사하게)에서, 서로 다른 두 점 ''a''와 ''b''를 지나는 선 ''L''은 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $L = \left\{ (1 - t) \, a + t b \mid t\in\mathbb{R}\right\}.$

이때, 선의 방향은 기준점 ''a''(''t'' = 0)에서 다른 점 ''b''(''t'' = 1)로, 즉 벡터 ''b'' − ''a''의 방향이다.

4. 1. 방정식

z=z_1

xz평면

\overrightarrow{u}=(a,0,c)\ne(0,0,0)

(x-x_1)/a=(z-z_1)/c

y=y_1

yz평면

\mathbf u=(0,b,c)\ne(0,0,0)

(y-y_1)/b=(z-z_1)/c

x=x_1

x축

\mathbf u=(a,0,0)\ne(0,0,0)

y=y_1

z=z_1

y축

\mathbf u=(0,b,0)\ne(0,0,0)

x=x_1

z=z_1

z축

\mathbf u=(0,0,c)\ne(0,0,0)

x=x_1

y=y_1

직선의 방정식	$\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OP}+t\mathbf u$	$(x-x_1)/a=(y-y_1)/b=(z-z_1)/c$	$A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$ $A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$
직선의 방정식	$\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OP$ }+t\mathbf u	$(x-x_1$ )/a=(y-y_1)/b=(z-z_1)/c	$A_1$ x+B_1y+C_1z+D_1=0 $A_2$ x+B_2y+C_2z+D_2=0
일치	$\mathbf u\parallel\mathbf u$ \parallel\overrightarrow{PP}	$\begin{vmatrix}a&b\\a$ &b\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}b&c\\b&c\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a&b\\x_1-x_1&y_1-y_1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}b&c\\y_1-y_1&z_1-z_1\end{vmatrix}=0	$\begin{vmatrix}A_1&B_1&C_1\\A_2&B_2&C_2\\A_1$ &B_1&C_1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A_1&B_1&C_1\\A_2&B_2&C_2\\A_2&B_2&C_2\end{vmatrix}=0	$\begin{vmatrix}A_1&B_1&C_1&D_1\\A_2&B_2&C_2&D_2\\A_1$ &B_1&C_1&D_1\\A_2&B_2&C_2&D_2\end{vmatrix}=0
평행	$\mathbf u\parallel\mathbf u$ \nparallel\overrightarrow{PP}	$\begin{vmatrix}a&b\\a$ &b\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}b&c\\b&c\end{vmatrix}=0, $\lnot\begin{vmatrix}a&b\\x_1$ -x_1&y_1-y_1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}b&c\\y_1-y_1&z_1-z_1\end{vmatrix}=0
교차	$\mathbf u\nparallel\mathbf u$ , $\overrightarrow{PP$ }\cdot(\mathbf u\times\mathbf u')=0	$\lnot\begin{vmatrix}a&b\\a$ &b\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}b&c\\b&c\end{vmatrix}=0, $\begin{vmatrix}a&b&c\\a$ &b&c\\x_1-x_1&y_1-y_1&z_1-z_1\end{vmatrix}=0	$\lnot\begin{vmatrix}A_1&B_1&C_1\\A_2&B_2&C_2\\A_1$ &B_1&C_1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A_1&B_1&C_1\\A_2&B_2&C_2\\A_2&B_2&C_2\end{vmatrix}=0
수직	$\mathbf u\perp\mathbf u$ , $\overrightarrow{PP$ }\cdot(\mathbf u\times\mathbf u)=0	$aa$ +bb+cc=0, $\begin{vmatrix}a&b&c\\a$ &b&c\\x_1-x_1&y_1-y_1&z_1-z_1'\end{vmatrix}=0
꼬인 위치	$\mathbf u\nparallel\mathbf u$ , $\overrightarrow{PP$ }\cdot(\mathbf u\times\mathbf u')\ne0	$\begin{vmatrix}a&b&c\\a$ &b&c\\x_1-x_1&y_1-y_1&z_1-z_1\end{vmatrix}\ne0		$\begin{vmatrix}A_1&B_1&C_1&D_1\\A_2&B_2&C_2&D_2\\A_1$ &B_1&C_1&D_1\\A_2&B_2&C_2&D_2\end{vmatrix}\ne0

직선

1. 개요

더 읽어볼만한 페이지

2. 정의

3. 평면 직선

3. 1. 방정식

3. 2. 기울기와 절편

3. 3. 두 직선의 위치 관계

4. 공간 직선

4. 1. 방정식

4. 2. 두 직선의 위치 관계

4. 3. 직선과 평면의 위치 관계

5. 고차원의 경우

6. 유클리드 기하학 밖의 경우

7. 관련 개념

7. 1. 반직선과 선분

7. 2. 접선과 할선

7. 3. 기타

참조