무연근

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1. 개요
2. 무연근과 누락된 해
- 2.1. 무연근
  - 2.1.1. 유리방정식에서의 무연근
  - 2.1.2. 무리방정식에서의 무연근
- 2.2. 누락된 해
  - 2.2.1. 나눗셈에서의 누락된 해
3. 무연근 및 누락된 해 방지
- 3.1. 해 검증
- 3.2. 0으로 나누는 경우 주의
4. 기타 연산
참조

1. 개요

무연근은 유리방정식 풀이 과정에서 얻어진 해 중 원래 방정식에 대입했을 때 성립하지 않아 해집합에서 제외되는 근을 의미한다. 유리방정식은 분모에 미지수를 포함하는 분수식으로 이루어진 방정식이며, 분모의 최소공배수를 곱하여 다항방정식으로 변환하여 푼다. 무연근은 분모가 0이 되는 경우 발생하며, 해를 구한 후 반드시 검증하여 무연근 여부를 확인해야 한다. 누락된 해는 방정식의 양변을 변수를 포함하는 식으로 나눌 때, 해당 식이 0이 되는 해가 사라지는 경우를 의미하며, 0으로 나누는 경우를 주의해야 한다. 제곱근을 취하거나 양변을 제곱하는 연산에서도 무연근이나 누락된 해가 발생할 수 있으므로, 해의 유효성을 검증하고 누락된 해가 없는지 확인해야 한다.

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무연근

2. 무연근과 누락된 해

방정식을 푸는 과정에서, 특히 분수방정식이나 무리방정식을 다룰 때, 원래 방정식에는 없던 해가 추가(무연근)되거나 해가 사라지는(누락된 해) 경우가 발생한다. 이는 방정식의 양변에 특정 식을 곱하거나 나누는 과정, 또는 제곱근을 취하는 과정 등에서 발생할 수 있다.

분수방정식에서 분모를 0으로 만드는 해는 무연근이 될 수 있으며, 무리방정식에서는 근호 안을 음수로 만드는 해가 무연근이 될 수 있다. 예를 들어, 분수방정식 ${1 \over x} + {2 \over (x+1)} = 0$ 을 풀 때, 양변에 분모의 최소공배수인 $x(x+1)$ 을 곱하면 $x=-{1 \over 3}$ 을 얻는다. 이 값은 원래 방정식을 만족시키므로 무연근이 아니다. 하지만 $\frac{1}{x - 2} = \frac{3}{x + 2} - \frac{6x}{(x - 2)(x + 2)}$ 와 같은 방정식에서는 양변에 $(x - 2)(x + 2)$ 를 곱하여 얻은 해 $x=-2$ 가 원래 방정식에서 분모를 0으로 만들기 때문에 무연근이 된다.^[3]

무리방정식 $x+ \sqrt{x+1} - 1 = 0$ 의 경우, $\sqrt{x+1}=k$ 로 치환하여 풀면 $k= 1$ 또는 $k= -2$ 를 얻는다. 이를 다시 $x$ 로 치환하면 $x=0$ 또는 $x=3$ 이 되는데, $x=3$ 은 원래 방정식에 대입했을 때 성립하지 않으므로 무연근이다.

방정식의 양변을 변수가 포함된 식으로 나눌 때는 누락되는 해가 발생할 수 있다. 예를 들어 $x^2+2x=0$ 의 양변을 $x$ 로 나누면 $x=-2$ 만 남고 $x=0$ 이라는 해가 누락된다. 이는 $x=0$ 일 때 0으로 나누는 부정형 연산이 되기 때문이다.^[1]

따라서 방정식을 풀 때는 무연근과 누락된 해를 주의해야 하며, 특히 변수가 포함된 식으로 곱하거나 나눌 때는 항상 원래 방정식에 대입하여 검산하는 습관을 들이는 것이 중요하다.

2. 1. 무연근

무연근은 방정식을 변형하는 과정에서 생기는 원래 방정식을 만족하지 않는 해를 말한다. 주로 분수방정식에서 분모를 0으로 만드는 해나 무리방정식에서 근호 안을 음수로 만드는 해가 무연근에 해당한다.

대수학에서는 방정식 양변에 같은 식을 곱해도 해가 변하지 않는다고 하지만, 엄밀하게는 항상 그렇지 않다. 특정 식을 곱하면 없던 해, 즉 무연근이 생길 수 있다.^[3] 예를 들어

x+2=0

양변에 0을 곱하면

0=0

이 되어 모든

x

가 해처럼 보이지만, 실제로는 그렇지 않다. 0으로 나누기는 불가능하므로 0을 곱하는 것은 가역적이지 않기 때문이다.^[3]

비슷하게, 양변에

x

를 곱하면

x^2+2x=0

이 되어

x=-2

와

x=0

두 해를 얻는다. 그러나 원래 방정식에

x=0

을 넣으면

2=0

이 되므로

x=0

은 무연근이다.^[3]

이처럼 변수가 있는 식을 방정식 양변에 곱하면 그 식이 0이 되는 값에서 무연근이 생길 수 있다. 하지만 이 값을 무조건 제외하면 원래 방정식의 해를 잃을 수 있다. 따라서 변수를 포함한 식을 곱할 때는, 얻은 해를 원래 방정식에 넣어 확인하고, 맞지 않는 해를 버리는 방식으로 무연근을 처리해야 한다.^[3]

2. 1. 1. 유리방정식에서의 무연근

유리방정식(분수방정식)은 분모에 미지수를 포함하는 분수식으로 이루어지는 방정식이다. 유리방정식을 풀 때는 각 항의 분모의 최소공배수를 양변에 곱하여 다항방정식으로 고쳐서 푼다. 이 과정에서 원래의 유리방정식을 성립시키지 않는 근, 즉 무연근이 발생할 수 있다. 무연근은 해집합에서 제외해야 한다.

예를 들어, 다음 유리방정식을 살펴보자.

:

{1 \over x} + {2 \over (x+1)} = 0

양변에 각 항의 분모의 최소공배수인

x(x+1)

을 곱하면 다음과 같다.

:

(x+1) + 2x = 0

이 식을 정리하면,

:

3x = -1

따라서,

:

x = -{1 \over 3}

이다. 이 값을 원래의 식에 대입하여 무연근 여부를 검산하면 양변이 같으므로(

-3=-3

)

x =-{1 \over 3}\;

은 무연근이 아니다. 따라서 이 방정식의 해는

x =-{1 \over 3}\;

이다.

다른 예시로, 다음 방정식을 고려해 보자.

:

\frac{1}{x - 2} = \frac{3}{x + 2} - \frac{6x}{(x - 2)(x + 2)}\,.

양변에 최소공배수

(x - 2)(x + 2)

를 곱하면 다음과 같다.

:

x + 2 = 3(x - 2) - 6x\,.

이 방정식을 풀면

x=-2

를 얻는다. 그러나 이 해를 원래 방정식에 대입하면 분모가 0이 되는 항이 발생하여 식이 성립하지 않는다. 따라서

x=-2

는 무연근이므로, 이 방정식은 해가 없다.^[3]

일반적으로, 변수를 포함하는 식으로 방정식의 양변에 곱할 때, 해당 식이 0이 되는 값은 무연근이 될 수 있다. 이러한 무연근은 방정식의 해가 아니므로 반드시 검증 과정을 통해 제외해야 한다.^[3]

2. 1. 2. 무리방정식에서의 무연근

방정식의 항에 무리수를 포함하는 다항식으로 이루어진 방정식을 무리방정식이라 한다.

무리방정식

x+ \sqrt{x+1} - 1 = 0

을 푸는 과정은 다음과 같다.

:

\sqrt{x+1}=k

로 '''치환'''하면,

:

(\sqrt{x+1})^2=(k)^2

:

x+1=k^2

:

x=k^2-1

:

(k^2 -1)+ k - 1 = 0

:

k^2 + k - 2 = 0

이것은 이차방정식이므로 근의 공식을 대입하면,

:

k=  \over {2}}

:

k=  \over {2}}

:

k=  \over {2}}

:

k=  \over {2}}, \over {2}}

:

k= ,

:

k= {2 \over {2}},{-4 \over {2}}

:

k= 1,-2

'''치환'''을 정리하면,

:

x=k^2-1, k= 1,-2

:

k= 1

일때,

:

x=(1)^2-1

:

x=0

:

x+ \sqrt{x+1} - 1 = 0

식에 대입하여 무연근을 확인하면,

:

0+ \sqrt{0+1} - 1 = 0

:

0 = 0

이므로 무연근이 아니고,

:

k= -2

일때,

:

x=(-2)^2-1

:

x=4-1

:

x=3

:

x+ \sqrt{x+1} - 1 = 0

식에 대입하여 무연근을 확인하면,

:

3+ \sqrt{3+1} - 1 = 0

:

3+ \sqrt{4} - 1 = 0

:

3+ 2 - 1 = 0

:

4 = 0

:

4 \neq 0

이므로 무연근이다.

따라서,

x+ \sqrt{x+1} - 1 = 0

의 근은

x=0

이다.

2. 2. 누락된 해

누락된 해는 방정식의 양변을 변수가 들어있는 식으로 나눌 때, 해당 식이 0이 되는 해가 사라지는 경우를 말한다. 0으로 나누는 것은 정의되지 않으므로, 변수가 있는 식으로 나눌 때는 주의해야 한다.^[1]

예를 들어, 방정식

2x+4=0

을 풀 때, 양변에서 4를 빼고 2로 나누면

x=-2

를 얻는다.

하지만

x^2+2x=0

에서는 양변에서

2x

를 빼고

x

로 나누면

x=-2

만 남고

x=0

이라는 해가 누락된다. 이는

x=0

일 때 0으로 나누는 부정형 연산이 발생하기 때문이다.^[1]

따라서 0이 될 수 있는 식으로 나눌 때는 해당 식이 0이 되게 하는 값이 원래 방정식을 만족하는지 확인해야 한다.

2. 2. 1. 나눗셈에서의 누락된 해

방정식을 풀 때, 양변을 0이 될 수 있는 식으로 나누면 해당 식이 0이 되는 해가 누락될 수 있다.

예를 들어, 다음 방정식을 보자.

:

x^2+2x=0,

양변에서

2x

를 빼고

x

로 나누면 다음과 같다.

:

x^2=-2x,

:

x=-2.

x=-2

는 실제로 원래 방정식의 해가 맞다. 하지만 다른 해인

x=0

은 사라졌다. 왜냐하면

x=0

일 때, 양변을

x

로 나누는 것은 0으로 나누는 부정형 연산이기 때문이다.^[1]

일반적으로 0이 될 수 있는 표현식으로 나누는 것은 피하는 것이 좋다. 하지만 꼭 필요한 경우에는, 그 표현식을 0으로 만드는 변수 값이 원래 방정식을 만족시키는지 확인해야 한다. 예를 들어, 다음과 같은 방정식이 있다고 가정해 보자.

:

x+2=0.

양변을

x-2

로 나누면 다음과 같다.

:

\frac{x+2}{x-2}=0.

x-2

를 0으로 만드는 유일한 값은

x=2

인데, 이는 원래 방정식의 해가 아니므로 위 식은 유효하다.^[1]

만약 특정 해에만 관심이 있다면 (예를 들어

x

가 양수인 해), 0이 되는 값이 우리가 관심 없는 해일 경우에만 해당 식으로 나누는 것이 가능하다.^[1]

3. 무연근 및 누락된 해 방지

유리방정식은 분모에 미지수를 포함하는 분수식으로 이루어진 방정식이다. 유리방정식을 풀 때에는 각 항의 분모의 최소공배수를 양변에 곱하여 다항방정식으로 고쳐서 푼다. 여기서 나온 해 중에서 유리방정식이 성립하지 않는 근을 무연근이라고 하며, 무연근은 해집합에서 제외한다.

예를 들어,

: ${1 \over x} + {2 \over (x+1)} = 0$ 과 같은 방정식을 풀 때, 양변에 x(x+1)을 곱하여 정리하면,

: $3x + 1 = 0$

: $x =-{1 \over 3}$ 을 얻는다.

이 값을 원래의 식에 대입해 무연근 여부를 검산할 수 있다.

방정식의 항에 무리수를 포함하는 다항식으로 이루어진 방정식을 무리방정식이라 한다. 무리방정식도 유리방정식과 마찬가지로 풀이 과정에서 무연근이 발생할 수 있으므로, 해를 구한 후에는 반드시 원래 방정식에 대입하여 무연근 여부를 확인해야 한다.

무리방정식 $x+ \sqrt{x+1} - 1 = 0$ 에 대해서,

: $\sqrt{x+1}=k$ 로 치환하면, $x=k^2-1$ 이고, $(k^2 -1)+ k - 1 = 0$ 즉, $k^2 + k - 2 = 0$ 이 된다. 이것은 이차방정식이므로 근의 공식을 대입하면, $k= {1},{-2}$ 를 얻는다. 치환을 정리하여 무연근을 확인할 수 있다.

3. 1. 해 검증

방정식을 푼 후에는 반드시 원래 방정식에 대입하여 해가 성립하는지 확인해야 한다. 무연근은 원래 방정식을 만족시키지 않으므로, 검산 과정에서 제거할 수 있다.^[1]

예를 들어, 다음 무리방정식을 풀어보자.

:

x+ \sqrt{x+1} - 1 = 0

:

\sqrt{x+1}=k

로 치환하면,

x=k^2-1

이고,

(k^2 -1)+ k - 1 = 0

즉,

k^2 + k - 2 = 0

이 된다. 이것은 이차방정식이므로 근의 공식을 대입하면,

k= {1},{-2}

를 얻는다.

치환을 정리하면,

x=k^2-1, k= {1},{-2}

이다.

$k= {1}$ 일 때, $x=0$ 이다. 이 값을 $x+ \sqrt{x+1} - 1 = 0$ 식에 대입하여 무연근을 확인하면, $0 = 0$ 이므로 무연근이 아니다.
$k= {-2}$ 일 때, $x=3$ 이다. 이 값을 $x+ \sqrt{x+1} - 1 = 0$ 식에 대입하여 무연근을 확인하면, $4 \neq 0$ 이므로 무연근이다.

따라서,

x+ \sqrt{x+1} - 1 = 0

의 근은

x=0

이다.^[1]

다른 예로, 분수 방정식을 살펴보자.

:

\frac{1}{x - 2} = \frac{3}{x + 2} - \frac{6x}{(x - 2)(x + 2)}\,.

최소공배수

(x - 2)(x + 2)

를 양변에 곱하면,

:

x + 2 = 3(x - 2) - 6x\,.

이것을 풀면

x=-2

가 얻어진다. 그러나 이 해를 원래 방정식에 대입하면,

:

\frac{1}{-4} = \frac{3}{0} + \frac{12}{0}\,.

이 방정식은 0으로 나눌 수 없기 때문에 유효하지 않다. 따라서

x=-2

는 무연근이며, 원래 방정식은 해가 없다.^[1]

3. 2. 0으로 나누는 경우 주의

방정식의 양변을 변수를 포함하는 식으로 나눌 때는 해당 식이 0이 되는 경우를 반드시 고려해야 한다. 0으로 나누기는 불가능하므로, 해당 경우가 발생하지 않도록 주의하거나, 별도로 해당 경우가 해가 되는지 확인해야 한다. 예를 들어, 다음과 같은 방정식이 있다고 하자.

:

\frac{1}{x - 2} = \frac{3}{x + 2} - \frac{6x}{(x - 2)(x + 2)}\,.

양변에

(x - 2)(x + 2)

를 곱하면 다음과 같다.

:

x + 2 = 3(x - 2) - 6x\,.

이 식을 풀면

x=-2

라는 해를 얻는다. 하지만 이 해를 원래 방정식에 대입하면 다음과 같이 0으로 나누는 식이 발생하여 유효하지 않다.

:

\frac{1}{-4} = \frac{3}{0} + \frac{12}{0}\,.

따라서

x=-2

는 무연근이 된다.

일반적으로 0이 될 수 있는 표현식으로 나누는 것은 피해야 하지만, 만약 그렇게 해야 한다면 해당 표현식을 0으로 만드는 변수 값이 원래 방정식을 만족하는지 확인해야 한다. 예를 들어, 다음과 같은 방정식이 있다고 하자.

:

x+2=0.

양변을

x-2

로 나누면 다음과 같다.

:

\frac{x+2}{x-2}=0.

x-2

를 0으로 만드는 유일한 값은

x=2

인데, 이는 원래 방정식의 해가 아니므로 위 식은 유효하다.

4. 기타 연산

곱셈과 나눗셈 외에도, 제곱근을 취하거나 양변을 제곱하는 등의 연산에서도 무연근이나 누락된 해가 발생할 수 있다. 이러한 연산을 수행할 때에도 항상 해의 유효성을 검증하고, 누락된 해가 없는지 주의해야 한다.

예를 들어, 방정식 $x^2 = 4$ 에서 양변의 양의 제곱근을 취하면 $x = 2$ 가 되지만, $x = -2$ 라는 해는 누락된다. 이는 $x$ 가 음수일 때 $x^2$ 의 양의 제곱근은 $-x$ 이기 때문이다. 올바른 풀이는 다음과 같다.

: $\sqrt{x^2} = \sqrt{4}.$

: $|x| = 2.$

: $x = \pm 2.$

이와 같이, 양변을 제곱하는 연산도 방정식 범위 내의 음수 값을 양수로 만들어 무연근을 발생시킬 수 있으므로 주의해야 한다.

참조

_[1] 서적 Calculus I with Precalculus https://books.google[...] Cengage Learning 2011-01-01
_[2] 웹사이트 사단법인 전국수학교사모임 http://www.tmath.or.[...] 20161018232749
_[3] 웹사이트 수학사랑 http://www.mathlove.[...]

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