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0으로 나누기

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목차

1. 개요

0으로 나누기는 수학에서 정의되지 않는 연산이다. 역사적으로 브라마굽타는 0으로 나누는 것을 시도했지만, 이는 대수적 모순을 야기했다. 현대 수학에서는 0으로 나누기를 허용하면 1 = 2와 같은 모순된 결과를 유도할 수 있기 때문에, 0으로 나누는 것은 불가능하다는 것이 정설로 받아들여진다. 컴퓨터에서는 정수 연산에서 0으로 나누기를 시도하면 오류가 발생하며, 부동소수점 연산에서는 IEEE 754 표준에 따라 특수한 값을 반환한다. 추상대수학에서도 0으로 나누기는 정의되지 않으며, 다른 수 체계나 선형대수학 등에서도 0으로 나누기와 유사한 연산에 제약이 있다.

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0으로 나누기
개요
주제0으로 나누기
설명수학에서, 0으로 나누는 것은 나눗셈의 피제수(분자)가 0이고 제수(분모)가 0인 나눗셈이다.
문제점이러한 나눗셈은 일반적인 산술 체계에서는 의미가 없기 때문에 정의되지 않는다. 컴퓨터 및 계산기에서 이러한 연산을 시도하면 오류가 발생할 수 있다.
정의 시도일부 고급 수학적 설정에서는 0으로 나누기를 정의할 수 있지만, 다른 문제가 발생할 수 있다.
기본적인 산술
나눗셈만약 c 곱하기 b는 a라고 하면, a 나누기 b는 c이다.
예시6 나누기 3은 2이다. (왜냐하면 2 곱하기 3은 6이기 때문이다.)
0으로 나누기 문제그러나 5 나누기 0에 대한 답은 0을 곱하여 5가 되는 숫자를 찾아야 한다. 그런 숫자는 존재하지 않기 때문에 나눗셈은 무의미하다.
추가 문제0 나누기 0의 경우, 0을 곱하여 0이 되는 숫자를 찾아야 한다. 어떤 숫자든 가능하다. 따라서 0 나누기 0은 정의되지 않았다.
초등 대수학
나눗셈의 역수0을 제외한 모든 숫자는 역수를 가지고 있다.
0의 역수0을 곱하여 1이 되는 숫자는 존재하지 않는다. 따라서 0은 역수를 가지지 않는다.
예시 (양의 방향에서 접근)1 / x, x가 양의 방향에서 0에 가까워질 때, 결과는 양의 무한대로 발산한다.
예시 (음의 방향에서 접근)1 / x, x가 음의 방향에서 0에 가까워질 때, 결과는 음의 무한대로 발산한다.
양방향 극한의 부재극한은 존재하지 않으며, 따라서 1 / 0은 정의되지 않는다.
컴퓨터 산술
부동 소수점IEEE 부동소수점 표준은 0으로 나누기에 대한 특별한 동작을 정의한다.
양의 0으로 나누기양의 유한 숫자를 양의 0으로 나누면 양의 무한대가 된다.
음의 0으로 나누기양의 유한 숫자를 음의 0으로 나누면 음의 무한대가 된다.
NaN (Not a Number)0 / 0, ∞ / ∞ 등의 연산은 NaN (Not a Number)을 반환한다.
정수 나눗셈정수 나눗셈에서 0으로 나누기는 일반적으로 예외를 발생시킨다.
수학적 오류
0으로 나누기를 포함한 오류0으로 나누기를 허용하면 모순된 결과를 얻을 수 있다.
예시a = b라고 가정
a2 = ab (양변에 a를 곱함)
a2 - b2 = ab - b2 (양변에서 b2을 뺌)
(a + b)(a - b) = b(a - b) (인수 분해)
a + b = b (양변을 (a - b)로 나눔)
2b = b (a = b이므로)
2 = 1 (양변을 b로 나눔)
오류의 원인a - b = 0 이므로 0으로 나누기를 수행했기 때문에 오류가 발생했다.
확장된 실수 직선
나눗셈 정의a / 0 = ∞ (a ≠ 0)과 같은 규칙을 정의할 수 있지만, 여전히 0 / 0은 정의되지 않는다.
리만 구
나눗셈 정의리만 구에서는 1 / 0 = ∞이고 1 / ∞ = 0으로 정의한다. 하지만 0 / 0은 여전히 정의되지 않는다.
형식적 계산
정의형식적 계산에서는 0으로 나누기를 허용하는 규칙을 도입할 수 있다.
예시1 / 0 = 0과 같은 규칙을 도입할 수 있지만, 이는 표준적인 수학 체계와는 다르다.
같이 보기
관련 개념특이점 (수학)
불확정 형식
무한대
외부 링크

2. 역사적 배경

0으로 나누는 문제는 수학의 역사에서 오랫동안 논의되어 온 주제이다. 고대 인도의 수학자들부터 시작하여 0을 포함한 연산을 정의하려는 시도가 있었지만, 만족스러운 결과를 얻지 못했다. 브라마굽타, 마하비라, 바스카라 2세와 같은 학자들이 0으로 나누기를 정의하려 했으나, 그들의 시도는 대수적 모순을 해결하지 못했다. 현대 수학에서는 0으로 나누기는 어떤 방식으로 정의하든 모순에 이르기 때문에 그 값을 정의할 수 없다고 본다.

2. 1. 초기 시도

인도의 수학자 브라마굽타(Brahmagupta, 약 598~668년)는 그의 저서 『브라마스푸타싯단타』(Brāhmasphuṭasiddhānta)에서 0을 독립적인 수로 다루고 0을 포함한 연산을 정의하려는 초기 시도를 했다.[13][40] 브라마굽타는 다음과 같이 정의했다.

  • 양수 또는 음수를 0으로 나누면 분모가 0인 분수가 된다.
  • 0을 양수 또는 음수로 나누면 0이거나, 분자가 0이고 분모가 유한한 수인 분수이다.
  • 0을 0으로 나누면 0이다.[41]


그러나 브라마굽타의 이러한 정의는 대수적인 모순을 일으켰다.[40]

830년, 마하비라(Mahāvīra)는 그의 저서 『가니타 사라 삼그라하』(Ganita Sara Samgraha)에서 브라마굽타의 오류를 수정하고자 "어떤 수를 0으로 나누어도 그 수는 변하지 않는다"고 주장했지만, 이 역시 성공하지 못했다.[13][40]

12세기의 수학자 바스카라 2세(Bhāskara II)는 그의 저서 『릴라바티』(Līlāvatī)에서 ''n''/0 = ∞ (무한대) 로 정의하여 문제를 해결하려 했다.[14] 이 정의는 언뜻 보기에 그럴듯해 보였지만, 실제로는 역설적인 상황을 만들어내어 결국 실패로 돌아갔다. 이러한 역설은 오랫동안 제대로 다루어지지 않았다.[42]

2. 2. 근대적 접근

현대 수학의 관점에서 볼 때, 0으로 나누기를 어떤 방식으로 정의하려고 시도해도 반드시 모순에 이르게 된다.[1][2] 결국 "'''값을 정의할 수 없으므로 계산은 불가능하다'''"고 이해하는 것이 최선이며, 이 개념을 더 깊이 파고든다고 해서 수학적으로 유용한 결과를 얻기는 어렵다.[1][3] 하지만 0으로 나누기 개념 자체는 매우 기본적인 지식으로 접근할 수 있기 때문에, 종종 수학적 원리를 제대로 고려하지 않은 논의나 독자적인 해석이 등장하기도 한다. 이러한 주장들은 대부분 논리적 모순을 포함하거나 신뢰할 만한 근거가 부족하여 학술적으로는 거의 가치가 없다.[1]

0으로 나누기를 정의할 수 있다고 잘못 생각하는 대표적인 예시 중 하나는 극한 개념과 관련된 오해이다. 예를 들어, \lim_{x \to +0}\frac{1}{x}의 극한값이 "+∞"라는 기호로 표현되는 것을 보고, "0으로 나눈 값을 ∞로 정의할 수 있다"고 착각하는 경우이다.[4] 즉, "\lim_{x \to +0}\frac{1}{x} = +\infty"와 같은 극한에 대한 기호적 표현을 마치 실제 등식("1/0 = +∞")처럼 성립시키기 위해 수학적 정의를 확장하려는 시도이다.

그러나 이러한 시도는 기본적인 관점에서부터 모순을 일으키며, 결국 0으로 나누기를 성공적으로 정의하는 데 이르지 못한다.[4] 예를 들어, 실수체나 복소수체에 무한대(∞)를 추가하여 0으로 나누기를 정의하려는 시도를 생각해 볼 수 있다. 하지만 무한대를 추가하면 기존 집합의 대수 구조가 파괴되어, 덧셈이나 곱셈과 같은 기본적인 연산조차 제대로 정의되지 않는 문제가 발생한다.[4] 따라서 나눗셈을 정의하는 것은 더욱 불가능해진다. 결국 "1/0 = +∞"와 같은 표현은 극한 계산의 결과를 나타내는 기호일 뿐이며, 어떤 방식으로든 0으로 나누는 연산의 값이 실제로 정의될 수 있음을 의미하지는 않는다.[4]

3. 수학적 해석

수학에서 어떤 수를 0으로 나누는 연산은 기본적인 연산 규칙에 따라 정의되지 않는다. 이는 여러 수학 분야에서 일관되게 나타나는 원칙이다.


  • 산술적 관점: 나눗셈은 곱셈의 역연산으로 정의된다. a \div b = x는 x \times b = a를 만족하는 유일한 x를 찾는 것과 같다. 만약 b=0이면, a \neq 0일 때는 해 x가 존재하지 않고(불능), a = 0일 때는 해 x가 무한히 많아 하나로 정해지지 않는다(부정). 두 경우 모두 결과가 유일하게 정의되지 않으므로 0으로 나누는 것은 불가능하다.

  • 대수적 관점: 유리수, 실수, 복소수와 같은 체 구조에서는 0이 아닌 모든 원소가 곱셈 역원을 가진다. 나눗셈 a \div b는 a에 b의 곱셈 역원(b^{-1})을 곱하는 것(a \times b^{-1})으로 정의된다. 그러나 0은 곱셈 역원을 갖지 않으며, 만약 존재한다고 가정하면 0=1이라는 모순이 발생한다. 따라서 0으로 나누는 연산은 정의될 수 없으며, 이를 허용하면 1=2와 같은 잘못된 결론을 유도할 수 있다.

  • 해석학적 관점: 미적분학의 극한 개념으로 0에 가까워지는 값으로 나누는 상황을 분석할 수 있다. 함수 f(x) = \frac{1}{x}는 x가 0으로 접근할 때, 접근 방향에 따라 +\infty 또는 -\infty로 발산한다. 극한값이 유일하게 결정되지 않거나 무한대로 발산하는 것은 \frac{1}{0}이 실수 체계 내에서 정의되지 않음을 보여준다. 또한, 분자와 분모가 모두 0으로 수렴하는 \frac{0}{0} 형태의 극한은 부정형으로, 그 값은 함수의 구체적인 형태에 따라 달라져 일관된 값으로 정의할 수 없다. 확대 실수선이나 리만 구와 같은 확장된 수 체계에서 \frac{a}{0} = \infty (a \neq 0) 등으로 정의하기도 하지만, 이는 특정 맥락에서의 편의적 정의일 뿐 일반적인 대수적 연산 규칙과는 다르다.


결론적으로, 수학의 다양한 관점에서 볼 때 0으로 나누는 연산은 모순을 일으키거나 결과를 유일하게 결정할 수 없어 정의되지 않는다.

3. 1. 초등 산술

나눗셈은 일반적으로 곱셈의 역연산으로 정의된다. 즉, 어떤 수 y와 z에 대해 x \times y = z를 만족하는 x가 유일할 때, 나눗셈은 x = z \div y와 같이 정의된다.

만약 나누는 수 y가 0이라면, x의 값에 관계없이 x \times 0 = 0이 된다.

  • 만약 나누어지는 수 z도 0이라면, x \times 0 = 0을 만족하는 x는 무한히 많아 하나로 정해지지 않는다. 이 경우 x는 부정(값을 하나로 정할 수 없음)이다.
  • 만약 z가 0이 아니라면, x \times 0 = z를 만족하는 x는 존재하지 않는다. 왜냐하면 어떤 수에 0을 곱하면 항상 0이 되기 때문이다. 이 경우 해는 존재하지 않으며 불능이라고 한다.


어떤 수를 0으로 나누는 것은 불가능하지만, 0을 0이 아닌 수로 나누는 것은 가능하다. 0이 아닌 수로 나누는 것은 그 수의 역수를 곱하는 것이고, 0에 어떤 수를 곱해도 0이 되므로, 0을 0이 아닌 수로 나눈 결과는 언제나 0이 된다.

다른 증명 방법으로, A \ne 0, B=0이라고 가정하고 A/B=C라고 하면 A/0=C가 된다. 이를 곱셈식으로 바꾸면 C \times 0 = A가 된다. 어떤 수든 0을 곱하면 항상 0이 되므로 A=0이어야 하는데, 이는 A \ne 0라는 가정과 모순된다. 따라서 A \ne 0일 때 0으로 나눌 수 없다 (불능).

만약 A=0, B=0이라면 0/0=C이고, 곱셈식으로는 C \times 0 = 0이 된다. 이 식은 C가 어떤 값이든 항상 성립하므로, 답이 무수히 많게 된다 (부정).

따라서 나눗셈 A/B=C에서 B가 0이면 그 식은 성립하지 않거나(불능) 값이 하나로 정해지지 않는다(부정).

나눗셈 N/D = Q는 개념적으로 여러 가지로 해석될 수 있다.

''몫 나눗셈'' (등분제) 관점에서는 전체 N을 크기 D인 묶음으로 나누었을 때 몇 개의 묶음(Q)이 생기는지를 본다. 예를 들어, 빵 10조각으로 샌드위치 하나당 빵 2조각씩 사용한다면, 총 5개의 샌드위치를 만들 수 있다 (\tfrac{10}{2}=5). 만약 샌드위치당 빵 0조각이 필요하다면, 빵은 중요하지 않으므로 10조각의 빵으로 임의로 많은 샌드위치를 만들 수 있는 것처럼 생각될 수 있다.

몫 나눗셈 개념은 반복적인 뺄셈으로 계산될 수 있다. 즉, N에서 D를 몇 번(Q) 뺄 수 있는지를 세는 것이다. 예를 들어 96에서 8을 12번 빼면 0이 되므로 96 \div 8 = 12이다.[38] 하지만 0으로 나누는 경우, 예를 들어 6에서 0을 계속 빼더라도 원래 값 6은 전혀 줄어들지 않는다. 0을 아무리 많이 빼도 0이 아닌 수를 소진시킬 수 없으므로, 0으로 나누는 계산은 끝나지 않는다. 계란 6개가 든 바구니에서 매번 0개씩 꺼내는 작업을 아무리 반복해도 바구니를 비울 수 없는 것과 같다.[39] 이러한 방식으로 0으로 나누는 계산은 무한 루프에 빠지게 된다. 일부 기계식 계산기에서는 이러한 끝없는 0 나누기 알고리즘이 물리적으로 나타나기도 한다.[1]

''분할 나눗셈'' (포함제) 관점에서는 전체 N을 D개의 같은 부분으로 나누었을 때 각 부분의 크기(Q)가 얼마인지를 본다. 예를 들어, 쿠키 10개를 2명의 친구에게 똑같이 나누어 주면, 각 친구는 5개의 쿠키를 받는다 (\tfrac{10}{2}=5). 이제 쿠키 10개를 0명의 친구에게 나누어 준다고 가정해 보자. 쿠키를 받을 친구가 없으므로 "각 친구가 몇 개의 쿠키를 받을까?"라는 질문 자체가 성립하지 않는다.[2] 이는 초등학교에서 사과 6개를 3명에게 나누면 각자 2개씩 받지만(6 ÷ 3 = 2), 사과 6개를 0명에게 나누는 것은 받는 사람이 없어 각자 몇 개를 받는지 묻는 것이 무의미하므로 6 ÷ 0은 정의할 수 없다고 설명하는 방식과 같다.[35][36][39]

평면에서 직선의 기울기는 수직 좌표 차이와 수평 좌표 차이의 비율이다. 수직선의 경우 이것은 1:0이며, 일종의 0으로 나누기이다.


다른 해석에서 몫 Q는 비율 N:D를 나타낸다.[3] 예를 들어, 케이크 레시피에 밀가루 10컵과 설탕 2컵이 필요하다면 이는 10:2 또는 5:1의 비율이다.[4] 이 비율을 유지하며 양을 조절할 수 있다.[5] 만약 설탕이 없는 레시피라면 밀가루 10컵과 설탕 0컵, 즉 10:0 또는 1:0의 비율이 된다.[5] 이는 케이크에 설탕이 없다는 의미로 타당하지만, "설탕 한 단위당 밀가루는 몇 단위인가?" (10 \div 0)라는 질문에는 여전히 의미 있는 숫자 답이 없다.

비율로서의 나눗셈 해석은 직교 좌표계에서 직선의 기울기와 관련된다.[6] 기울기는 수직 변화량(rise)을 수평 변화량(run)으로 나눈 값(\tfrac{\Delta y}{\Delta x})이다. 비율 표기법으로는 수평선의 기울기는 0:1이고 수직선의 기울기는 1:0이다. 그러나 기울기를 단일 실수로 표현할 때, 수평선의 기울기는 \tfrac{0}{1} = 0이지만, 수직선의 기울기 \tfrac{1}{0}은 실수 연산에서 정의되지 않는다.[7] 원점을 지나는 직선의 기울기 \tfrac{y}{x}는 x=1인 선과의 교점의 y좌표인데, 수직선(x=0)은 x=1 선과 평행하여 교점이 없다. 때로는 이를 무한대의 점에서 만난다고 하며 비율 1:0을 새로운 수 \infty로 표현하기도 한다.[8] 수직선은 "무한한" 기울기를 갖는다고 말하기도 한다.

나눗셈은 곱셈의 역연산이므로,[9] \tfrac{6}{3} = {?} 와 같은 문제는 {?} \times 3 = 6을 만족하는 미지수를 찾는 것과 같다. 이 경우 2 \times 3 = 6이므로 미지수는 2이다.[10]

0으로 나누는 문제 \tfrac{6}{0} = {?}는 {?} \times 0 = 6을 만족하는 미지수를 찾는 것을 요구한다. 그러나 어떤 수에 0을 곱해도 0이 되므로, 결과가 6이 되게 하는 미지수는 존재하지 않는다.

만약 문제가 \tfrac{0}{0} = {?}라면, 이는 {?} \times 0 = 0을 만족하는 미지수를 찾는 것이다. 이 경우에는 어떤 수를 미지수로 넣어도 식이 성립하므로, \tfrac{0}{0}의 값으로 지정할 수 있는 단일한 수가 없다.

이러한 이유로 나누는 수가 0인 몫은 전통적으로 '''정의되지 않은''' 것으로 간주되며, 0으로 나누는 것은 허용되지 않는다.[11]

3. 2. 대수학적 해석

나눗셈은 일반적으로 곱셈의 역연산으로 정의된다. 즉, 어떤 y와 z에 대해

:x \times y = z

인 x가 유일하게 존재할 때, 나눗셈은 다음과 같이 정의된다.

:x = z \div y

만약 y가 0이라면, x의 값에 관계없이 z는 항상 0이 된다.

:x \times 0 = 0

이 식을 만족하는 x는 무한히 많으므로, x의 값을 하나로 정할 수 없다. 이런 경우를 부정(不定)이라고 한다.

만약 y가 0이고 z가 0이 아니라면, 나눗셈 x = z \div 0은 곱셈식으로 다음과 같이 표현된다.

:x \times 0 = z (단, z \neq 0)

어떤 수에 0을 곱하면 항상 0이 되므로, z가 0이 아닐 때 이 식을 만족하는 x는 존재하지 않는다. 이런 경우를 불능(不能)이라고 한다.

따라서 어떤 수를 0으로 나누는 것은 불가능하다. 하지만 0을 0이 아닌 수로 나누는 것은 가능하다. 0이 아닌 수 y로 나누는 것은 그 수의 역수 \frac{1}{y}를 곱하는 것과 같고, 0에 어떤 수를 곱해도 0이 되므로, 그 결과는 항상 0이다.

:0 \div y = 0 \times \frac{1}{y} = 0 (단, y \neq 0)

체의 공리 체계를 따르는 수학적 구조(예: 유리수, 실수, 복소수)에서는 나눗셈이 곱셈의 역연산으로 정의되기 때문에, 0으로 나누기는 정의되지 않는다.[17] \frac{a}{b}의 값은 방정식 bx = a를 만족하는 x가 유일하게 존재할 때만 정의된다. 만약 b = 0이면, 방정식은 0x = a가 된다.

  • 만약 a \neq 0이면, 0 = a가 되어 해 x는 존재하지 않는다 (불능).
  • 만약 a = 0이면, 0 = 0이 되어 어떤 x도 해가 될 수 있다 (부정).

어느 경우든 해가 유일하게 정해지지 않으므로, \frac{a}{0}는 정의되지 않는다.

수 체계를 정수에서 유리수로 확장할 때, 나눗셈은 특정 유리수(분수)를 곱하는 것으로 대체된다. 이 관점에서 "왜 0으로 나눌 수 없을까?"라는 질문은 "왜 유리수는 0을 분모로 가질 수 없을까?"로 바뀐다. 유리수는 정수의 순서쌍 (a, b) (단, b \neq 0)의 동치류로 정의되는데, 이 정의 과정에서 분모 b가 0이 아니어야 한다는 조건이 필수적이다.[19][20][21]

0으로 나누기를 허용하면 오류가 발생하여 잘못된 결론에 도달할 수 있다. 예를 들어, 다음과 같은 과정을 보자.

:0 \times 1 = 0

:0 \times 2 = 0

두 식의 결과가 같으므로, 다음과 같이 쓸 수 있다.

:0 \times 1 = 0 \times 2

만약 양변을 0으로 나눌 수 있다면, 0을 소거하여 다음과 같은 모순된 결과를 얻는다.

:1 = 2

이 오류는 0으로 나누는 연산(\frac{0}{0})을 마치 일반적인 나눗셈처럼 수행했기 때문에 발생한다.

대수를 사용하면 0으로 나누는 과정을 더 교묘하게 숨겨 잘못된 증명을 만들 수 있다.[13][12]

:x = 1이라고 가정하자.

:양변에 x를 곱하면 x^2 = x가 된다.

:양변에서 1을 빼면 x^2 - 1 = x - 1이 된다.

:좌변을 인수분해하면 (x - 1)(x + 1) = x - 1이 된다.

:양변을 (x - 1)로 나누면 x + 1 = 1이 된다.

:처음의 가정 x = 1을 대입하면 1 + 1 = 1, 즉 2 = 1이라는 잘못된 결론이 나온다.

여기서 오류는 x = 1일 때 (x - 1)의 값이 0이 되는데도 불구하고 양변을 (x - 1)로 나누었기 때문에 발생한다. 즉, 0으로 나누는 오류를 범한 것이다.

3. 3. 해석학적 해석

미적분학에서는 함수의 변화 양상을 극한 개념을 사용하여 탐구한다. 극한이란 함수의 입력값이 특정 값에 가까워질 때, 함수의 출력값이 어떤 값으로 다가가는지를 나타낸다. \lim_{x \to c} f(x) = L이라는 표기는 x를 c에 충분히 가깝게 만들면 함수 f(x)의 값을 L에 원하는 만큼 가깝게 할 수 있음을 의미한다.

만약 x가 c에 가까워질 때 실함수 f(x)의 값이 한없이 커진다면, 이 함수는 x=c에서 정의되지 않으며, 이를 일종의 수학적 특이점이라고 한다. 대신 함수는 "무한대로 발산한다"고 표현하며, \lim_{x \to c} f(x) = \infty로 표기한다. 이때 함수의 그래프는 직선 x=c를 수직 점근선으로 갖는다. 여기서 무한대 기호 \infty는 특정 실수를 나타내는 것이 아니지만, 편의상 극한값이 "무한대와 같다"고 말한다. 함수의 값이 한없이 작아지는 경우는 "음의 무한대로 발산한다"고 하며 -\infty로 표기한다. 때로는 x가 c보다 큰 쪽에서 접근할 때(x \to c^+)와 작은 쪽에서 접근할 때(x \to c^-) 함수가 서로 다른 값으로 향하는 경우가 있는데, 이를 구별되는 일방 극한을 갖는다고 한다.[16]

가장 기본적인 예는 함수 f(x) = \frac{1}{x}이다. 이 함수는 x가 0에 가까워질 때, 양의 방향에서 접근하는지(x \to 0^+) 음의 방향에서 접근하는지(x \to 0^-)에 따라 각각 양의 무한대 또는 음의 무한대로 발산한다.

:\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty, \quad \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty.

즉, 극한값이 접근 방향에 따라 달라지므로, \frac{1}{0}의 값을 하나로 정의하기 어렵다. 흔히 \frac{1}{0} = \infty라고 쓰는 것은 실제로는 \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty와 같은 극한값을 간단히 나타낸 것일 뿐, \frac{1}{0} 자체가 수학적으로 엄밀하게 정의된 값은 아니다.

함수의 나눗셈에 대한 극한은 일반적으로 각 함수의 극한값의 나눗셈과 같다.

:\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\displaystyle \lim_{x \to c} f(x)}{\displaystyle \lim_{x \to c} g(x)}.

하지만 분자와 분모의 극한값이 모두 0이 되는 경우, 즉 \lim_{x \to a} f(x) = 0이고 \lim_{x \to a} g(x) = 0인 경우, 전체 극한값은 각 극한값만으로는 결정할 수 없다. 이를 \frac{0}{0} 형태의 부정형이라고 부른다. 이러한 부정형 극한은 원래 함수를 변형하거나 로피탈의 정리 등을 이용하여 구할 수 있다. 예를 들어,

:\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}

은 \frac{0}{0} 형태의 부정형이지만, 분자를 인수분해하여 약분하면 극한값을 구할 수 있다.

:\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2.

마찬가지로 \frac{\infty}{\infty}, 0 \cdot \infty 등도 특정 형태의 부정형 극한을 나타내는 기호로 사용된다.

확대 실수는 실수 집합 \mathbb{R}에 두 개의 새로운 원소, 양의 무한대(+\infty)와 음의 무한대(-\infty)를 추가하여 만든 수 체계이다. 이를 이용하면 무한대에서의 극한을 유한한 극한처럼 다룰 수 있다. 하지만 확대 실수 체계에서도 \frac{1}{0}은 일반적으로 정의되지 않는다. 왜냐하면 0으로 접근하는 방향에 따라 극한값이 +\infty 또는 -\infty로 달라지기 때문이다. 다만, 음이 아닌 값만 고려하는 경우에는 편의상 \frac{1}{0} = +\infty로 정의하는 것이 유용할 때도 있다.

실수 집합에 부호 없는 무한대(\infty) 하나만을 추가한 확대 실수선 \mathbb{R}\cup\{\infty\} (실수선의 일점 콤팩트화)도 있다. 여기서는 -\infty = \infty로 간주하며, 0이 아닌 실수 a에 대해 \frac{a}{0} = \infty로 정의하고, a가 \infty가 아닐 때 \frac{a}{\infty} = 0으로 정의한다. 이는 탄젠트 함수 \tan(x)가 x가 \pm \frac{\pi}{2}에 가까워질 때 \infty로 발산하는 것을 설명하는 데 자연스럽다. 하지만 이 구조 역시 체가 아니며, 예를 들어 \infty + \infty는 정의되지 않는다.

리만 구면은 복소평면을 입체투영에 의해 구면에 투영한 것으로 시각화할 수 있다.


복소해석학에서는 복소수 집합 \mathbb{C}에 무한원점 \infty 하나를 추가한 확장된 복소수 \mathbb{C}\cup\{\infty\}를 다룬다. 이를 리만 구라고도 부르는데, 이는 복소 평면을 구 위에 입체 투영한 것과 위상적으로 동일하기 때문이다. 리만 구에서는 0이 아닌 복소수 z에 대해 \frac{z}{0} = \infty 및 \frac{z}{\infty} = 0과 같은 연산 규칙을 추가한다.[45] 그러나 리만 구에서도 \frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, 0 \cdot \infty는 여전히 정의되지 않는다.

결론적으로, 해석학의 극한 개념을 이용하여 0으로 나누기를 설명하려는 시도는 여러 형태로 존재하지만, \frac{1}{0}의 극한값은 접근 방향에 따라 달라지거나(\pm\infty), 하나의 값으로 정의하더라도 기존의 대수적 구조(체)와 모순되는 문제가 발생한다. 특히 \frac{0}{0}은 극한값이 함수의 형태에 따라 달라지는 부정형으로, 어떤 수 체계에서도 일관된 값으로 정의할 수 없다. 따라서 현대 수학에서는 0으로 나누기는 값을 정의할 수 없어 계산이 불가능하다고 결론짓는다. \frac{1}{0} = \infty와 같은 표현은 극한의 특정 상황을 나타내는 편의적인 기호일 뿐, 0으로 나누는 연산이 가능하다는 의미는 아니다.

4. 컴퓨터 연산에서의 0으로 나누기

컴퓨터 연산에서 0으로 나누기는 연산의 종류에 따라 다르게 처리된다. 정수 연산의 경우, 많은 시스템에서 0으로 나누기를 처리할 수 없어 오류가 발생하거나, 특정 알고리즘 구현 방식에 따라 무한 루프에 빠져 시스템이 멈추는 문제가 생길 수 있다. 반면, 부동소수점 연산에서는 국제 표준인 IEEE 754에 따라 0으로 나누기의 결과(예: 무한대(∞), NaN)가 정의되어 있지만[34], 실제 시스템 구현에 따라 동작 방식은 다양할 수 있다.

4. 1. 부동 소수점 연산

컴퓨터에서의 수치 계산은 대부분 부동 소수점 산술을 사용하여 수행되며, 이는 1980년대 이후 IEEE 754 표준에 의해 규격화되었다. IEEE 부동 소수점 방식에서는 숫자를 부호(양수 또는 음수), 고정 소수점 유효 자릿수, 그리고 정수 지수를 조합하여 표현한다. 만약 지수가 너무 커서 표현 범위를 넘어서면 해당 숫자는 양의 무한대(+∞) 또는 음의 무한대(−∞)로 처리되는데 이를 "오버플로우"라고 한다. 반대로 지수가 너무 작아 표현할 수 없으면 언더플로우가 발생하여 양의 영(+0) 또는 음의 영(−0)으로 처리된다. 또한, 정의되지 않은 연산 결과는 NaN( Not a Number|영어 , 숫자가 아님)이라는 특수한 값으로 나타낸다.

IEEE 754 표준에서는 0으로 나누는 연산에 대해서도 명확히 정의하고 있다. 0을 0으로 나누거나(0/0), 무한대를 무한대로 나누는(∞/∞) 연산의 결과는 NaN이 된다. 그 외의 경우, 0이 아닌 숫자를 0으로 나누는 연산은 항상 정의된 결과를 반환한다. 구체적으로, 0이 아닌 숫자를 양의 영(+0)으로 나누면 피제수(나누어지는 수)와 같은 부호의 무한대가 되고, 음의 영(−0)으로 나누면 피제수와 반대 부호의 무한대가 된다. 이러한 정의는 산술 언더플로우가 발생했을 때 결과값의 부호를 일관성 있게 유지하기 위함이다.[26]

예를 들어, 단정밀도 IEEE 산술에서 ''x'' = −2−149일 때, ''x''를 2로 나누면 결과는 음의 영(−0)으로 언더플로우된다. 이때 1을 이 결과값으로 나누면 1 / (''x'' / 2) = 1 / (−0) 이므로 최종 결과는 −∞가 된다. 실제 정확한 계산 결과인 −2150은 단정밀도 부동소수점 수로 표현하기에는 너무 큰 값이므로, 오버플로우가 발생하여 같은 부호를 가진 음의 무한대로 처리되는 것이다.

IEEE 754 표준에 따른 0으로 나누기 결과는 다음과 같이 요약할 수 있다.

IEEE 754 부동 소수점 0 나누기 결과
연산결과조건
a / +0+∞a > 0
a / +0−∞a < 0
a / −0−∞a > 0
a / −0+∞a < 0
+0 / +0NaN
−0 / +0NaN
+0 / −0NaN
−0 / −0NaN



현재 대부분의 컴퓨터는 이 IEEE 754 표준을 지원하고 있다.

4. 2. 정수 연산

정수를 0으로 나누는 것은 결과를 나타낼 수 있는 정수 표현이 없기 때문에 부동소수점 연산과는 다르게 처리된다. 컴퓨터의 CPU마다 동작 방식에 차이가 있다. 예를 들어, x86 프로세서는 하드웨어 예외를 발생시키지만, PowerPC 프로세서는 잘못된 결과를 무시하고 연산을 계속 진행하며, ARM 프로세서는 하드웨어 예외를 발생시키거나 0을 반환할 수 있다.[27]

TI-86와 같은 휴대용 계산기는 일반적으로 0으로 나누기를 시도하면 작동을 멈추고 오류 메시지를 표시한다.


이러한 플랫폼 간의 불일치 때문에 C 및 C++ 프로그래밍 언어에서는 정수 0으로 나누기의 결과를 정의되지 않은 동작으로 간주한다.[28] 반면, 파이썬과 같은 고급 프로그래밍 언어에서는 0으로 나누기를 시도하면 예외가 발생하며, 프로그램의 다른 부분에서 이 예외를 처리할 수 있도록 한다.[29]

컴퓨터에서 정수 0으로 나누기는 결과를 표현할 방법이 없으므로, 많은 프로세서는 이를 실행하려고 할 때 예외를 발생시킨다. (참고로 Intel 8086의 경우, 나눗셈의 몫이 레지스터에 저장할 수 있는 값을 초과하는 경우에도 0으로 나누었을 때와 동일한 예외가 발생한다.) 만약 프로그램에서 이러한 예외에 대한 처리가 구현되어 있지 않다면, 0으로 나누기를 실행하려 한 프로그램은 강제 종료(어보트)되며, 종종 오류 메시지가 화면에 표시된다.[47]

일반적인 계산기에서는 0으로 나누기를 시도하면 화면에 "E 0."과 같이 오류를 표시한다. 계산자의 경우, 로그 눈금에는 0에 해당하는 위치가 존재하지 않기 때문에(무한히 먼 곳에 위치하므로) 0으로 나누는 계산 자체가 불가능하다.

4. 3. 실제 사례

1997년 미국 해군은 민수용 기술 응용 연구의 일환으로 티콘데로가급 순양함 USS ''요크타운''을 개조하여, 함선의 가스터빈 엔진 제어에 마이크로소프트의 소프트웨어를 도입했다.[56] 그러나 같은 해 9월 21일, 시험 항해 중 함선에 탑재된 "원격 데이터베이스 관리자"에서 0으로 나누기 오류가 발생했다.[32][33] 이 오류로 인해 소프트웨어에서 예외가 발생했고, 네트워크상의 모든 기기가 작동을 멈췄다. 결국 함선의 추진 시스템이 고장 나면서[32][33], 요크타운함은 카리브해에서 2시간 30분 동안 표류하는 사태를 맞았다.[56]

5. 다른 수 체계에서의 0으로 나누기

일반적인 수 체계, 예를 들어 실수나 복소수에서는 0으로 나누는 것이 정의되지 않지만, 다른 수학적 구조에서는 이 문제를 다르게 접근하기도 한다.

추상대수학에서는 가환환과 같은 일반적인 대수 구조를 다룬다. 대부분의 가환환에서는 0으로 나누는 것이 불가능하며, 이를 가능하게 하려는 시도(휠)는 기존 대수 구조의 중요한 성질(예: 분배법칙)을 포기해야 할 수 있다. 체에서는 0이 아닌 원소로만 나눗셈이 정의된다. 자세한 내용은 #추상대수학 섹션에서 다룬다.

비표준 해석학에서는 초실수나 초현실수와 같은 확장된 수 체계를 다룬다.[22][23] 이 체계에서는 0으로 나누는 것은 여전히 불가능하지만, 0이 아닌 무한소로 나누는 것은 가능하다. 자세한 내용은 #비표준 해석학 섹션에서 확인할 수 있다.

선형대수학에서는 행렬 연산을 다루는데, 행렬 나눗셈은 역행렬을 곱하는 것으로 생각할 수 있다. 모든 원소가 0인 영행렬은 역행렬을 가지지 않으므로, 직접적인 나눗셈은 불가능하다.[24] 하지만 유사역행렬 개념을 통해 유사한 연산을 정의하기도 한다. 자세한 내용은 #선형대수학 섹션에서 설명한다.

분포 이론에서는 함수 1/x를 실수 전체로 확장하여 다룰 수 있다. 코시 주치값을 이용하여 특정한 방식으로 정의하지만, x=0에서의 값 자체를 정의하는 것은 여전히 의미가 없다. 자세한 내용은 #분포 이론 섹션에서 다룬다.

5. 1. 추상대수학

추상대수학에서는 정수, 유리수, 실수, 복소수 등을 더 일반적인 대수 구조인 가환환으로 다룬다. 가환환은 덧셈, 뺄셈, 곱셈 연산이 우리가 아는 수 체계처럼 작동하지만, 나눗셈은 정의되지 않을 수 있는 수학적 구조이다. 가환환에 곱셈에 대한 역원을 추가하는 과정을 국소화라고 한다. 하지만 어떤 가환환이든 0으로 국소화를 하면 모든 원소가 0과 같아지는 영환(여기서는 0 = 1이 성립)이 된다. 따라서 0과 1이 다른 일반적인 가환환에서는 0의 곱셈 역원이 존재하지 않으며, 0으로 나누기는 정의되지 않는다.

이런 문제를 해결하기 위해, 가환환을 확장하여 0으로 나누기가 항상 가능한 휠(Wheel theory)이라는 대수 구조를 생각할 수도 있다.[25] 하지만 휠은 더 이상 가환환이 아니며, 특히 곱셈이 덧셈에 대해 분배되지 않는 성질을 가진다. 또한 휠에서는 어떤 원소를 자기 자신으로 나눈 결과(x/x)가 항상 곱셈 항등원 1이 되는 것은 아니며, 원래 구조가 정역이었다 하더라도 휠에서는 곱셈에 대한 소거법칙이 성립하지 않을 수 있다.

이러한 개념은 환이나 체와 같은 더 일반적인 대수 구조에서도 비슷하게 적용된다. 체에서는 0이 아닌 모든 원소가 곱셈에 대한 역원을 가지므로, 0으로 나누는 경우를 제외하면 나눗셈이 잘 정의된다. 이는 나눗셈환(division ring) 또는 비가환체(skew field)라고도 불리는 사원수 체와 같은 구조에서도 마찬가지이다.

하지만 체가 아닌 일반적인 환에서는 0이 아닌 원소로 나누는 경우에도 문제가 발생할 수 있다. 예를 들어, 법 6에 대한 정수 환 \mathbb{Z}_6 (또는 '''Z'''/6'''Z''')을 생각해보자. 여기서 \frac{2}{2}는 방정식 2x = 2의 해 x를 의미해야 한다. 그런데 이 환에서 2는 영인자(2 \times 3 = 6 \equiv 0 \pmod{6})이다. 방정식 2x = 2는 x=1 (2 \times 1 = 2)과 x=4 (2 \times 4 = 8 \equiv 2 \pmod{6})라는 두 개의 서로 다른 해를 가진다. 따라서 \frac{2}{2}라는 표현은 유일한 값을 정의하지 못하므로 정의되지 않는다.

체 이론에서 \frac{a}{b}라는 표현은 b의 곱셈 역원 b^{-1}을 이용하여 ab^{-1}로 정의된다. 체의 공리는 0이 아닌 원소에 대해서만 역원의 존재를 보장하므로, b=0일 때는 b^{-1}이 존재하지 않아 \frac{a}{0}는 의미가 없다. 현대 대수학에서는 체를 정의할 때 0 \neq 1이라는 공리를 추가하여, 모든 원소가 0인 영환이 체가 되는 경우를 제외한다. 만약 0=1인 영환을 허용한다면, 0(이자 동시에 1)은 곱셈 역원 1을 가지므로 a/0 = a \times 0^{-1} = a \times 1 = a 와 같이 0으로 나누기가 가능해진다. 이는 0 \neq 1 공리가 체에서 0으로 나누기를 금지하는 데 필수적임을 보여준다.

5. 2. 비표준 해석학

초실수 체계에서는 0으로 나누는 것은 여전히 불가능하지만, 0이 아닌 무한소로 나누는 것은 가능하다.[22] 이는 초현실수 체계에서도 마찬가지이다.[23]

5. 3. 선형대수학

선형대수학에서는 숫자를 사각형 형태로 배열한 행렬을 다룬다. 행렬은 서로 덧셈하거나 곱셈할 수 있으며, 경우에 따라 나눗셈과 유사한 연산도 정의할 수 있다. 행렬로 나누는 것은 일반적으로 그 행렬의 역행렬을 곱하는 것으로 생각할 수 있다. 하지만 모든 행렬이 역행렬을 가지는 것은 아니다.[24] 예를 들어, 모든 값이 0으로 이루어진 영행렬은 역행렬을 가지지 않는다.

역행렬이 없는 경우에도 나눗셈과 비슷한 연산을 정의하기 위해 유사역행렬 개념을 사용하기도 한다. 어떤 행렬 b의 유사역행렬을 b⁺라고 할 때, a를 b로 나누는 것과 유사한 연산을 `a/b = ab⁺`와 같이 정의할 수 있다. 만약 행렬 b에 역행렬 b⁻¹이 존재한다면, 유사역행렬은 역행렬과 동일하다 (b⁺ = b⁻¹). 특히, b가 영행렬일 경우, 그 유사역행렬 역시 영행렬이 된다 (b⁺ = 0). 이는 0으로 나누는 상황을 선형대수학의 관점에서 다루는 한 방법이다.

5. 4. 분포 이론

분포 이론에서는 함수 1/''x''를 실수 전체 공간의 분포로 확장할 수 있다. 이는 코시 주치값을 사용하여 이루어진다. 그러나 이 분포에서 ''x'' = 0 지점의 "값"을 정의하는 것은 의미가 없다. 이 문제에 대한 더 깊이 있는 이해는 분포의 특이 지지집합 개념과 관련된다.

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