미분 사상

1. 개요

미분 사상은 미분 가능한 다양체 사이의 매끄러운 함수를 일반화한 개념으로, 각 점에서의 전미분인 선형 사상으로 정의된다. 구체적으로, 다양체 M에서 N으로 가는 함수 φ에 대해, x ∈ M에서의 미분 사상 dφ_x는 M의 x에서의 접공간 T_xM에서 N의 φ(x)에서의 접공간 T_φ(x)N으로 가는 선형 사상이다. 접벡터를 곡선 또는 유도로 정의하는 방식에 따라 미분 사상은 다르게 표현될 수 있으며, 국소 좌표 표현에서는 야코비 행렬로 나타낼 수 있다. 미분 사상은 접다발 사이의 다발 사상인 접선 사상 Tφ를 유도하며, 벡터장의 푸시포워드 개념을 통해 사상에 따른 벡터장을 정의할 수 있다. 리 군의 곱셈 사상을 이용한 푸시포워드 예시를 통해 미분 사상의 구체적인 적용을 살펴볼 수 있다.

2. 동기 부여

다변수 미분 적분학에서, {{math의 열린 집합 에서 {{math의 열린 집합 로의 미분 가능 함수 의 각 점 에서의 전미분 는 선형 사상이며, 야코비 행렬로 표현된다.

이를 임의의 매끄러운 다양체 , 사이의 매끄러운 함수 로 일반화할 수 있다. ∈ 가 주어졌을 때, 을 의 에서의 접공간, 을 의 에서의 접공간이라 하면, 의 에서의 미분 사상은 다음과 같은 선형 사상이다.



만약 접공간을 를 만족하는 곡선들의 동치류로 정의했다면, 미분 사상은 다음과 같이 표현된다.

3. 매끄러운 함수의 미분

φ : M → N를 매끄러운 다양체 사이에서 정의된 매끄러운 함수라고 하자. x ∈ M가 주어졌을 때, dφ_x는 M의 x에서의 접공간 T_xM에서 N의 φ(x)에서의 접공간 T_φ(x)N으로 가는 선형 사상이다.

접벡터를 γ(0) = x를 만족하는 곡선들의 동치류로 정의하면, 미분은 다음과 같이 주어진다.

:dφ_x(γ'(0)) = (φ ∘ γ)'(0).

여기서 γ는 γ(0) = x를 만족하는 M의 곡선이고, γ'(0)는 0에서 곡선 γ에 대한 접벡터이다. 다시 말해, 0에서 곡선 γ에 대한 접벡터의 푸시포워드는 0에서 곡선 φ ∘ γ에 대한 접벡터이다.

접벡터를 매끄러운 실수 값을 갖는 함수에 작용하는 유도로 정의하면, 미분은 다음과 같이 주어진다.

:dφ_x(X)(f) = X(f ∘ φ),

임의의 함수 f ∈ C^∞(N)와 점 x ∈ M에서의 임의의 유도 X ∈ T_xM에 대해 정의에 의해, X의 푸시포워드는 T_φ(x)N에 있으며, 따라서 자체적으로 유도, 즉 dφ_x(X) : C^∞(N) → ℝ이다.

아인슈타인 표기법을 사용하면 다음과 같이 표현할 수 있다.

:dφ_x(∂/∂u^a) = (∂φ^{^b}/∂u^a)(∂/∂v^b)

여기서 편미분은 주어진 차트에서 x에 해당하는 U의 점에서 평가된다. 선형성에 의해 확장하면 다음과 같은 행렬을 얻는다.

:(dφ_x)_a^b = ∂φ^{^b}/∂u^a.

따라서 미분은 각 점에서 매끄러운 사상 φ와 관련된 접공간 사이의 선형 변환이다. 일반적으로 미분이 가역적일 필요는 없다. 그러나, 만약 φ가 국소 미분 동형 사상이라면, dφ_x는 가역적이고, 그 역은 T_φ(x)N의 당김을 제공한다.

미분은 다음과 같은 다양한 다른 표기법으로 표현된다.

:Dφ_x, (φ_*)_x, φ'(x), T_xφ.

3.1. 접벡터의 정의에 따른 미분

φ : M → N를 매끄러운 다양체 사이에서 정의된 매끄러운 함수라 하자. x ∈ M가 주어졌을 때, dφ_x는 M의 x에서의 접공간 T_xM에서 N의 φ(x)에서의 접공간 T_φ(x)N으로 가는 선형 사상이다.

접벡터를 γ(0) = x를 만족하는 곡선들의 동치류로 정의하면, 미분은 다음과 같이 주어진다.

:dφ_x(γ'(0)) = (φ ∘ γ)'(0).

여기서 γ는 γ(0) = x를 만족하는 M의 곡선이고, γ'(0)는 0에서 곡선 γ에 대한 접벡터이다. 다시 말해, 0에서 곡선 γ에 대한 접벡터의 푸시포워드는 0에서 곡선 φ ∘ γ에 대한 접벡터이다.

접벡터를 매끄러운 실수 값을 갖는 함수에 작용하는 유도로 정의하면, 미분은 다음과 같이 주어진다.

:dφ_x(X)(f) = X(f ∘ φ),

임의의 함수 f ∈ C^∞(N)와 점 x ∈ M에서의 임의의 유도 X ∈ T_xM에 대해 정의에 의해, X의 푸시포워드는 T_φ(x)N에 있으며, 따라서 자체적으로 유도, 즉 dφ_x(X) : C^∞(N) → ℝ이다.

아인슈타인 표기법을 사용하면 다음과 같이 표현할 수 있다.

:dφ_x(∂/∂u^a) = (∂φ^{^b}/∂u^a)(∂/∂v^b)

여기서 편미분은 주어진 차트에서 x에 해당하는 U의 점에서 평가된다. 선형성에 의해 확장하면 다음과 같은 행렬을 얻는다.

:(dφ_x)_a^b = ∂φ^{^b}/∂u^a.

따라서 미분은 각 점에서 매끄러운 사상 φ와 관련된 접공간 사이의 선형 변환이다. 일반적으로 미분이 가역적일 필요는 없다. 그러나, 만약 φ가 국소 미분 동형 사상이라면, dφ_x는 가역적이고, 그 역은 T_φ(x)N의 당김을 제공한다.

미분은 다음과 같은 다양한 다른 표기법으로 표현된다.

:Dφ_x, (φ_*)_x, φ'(x), T_xφ.

3.2. 국소 좌표 표현

x와 φ(x) 주변의 차트를 선택하면, φ는 국소적으로 $\backslash R^m$과 $\backslash R^n$의 열린 집합 사이의 매끄러운 함수로 표현된다. 이 때, 미분은 야코비 행렬로 표현된다.

아인슈타인 표기법을 사용하면, 미분은 다음과 같이 표현된다.

:$d\backslash varphi\_x\backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; u^a\}\backslash right)\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\{\backslash widehat\{\backslash varphi\}\}^b\}\{\backslash partial\; u^a\}\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; v^b\}$

여기서 편미분은 주어진 차트에서 $x$에 해당하는 $U$의 점에서 평가된다.

선형성에 의해 확장하면 다음과 같은 행렬을 얻는다.

:$\backslash left(d\backslash varphi\_x\backslash right)\_a^\{\backslash ;b\}\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\{\backslash widehat\{\backslash varphi\}\}^b\}\{\backslash partial\; u^a\}$

따라서 미분은 각 점에서 매끄러운 사상 $\backslash varphi$와 관련된 접공간 사이의 선형 변환이다. 그러므로, 선택된 국소 좌표계에서, 이것은 $\backslash R^m$에서 $\backslash R^n$으로의 해당 매끄러운 사상의 야코비 행렬로 표현된다.

3.3. 주요 성질

미분 사상은 다음과 같은 선형 사상이다.

:$\backslash mathrm\; d\; \backslash varphi\_x:T\_xM\backslash to\; T\_\{\backslash varphi(x)\}N\backslash ,$

만약 접공간을 γ(0) = x가 성립하는 곡선들 중 특정 성질을 만족하는 동치류로 정의했다면, 미분 사상은 다음과 같이 된다.

:$\backslash mathrm\; d\; \backslash varphi\_x(\backslash gamma\text{'}(0))\; =\; (\backslash varphi\; \backslash circ\; \backslash gamma)\text{'}(0).$

4. 접다발 위의 미분 사상

M과 N이 매끄러운 다양체이고, φ : M → N가 매끄러운 함수라고 하자. x ∈ M가 주어졌을 때, $T\_x\; M$을 M의 x에서의 접공간, $T\_\{\backslash varphi\; \backslash left(\; x\; \backslash right)\}\; N$을 N의 φ(x)에서의 접공간이라 정의하면, φ의 x에서의 미분 사상은 다음과 같은 선형 사상이다.

:$\backslash mathrm\; d\; \backslash varphi\_x:T\_xM\backslash to\; T\_\{\backslash varphi(x)\}N\backslash ,$

만약 접공간을 γ(0) = x가 성립하는 곡선들 중 특정 성질을 만족하는 동치류로 정의했다면, 미분 사상은 다음과 같이 된다.

:$\backslash mathrm\; d\; \backslash varphi\_x(\backslash gamma\text{'}(0))\; =\; (\backslash varphi\; \backslash circ\; \backslash gamma)\text{'}(0).$

매끄러운 사상 $\backslash varphi$의 미분은 접다발 사이의 다발 사상 (벡터 다발 준동형사상) $d\backslash varphi$를 유도한다. 이는 다음 가환도표에 적합하다.

5. 벡터장의 푸시포워드

매끄러운 사상 φ : M → N과 M 위의 벡터장 X가 주어졌을 때, 일반적으로 φ에 의한 X의 푸시포워드를 N 위의 어떤 벡터장과 동일시하는 것은 불가능하다. 예를 들어, 사상 φ가 전사 함수가 아니면, φ의 이미지 밖에서는 그러한 푸시포워드를 정의할 자연스러운 방법이 없다. 또한, φ가 단사 함수가 아니면 주어진 점에서 푸시포워드를 선택하는 방법이 두 개 이상일 수 있다. 그럼에도 불구하고, 사상에 따른 벡터장의 개념을 사용하여 이러한 어려움을 정확하게 만들 수 있다.

M 위의 φ^∗TN의 단면을 사상 φ에 따른 벡터장이라고 한다. 예를 들어, M이 N의 부분 다양체이고 φ가 포함 사상인 경우, φ에 따른 벡터장은 M을 따른 N의 접다발의 단면이다. 특히, M 위의 벡터장은 TM을 TN 안에 포함시켜 그러한 단면을 정의한다.

X가 M 위의 벡터장, 즉 TM의 단면이라고 가정하자. 그러면, dφ ∘ X는 푸시포워드 φ_∗X를 생성하는데, 이는 φ에 따른 벡터장, 즉 M 위의 φ^∗TN의 단면이다.

N 위의 임의의 벡터장 Y는 (φ^∗Y)_x = Y_φ(x)를 갖는 φ^∗TN의 당김 단면 φ^∗Y를 정의한다. M 위의 벡터장 X와 N 위의 벡터장 Y는 φ-관련이라고 하는데, 이는 φ_∗X = φ^∗Y가 φ에 따른 벡터장으로 성립할 때이다. 다시 말해, M의 모든 x에 대해 dφ_x(X) = Y_φ(x)가 성립한다.

어떤 상황에서는, M 위의 X 벡터장이 주어졌을 때, X와 φ-관련된 N 위의 유일한 벡터장 Y가 존재한다. 이것은 특히 φ가 미분 동형 사상일 때 성립한다. 이 경우, 푸시포워드는 다음으로 주어진 N 위의 벡터장 Y를 정의한다.

: Y_y = φ_*(X_φ^-1(y)).

더 일반적인 상황은 φ가 전사적인 경우 (예: 섬유 다발의 다발 투영) 발생한다. 이때 M 위의 벡터장 X는 N의 모든 y에 대해 dφ_x(X_x)가 φ⁻¹({y})의 x의 선택에 무관할 때 투영 가능이라고 한다. 이것이 N 위의 벡터장으로서의 X의 푸시포워드가 잘 정의되도록 보장하는 정확한 조건이다.

5.1. 리 군에서의 푸시포워드 예시

리 군 $G$의 곱셈 사상 $m(-,-)\; :\; G\backslash times\; G\; \backslash to\; G$을 이용하여 왼쪽 곱셈 $L\_g\; =\; m(g,-)$와 오른쪽 곱셈 $R\_g\; =\; m(-,g)$ 사상 $G\; \backslash to\; G$를 정의할 수 있다. 이를 통해 $G$의 원점에서의 접선 공간 $\backslash mathfrak\{g\}\; =\; T\_e\; G$(이는 관련 리 대수)으로부터 $G$에 대한 왼쪽 또는 오른쪽 불변 벡터장을 구성할 수 있다. 예를 들어 $X\; \backslash in\; \backslash mathfrak\{g\}$에 대해, $\backslash mathfrak\{X\}\_g\; =\; (L\_g)\_*(X)\; \backslash in\; T\_g\; G$로 정의된 벡터장 $\backslash mathfrak\{X\}$을 얻는다.

만약 $\backslash gamma(0)\; =\; e$이고 $\backslash gamma\text{'}(0)\; =\; X$인 곡선 $\backslash gamma:\; (-1,1)\; \backslash to\; G$가 주어지면, 다음이 성립한다.
$$\backslash begin\{align\}$$
(L_g)_*(X) &= (L_g\circ \gamma)'(0) \\
&= (g\cdot \gamma(t))'(0) \\
&= \frac{dg}{d\gamma}\gamma(0) + g\cdot \frac{d\gamma}{dt} (0) \\
&= g \cdot \gamma'(0)
\end{align}
이는 $L\_g$가 $\backslash gamma$에 대해 상수이기 때문이다. 따라서 접선 공간 $T\_g\; G$는 $T\_g\; G\; =\; g\backslash cdot\; T\_e\; G\; =\; g\backslash cdot\; \backslash mathfrak\{g\}$로 나타낼 수 있다.

하이젠베르크 군의 경우, 리 대수는 다음과 같이 주어진다.
$$\backslash mathfrak\{h\}\; =\; \backslash left\backslash \{$$
\begin{bmatrix}
0 & a & b \\
0 & 0 & c \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix} : a,b,c \in \mathbb{R}
\right\}
인 행렬의 상위 항목 중 하나에서 임의의 실수를 제공하는 경로를 찾을 수 있기 때문이다.

다른 예시로,
$$G\; =\; \backslash left\backslash \{$$
\begin{bmatrix}
a & b \\
0 & 1/a
\end{bmatrix} : a,b \in \mathbb{R}, a \neq 0
\right\}
인 그룹에서, 리 대수는
$$\backslash mathfrak\{g\}\; =\; \backslash left\backslash \{$$
\begin{bmatrix}
a & b \\
0 & -a
\end{bmatrix} : a,b \in \mathbb{R}
\right\}
로 주어진다.

6. 한국 미분기하학의 발전 (추가 제안)