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부정형

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목차

1. 개요

부정형은 극한을 계산할 때 식의 형태만으로는 극한값을 결정할 수 없는 경우를 의미한다. 대표적인 부정형으로는 0/0, ∞/∞, 0·∞, ∞-∞, 0⁰, 1⁰, ∞⁰ 등이 있다. 부정형의 계산에는 식의 변형, 동치 미소, 로피탈의 정리 등이 사용되며, 로피탈의 정리는 0/0과 ∞/∞ 형태의 극한을 평가하는 데 유용하다. 1/0, a/0 (a ≠ 0), 0∞ 등은 부정형이 아니다.

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2. 부정형의 정의와 종류

부정형은 극한을 계산할 때, 식의 형태만으로는 극한값을 결정할 수 없는 경우를 말한다. 대표적인 부정형으로는 0/0, ∞/∞, 0×∞, ∞-∞, 0⁰, 1⁰, ∞⁰ 등이 있다.

일반적으로 사칙연산, 거듭제곱 등은 피연산 대상의 극한을 보존한다. 즉, 피연산 대상의 극한만으로 그들이 조합된 식의 극한이 확정된다. 예를 들어,

:\lim_{x \to a} (f(x) + g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x)

와 같이 계산할 수 있다. (무한이 포함된 연산도 마찬가지이다. 예를 들어 r이 실수면 r + \infty = \infty이다.)

하지만, 몇몇 예외적인 경우에는 이러한 방법이 유효하지 않으며, 더 세부적인 분석이 필요하다. 예를 들어 ∞ - ∞ 꼴의 극한은 f, g에 따라 결과가 달라진다.

다음은 대표적인 부정형과 그 변환을 나타낸 표이다.

부정형조건0/0으로의 변환\infty/\infty으로의 변환
0/0 \lim_{x \to c} f(x) = 0,\ \lim_{x \to c} g(x) = 0 — \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{1/g(x)}{1/f(x)}
∞/∞ \lim_{x \to c} f(x) = \infty,\ \lim_{x \to c} g(x) = \infty \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{1/g(x)}{1/f(x)} —
0×∞ \lim_{x \to c} f(x) = 0,\ \lim_{x \to c} g(x) = \infty \lim_{x \to c} f(x)g(x) = \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{1/g(x)} \lim_{x \to c} f(x)g(x) = \lim_{x \to c} \frac{g(x)}{1/f(x)}
∞ - ∞ \lim_{x \to c} f(x) = \infty,\ \lim_{x \to c} g(x) = \infty \lim_{x \to c} (f(x) - g(x)) = \lim_{x \to c} \frac{1/g(x) - 1/f(x)}{1/(f(x)g(x))} \lim_{x \to c} (f(x) - g(x)) = \ln \lim_{x \to c} \frac{e^{f(x)}}{e^{g(x)}}
0⁰ \lim_{x \to c} f(x) = 0^+, \lim_{x \to c} g(x) = 0 \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{g(x)}{1/\ln f(x)} \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{\ln f(x)}{1/g(x)}
1⁰ \lim_{x \to c} f(x) = 1,\ \lim_{x \to c} g(x) = \infty \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{\ln f(x)}{1/g(x)} \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{g(x)}{1/\ln f(x)}
∞⁰ \lim_{x \to c} f(x) = \infty,\ \lim_{x \to c} g(x) = 0 \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{g(x)}{1/\ln f(x)} \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{\ln f(x)}{1/g(x)}


2. 1. 0/0 꼴

분자와 분모가 모두 0으로 수렴하는 경우이다. \frac{0}{0}꼴은 분모, 분자를 인수분해하여 극한을 구한다. 부정형 0/0는 미적분학에서 특히 흔하게 나타나는데, 극한을 사용하여 도함수를 평가할 때 종종 발생하기 때문이다.

예시:

  • \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1 (그림 1 참조)
  • \lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{x} = 0 (그림 2 참조)


이것만으로도 0/0이 부정형임을 보여주기에 충분하다. 이 부정형을 갖는 다른 예로는

  • \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 (그림 3 참조)
  • \lim_{x \to 49} \frac{x - 49}{\sqrt{x}\, - 7} = 14 (그림 4 참조)


이러한 식에 ''x''가 접근하는 숫자를 직접 대입하면, 이러한 예들이 부정형 0/0에 해당하지만, 이러한 극한은 여러 다른 값을 가질 수 있음을 보여준다. 이 부정형에 대해 원하는 값 a는 다음과 같이 얻을 수 있다.

  • \lim_{x \to 0} \frac{ax}{x} = a (그림 5 참조)


값 \infty 또한 얻을 수 있다(무한대로 발산하는 의미에서).

  • \lim_{x \to 0} \frac{x}{x^3} = \infty (그림 6 참조)


2. 2. ∞/∞ 꼴

분자와 분모가 모두 무한대로 발산하는 경우이다. 이 경우, 계수를 뗀 분모의 최고차항으로 분모와 분자를 나누어 극한값을 구한다.

2. 3. ∞-∞ 꼴

사칙연산, 거듭제곱 등은 피연산 대상의 극한을 보존하며, 따라서 피연산 대상의 극한만으로 그들이 조합된 식의 극한이 확정된다. 예를 들어,

:\lim_{x \to a} (f(x) + g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x)

(무한이 포함된 연산도 배제하지 않는다. 예를 들어 r이 실수면 r + \infty = \infty )

하지만 예외적인 몇몇 곳을 극한으로 하는 경우, 이러한 방법은 유효하지 않고 따라서 더 세부적인 구조 분석이 요구된다. 예를 들어

:\lim_{x \to a} f(x) = \infty,\ \lim_{x \to a} g(x) = -\infty

일 때, \lim_{x \to a} (f(x) + g(x))(∞ - ∞ 꼴의 극한)는 위의 방법으로 값을 구할 수 없으며, 실제로도 f,g에 따라 결과가 달라진다.

2. 4. 0⁰, 1⁰, ∞⁰ 꼴

밑과 지수가 각각 특정한 값으로 수렴하는 경우이다.

다음 극한들은 식 0^0이 부정형임을 보여준다.[2]

: \begin{align}

\lim_{x \to 0^+} x^0 &= 1, \\

\lim_{x \to 0^+} 0^x &= 0.

\end{align}

따라서 일반적으로 \textstyle\lim_{x \to c} f(x) \;=\; 0 및 \textstyle\lim_{x \to c} g(x) \;=\; 0임을 아는 것으로는 극한

: \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)}. 을 계산하기에 충분하지 않다.

함수 f와 g가 c에서 해석적이고, f가 x가 c에 충분히 가깝지만 같지는 않은 경우 양수이면, f(x)^{g(x)}의 극한은 1이 된다.[2] 그렇지 않은 경우, 극한을 계산하기 위해 표의 변환을 사용한다.

3. 부정형의 계산

사칙연산, 거듭제곱 등은 피연산 대상의 극한을 보존하며, 따라서 피연산 대상의 극한만으로 그들이 조합된 식의 극한이 확정된다. 예를 들어,

:\lim_{x \to a} (f(x) + g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x)

(무한이 포함된 연산도 배제하지 않는다. 예를 들어 r이 실수면 r + \infty = \infty이다.)

하지만 예외적인 몇몇 곳을 극한으로 하는 경우, 이러한 방법은 유효하지 않고 따라서 더 세부적인 구조 분석이 요구된다. 예를 들어

:\lim_{x \to a} f(x) = \infty,\ \lim_{x \to a} g(x) = -\infty

일 때, \lim_{x \to a} (f(x) + g(x))(∞ - ∞ 꼴의 극한)는 위의 방법으로 값을 구할 수 없으며, 실제로도 f,g에 따라 결과가 달라진다. 이처럼 극한값을 직관적으로 결정할 수 없는 형태를 부정형이라고 한다.

부정형의 극한값을 구하기 위해서는 식을 변형하거나, 로피탈의 정리 등 특별한 방법을 사용해야 한다.

다음 표는 가장 일반적인 부정형과 로피탈의 정리를 적용하기 위한 변환을 나열한 것이다.

부정형조건0/0으로의 변환\infty/\infty으로의 변환
\frac{0}{0} \lim_{x \to c} f(x) = 0,\ \lim_{x \to c} g(x) = 0 \! — \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{1/g(x)}{1/f(x)} \!
\frac{\infty}{\infty} \lim_{x \to c} f(x) = \infty,\ \lim_{x \to c} g(x) = \infty \! \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{1/g(x)}{1/f(x)} \! —
0\cdot\infty \lim_{x \to c} f(x) = 0,\ \lim_{x \to c} g(x) = \infty \! \lim_{x \to c} f(x)g(x) = \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{1/g(x)} \! \lim_{x \to c} f(x)g(x) = \lim_{x \to c} \frac{g(x)}{1/f(x)} \!
\infty - \infty \lim_{x \to c} f(x) = \infty,\ \lim_{x \to c} g(x) = \infty \! \lim_{x \to c} (f(x) - g(x)) = \lim_{x \to c} \frac{1/g(x) - 1/f(x)}{1/(f(x)g(x))} \! \lim_{x \to c} (f(x) - g(x)) = \ln \lim_{x \to c} \frac{e^{f(x)}}{e^{g(x)}} \!
0^0 \lim_{x \to c} f(x) = 0^+, \lim_{x \to c} g(x) = 0 \! \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{g(x)}{1/\ln f(x)} \! \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{\ln f(x)}{1/g(x)} \!
1^\infty \lim_{x \to c} f(x) = 1,\ \lim_{x \to c} g(x) = \infty \! \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{\ln f(x)}{1/g(x)} \! \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{g(x)}{1/\ln f(x)} \!
\infty^0 \lim_{x \to c} f(x) = \infty,\ \lim_{x \to c} g(x) = 0 \! \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{g(x)}{1/\ln f(x)} \! \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{\ln f(x)}{1/g(x)} \!



'부정'이라는 형용사는 극한이 존재하지 않는다는 것을 의미하지 않는다. 많은 경우에, 대수적 소거, 로피탈의 정리, 또는 다른 방법들을 사용하여 식을 조작함으로써 극한을 평가할 수 있다.[2]

3. 1. 식의 변형

\frac{0}{0}꼴은 분모, 분자를 인수분해하여 극한을 구한다.

\frac{\infty}{\infty}꼴은 계수를 뗀 분모의 최고차항으로 분모/분자를 나누어 구한다.

부정형 0/0는 미적분학에서 특히 흔하게 나타나는데, 극한을 사용하여 도함수를 평가할 때 종종 발생하기 때문이다.

\lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1, \qquad (그림 1 참조)

\lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{x} = 0, \qquad (그림 2 참조)

이것만으로도 0/0이 부정형임을 보여주기에 충분하다. 이 부정형을 갖는 다른 예로는

\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1, \qquad (그림 3 참조)

\lim_{x \to 49} \frac{x - 49}{\sqrt{x}\, - 7} = 14, \qquad (그림 4 참조)

이러한 식에 ''x''가 접근하는 숫자를 직접 대입하면, 이러한 예들이 부정형 0/0에 해당하지만, 이러한 극한은 여러 다른 값을 가질 수 있음을 보여준다. 이 부정형에 대해 원하는 값 a는 다음과 같이 얻을 수 있다.

\lim_{x \to 0} \frac{ax}{x} = a . \qquad (그림 5 참조)

값 \infty 또한 얻을 수 있다(무한대로 발산하는 의미에서).

\lim_{x \to 0} \frac{x}{x^3} = \infty . \qquad (그림 6 참조)

3. 2. 동치 미소

두 변수 \alpha와 \beta가 동일한 극한점에서 0으로 수렴하고 \textstyle \lim \frac{\beta}{\alpha} = 1일 때, 이들은 ''동치 미소'' (equiv. \alpha \sim \beta)라고 한다.[4]

또한, 변수 \alpha'과 \beta'가 \alpha \sim \alpha' 및 \beta \sim \beta'를 만족하면 다음이 성립한다.

:\lim \frac{\beta}{\alpha} = \lim \frac{\beta'}{\alpha'}

이는 다음과 같이 간단하게 증명할 수 있다.

두 동치 미소 \alpha \sim \alpha'과 \beta \sim \beta'가 있다고 가정하면,

\lim \frac{\beta}{\alpha} = \lim \frac{\beta \beta' \alpha'}{\beta' \alpha' \alpha} = \lim \frac{\beta}{\beta'} \lim \frac{\alpha'}{\alpha} \lim \frac{\beta'}{\alpha'} = \lim \frac{\beta'}{\alpha'}

이다.

부정형 0/0의 값을 구할 때, 다음과 같은 동치 미소 관계를 이용할 수 있다 (예: ''x''가 0에 가까워지면 x\sim\sin x).[4]

:x \sim \sin x,

:x \sim \arcsin x,

:x \sim \sinh x,

:x \sim \tan x,

:x \sim \arctan x,

:x \sim \ln(1 + x),

:1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2},

:\cosh x - 1 \sim \frac{x^2}{2},

:a^x - 1 \sim x \ln a,

:e^x - 1\sim x,

:(1 + x)^a - 1 \sim ax.

예를 들어, 다음 극한값을 계산해 보자.

\begin{align}

\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^3} \left[\left(\frac{2+\cos x}{3}\right)^x - 1 \right]

&= \lim_{x \to 0} \frac{e^{x\ln{\frac{2 + \cos x}{3}}}-1}{x^3} \\

&= \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \ln \frac{2+ \cos x}{3} \\

&= \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \ln \left(\frac{\cos x -1}{3}+1\right) \\

&= \lim_{x \to 0} \frac{\cos x -1}{3x^2} \\

&= \lim_{x \to 0} -\frac{x^2}{6x^2} \\

&= -\frac{1}{6}

\end{align}

위 계산 과정에서 두 번째 등식은 e^y - 1 \sim y (여기서 y = x\ln{2+\cos x \over 3}이고 ''y''는 0에 가까워진다)를, 네 번째 등식은 y \sim \ln {(1+y)} (여기서 y = {{\cos x - 1} \over 3})를, 다섯 번째 등식은 1-\cos x \sim {x^2 \over 2}를 이용하였다.[4]

3. 3. 로피탈의 정리

로피탈의 정리는 부정형의 극한값을 구하는 데 유용한 도구이다. 0/0 꼴 또는 ∞/∞ 꼴의 부정형에 대해, 분자와 분모를 각각 미분한 후의 극한값이 원래 극한값과 같다는 정리이다.[2] 로피탈의 정리는 다른 부정형에도 적용될 수 있도록 변형할 수 있다.

로피탈의 정리는 부정형 0/0과 ∞/∞를 평가하기 위한 일반적인 방법이다. 이 정리는 (적절한 조건 하에서)

: \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)} ,

와 같이 나타낼 수 있다. 여기서 f'와 g'는 각각 f와 g의 도함수이다. (이 정리는 ∞/0, 1/0 등과 같은 표현에는 적용되지 않는데, 이러한 표현들은 부정형이 아니기 때문이다.) 이러한 도함수를 통해 대수적 단순화를 수행하고 궁극적으로 극한값을 평가할 수 있다.

로피탈의 정리는 적절한 대수적 변환을 먼저 사용하여 다른 부정형에도 적용할 수 있다. 예를 들어, 00 형태를 평가하기 위해 다음과 같이 적용한다.

: \ln \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{\ln f(x)}{1/g(x)} .

우변은 ∞/∞ 형태이므로 로피탈의 정리를 적용할 수 있다. 이 방정식은 (우변이 정의되는 한) 자연 로그(ln)가 연속 함수이므로 유효하다는 점에 유의해야 한다. f가 점근적으로 양수이기만 하면 f와 g가 얼마나 잘 동작하는지 여부는 (로그의 정의역은 모든 양의 실수 집합이다) 중요하지 않다.

로피탈의 정리는 0/0과 ∞/∞ 모두에 적용되지만, 특정 경우에 대수적 단순화의 가능성 때문에 이 두 가지 형태 중 하나가 다른 하나보다 더 유용할 수 있다. f/g를 (1/g)/(1/f)로 변환하여 이러한 형태 사이를 변경할 수 있다.

4. 부정형이 아닌 형태

expression영어 1/0은 일반적으로 부정형으로 간주되지 않는다. ''f''/''g''의 극한이 존재한다면, 항상 발산하므로 그 값에 대한 모호함이 없기 때문이다. 구체적으로, ''f''가 1에 접근하고 ''g''가 0에 접근하는 경우, 다음이 되도록 ''f''와 ''g''를 선택할 수 있다.

# ''f''/''g''는 +∞에 접근한다.

# ''f''/''g''는 -∞에 접근한다.

# 극한은 존재하지 않는다.

각 경우에 절댓값 |''f''/''g''|는 +∞에 접근하므로, 몫 ''f''/''g''는 확장된 실수의 의미에서 발산해야 한다(사영적으로 확장된 실수선의 틀 내에서, 극한은 세 경우 모두 부호 없는 무한대 ∞이다[3]). 마찬가지로, ''a'' ≠ 0인 형태의 expression영어 ''a''/0 (''a'' = +∞와 ''a'' = -∞ 포함)도 부정형이 아니다. 왜냐하면 그러한 표현식을 생성하는 몫은 항상 발산하기 때문이다.

expression영어 0∞는 부정형이 아니다. 를 고려하여 얻은 표현식 0+∞는 ''f''(''x'')가 ''x''가 ''c''에 접근할 때 음수가 아닌 값을 유지하는 경우 극한값 0을 제공한다. expression영어 0-∞는 유사하게 1/0과 같다. ''x''가 ''c''에 접근할 때 ''f''(''x'') > 0인 경우, 극한은 +∞로 나온다.

그 이유를 알기 위해 로 두고, 여기서 이고, 이다. 양변에 자연 로그를 취하고 을 사용하면, 를 얻게 되는데, 이는 을 의미한다.

5. 추가 정보

사칙연산, 거듭제곱 등은 피연산 대상의 극한을 보존하며, 따라서 피연산 대상의 극한만으로 그들이 조합된 식의 극한이 확정된다. 예를 들어 다음과 같다.

:\lim_{x \to a} (f(x) + g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x)

(무한이 포함된 연산도 배제하지 않는다. 예를 들어 r이 실수면 r + \infty = \infty이다.)

하지만 예외적인 몇몇 곳을 극한으로 하는 경우, 이러한 방법은 유효하지 않고 따라서 더 세부적인 구조 분석이 요구된다. 예를 들어 다음과 같다.

:\lim_{x \to a} f(x) = \infty,\ \lim_{x \to a} g(x) = -\infty

이때, \lim_{x \to a} (f(x) + g(x))(∞ - ∞ 꼴의 극한)는 위의 방법으로 값을 구할 수 없으며, 실제로도 f,g에 따라 결과가 달라진다.

참조

[1] 웹사이트 Indeterminate http://mathworld.wol[...] 2019-12-02
[2] 논문 The indeterminate form 00 1977-01
[3] 웹사이트 Undefined vs Indeterminate in Mathematics https://www.cut-the-[...] 2019-12-02
[4] 웹사이트 Table of equivalent infinitesimals http://www.vaxasoftw[...]


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