무모순적 이론

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1. 개요
2. 정의
3. 산술과 집합론에서의 무모순성과 완전성
4. 1차 논리에서의 무모순성
- 4.1. 기본 정리
- 4.2. 헨킨 정리
5. 모델 이론
6. 극대 무모순
- 6.1. 진리 산술 (TA)
참조

1. 개요

무모순적 이론은 1차 논리 언어에서 모순을 포함하지 않는 이론을 의미한다. 이론이 모순되지 않는다는 것은 특정 논리식과 그 부정을 모두 증명할 수 없음을 의미하며, 이는 이론이 거짓을 증명할 수 없다는 것과 같다. 이론의 무모순성은 상대적 무모순성, 등무모순성, 극대 무모순성과 같은 다양한 개념과 관련되어 있으며, 괴델의 불완전성 정리와 같은 중요한 결과와 연결된다. 특히, 페아노 산술과 같은 충분히 강력한 재귀적 열거 가능 수론 이론은 무모순적이면서 완전할 수 없으며, 집합론에서도 상대적 무모순성이 중요한 역할을 한다.

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2. 정의

1차 논리 언어 $\mathcal L$ 이 주어졌을 때, $\mathcal L$ -문장(자유 변수가 없는 $\mathcal L$ -논리식)들의 집합 $\operatorname{Sent}(\mathcal L)$ 의 멱집합 $\mathcal P(\operatorname{Sent}(\mathcal L))$ 을 생각할 수 있다. $\mathcal L$ -문장들의 집합 $T\in\mathcal P(\operatorname{Sent}(\mathcal L))$ 을 $\mathcal L$ -'''이론'''(theory^영어)이라고 한다.

$\mathcal L$ -이론 $T\in\mathcal P(\operatorname{Sent}(\mathcal L))$ 가 다음 조건을 만족시킨다면, $T$ 를 '''무모순적 이론'''(consistent theory^영어)이라고 한다.

: $T\not\vdash\bot$

여기서 $\bot$ 은 거짓(모순)인 1차 논리 문장(예: $\exists x(\lnot x=x)$ )이며, $\vdash$ 는 1차 논리의 추론 관계이다.

페아노 공리계 $\mathsf{PA}$ 의 언어 $\mathcal L_{\text{Peano}}$ 는 상수 $0$ 과 1항 연산 $(-)^+$ 을 포함한다. $\mathcal L$ 의 기호들이 자연수의 재귀 집합을 이루고 (특히, 가산 개의 기호만 존재), $\mathcal L$ -이론 $T\in\mathcal P(\operatorname{Sent}(\mathcal L))$ 이 무모순적인지 여부는 페아노 공리계의 언어로 나타낼 수 있다. 이 $\mathcal L_{\text{Peano}}$ -문장을 $\operatorname{Con}(T)$ 라고 한다.

$\mathcal L_{\text{Peano}}$ 의 이론 $S$ 가 참이라고 가정하자. 즉,

: $\mathbb N\models S$

( $\mathbb N$ 은 자연수의 $\mathcal L_{\text{Peano}}$ -구조)

$\mathcal L$ -이론들의 집합 $\mathcal P(\operatorname{Sent}(\mathcal L))$ 위에 원순서를 다음과 같이 정의할 수 있다.

: $T\lesssim_ST'\iff S\vdash(\operatorname{Con}(T')\implies\operatorname{Con}(T))$

이 원순서를 (메타이론 $S$ 아래의) '''상대적 무모순성 원순서'''(relative consistency preorder^영어)라고 하며, 이것이 성립한다면 ( $S$ 아래) $T$ 가 $T'$ 에 대하여 '''상대적으로 무모순적'''(relatively consistent^영어)이라고 한다.^[13]

만약 $T\lesssim_ST'\lesssim_ST$ 라면, $T$ 와 $T'$ 는 (메타이론 $S$ 아래) '''등무모순적'''(等無矛盾的, equiconsistent^영어)이라고 한다.

원순서 집합 $(\mathcal P(\operatorname{Sent}(\mathcal L)),\lesssim_S)$ 의 최대 원소는 모순적 이론이다. 반대로, $(\mathcal P(\operatorname{Sent}(\mathcal L)),\lesssim_S)$ 의 최소 원소는 $S$ 로 증명할 수 있는 문장만으로 구성된 이론이다.

메타이론 $S$ 를 자연수의 완전 이론 $\operatorname{Th}(\mathbb N)$ (즉, $\mathbb N$ 에서 참인 모든 $\mathcal L$ -문장의 집합)으로 놓는다면, $(\mathcal P(\operatorname{Sent}(\mathcal L)),\lesssim_S)$ 은 정확히 2개의 동치류(무모순적 이론과 모순적 이론)를 갖는다.

일차 논리에서 공식 집합 $\Phi$ 에 대해, $\Phi \vdash \varphi$ 및 $\Phi \vdash \lnot\varphi$ 를 만족하는 공식 $\varphi$ 가 없으면 '''무모순적'''( $\operatorname{Con} \Phi$ 로 표기)이고, 그렇지 않으면 '''모순적'''( $\operatorname{Inc}\Phi$ 로 표기)이다.
$\Phi$ 에 속하는 어떤 공식 $\varphi$ 와 $\varphi$ 의 부정이 모두 $\Phi$ 의 정리인 경우가 없으면 $\Phi$ 는 '''단순 무모순적'''이다.
$\Phi$ 의 언어에 있는 공식 중 적어도 하나가 $\Phi$ 의 정리가 아니면 $\Phi$ 는 '''절대 무모순적''' 또는 '''Post 무모순적'''이다.
$\Phi$ 가 무모순적이고 모든 공식 $\varphi$ 에 대해 $\operatorname{Con} (\Phi \cup \{\varphi\})$ 가 $\varphi \in \Phi$ 를 의미하면 $\Phi$ 는 '''최대 무모순적'''이다.
모든 $\exists x \,\varphi$ 형식의 공식에 대해 $(\exists x \, \varphi \to \varphi {t \over x}) \in \Phi$ 를 만족하는 항 $t$ 가 존재하면(여기서 $\varphi {t \over x}$ 는 $\varphi$ 에서 각 $x$ 를 $t$ 로 대체하는 것을 나타냄), $\Phi$ 는 '''증거를 포함한다'''라고 한다.

2. 1. 무모순성

어떤 이론이 모순을 포함하지 않으면 무모순적이라고 정의한다. 형식 논리 체계에서 모순은 거짓(⊥)으로 표현될 수 있으며, 이론 T가 무모순적이라는 것은 다음으로 표기된다.

:

T\not\vdash\bot

또는 단순히

\operatorname{Con}(T)

라고도 표기한다.

이론 T에서 논리식 φ가 존재할 때, 이론 T는 모순된다고 하며, 이러한 φ가 존재하지 않을 때 T는 무모순이라고 한다.

2. 2. 상대적 무모순성

메타이론

S

하에서, 이론

T

가

T'

에 대해 상대적으로 무모순적(relatively consistent^영어)이라는 것은

S\vdash(\operatorname{Con}(T')\implies\operatorname{Con}(T))

로 표현된다.^[13] 이는

\mathcal L

-이론들의 집합

\mathcal P(\operatorname{Sent}(\mathcal L))

위에 정의된 원순서이다. 이 원순서를 (메타이론

S

아래의) 상대적 무모순성 원순서(relative consistency preorder^영어)라고 한다.

만약

T\lesssim_ST'\lesssim_ST

라면,

T

와

T'

은 (메타이론

S

아래) 등무모순적(等無矛盾的, equiconsistent^영어)이라고 한다.

어떤 이론 T에 공리 A를 추가하여 확장한 이론 T+A를 만들었을 때, T의 무모순성으로부터 T+A의 무모순성을 바로 증명할 수 있다. 이때,

\operatorname{Con}(T) \Rightarrow \operatorname{Con}(T + A)

라는 명제를 A의 T에 대한 상대적 무모순성이라고 하며, "A는 T에 따라 무모순적이다"라고 한다.

2. 3. 등무모순성

두 이론

T

와

T'

이 주어졌다고 하자. 메타이론

S

아래에서, 만약

T'

이

T

의 보존적 확장이라면,

T'

와

T

는 (메타이론

S

아래에서) 등무모순적이다.

3. 산술과 집합론에서의 무모순성과 완전성

수론에서 페아노 산술과 같은 이론의 무모순성과 완전성 사이에는 복잡한 관계가 있다. 이론은 그 언어 내의 모든 공식 φ에 대해 φ 또는 ¬φ 중 적어도 하나가 이론의 논리적 결과일 때 완전하다고 한다.^[1]

체르멜로-프렝켈 집합론(ZF)의 무모순성은 ZF에서 증명될 수 없기 때문에, 더 약한 개념인 '''상대적 무모순성'''이 집합론에서 중요하다. ''T''가 이론이고 ''A''가 추가 공리인 경우, ''T'' + ''A''는 ''T''에 상대적으로 무모순적이라고(또는 간단히 ''A''가 ''T''와 무모순적이라고) 한다. 이는 ''T''가 무모순적이라면 ''T'' + ''A''가 무모순적이라는 것을 증명할 수 있다면 성립한다. ''A''와 ¬''A''가 모두 ''T''와 무모순적이라면, ''A''는 ''T''에 독립적이라고 한다.^[1]

3. 1. 페아노 산술과 프레스버거 산술

프레스버거 산술은 덧셈에 대한 자연수에 대한 공리 체계이다. 이것은 무모순적이면서 완전하다.^[1]

괴델의 불완전성 정리는 충분히 강한 재귀적 열거 가능 수론 이론은 완전하고 무모순적일 수 없음을 보여준다. 괴델의 정리는 페아노 산술(PA)과 원시 재귀 산술(PRA) 이론에 적용되지만, 프레스버거 산술에는 적용되지 않는다.^[1]

괴델의 두 번째 불완전성 정리는 충분히 강한 재귀적 열거 가능 수론 이론의 무모순성이 특정 방식으로 검사될 수 있음을 보여준다. 이러한 이론은, 그 이론이 실제로 무모순적이라는 주장의 형식화된 진술인, 이론의 괴델 문장이라고 불리는 특정 문장을 ''증명하지 못할'' 때에만 무모순적이다.^[1] 따라서 충분히 강하고, 재귀적으로 열거 가능하며, 무모순적인 수론 이론의 무모순성은 그 자체 내에서 결코 증명될 수 없다. 동일한 결과는 산술의 충분히 강력한 조각을 설명할 수 있는 재귀적 열거 가능 이론에도 적용된다.^[1] 여기에는 체르멜로-프렝켈 집합론(ZF)과 같은 집합론이 포함된다. 이러한 집합론은, 일반적으로 믿어지는 바와 같이, 무모순적인 경우, 자체적인 괴델 문장을 증명할 수 없다.^[1]

3. 2. 괴델의 불완전성 정리

\mathcal L_{\text{Peano}}

를

\mathcal L

로 해석할 수 있다고 가정하면, 괴델의 불완전성 정리에 따라 임의의 이론

T\subseteq\operatorname{Sent}(\mathcal L)

에 대하여 다음이 성립한다.

:

\left(T\not\vdash\operatorname{Con}(T)\right)\lor \lnot\operatorname{Con}(T)

즉,

T

는 모순적이거나 스스로의 무모순성을 증명할 수 없다.

수론 이론(예: 페아노 산술)에서 이론의 무모순성과 완전성 사이에는 복잡한 관계가 존재한다. 이론은 그 언어 내의 모든 공식 φ에 대해 φ 또는 ¬φ 중 적어도 하나가 이론의 논리적 결과일 때 완전하다고 한다.

프레스버거 산술은 덧셈에 대한 자연수에 대한 공리 체계이며, 무모순적이면서 완전하다.

괴델의 불완전성 정리는 충분히 강한 재귀적 열거 가능 수론 이론은 완전하고 무모순적일 수 없음을 보여준다. 괴델의 정리는 페아노 산술(PA)과 원시 재귀 산술(PRA) 이론에는 적용되지만, 프레스버거 산술에는 적용되지 않는다.

괴델의 두 번째 불완전성 정리는 충분히 강한 재귀적 열거 가능 수론 이론의 무모순성이 특정 방식으로 검사될 수 있음을 보여준다. 이러한 이론은 그 이론이 실제로 무모순적이라는 주장의 형식화된 진술인, 이론의 괴델 문장이라고 불리는 특정 문장을 ''증명하지 못할'' 때에만 무모순적이다. 따라서 충분히 강하고, 재귀적으로 열거 가능하며, 무모순적인 수론 이론의 무모순성은 그 자체 내에서 결코 증명될 수 없다. 동일한 결과는 산술의 충분히 강력한 부분을 설명할 수 있는 재귀적 열거 가능 이론에도 적용된다. 여기에는 체르멜로-프렝켈 집합론(ZF)과 같은 집합론이 포함된다. 이러한 집합론은 일반적으로 믿어지는 바와 같이, 무모순적인 경우 자체적인 괴델 문장을 증명할 수 없다.

ZF의 무모순성은 ZF에서 증명될 수 없기 때문에, 더 약한 개념인 '''상대적 무모순성'''은 집합론(및 다른 충분히 표현력 있는 공리적 시스템)에서 중요하다. ''T''가 이론이고 ''A''가 추가 공리인 경우, ''T'' + ''A''는 ''T''에 상대적으로 무모순적이라고(또는 간단히 ''A''가 ''T''와 무모순적이라고) 한다. 이는 ''T''가 무모순적이라면 ''T'' + ''A''가 무모순적이라는 것을 증명할 수 있다면 성립한다. ''A''와 ¬''A''가 모두 ''T''와 무모순적이라면, ''A''는 ''T''에 독립적이라고 한다.

괴델의 불완전성 정리에 의하면, 로빈슨 산술의 재귀적 확대(또는 RE 확대)인 이론 T가 ω-무모순(또는 무모순)일 때,

:

T \nvdash \operatorname{Con}(T)

즉, 이론 자체로는 자신의 무모순성을 증명할 수 없다.^[1]

3. 3. 체르멜로-프렝켈 집합론 (ZF)

체르멜로-프렝켈 집합론 (ZF)과 같은 집합론은 산술의 충분히 강력한 부분을 설명할 수 있는 재귀적 열거 가능 이론이다. 이러한 집합론은, 일반적으로 믿어지는 바와 같이, 무모순적인 경우, 자체적인 괴델 문장을 증명할 수 없다.^[1]

ZF의 무모순성은 ZF에서 증명될 수 없기 때문에, 더 약한 개념인 '''상대적 무모순성'''이 집합론에서 중요하다.^[1] ''T''가 이론이고 ''A''가 추가 공리인 경우, ''T'' + ''A''는 ''T''에 상대적으로 무모순적이라고(또는 간단히 ''A''가 ''T''와 무모순적이라고) 한다. 이는 ''T''가 무모순적이라면 ''T'' + ''A''가 무모순적이라는 것을 증명할 수 있다면 성립한다. ''A''와 ¬''A''가 모두 ''T''와 무모순적이라면, ''A''는 ''T''에 독립적이라고 한다.^[1]

4. 1차 논리에서의 무모순성

1차 논리 언어 $\mathcal L$ 이 주어졌을 때, $\mathcal L$ -문장(자유 변수가 없는 $\mathcal L$ -논리식)들의 집합 $\operatorname{Sent}(\mathcal L)$ 의 멱집합 $\mathcal P(\operatorname{Sent}(\mathcal L))$ 을 생각할 수 있다. $\mathcal L$ -문장들의 집합 $T\in\mathcal P(\operatorname{Sent}(\mathcal L))$ 을 $\mathcal L$ -'''이론'''이라고 한다.

$\mathcal L$ -이론 $T\in\mathcal P(\operatorname{Sent}(\mathcal L))$ 가 다음 조건을 만족하면 '''무모순적 이론'''이라고 한다.

: $T\not\vdash\bot$

여기서 $\bot$ 은 거짓(모순)인 1차 논리 문장(예: $\exists x(\lnot x=x)$ )이며, $\vdash$ 는 1차 논리의 추론 관계이다.^[9]

페아노 공리계 $\mathsf{PA}$ 의 언어 $\mathcal L_{\text{Peano}}$ 는 상수 $0$ 과 1항 연산 $(-)^+$ 을 포함한다. $\mathcal L$ 의 기호들이 자연수의 재귀 집합을 이루고 (특히, 가산 개의 기호만 존재), $\mathcal L$ -이론 $T\in\mathcal P(\operatorname{Sent}(\mathcal L))$ 이 무모순적인지 여부는 페아노 공리계의 언어로 나타낼 수 있다. 이 $\mathcal L_{\text{Peano}}$ -문장을 $\operatorname{Con}(T)$ 라고 한다.

원순서 집합 $(\mathcal P(\operatorname{Sent}(\mathcal L)),\lesssim_S)$ 의 최대 원소는 모순적 이론이다. 반대로, $(\mathcal P(\operatorname{Sent}(\mathcal L)),\lesssim_S)$ 의 최소 원소는 $S$ 로 증명할 수 있는 문장만으로 구성된 이론이다.

메타이론 $S$ 를 자연수의 완전 이론 $\operatorname{Th}(\mathbb N)$ (즉, $\mathbb N$ 에서 참인 모든 $\mathcal L$ -문장의 집합)으로 놓는다면, $(\mathcal P(\operatorname{Sent}(\mathcal L)),\lesssim_S)$ 은 무모순적 이론과 모순적 이론, 두 개의 동치류를 갖는다.

1차 논리에서 공식 집합 $\Phi$ 는 다음을 만족하는 공식 $\varphi$ 가 없을 때 '''무모순적'''( $\operatorname{Con} \Phi$ 로 표기)이다.

: $\Phi \vdash \varphi$ 및 $\Phi \vdash \lnot\varphi$

그렇지 않으면 $\Phi$ 는 '''모순적'''( $\operatorname{Inc}\Phi$ 로 표기)이다.

$\Phi$ 에 속하는 어떤 공식 $\varphi$ 에 대해 $\varphi$ 와 $\varphi$ 의 부정이 모두 $\Phi$ 의 정리인 경우가 없으면 $\Phi$ 는 '''단순 무모순적'''이라고 한다.
$\Phi$ 의 언어에 있는 공식 중 적어도 하나가 $\Phi$ 의 정리가 아닌 경우 $\Phi$ 는 '''절대 무모순적''' 또는 '''Post 무모순적'''이라고 한다.
$\Phi$ 가 무모순적이고 모든 공식 $\varphi$ 에 대해 $\operatorname{Con} (\Phi \cup \{\varphi\})$ 가 $\varphi \in \Phi$ 를 의미하는 경우 $\Phi$ 는 '''최대 무모순적'''이라고 한다.
모든 $\exists x \,\varphi$ 형식의 공식에 대해 $(\exists x \, \varphi \to \varphi {t \over x}) \in \Phi$ 를 만족하는 항 $t$ 가 존재하면, 여기서 $\varphi {t \over x}$ 는 $\varphi$ 에서 각 $x$ 를 $t$ 로 대체하는 것을 나타낸다. $\Phi$ 는 '''증거를 포함한다'''라고 한다.

어떤 이론

T

에서, 다음과 같은 논리식

\phi

가 존재할 때, 이론

T

는 '''모순된다'''라고 하며, 이러한

\phi

가 존재하지 않을 때,

T

는 '''무모순이다'''라고 한다.

:

T \vdash \phi

그리고

T \vdash \lnot \phi

.

여기서 턴스타일 기호(⊢)는 좌변이 우변을 증명할 수 있음을 나타내는 이항 관계이다. 즉 이 논리식

\phi

∧ ¬

\phi

는, 이론

T

의 '''모순'''을 의미한다.

이 모순은 종종 업 턱 기호

\bot

을 사용하여 나타내며, 이론

T

가 무모순인 것은 다음과 같이 나타낸다.

:

T \nvdash \bot

.

또는 단순히

\operatorname{Con}(T)

라고도 표기한다.

또한 이론

T

가 모순되는 것은 다음과 같이 나타낸다.

:

T \vdash \bot

.

모순되는 이론은 임의의 논리식을 증명할 수 있기 때문에, 이것은 다음과 동치이다.

:

\forall \phi \; T \vdash \phi

.

이 성질에 착안하여, 이론

T

의 논리식이면서 증명할 수 없는 논리식

\phi

의 존재를 무모순의 정의로 하는 경우가 있다. 즉:

:

\operatorname{Con}(T) := \exist \phi \; T \nvdash \phi

.

이 두 개의 무모순 정의는 엄밀히는 일치하지 않으며, 구분할 때 처음 정의를 '''단순 무모순''', 새로운 정의를 '''절대 무모순'''이라고 부른다.

이론

T, U

와

T

의 임의의 논리식

\phi

에 대해

:

T \vdash \phi \rightarrow U \vdash \phi

가 성립할 때,

T \subseteq U

라고 표기한다.

그리고 무모순적인 이론

T

에 대해,

:

T \subseteq U

이고

T \ne U

를 만족하는 무모순적인 이론

U

가 존재하지 않을 때,

T

는 '''극대 무모순'''이라고 한다.

진실 산술

TA

는, 그 정의로부터 명백히 극대 무모순적이다.

4. 1. 기본 정리

다음은 서로 동치이다.

`\operatorname{Inc}\Phi`
모든 `\varphi`에 대해, `\Phi \vdash \varphi`.

모든 만족 가능한 공식 집합은 무모순적이다. 공식 집합 `\Phi`가 만족 가능하다는 것은, `\mathfrak{I} \vDash \Phi`를 만족하는 모델 `\mathfrak{I}`가 존재한다는 것을 의미한다.

모든 `\Phi`와 `\varphi`에 대해:

만약 `\Phi \vdash \varphi`가 아니라면, `\operatorname{Con}\left( \Phi \cup \{\lnot\varphi\}\right)`
만약 `\operatorname{Con}\Phi`이고 `\Phi \vdash \varphi`이면, `\operatorname{Con} \left(\Phi \cup \{\varphi\}\right)`
만약 `\operatorname{Con}\Phi`이면, `\operatorname{Con}\left( \Phi \cup \{\varphi\}\right)` 또는 `\operatorname{Con}\left( \Phi \cup \{\lnot \varphi\}\right)`.

`\Phi`를 최대 무모순 공식 집합이라고 하고, 이것이 증거를 포함한다고 가정하자. 모든 `\varphi`와 `\psi`에 대해:

만약 `\Phi \vdash \varphi`이면, `\varphi \in \Phi`
`\varphi \in \Phi`이거나 `\lnot \varphi \in \Phi`
`(\varphi \lor \psi) \in \Phi`는 `\varphi \in \Phi`이거나 `\psi \in \Phi`일 때와 같다.
만약 `(\varphi\to\psi) \in \Phi`이고 `\varphi \in \Phi`이면, `\psi \in \Phi`
`\exists x \, \varphi \in \Phi`는 항 `t`가 존재하여 `\varphi{t \over x}\in\Phi`일 때와 같다.

4. 2. 헨킨 정리

S

를 기호 집합이라고 하자.

\Phi

를 증거를 포함하는

S

-공식의 최대 일관적인 집합이라고 하자.

S

-항의 집합에 대한 동치 관계

\sim

을

t_0 \sim t_1

if

\; t_0 \equiv t_1 \in \Phi

로 정의하며, 여기서

\equiv

는 동등성을 나타낸다.

\overline t

를

t

를 포함하는 항의 동치류라고 표기하고,

T_\Phi := \{ \; \overline t \mid t \in T^S \}

를 정의하며, 여기서

T^S

는 기호 집합

S

를 기반으로 하는 항의 집합이다.

T_\Phi

에 대한

S

-구조

\mathfrak T_\Phi

를 정의하는데, 이를

\Phi

에 해당하는 '''항-구조'''라고도 한다.

각 $n$ -항 관계 기호 $R \in S$ 에 대해, $R^{\mathfrak T_\Phi} \overline {t_0} \ldots \overline {t_{n-1}}$ if $\; R t_0 \ldots t_{n-1} \in \Phi;$ ^[9]
각 $n$ -항 함수 기호 $f \in S$ 에 대해, $f^{\mathfrak T_\Phi} (\overline {t_0} \ldots \overline {t_{n-1}}) := \overline {f t_0 \ldots t_{n-1}};$ 를 정의한다.
각 상수 기호 $c \in S$ 에 대해, $c^{\mathfrak T_\Phi}:= \overline c.$ 를 정의한다.

변수 할당

\beta_\Phi

를 각 변수

x

에 대해

\beta_\Phi (x) := \bar x

로 정의한다.

\mathfrak I_\Phi := (\mathfrak T_\Phi,\beta_\Phi)

를

\Phi

와 관련된 '''항 해석'''이라고 하자.

그렇다면 각

S

-공식

\varphi

에 대해 다음이 성립한다.

:

\mathfrak I_\Phi \vDash \varphi

if and only if

\; \varphi \in \Phi.

5. 모델 이론

고전 일차 논리를 사용한 ZFC 집합론에서^[10], '''모순적인 이론''' $T$ 는 닫힌 문장 $\varphi$ 가 존재하여 $T$ 가 $\varphi$ 와 그 부정 $\varphi'$ 을 모두 포함하는 이론이다. '''무모순적인 이론'''은 다음의 논리적 동치 조건이 성립하는 이론이다.

# $\{\varphi,\varphi'\}\not\subseteq T$ ^[11]

# $\varphi'\not\in T \lor \varphi\not\in T$

6. 극대 무모순

어떤 이론 $T$ 가 무모순적이고, $T \subseteq U$ 이며 $T \ne U$ 를 만족하는 또 다른 무모순적인 이론 $U$ 가 존재하지 않을 때, $T$ 는 극대 무모순(maximally consistent^영어)하다고 한다.^[1]

6. 1. 진리 산술 (TA)

진리 산술(TA^영어)은 그 정의로부터 명백히 극대 무모순적이다.^[1]

참조

_[1] 논문 states it this way: "A deductive theory is called ''consistent'' or ''non-contradictory'' if no two asserted statements of this theory contradict each other, or in other words, if of any two contradictory sentences … at least one cannot be proved," (p. 135) where Tarski defines ''contradictory'' as follows: "With the help of the word ''not'' one forms the ''negation'' of any sentence; two sentences, of which the first is a negation of the second, are called ''contradictory sentences''" (p. 20). This definition requires a notion of "proof". defines the notion this way: "The class of ''provable formulas'' is defined to be the smallest class of formulas that contains the axioms and is closed under the relation "immediate consequence", i.e., formula ''c'' of ''a'' and ''b'' is defined as an ''immediate consequence'' in terms of ''modus ponens'' or substitution; cf , . Tarski defines "proof" informally as "statements follow one another in a definite order according to certain principles … and accompanied by considerations intended to establish their validity [true conclusion] for all true premises – ]" cf . defines the notion with respect to either an induction or as to paraphrase) a finite sequence of formulas such that each formula in the sequence is either an axiom or an "immediate consequence" of the preceding formulas; "A ''proof is said to be a proof ''of'' its last formula, and this formula is said to be ''(formally) provable'' or be a ''(formal) theorem" cf .
_[2] 서적 Paraconsistent logic: consistency, contradiction and negation Springer 2016
_[3] 서적 A Shorter Model Theory Cambridge University Press
_[4] 논문 states that Bernays determined the ''independence'' of the axioms of ''Principia Mathematica'', a result not published until 1926, but he says nothing about Bernays proving their ''consistency''.
_[5] 논문 Post proves both consistency and completeness of the propositional calculus of PM, cf van Heijenoort's commentary and Post's 1931 ''Introduction to a general theory of elementary propositions'' in . Also .
_[6] 논문 cf van Heijenoort's commentary and Gödel's 1930 ''The completeness of the axioms of the functional calculus of logic'' in .
_[7] 논문 cf van Heijenoort's commentary and Herbrand's 1930 ''On the consistency of arithmetic'' in .
_[8] 문서 A consistency proof often assumes the consistency of another theory. In most cases, this other theory is [[Zermelo–Fraenkel set theory]] with or without the [[axiom of choice]] (this is equivalent since these two theories have been proved equiconsistent; that is, if one is consistent, the same is true for the other).
_[9] 문서 This definition is independent of the choice of $t_i$ due to the substitutivity properties of $\equiv$ and the maximal consistency of $\Phi$ .
_[10] 문서 the common case in many applications to other areas of mathematics as well as the ordinary mode of reasoning of [[informal mathematics]] in calculus and applications to physics, chemistry, engineering
_[11] 문서 according to [[De Morgan's laws]]
_[12] 서적 記号論理学東京大学出版会
_[13] 서적 Set theory https://archive.org/[...] Springer-Verlag 2003

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무모순적 이론
개요
유형	속성
분야	논리학, 수학, 철학
반대	모순
상세 내용
설명	이론은 자체적으로 모순을 포함하지 않음. 이론 내에서 모순되는 명제를 도출할 수 없음.
중요성	이론의 유효성 및 신뢰성 확보. 논리적 추론 및 의사 결정의 기반.
관련 개념	완전성 건전성 모형 이론
논리학적 의미
정의	명제와 그 부정이 동시에 참일 수 없음.
법칙	모순율: 'A 이면서 동시에 not A'는 성립 불가능. 배중률: 'A 또는 not A'는 반드시 참.
형식 체계	무모순성은 형식 체계의 기본 조건. 괴델의 불완전성 정리: 충분히 강력한 공리계를 갖춘 형식 체계는 무모순성을 스스로 증명할 수 없음.
관련 인물
주요 학자	아리스토텔레스 알프레트 타르스키 쿠르트 괴델