부정형

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1. 개요

부정형은 극한을 계산할 때 식의 형태만으로는 극한값을 결정할 수 없는 경우를 의미한다. 대표적인 부정형으로는 0/0, ∞/∞, 0·∞, ∞-∞, 0⁰, 1⁰, ∞⁰ 등이 있다. 부정형의 계산에는 식의 변형, 동치 미소, 로피탈의 정리 등이 사용되며, 로피탈의 정리는 0/0과 ∞/∞ 형태의 극한을 평가하는 데 유용하다. 1/0, a/0 (a ≠ 0), 0^∞ 등은 부정형이 아니다.

부정형

개요

분야	수학, 미적분학
하위 분야	극한

상세 정보

유형	0/0 ∞/∞ 0 × ∞ ∞ − ∞ 0^0 1^∞ ∞^0
설명	특정 극한을 계산하기 어렵게 만드는 표현

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수열의 극한은 수열의 항들이 무한히 진행될 때 특정한 값에 한없이 가까워지는 개념으로, 해석학의 기초가 되며 실수 수열의 극한 외에도 발산이나 일반화된 형태를 포함한다.
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1. 개요
2. 부정형의 정의와 종류
3. 부정형의 계산
4. 부정형이 아닌 형태
5. 추가 정보

2. 부정형의 정의와 종류

부정형은 극한을 계산할 때, 식의 형태만으로는 극한값을 결정할 수 없는 경우를 말한다. 대표적인 부정형으로는 0/0, ∞/∞, 0×∞, ∞-∞, 0⁰, 1⁰, ∞⁰ 등이 있다.

일반적으로 사칙연산, 거듭제곱 등은 피연산 대상의 극한을 보존한다. 즉, 피연산 대상의 극한만으로 그들이 조합된 식의 극한이 확정된다. 예를 들어,

: $\lim_{x \to a} (f(x) + g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x)$

와 같이 계산할 수 있다. (무한이 포함된 연산도 마찬가지이다. 예를 들어 $r$ 이 실수면 $r + \infty = \infty$ 이다.)

하지만, 몇몇 예외적인 경우에는 이러한 방법이 유효하지 않으며, 더 세부적인 분석이 필요하다. 예를 들어 ∞ - ∞ 꼴의 극한은 $f, g$ 에 따라 결과가 달라진다.

다음은 대표적인 부정형과 그 변환을 나타낸 표이다.

👆

좌우로 밀어서 보기

부정형	조건	$0/0$ 으로의 변환	$\infty/\infty$ 으로의 변환
0/0	$\lim_{x \to c} f(x) = 0,\ \lim_{x \to c} g(x) = 0$	—	$\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{1/g(x)}{1/f(x)}$
∞/∞	$\lim_{x \to c} f(x) = \infty,\ \lim_{x \to c} g(x) = \infty$	$\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{1/g(x)}{1/f(x)}$	—
0×∞	$\lim_{x \to c} f(x) = 0,\ \lim_{x \to c} g(x) = \infty$	$\lim_{x \to c} f(x)g(x) = \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{1/g(x)}$	$\lim_{x \to c} f(x)g(x) = \lim_{x \to c} \frac{g(x)}{1/f(x)}$
∞ - ∞	$\lim_{x \to c} f(x) = \infty,\ \lim_{x \to c} g(x) = \infty$	$\lim_{x \to c} (f(x) - g(x)) = \lim_{x \to c} \frac{1/g(x) - 1/f(x)}{1/(f(x)g(x))}$	$\lim_{x \to c} (f(x) - g(x)) = \ln \lim_{x \to c} \frac{e^{f(x)}}{e^{g(x)}}$
0⁰	$\lim_{x \to c} f(x) = 0^+, \lim_{x \to c} g(x) = 0$	$\lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{g(x)}{1/\ln f(x)}$	$\lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{\ln f(x)}{1/g(x)}$
1⁰	$\lim_{x \to c} f(x) = 1,\ \lim_{x \to c} g(x) = \infty$	$\lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{\ln f(x)}{1/g(x)}$	$\lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{g(x)}{1/\ln f(x)}$
∞⁰	$\lim_{x \to c} f(x) = \infty,\ \lim_{x \to c} g(x) = 0$	$\lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{g(x)}{1/\ln f(x)}$	$\lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{\ln f(x)}{1/g(x)}$

2.1. 0/0 꼴

분자와 분모가 모두 0으로 수렴하는 경우이다. $\frac{0}{0}$ 꼴은 분모, 분자를 인수분해하여 극한을 구한다. 부정형 $0/0$ 는 미적분학에서 특히 흔하게 나타나는데, 극한을 사용하여 도함수를 평가할 때 종종 발생하기 때문이다.

예시:
* $\lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1$ (그림 1 참조)
* $\lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{x} = 0$ (그림 2 참조)

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이것만으로도 $0/0$ 이 부정형임을 보여주기에 충분하다. 이 부정형을 갖는 다른 예로는

* $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$ (그림 3 참조)
* $\lim_{x \to 49} \frac{x - 49}{\sqrt{x}\, - 7} = 14$ (그림 4 참조)

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이러한 식에 $x$ 가 접근하는 숫자를 직접 대입하면, 이러한 예들이 부정형 $0/0$ 에 해당하지만, 이러한 극한은 여러 다른 값을 가질 수 있음을 보여준다. 이 부정형에 대해 원하는 값 $a$ 는 다음과 같이 얻을 수 있다.

* $\lim_{x \to 0} \frac{ax}{x} = a$ (그림 5 참조)

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값 $\infty$ 또한 얻을 수 있다(무한대로 발산하는 의미에서).

* $\lim_{x \to 0} \frac{x}{x^3} = \infty$ (그림 6 참조)

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2.2. ∞/∞ 꼴

분자와 분모가 모두 무한대로 발산하는 경우이다. 이 경우, 계수를 뗀 분모의 최고차항으로 분모와 분자를 나누어 극한값을 구한다.

2.3. ∞-∞ 꼴

2.4. 0⁰, 1⁰, ∞⁰ 꼴

밑과 지수가 각각 특정한 값으로 수렴하는 경우이다.

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다음 극한들은 식 $0^0$ 이 부정형임을 보여준다.

: $\begin{align}\lim_{x \to 0^+} x^0 &= 1, \\\lim_{x \to 0^+} 0^x &= 0.\end{align}$

따라서 일반적으로 $\textstyle\lim_{x \to c} f(x) \;=\; 0$ 및 $\textstyle\lim_{x \to c} g(x) \;=\; 0$ 임을 아는 것으로는 극한

: $\lim_{x \to c} f(x)^{g(x)}.$ 을 계산하기에 충분하지 않다.

함수 $f$ 와 $g$ 가 $c$ 에서 해석적이고, $f$ 가 $x$ 가 $c$ 에 충분히 가깝지만 같지는 않은 경우 양수이면, $f(x)^{g(x)}$ 의 극한은 $1$ 이 된다. 그렇지 않은 경우, 극한을 계산하기 위해 표의 변환을 사용한다.

3. 부정형의 계산

사칙연산, 거듭제곱 등은 피연산 대상의 극한을 보존하며, 따라서 피연산 대상의 극한만으로 그들이 조합된 식의 극한이 확정된다. 예를 들어,

: $\lim_{x \to a} (f(x) + g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x)$

(무한이 포함된 연산도 배제하지 않는다. 예를 들어 $r$ 이 실수면 $r + \infty = \infty$ 이다.)

하지만 예외적인 몇몇 곳을 극한으로 하는 경우, 이러한 방법은 유효하지 않고 따라서 더 세부적인 구조 분석이 요구된다. 예를 들어

: $\lim_{x \to a} f(x) = \infty,\ \lim_{x \to a} g(x) = -\infty$

일 때, $\lim_{x \to a} (f(x) + g(x))$ (∞ - ∞ 꼴의 극한)는 위의 방법으로 값을 구할 수 없으며, 실제로도 $f,g$ 에 따라 결과가 달라진다. 이처럼 극한값을 직관적으로 결정할 수 없는 형태를 부정형이라고 한다.

부정형의 극한값을 구하기 위해서는 식을 변형하거나, 로피탈의 정리 등 특별한 방법을 사용해야 한다.

다음 표는 가장 일반적인 부정형과 로피탈의 정리를 적용하기 위한 변환을 나열한 것이다.

👆

좌우로 밀어서 보기

부정형	조건	$0/0$ 으로의 변환	$\infty/\infty$ 으로의 변환
$\frac{0}{0}$	$\lim_{x \to c} f(x) = 0,\ \lim_{x \to c} g(x) = 0 \!$	—	$\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{1/g(x)}{1/f(x)} \!$
$\frac{\infty}{\infty}$	$\lim_{x \to c} f(x) = \infty,\ \lim_{x \to c} g(x) = \infty \!$	$\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{1/g(x)}{1/f(x)} \!$	—
$0\cdot\infty$	$\lim_{x \to c} f(x) = 0,\ \lim_{x \to c} g(x) = \infty \!$	$\lim_{x \to c} f(x)g(x) = \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{1/g(x)} \!$	$\lim_{x \to c} f(x)g(x) = \lim_{x \to c} \frac{g(x)}{1/f(x)} \!$
$\infty - \infty$	$\lim_{x \to c} f(x) = \infty,\ \lim_{x \to c} g(x) = \infty \!$	$\lim_{x \to c} (f(x) - g(x)) = \lim_{x \to c} \frac{1/g(x) - 1/f(x)}{1/(f(x)g(x))} \!$	$\lim_{x \to c} (f(x) - g(x)) = \ln \lim_{x \to c} \frac{e^{f(x)}}{e^{g(x)}} \!$
$0^0$	$\lim_{x \to c} f(x) = 0^+, \lim_{x \to c} g(x) = 0 \!$	$\lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{g(x)}{1/\ln f(x)} \!$	$\lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{\ln f(x)}{1/g(x)} \!$
$1^\infty$	$\lim_{x \to c} f(x) = 1,\ \lim_{x \to c} g(x) = \infty \!$	$\lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{\ln f(x)}{1/g(x)} \!$	$\lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{g(x)}{1/\ln f(x)} \!$
$\infty^0$	$\lim_{x \to c} f(x) = \infty,\ \lim_{x \to c} g(x) = 0 \!$	$\lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{g(x)}{1/\ln f(x)} \!$	$\lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{\ln f(x)}{1/g(x)} \!$

'부정'이라는 형용사는 극한이 존재하지 않는다는 것을 의미하지 않는다. 많은 경우에, 대수적 소거, 로피탈의 정리, 또는 다른 방법들을 사용하여 식을 조작함으로써 극한을 평가할 수 있다.

3.1. 식의 변형

$\frac{0}{0}$ 꼴은 분모, 분자를 인수분해하여 극한을 구한다.

$\frac{\infty}{\infty}$ 꼴은 계수를 뗀 분모의 최고차항으로 분모/분자를 나누어 구한다.

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부정형 $0/0$ 는 미적분학에서 특히 흔하게 나타나는데, 극한을 사용하여 도함수를 평가할 때 종종 발생하기 때문이다.

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1, \qquad$ (그림 1 참조)

$\lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{x} = 0, \qquad$ (그림 2 참조)

이것만으로도 $0/0$ 이 부정형임을 보여주기에 충분하다. 이 부정형을 갖는 다른 예로는

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1, \qquad$ (그림 3 참조)

$\lim_{x \to 49} \frac{x - 49}{\sqrt{x}\, - 7} = 14, \qquad$ (그림 4 참조)

이러한 식에 $x$ 가 접근하는 숫자를 직접 대입하면, 이러한 예들이 부정형 $0/0$ 에 해당하지만, 이러한 극한은 여러 다른 값을 가질 수 있음을 보여준다. 이 부정형에 대해 원하는 값 $a$ 는 다음과 같이 얻을 수 있다.

$\lim_{x \to 0} \frac{ax}{x} = a . \qquad$ (그림 5 참조)

값 $\infty$ 또한 얻을 수 있다(무한대로 발산하는 의미에서).

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{x^3} = \infty . \qquad$ (그림 6 참조)

3.2. 동치 미소

두 변수 $\alpha$ 와 $\beta$ 가 동일한 극한점에서 0으로 수렴하고 $\textstyle \lim \frac{\beta}{\alpha} = 1$ 일 때, 이들은 동치 미소 (equiv. $\alpha \sim \beta$ )라고 한다.

또한, 변수 $\alpha'$ 과 $\beta'$ 가 $\alpha \sim \alpha'$ 및 $\beta \sim \beta'$ 를 만족하면 다음이 성립한다.

: $\lim \frac{\beta}{\alpha} = \lim \frac{\beta'}{\alpha'}$

이는 다음과 같이 간단하게 증명할 수 있다.

두 동치 미소 $\alpha \sim \alpha'$ 과 $\beta \sim \beta'$ 가 있다고 가정하면,

$\lim \frac{\beta}{\alpha} = \lim \frac{\beta \beta' \alpha'}{\beta' \alpha' \alpha} = \lim \frac{\beta}{\beta'} \lim \frac{\alpha'}{\alpha} \lim \frac{\beta'}{\alpha'} = \lim \frac{\beta'}{\alpha'}$

이다.

부정형 $0/0$ 의 값을 구할 때, 다음과 같은 동치 미소 관계를 이용할 수 있다 (예: x가 0에 가까워지면 $x\sim\sin x$ ).

: $x \sim \sin x,$
: $x \sim \arcsin x,$
: $x \sim \sinh x,$
: $x \sim \tan x,$
: $x \sim \arctan x,$
: $x \sim \ln(1 + x),$
: $1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2},$
: $\cosh x - 1 \sim \frac{x^2}{2},$
: $a^x - 1 \sim x \ln a,$
: $e^x - 1\sim x,$
: $(1 + x)^a - 1 \sim ax.$

예를 들어, 다음 극한값을 계산해 보자.

$\begin{align}\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^3} \left[\left(\frac{2+\cos x}{3}\right)^x - 1 \right]&= \lim_{x \to 0} \frac{e^{x\ln{\frac{2 + \cos x}{3}}}-1}{x^3} \\&= \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \ln \frac{2+ \cos x}{3} \\&= \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \ln \left(\frac{\cos x -1}{3}+1\right) \\&= \lim_{x \to 0} \frac{\cos x -1}{3x^2} \\&= \lim_{x \to 0} -\frac{x^2}{6x^2} \\&= -\frac{1}{6}\end{align}$

위 계산 과정에서 두 번째 등식은 $e^y - 1 \sim y$ (여기서 $y = x\ln{2+\cos x \over 3}$ 이고 y는 0에 가까워진다)를, 네 번째 등식은 $y \sim \ln {(1+y)}$ (여기서 $y = {{\cos x - 1} \over 3}$ )를, 다섯 번째 등식은 $1-\cos x \sim {x^2 \over 2}$ 를 이용하였다.

3.3. 로피탈의 정리

로피탈의 정리는 부정형의 극한값을 구하는 데 유용한 도구이다. 0/0 꼴 또는 ∞/∞ 꼴의 부정형에 대해, 분자와 분모를 각각 미분한 후의 극한값이 원래 극한값과 같다는 정리이다. 로피탈의 정리는 다른 부정형에도 적용될 수 있도록 변형할 수 있다.

로피탈의 정리는 부정형 0/0과 ∞/∞를 평가하기 위한 일반적인 방법이다. 이 정리는 (적절한 조건 하에서)
: $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)} ,$
와 같이 나타낼 수 있다. 여기서 $f'$ 와 $g'$ 는 각각 $f$ 와 $g$ 의 도함수이다. (이 정리는 ∞/0, 1/0 등과 같은 표현에는 적용되지 않는데, 이러한 표현들은 부정형이 아니기 때문이다.) 이러한 도함수를 통해 대수적 단순화를 수행하고 궁극적으로 극한값을 평가할 수 있다.

로피탈의 정리는 적절한 대수적 변환을 먼저 사용하여 다른 부정형에도 적용할 수 있다. 예를 들어, 0⁰ 형태를 평가하기 위해 다음과 같이 적용한다.
: $\ln \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{\ln f(x)}{1/g(x)} .$
우변은 ∞/∞ 형태이므로 로피탈의 정리를 적용할 수 있다. 이 방정식은 (우변이 정의되는 한) 자연 로그(ln)가 연속 함수이므로 유효하다는 점에 유의해야 한다. $f$ 가 점근적으로 양수이기만 하면 $f$ 와 $g$ 가 얼마나 잘 동작하는지 여부는 (로그의 정의역은 모든 양의 실수 집합이다) 중요하지 않다.

로피탈의 정리는 0/0과 ∞/∞ 모두에 적용되지만, 특정 경우에 대수적 단순화의 가능성 때문에 이 두 가지 형태 중 하나가 다른 하나보다 더 유용할 수 있다. f/g를 (1/g)/(1/f)로 변환하여 이러한 형태 사이를 변경할 수 있다.

4. 부정형이 아닌 형태

expression^영어 1/0은 일반적으로 부정형으로 간주되지 않는다. f/g의 극한이 존재한다면, 항상 발산하므로 그 값에 대한 모호함이 없기 때문이다. 구체적으로, f가 1에 접근하고 g가 0에 접근하는 경우, 다음이 되도록 f와 g를 선택할 수 있다.

# f/g는 +∞에 접근한다.
# f/g는 -∞에 접근한다.
# 극한은 존재하지 않는다.

각 경우에 절댓값 |f/g|는 +∞에 접근하므로, 몫 f/g는 확장된 실수의 의미에서 발산해야 한다(사영적으로 확장된 실수선의 틀 내에서, 극한은 세 경우 모두 부호 없는 무한대 ∞이다). 마찬가지로, a ≠ 0인 형태의 expression^영어 a/0 (a = +∞와 a = -∞ 포함)도 부정형이 아니다. 왜냐하면 그러한 표현식을 생성하는 몫은 항상 발산하기 때문이다.

expression^영어 0^∞는 부정형이 아니다. 를 고려하여 얻은 표현식 0^+∞는 f(x)가 x가 c에 접근할 때 음수가 아닌 값을 유지하는 경우 극한값 0을 제공한다. expression^영어 0^-∞는 유사하게 1/0과 같다. x가 c에 접근할 때 f(x) > 0인 경우, 극한은 +∞로 나온다.

그 이유를 알기 위해 로 두고, 여기서 이고, 이다. 양변에 자연 로그를 취하고 을 사용하면, 를 얻게 되는데, 이는 을 의미한다.

5. 추가 정보

사칙연산, 거듭제곱 등은 피연산 대상의 극한을 보존하며, 따라서 피연산 대상의 극한만으로 그들이 조합된 식의 극한이 확정된다. 예를 들어 다음과 같다.

: $\lim_{x \to a} (f(x) + g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x)$

(무한이 포함된 연산도 배제하지 않는다. 예를 들어 $r$ 이 실수면 $r + \infty = \infty$ 이다.)

하지만 예외적인 몇몇 곳을 극한으로 하는 경우, 이러한 방법은 유효하지 않고 따라서 더 세부적인 구조 분석이 요구된다. 예를 들어 다음과 같다.

: $\lim_{x \to a} f(x) = \infty,\ \lim_{x \to a} g(x) = -\infty$

이때, $\lim_{x \to a} (f(x) + g(x))$ (∞ - ∞ 꼴의 극한)는 위의 방법으로 값을 구할 수 없으며, 실제로도 $f,g$ 에 따라 결과가 달라진다.