야코비 행렬

1. 개요

야코비 행렬은 열린 집합 U ⊆ Rⁿ에 정의된 함수 f: U → R^m의 각 성분의 편도함수를 요소로 가지는 행렬로, 함수가 미분 가능할 때 전미분을 나타낸다. n=m일 경우 야코비 행렬의 행렬식을 야코비 행렬식이라고 하며, 함수 f의 동작에 대한 중요한 정보를 제공한다. 야코비 행렬은 동역학 시스템, 뉴턴 방법, 회귀 분석 및 최소 제곱법 등 다양한 분야에 응용된다.

2. 정의

열린집합 $U\backslash subseteq\backslash mathbb\; R^n$에 정의된 함수 $\backslash mathbf\; f\backslash colon\; U\backslash to\backslash mathbb\; R^m$가 점 $\backslash mathbf\; a\backslash in\; U$에서 미분 가능하다고 하자. 이 경우 $\backslash mathbf\; f$의 $\backslash mathbf\; a$에서의 야코비 행렬 $J(\backslash mathbf\; f)(\backslash mathbf\; a)$은 다음과 같다.

:$J(\backslash mathbf\; f)(\backslash mathbf\; a)=$
\begin{pmatrix}
(\partial f_1/\partial x_1)(\mathbf a) & (\partial f_1/\partial x_2)(\mathbf a) & \cdots & (\partial f_1/\partial x_n)(\mathbf a) \\
(\partial f_2/\partial x_1)(\mathbf a) & (\partial f_2/\partial x_2)(\mathbf a) & \cdots & (\partial f_2/\partial x_n)(\mathbf a) \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
(\partial f_m/\partial x_1)(\mathbf a) & (\partial f_m/\partial x_2)(\mathbf a) & \cdots & (\partial f_m/\partial x_n)(\mathbf a)
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\nabla f_1(\mathbf a) \\
\nabla f_2(\mathbf a) \\
\vdots \\
\nabla f_m(\mathbf a)
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
(\partial\mathbf f/\partial x_1)(\mathbf a) & (\partial\mathbf f/\partial x_2)(\mathbf a) & \cdots & (\partial\mathbf f/\partial x_n)(\mathbf a)
\end{pmatrix}\in\operatorname{Mat}(m,n;\mathbb R)


즉, 각 $J(\backslash mathbf\; f)(\backslash mathbf\; a)\_\{ij\}=(\backslash partial\; f\_i/\backslash partial\; x\_j)(\backslash mathbf\; a)$는 $\backslash mathbf\; f$의 $i$번째 성분의 $j$번째 변수에 대한 편도함수이다.

만약 $n=m$일 경우, 야코비 행렬은 정사각행렬이므로, 그 행렬식 $\backslash det\; J(\backslash mathbf\; f)(\backslash mathbf\; a)$을 취할 수 있다. 이를 $\backslash mathbf\; f$의 $\backslash mathbf\; a$에서의 야코비 행렬식이라고 한다.

특히, 열린집합 $U\backslash subseteq\backslash mathbb\; R^n$에 정의된 미분 가능 함수 $\backslash mathbf\; f\backslash colon\; U\backslash to\backslash mathbb\; R^m$의 야코비 행렬 $J(\backslash mathbf\; f)$은 다음과 같다.

:$J(\backslash mathbf\; f)\backslash colon\; U\backslash to\backslash operatorname\{Mat\}(m,n;\backslash mathbb\; R)$
:$J(\backslash mathbf\; f)\backslash colon\backslash mathbf\; x\backslash mapsto\; J(\backslash mathbf\; f)(\backslash mathbf\; x)\backslash qquad\backslash forall\backslash mathbf\; x\backslash in\; U$

2.1. 표기법

야코비 행렬은 다음과 같이 표기한다.
* J^영어(f)
* f′
* Df
* $\backslash frac\{\backslash partial(f\_1,\backslash dotsc,f\_m)\}\{\backslash partial(x\_1,\backslash dotsc,x\_n)\}$

마지막 표기($\backslash frac\{\backslash partial(f\_1,\backslash dotsc,f\_m)\}\{\backslash partial(x\_1,\backslash dotsc,x\_n)\}$)는 일부 문헌에서 야코비 행렬식을 나타내는 데 사용되기도 한다.

3. 성질

열린집합 $U\backslash subseteq\backslash mathbb\; R^n$에 정의된 함수 $\backslash mathbf\; f\backslash colon\; U\backslash to\backslash mathbb\; R^m$가 점 $\backslash mathbf\; a\backslash in\; U$에서 미분 가능하면, 다음이 성립한다.
:$\backslash mathbf\; f(\backslash mathbf\; a+\backslash Delta\; x)-\backslash mathbf\; f(\backslash mathbf\; a)=J(\backslash mathbf\; f)(\backslash mathbf\; a)\backslash Delta\backslash mathbf\; x+\backslash mathbf\; o(\backslash Vert\backslash Delta\backslash mathbf\; x\backslash Vert)$
\qquad(\Delta\mathbf x\to\mathbf 0)
즉, $J(\backslash mathbf\; f)(\backslash mathbf\; a)$는 $\backslash mathbf\; f$의 $\backslash mathbf\; a$에서의 프레셰 도함수이다.

함수 $\backslash mathbf\{f\}\; :\; \backslash mathbf\{R\}^n\; \backslash to\; \backslash mathbf\{R\}^m$가 1차 편도함수가 모두 $\backslash mathbf\{R\}^n$에서 존재한다고 가정하자. 이 함수는 점 $\backslash mathbf\{x\}\; \backslash in\; \backslash mathbf\{R\}^n$를 입력으로 받아 벡터 $\backslash mathbf\{f\}(\backslash mathbf\{x\})\; \backslash in\; \backslash mathbf\{R\}^m$를 출력한다. 그러면, 야코비 행렬 $\backslash mathbf\{J\_f\}\; \backslash in\; \backslash mathbf\{R\}^\{m\; \backslash times\; n\}$는 그 $(i,\; j)$번째 요소가 $\backslash frac\{\backslash partial\; f\_i\}\{\backslash partial\; x\_j\}$가 되도록 정의된다.

야코비 행렬은 $\backslash mathbf\{f\}$가 미분 가능한 모든 점에서 $\backslash mathbf\{f\}$의 전미분을 나타낸다. $\backslash mathbf\{h\}$가 열 행렬로 표현되는 변위 벡터인 경우, 행렬 곱 $\backslash mathbf\{J\}(\backslash mathbf\{x\})\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{h\}$는 또 다른 변위 벡터이며, $\backslash mathbf\{f\}(\backslash mathbf\{x\})$가 $\backslash mathbf\{x\}$에서 미분 가능한 함수인 경우, $\backslash mathbf\{x\}$의 근방에서 $\backslash mathbf\{f\}$의 변화에 대한 최적의 선형 근사이다. 즉, $\backslash mathbf\{y\}$를 $\backslash mathbf\{f\}(\backslash mathbf\{x\})\; +\; \backslash mathbf\{J\}(\backslash mathbf\{x\})\; \backslash cdot\; (\backslash mathbf\{y\}\; –\; \backslash mathbf\{x\})$에 매핑하는 함수는 $\backslash mathbf\{x\}$에 가까운 모든 점 $\backslash mathbf\{y\}$에 대해 $\backslash mathbf\{f\}(\backslash mathbf\{y\})$의 최적의 선형 근사이다. 선형 맵 $\backslash mathbf\{h\}\; \backslash to\; \backslash mathbf\{J\}(\backslash mathbf\{x\})\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{h\}$는 $\backslash mathbf\{x\}$에서 $\backslash mathbf\{f\}$의 "도함수" 또는 전미분이라고 알려져 있다.

만약 $\backslash mathbf\{f\}$가 $\backslash mathbf\{R\}^n$의 점 $\backslash mathbf\{p\}$에서 미분 가능하다면, 그 미분은 $\backslash mathbf\{J\}\_\backslash mathbf\{f\}(\backslash mathbf\{p\})$로 표현된다. 이 경우, $\backslash mathbf\{J\}\_\backslash mathbf\{f\}(\backslash mathbf\{p\})$로 표현되는 선형 변환은 점 $\backslash mathbf\{p\}$ 근처에서 $\backslash mathbf\{f\}$의 최적 선형 근사이며,

:$\backslash mathbf\; f(\backslash mathbf\; x)\; -\; \backslash mathbf\; f(\backslash mathbf\; p)\; =\; \backslash mathbf\; J\_\{\backslash mathbf\; f\}(\backslash mathbf\; p)(\backslash mathbf\; x\; -\; \backslash mathbf\; p)\; +\; o(\backslash |\backslash mathbf\; x\; -\; \backslash mathbf\; p\backslash |)\; \backslash quad\; (\backslash text\{as\; \}\; \backslash mathbf\{x\}\; \backslash to\; \backslash mathbf\{p\}),$

여기서 $o(\backslash |\backslash mathbf\; x\; -\; \backslash mathbf\; p\backslash |)$는 $\backslash mathbf\{x\}$가 $\backslash mathbf\{p\}$에 접근할 때 $\backslash mathbf\{x\}$와 $\backslash mathbf\{p\}$ 사이의 유클리드 거리보다 훨씬 빠르게 0에 접근하는 양이다.

합성 가능한 미분 가능 함수 $\backslash mathbf\{f\}\; :\; \backslash mathbf\{R\}^n\; \backslash to\; \backslash mathbf\{R\}^m$와 $\backslash mathbf\{g\}\; :\; \backslash mathbf\{R\}^m\; \backslash to\; \backslash mathbf\{R\}^k$는 연쇄 법칙을 만족하며, 즉 $\backslash mathbf\{R\}^n$의 $\backslash mathbf\{x\}$에 대해 $\backslash mathbf\{J\}\_\{\backslash mathbf\{g\}\; \backslash circ\; \backslash mathbf\{f\}\}(\backslash mathbf\{x\})\; =\; \backslash mathbf\{J\}\_\{\backslash mathbf\{g\}\}(\backslash mathbf\{f\}(\backslash mathbf\{x\}))\; \backslash mathbf\{J\}\_\{\backslash mathbf\{f\}\}(\backslash mathbf\{x\})$ 이다.

$\backslash mathbf\{f\}$가 점 $\backslash mathbf\{p\}$에서 임의의 편미분을 갖는다면, $\backslash mathbf\{p\}$에서 야코비 행렬이 존재한다. 그러나, $\backslash mathbf\{f\}$의 편미분 가능성만으로는 $\backslash mathbf\{f\}$의 미분 가능성을 말할 수 없으므로, 야코비 행렬이 존재하더라도 $\backslash mathbf\{f\}$는 $\backslash mathbf\{p\}$에서 반드시 전미분 가능하지 않다.

$\backslash mathbf\{f\}$가 $D$상의 점 $\backslash mathbf\{p\}$에서 미분 가능할 때,
:$\backslash lim\_\{x\backslash to\; p\}\backslash dfrac\{\backslash |f(x)-f(p)-\backslash mathit\{df\}(x-p)\backslash |\}\{\backslash |x-\; p\backslash |\}\; =0$
인 선형 사상 $\backslash mathit\{df\}$가 존재한다. 이때 이 선형 사상 $\backslash mathit\{df\}$의 표준 기저에 관한 표현 행렬은 $\backslash mathbf\{f\}$의 $\backslash mathbf\{p\}$에서의 야코비 행렬 $\backslash mathbf\{J\_f\}(\backslash mathbf\{p\})$에 의해 주어진다.

$\backslash mathbf\{f\}$가 점 $\backslash mathbf\{p\}$에서 미분 가능할 때, 점 $\backslash mathbf\{p\}$에서의 야코비 행렬 $\backslash mathbf\{J\_f\}(\backslash mathbf\{p\})$는 $\backslash mathbf\{x\}$가 $\backslash mathbf\{p\}$에 충분히 가까울 때
:$f(x)=f(p)+J\_f(p)(x-p)+o(\backslash |x-p\backslash |)$
인 관계를 만족한다.

4. 야코비 행렬식

야코비 행렬식(Jacobian determinant^영어)은 함수의 국소적 성질(확대, 축소, 방향 보존/반전)에 대한 정보를 제공하며, 다중 적분에서 변수 변환 시 중요한 역할을 한다.

$m=n$이면, $f$는 $\backslash mathbb\{R\}^n$에서 자기 자신으로의 함수가 되고 야코비 행렬은 정사각 행렬이 된다. 이때 이 행렬의 행렬식을 구성할 수 있는데, 이를 야코비 행렬식이라고 하며, 때로는 단순히 "야코비"라고 불리기도 한다.

주어진 점에서 야코비 행렬식은 해당 점 근처에서 $f$의 동작에 대한 중요한 정보를 제공한다. 예를 들어, 야코비 행렬식이 $p$에서 0이 아니면, $f$는 점 $p$ 근처에서 역함수를 갖는다. 또한 $p$에서 야코비 행렬식이 양수이면, $f$는 $p$ 근처에서 방향을 보존하고, 음수이면 방향을 반전시킨다. $p$에서 야코비 행렬식의 절댓값은 함수 $f$가 $p$ 근처에서 부피를 확장하거나 축소하는 정도를 나타내는데, 이것이 일반적인 치환 적분에 야코비 행렬식이 나타나는 이유이다.

야코비 행렬식은 이중 적분을 평가할 때 변수 변환을 수행하는 과정에서 사용된다. 좌표 변경을 반영하기 위해 야코비 행렬식의 크기는 적분 내에서 곱해지는 인수로 나타난다. 이는 $n$차원 $dV$ 요소가 새로운 좌표계에서 일반적으로 평행육면체가 되고, 평행육면체의 $n$-부피는 모서리 벡터들의 행렬식으로 표현되기 때문이다.

야코비 행렬은 행렬 미분 방정식의 평형점의 안정성을 결정하는 데에도 사용될 수 있다.

4.1. 역함수 정리

연속 미분 가능 함수는 야코비 행렬식이 0이 아닌 경우 특정 점 근처에서 역함수를 갖는다. 이것이 역함수 정리이다. 만약 야코비 행렬이 어떤 점 $p$에서 연속이고 비특이적이라면, 함수 $f$는 $p$의 근방으로 제한될 때 가역적이다. 다시 말해, 만약 야코비 행렬식이 한 점에서 0이 아니라면, 그 함수는 이 점 근처에서 국소적으로 가역적이다.

$m=n$일 때, $f$의 $p$에서의 야코비 행렬은 정사각 행렬이며, 야코비 행렬이 정칙 행렬일 경우, $f$는 국소적으로 전단사가 되며, 그 역함수는 $C^k$급이다. 이때, $f(p)$에서의 야코비 행렬은 $J\_f(p)$의 역행렬이 된다. 즉, $p$를 포함하는 어떤 영역 $D\text{'}$에 대해, $f$의 $D\text{'}$로의 제한
:$h\; :=\; f|\_\{D\text{'}\}\backslash colon\; D\text{'}\; \backslash to\; f(D\text{'})$
는 $C^k$급 전단사이고,
:$J\_\{h^\{-1\}\}(h(p))\; =\; (J\_h(p))^\{-1\}$
가 성립한다.

역함수 정리에 따르면, 야코비 행렬 $\backslash mathbf\{f\}\; :\; \backslash mathbf\{R\}^n\; \backslash to\; \backslash mathbf\{R\}^n$의 가역 함수의 행렬 역행렬은 역함수의 야코비 행렬이다. 즉, 점 $\backslash mathbf\{p\}$에서의 역함수의 야코비 행렬은 다음과 같다.

$$\backslash mathbf\; J\_\{\backslash mathbf\{f\}^\{-1\}\}(\backslash mathbf\{p\})\; =\; \{\backslash mathbf\; J^\{-1\}\_\{\backslash mathbf\{f\}\}(\backslash mathbf\{f\}^\{-1\}(\backslash mathbf\{p\}))\},$$

그리고 야코비 행렬식은 다음과 같다.

$$\backslash det(\backslash mathbf\{J\}\_\{\backslash mathbf\{f\}^\{-1\}\}(\backslash mathbf\{p\}))\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash det(\backslash mathbf\{J\}\_\{\backslash mathbf\{f\}\}(\backslash mathbf\{f\}^\{-1\}(\backslash mathbf\{p\})))\}.$$

(증명되지 않은) 야코비 추측은 다항 함수, 즉 n개의 변수에 있는 n개의 다항식으로 정의된 함수의 경우에 전역 가역성과 관련이 있다. 야코비 행렬식이 0이 아닌 상수(또는 이에 상응하여 복소 영점을 갖지 않는 경우)이면, 그 함수는 가역적이고 그 역함수는 다항 함수라고 주장한다.

4.2. 임계점

미분가능 함수 의 임계점은 야코비 행렬의 계수가 최대가 아닌 점이다. 이는 임계점에서의 계수가 어떤 인접점에서의 계수보다 낮다는 것을 의미한다. 다시 말해, 를 의 이미지에 포함된 열린 공의 최대 차원이라고 할 때, 모든 계수의 소행렬식이 0이면 그 점은 임계점이다.

인 경우, 야코비 행렬식이 0이면 그 점은 임계점이다.

5. 응용

야코비 행렬은 동역학 시스템에서 정지점 근처의 시스템 안정성을 분석하고, 뉴턴 방법을 통해 제곱 연립 비선형 방정식을 푸는 데 사용된다. 또한 통계적 회귀 분석 및 곡선 맞춤에서 선형화된 설계 행렬 역할을 하며, 비선형 최소 제곱법에 활용된다.

5.1. 동역학 시스템

다음과 같은 형태의 동역학 시스템을 고려해 볼 수 있다. $\backslash dot\{\backslash mathbf\{x\}\}\; =\; F(\backslash mathbf\{x\})$. 여기서 $\backslash dot\{\backslash mathbf\{x\}\}$는 진화 매개변수 $t$(시간)에 대한 $\backslash mathbf\{x\}$의 (성분별) 도함수이고, $F\; \backslash colon\; \backslash mathbb\{R\}^\{n\}\; \backslash to\; \backslash mathbb\{R\}^\{n\}$는 미분 가능하다. 만약 $F(\backslash mathbf\{x\}\_\{0\})\; =\; 0$이면, $\backslash mathbf\{x\}\_\{0\}$는 정지점(정상 상태)이다. 하트만-그로브만 정리에 따르면, 정지점 근처의 시스템 거동은 정지점에서 $F$의 야코비 행렬인 $\backslash mathbf\{J\}\_\{F\}\; \backslash left(\; \backslash mathbf\{x\}\_\{0\}\; \backslash right)$의 고유값과 관련이 있다. 구체적으로, 고유값의 실수부가 모두 음수이면 시스템은 정지점 근처에서 안정적이다. 만약 고유값 중 실수부가 양수인 것이 있다면, 그 점은 불안정하다. 고유값의 가장 큰 실수부가 0이면, 야코비 행렬은 안정성을 평가할 수 없다.

5.2. 뉴턴 방법

제곱 연립 비선형 방정식은 뉴턴 방법을 통해 반복적으로 풀 수 있다. 이 방법은 방정식 시스템의 야코비 행렬을 사용한다.

5.3. 회귀 분석 및 최소 제곱법

야코비 행렬은 통계적 회귀 분석 및 곡선 맞춤에서 선형화된 설계 행렬 역할을 한다. 비선형 최소 제곱법을 참조하라. 야코비 행렬은 또한 임의 행렬, 모멘트, 국부 민감도 및 통계적 진단에도 사용된다.

6. 예시

야코비 행렬은 새로운 좌표 공간에서 단위 면적이 어떻게 변환되는지 보여주며, 적분을 시각적으로 이해할 수 있는 xy 좌표 공간에 매핑될 때 그 변화를 조사하여 이해할 수 있다. 이 과정은 새로운 좌표에 대한 편미분을 수행하고 행렬식을 적용하여 야코비 행렬을 얻는 것을 포함한다.

아래는 함수 의 야코비 행렬식 예시이다.

$$\backslash begin\{align\}$$
y_1 &= 5x_2 \\
y_2 &= 4x_1^2 - 2 \sin (x_2 x_3) \\
y_3 &= x_2 x_3
\end{align}

이 함수의 야코비 행렬식은 다음과 같다.

:$$\backslash begin\{vmatrix\}$$
0 & 5 & 0 \\
8 x_1 & -2 x_3 \cos(x_2 x_3) & -2 x_2 \cos (x_2 x_3) \\
0 & x_3 & x_2
\end{vmatrix} = -8 x_1 \begin{vmatrix}
5 & 0 \\
x_3 & x_2
\end{vmatrix} = -40 x_1 x_2.

이 결과에서 는 과 가 같은 부호를 가지는 점 근처에서 방향을 반전시킨다는 것을 알 수 있다. 이 함수는 또는 인 점 근처를 제외하고는 모든 곳에서 국소적으로 가역적이다. 예를 들어, 점 (1, 2, 3) 주변의 작은 물체에 를 적용하면, 그 물체의 부피는 원래 부피의 약 80배 (40 × 1 × 2)가 되고, 방향은 반전된다.

6.1. 예제 1

다음과 같은 함수 $\backslash mathbf\{f\}\; \backslash colon\; \backslash mathbb\{R\}^2\; \backslash to\; \backslash mathbb\{R\}^2$를 생각하자.

:$\backslash mathbf\{f\}(x,\; y)\; =\; (xy,\; \backslash sin\; xy)\; \backslash qquad\; \backslash forall\; x,\; y\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$

모든 편도함수는 다음과 같다.

:$\backslash frac\{\backslash partial\; f\_1\}\{\backslash partial\; x\}\; =\; y,\; \backslash ;\; \backslash frac\{\backslash partial\; f\_1\}\{\backslash partial\; y\}\; =\; x,\; \backslash ;\; \backslash frac\{\backslash partial\; f\_2\}\{\backslash partial\; x\}\; =\; y\; \backslash cos\; xy,\; \backslash ;\; \backslash frac\{\backslash partial\; f\_2\}\{\backslash partial\; y\}\; =\; x\; \backslash cos\; xy\; \backslash qquad\; \backslash forall\; x,\; y\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$

따라서, $\backslash mathbf\{f\}$의 야코비 행렬은 다음과 같다.

:

또한, $\backslash mathbf\{f\}$의 야코비 행렬식은 다음과 같다.

:$\backslash det\; J(\backslash mathbf\{f\})(\backslash mathbf\{x\})\; =\; 0\; \backslash qquad\; \backslash forall\; x,\; y\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$

6.2. 예제 2: 극좌표-직교좌표 변환

극좌표계 (r, φ)^영어에서 직교 좌표계 (x, y)로의 변환은 다음과 같은 성분을 가진 함수 F: R⁺ × [0, 2{{pi}}) → R^2영어로 주어진다.

$$\backslash begin\{align\}$$
x &= r \cos \varphi ; \\
y &= r \sin \varphi .
\end{align}

$$\backslash mathbf\; J\_\{\backslash mathbf\; F\}(r,\; \backslash varphi)$$
= \begin{bmatrix}
\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial\varphi}\\[0.5ex]
\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial\varphi}
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
\cos\varphi & - r\sin \varphi \\
\sin\varphi & r\cos \varphi
\end{bmatrix}

야코비 행렬식은 r과 같다. 이를 사용하여 두 좌표계 간의 적분을 변환할 수 있다.

$$\backslash iint\_\{\backslash mathbf\; F(A)\}\; f(x,\; y)\; \backslash ,dx\; \backslash ,dy\; =\; \backslash iint\_A\; f(r\; \backslash cos\; \backslash varphi,\; r\; \backslash sin\; \backslash varphi)\; \backslash ,\; r\; \backslash ,\; dr\; \backslash ,\; d\backslash varphi\; .$$

6.3. 예제 3: 구면좌표-직교좌표 변환

구면 좌표계에서 직교 좌표계로의 좌표 변환 f (r, θ, φ) = (r sinθcosφ, r sinθsinφ, r cosθ)에 대한 야코비 행렬은 다음과 같다.

:$|J\_f|\; =\backslash begin\{vmatrix\}$
\sin\theta\cos\phi & r\cos\theta\cos\phi & -r\sin\theta\sin\phi \\
\sin\theta\sin\phi & r\cos\theta\sin\phi & r\sin\theta\cos\phi \\
\cos\theta & -r\sin\theta & 0
\end{vmatrix}= r^2 \sin\theta

따라서 특이점은 r = 0 또는 sin θ = 0인 점, 즉 (0, θ, φ)와 (r, 0, φ), (r, π, φ)이다. 이것은 직교 좌표에서 (0, 0, 0), (0, 0, r), (0, 0, -r) 즉, z축을 나타낸다.

6.4. 추가 예제

다음은 함수 F : R³ → R⁴의 야코비 행렬이다.

:$$\backslash begin\{align\}$$
y_1 &= x_1 \\
y_2 &= 5 x_3 \\
y_3 &= 4 x_2^2 - 2 x_3 \\
y_4 &= x_3 \sin x_1
\end{align}

:$$\backslash mathbf\; J\_\{\backslash mathbf\; F\}(x\_1,\; x\_2,\; x\_3)\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}$$
\dfrac{\partial y_1}{\partial x_1} & \dfrac{\partial y_1}{\partial x_2} & \dfrac{\partial y_1}{\partial x_3} \\[1em]
\dfrac{\partial y_2}{\partial x_1} & \dfrac{\partial y_2}{\partial x_2} & \dfrac{\partial y_2}{\partial x_3} \\[1em]
\dfrac{\partial y_3}{\partial x_1} & \dfrac{\partial y_3}{\partial x_2} & \dfrac{\partial y_3}{\partial x_3} \\[1em]
\dfrac{\partial y_4}{\partial x_1} & \dfrac{\partial y_4}{\partial x_2} & \dfrac{\partial y_4}{\partial x_3} \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 5 \\
0 & 8 x_2 & -2 \\
x_3\cos x_1 & 0 & \sin x_1 \end{bmatrix}.

이 예는 야코비 행렬이 정사각행렬일 필요가 없음을 보여준다.

7. 다양체론에서의 야코비 행렬

다양체 간 사상의 야코비 행렬에 대해 설명한다.

을 각각 차원, 차원의 다양체로, 를 그 사이의 급 사상이라고 한다. 이때, 의 점 에서의 미분 는, 점 에서의 의 접벡터 공간 과, 점 에서의 의 접벡터 공간 사이의 선형 사상이 된다. 주위의 의 국소 좌표 } 및 주위의 의 국소 좌표 }를 정하면, 각각의 접벡터 공간에서의 기저가 정해진다. 이 기저에 관한 의 표현 행렬을 의 에서의 야코비 행렬이라고 부른다.

사상의 미분은 국소 좌표에 의존하지 않지만, 야코비 행렬은 국소 좌표의 선택에 의존한다. 단, 같은 사상의, 국소 좌표의 선택 방식을 바꾼 야코비 행렬끼리는 서로 켤레이다.

이 정의는, 앞서 정의한 것의 확장이다. 을 (의 열린 집합), 을 으로 하여, 각각에 자명한 국소 좌표를 선택함으로써, 앞서 정의한 것과 일치한다.