미분 사상

3. 매끄러운 함수의 미분

φ : ''M'' → ''N''를 매끄러운 다양체 사이에서 정의된 매끄러운 함수라고 하자. ''x'' ∈ ''M''가 주어졌을 때, dφ_x는 ''M''의 x에서의 접공간 T_xM에서 ''N''의 φ(''x'')에서의 접공간 T_φ(x)N으로 가는 선형 사상이다.

접벡터를 γ(0) = ''x''를 만족하는 곡선들의 동치류로 정의하면, 미분은 다음과 같이 주어진다.

:dφ_x(γ'(0)) = (φ ∘ γ)'(0).

여기서 γ는 γ(0) = x를 만족하는 M의 곡선이고, γ'(0)는 0에서 곡선 γ에 대한 접벡터이다. 다시 말해, 0에서 곡선 γ에 대한 접벡터의 푸시포워드는 0에서 곡선 φ ∘ γ에 대한 접벡터이다.

접벡터를 매끄러운 실수 값을 갖는 함수에 작용하는 유도로 정의하면, 미분은 다음과 같이 주어진다.

:dφ_x(X)(f) = X(f ∘ φ),

임의의 함수 f ∈ C^∞(''N'')와 점 ''x'' ∈ ''M''에서의 임의의 유도 X ∈ T_xM에 대해 정의에 의해, X의 푸시포워드는 T_φ(x)N에 있으며, 따라서 자체적으로 유도, 즉 dφ_x(X) : C^∞(N) → ℝ이다.

아인슈타인 표기법을 사용하면 다음과 같이 표현할 수 있다.

:dφ_x(∂/∂u^a) = (∂φ^{^b}/∂u^a)(∂/∂v^b)

여기서 편미분은 주어진 차트에서 ''x''에 해당하는 ''U''의 점에서 평가된다. 선형성에 의해 확장하면 다음과 같은 행렬을 얻는다.

:(dφ_x)_a^b = ∂φ^{^b}/∂u^a.

따라서 미분은 각 점에서 매끄러운 사상 φ와 관련된 접공간 사이의 선형 변환이다. 일반적으로 미분이 가역적일 필요는 없다. 그러나, 만약 φ가 국소 미분 동형 사상이라면, dφ_x는 가역적이고, 그 역은 T_φ(x)N의 당김을 제공한다.

미분은 다음과 같은 다양한 다른 표기법으로 표현된다.

:Dφ_x, (φ_*)_x, φ'(''x''), T_xφ.

3. 1. 접벡터의 정의에 따른 미분

3. 2. 국소 좌표 표현

3. 3. 주요 성질

4. 접다발 위의 미분 사상

''M''과 ''N''이 매끄러운 다양체이고, ''φ'' : ''M'' → ''N''가 매끄러운 함수라고 하자. ''x'' ∈ ''M''가 주어졌을 때, $T\_x\; M$을 ''M''의 x에서의 접공간, $T\_\{\backslash varphi\; \backslash left(\; x\; \backslash right)\}\; N$을 ''N''의 φ(''x'')에서의 접공간이라 정의하면, φ의 ''x''에서의 미분 사상은 다음과 같은 선형 사상이다.

:$\backslash mathrm\; d\; \backslash varphi\_x:T\_xM\backslash to\; T\_\{\backslash varphi(x)\}N\backslash ,$

만약 접공간을 γ(0) = ''x''가 성립하는 곡선들 중 특정 성질을 만족하는 동치류로 정의했다면, 미분 사상은 다음과 같이 된다.

:$\backslash mathrm\; d\; \backslash varphi\_x(\backslash gamma\text{'}(0))\; =\; (\backslash varphi\; \backslash circ\; \backslash gamma)\text{'}(0).$

매끄러운 사상 $\backslash varphi$의 미분은 접다발 사이의 다발 사상 (벡터 다발 준동형사상) $d\backslash varphi$를 유도한다. 이는 다음 가환도표에 적합하다.

5. 벡터장의 푸시포워드

매끄러운 사상 ''φ'' : ''M'' → ''N''과 ''M'' 위의 벡터장 ''X''가 주어졌을 때, 일반적으로 ''φ''에 의한 ''X''의 푸시포워드를 ''N'' 위의 어떤 벡터장과 동일시하는 것은 불가능하다. 예를 들어, 사상 ''φ''가 전사 함수가 아니면, ''φ''의 이미지 밖에서는 그러한 푸시포워드를 정의할 자연스러운 방법이 없다. 또한, ''φ''가 단사 함수가 아니면 주어진 점에서 푸시포워드를 선택하는 방법이 두 개 이상일 수 있다. 그럼에도 불구하고, 사상에 따른 벡터장의 개념을 사용하여 이러한 어려움을 정확하게 만들 수 있다.

''M'' 위의 ''φ''^∗''TN''의 단면을 '''사상 ''φ''에 따른 벡터장'''이라고 한다. 예를 들어, ''M''이 ''N''의 부분 다양체이고 ''φ''가 포함 사상인 경우, ''φ''에 따른 벡터장은 ''M''을 따른 ''N''의 접다발의 단면이다. 특히, ''M'' 위의 벡터장은 ''TM''을 ''TN'' 안에 포함시켜 그러한 단면을 정의한다.

''X''가 ''M'' 위의 벡터장, 즉 ''TM''의 단면이라고 가정하자. 그러면, d''φ'' ∘ ''X''는 '''푸시포워드''' ''φ''_∗''X''를 생성하는데, 이는 ''φ''에 따른 벡터장, 즉 ''M'' 위의 ''φ''^∗''TN''의 단면이다.

''N'' 위의 임의의 벡터장 ''Y''는 (''φ''^∗''Y'')_''x'' = ''Y''_{''φ''(''x'')}를 갖는 ''φ''^∗''TN''의 당김 단면 ''φ''^∗''Y''를 정의한다. ''M'' 위의 벡터장 ''X''와 ''N'' 위의 벡터장 ''Y''는 '''φ-관련'''이라고 하는데, 이는 ''φ''_∗''X'' = ''φ''^∗''Y''가 ''φ''에 따른 벡터장으로 성립할 때이다. 다시 말해, ''M''의 모든 ''x''에 대해 d''φ''_''x''(''X'') = ''Y''_{''φ''(''x'')}가 성립한다.

어떤 상황에서는, ''M'' 위의 ''X'' 벡터장이 주어졌을 때, ''X''와 ''φ''-관련된 ''N'' 위의 유일한 벡터장 ''Y''가 존재한다. 이것은 특히 ''φ''가 미분 동형 사상일 때 성립한다. 이 경우, 푸시포워드는 다음으로 주어진 ''N'' 위의 벡터장 ''Y''를 정의한다.

: ''Y''_y = ''φ''_*(''X''_{''φ''^-1(''y'')}).

더 일반적인 상황은 ''φ''가 전사적인 경우 (예: 섬유 다발의 다발 투영) 발생한다. 이때 ''M'' 위의 벡터장 ''X''는 ''N''의 모든 ''y''에 대해 d''φ''_''x''(''X''_x)가 ''φ''⁻¹({''y''})의 ''x''의 선택에 무관할 때 '''투영 가능'''이라고 한다. 이것이 ''N'' 위의 벡터장으로서의 ''X''의 푸시포워드가 잘 정의되도록 보장하는 정확한 조건이다.

5. 1. 리 군에서의 푸시포워드 예시

6. 한국 미분기하학의 발전 (추가 제안)