호 (기하학)
1. 개요
호는 기하학에서 원둘레 또는 곡선 위의 두 점에 의해 한정된 부분을 의미한다. 위상 공간론에서는 닫힌 구간에서 위상 공간으로의 연속 사상 또는 그 상을 지칭하며, 호상 연결의 개념에서 '길'이라고도 불린다. 원 위의 두 점은 원둘레를 두 개의 호로 나누며, 짧은 호를 열호, 긴 호를 우호라고 한다. 원호의 길이는 반지름과 중심각에 의해 결정되며, 라디안과 육십분법을 사용하여 계산할 수 있다. 현실 세계에서는 지구의 대권의 일부가 대권 코스로서 호의 예시로 사용된다.
| 정의 | 곡선 위에 있는 두 점과 그 두 점 사이의 곡선 부분으로 이루어진 도형 |
|---|---|
| 다른 정의 | 원둘레의 일부분 |
| 활꼴 | 호와 현으로 둘러싸인 도형 |
| 중심각 | 반지름 r, 중심각 θ (라디안)일 때, 호의 길이 s = rθ |
|---|
| 정의 | 원둘레의 일부분. 두 점 사이의 곡선 거리로 측정됨 |
|---|---|
| 기호 | ⌒ |
| 측정 단위 | 길이 단위 (예: m, cm, mm) |
| 공식 | 반지름 r, 중심각 θ (도)일 때, 호의 길이 L = (θ/360) * 2πr 반지름 r, 중심각 θ (라디안)일 때, 호의 길이 L = rθ |
| 예시 | 다리 건설, 파이프라인 설계 등 |
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| 장호 (긴 호) | 원의 중심을 포함하는 호 |
|---|---|
| 단호 (짧은 호) | 원의 중심을 포함하지 않는 호 |
| 반원호 | 원의 중심을 지나는 지름에 의해 나누어진 호 |
2. 정의
호(arc)는 기하학 및 도형에서 원둘레 또는 기타 곡선 위의 두 점에 의하여 한정된 부분을 가리킨다.
위상 공간론에서 호란 닫힌 구간 [a, b]에서 위상 공간 X로의 연속 사상 γ 또는 그 상을 말한다. 호상 연결의 개념을 정의할 때 나타나며, 이 문맥에서는 길(path)이라고 불리기도 한다.
정의에서 닫힌 구간을 단위 구간 [0, 1]로 제한하는 경우도 있지만, 두 정의는 동일하다는 것을 바로 알 수 있다. X로 3차원 유클리드 공간 R3을 취하면, 이 경우의 호는 공간 곡선의 연결된 일부분이며, 일상적인 단어의 의미와 가까워진다. 또한, γ로 전단사임을 요구하는 경우가 많으며, 이 경우의 호는 "자기 교차를 가지지 않고, 닫혀있지도 않으며, 시점과 종점을 가진 곡선"이다.
현실 세계의 구체적인 예로, 지구의 대권 (또는 Great ellipse영어)의 일부는 대권 코스라고 불린다.
3. 원호
원 위에 두 점이 있으면, 이 두 점은 원둘레를 두 개의 호로 나눈다. 이때 나누어진 호를 원호라고 한다.
반지름 인 원에서 중심각이 (라디안)인 호의 길이는 이다. 전단사 연속 사상 γ : [0, 1] → R2 를 다음과 같이 정의할 수 있다.
:
여기서 r (r > 0)는 원의 반지름, α, β (α < β)는 시작점 및 종점의 편각이며, 중심각은 β - α가 된다.
3.1. 열호와 우호
원 위에 두 점이 있을 때, 이 두 점은 원둘레를 두 개의 호로 나눈다. 두 점을 잇는 선분이 원의 지름이 아니면 두 원호의 길이는 서로 다르다. 이때 짧은 호를 열호(劣弧)라고 하며, 긴 호를 우호(優弧)라고 한다.
중심이 인 원 위에 두 개의 점 가 주어져 있을 때, 짧은 호는 호 로 나타내며, 긴 호는 긴 호 위에 점 를 잡아 호 로 나타낸다.
3.2. 표기법
중심이 인 원 위에 두 점 가 있을 때, 짧은 호는 로 나타낸다. 긴 호는 긴 호 위에 점 를 잡아 로 나타낸다.
3.3. 원호의 길이
원 위에 두 점이 있으면, 이 두 점은 원둘레를 두 개의 원호로 나눈다. 두 점을 잇는 선분이 원의 지름이 아니면 두 원호의 길이는 서로 다르다. 이때 짧은 호를 열호(劣弧), 긴 호를 우호(優弧)라고 한다.
중심이 인 원 위에 두 점 가 있을 때, 짧은 호는 호 로 나타내고, 긴 호는 그 위에 점 를 잡아 호 로 나타낸다.
원호의 길이는 반지름과 중심각을 통해 구할 수 있다. 자세한 내용은 하위 문단인 '라디안과 육십분법' 문단을 참고하라.