야코비 행렬

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 표기법
3. 성질
4. 야코비 행렬식
- 4.1. 역함수 정리
- 4.2. 임계점
5. 응용
6. 예시
7. 다양체론에서의 야코비 행렬
참조

1. 개요

야코비 행렬은 열린 집합 U ⊆ Rⁿ에 정의된 함수 f: U → R^m의 각 성분의 편도함수를 요소로 가지는 행렬로, 함수가 미분 가능할 때 전미분을 나타낸다. n=m일 경우 야코비 행렬의 행렬식을 야코비 행렬식이라고 하며, 함수 f의 동작에 대한 중요한 정보를 제공한다. 야코비 행렬은 동역학 시스템, 뉴턴 방법, 회귀 분석 및 최소 제곱법 등 다양한 분야에 응용된다.

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편평도는 아직 내용이 없어 정의를 내릴 수 없는 위키백과 페이지이다.

야코비 행렬
정의
설명	벡터 값 함수의 모든 1차 편도함수를 담은 행렬
분야	미적분학, 선형대수학
명명 유래	카를 구스타프 야코프 야코비
행렬식
설명	야코비 행렬의 행렬식
기호	\|J\|
용도	변수 변환 시 사용

2. 정의

열린집합 $U\subseteq\mathbb R^n$ 에 정의된 함수 $\mathbf f\colon U\to\mathbb R^m$ 가 점 $\mathbf a\in U$ 에서 미분 가능하다고 하자. 이 경우 $\mathbf f$ 의 $\mathbf a$ 에서의 '''야코비 행렬''' $J(\mathbf f)(\mathbf a)$ 은 다음과 같다.

: $J(\mathbf f)(\mathbf a)=\begin{pmatrix}(\partial f_1/\partial x_1)(\mathbf a) & (\partial f_1/\partial x_2)(\mathbf a) & \cdots & (\partial f_1/\partial x_n)(\mathbf a) \\(\partial f_2/\partial x_1)(\mathbf a) & (\partial f_2/\partial x_2)(\mathbf a) & \cdots & (\partial f_2/\partial x_n)(\mathbf a) \\\vdots & \vdots & & \vdots \\(\partial f_m/\partial x_1)(\mathbf a) & (\partial f_m/\partial x_2)(\mathbf a) & \cdots & (\partial f_m/\partial x_n)(\mathbf a)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\nabla f_1(\mathbf a) \\\nabla f_2(\mathbf a) \\\vdots \\\nabla f_m(\mathbf a)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}(\partial\mathbf f/\partial x_1)(\mathbf a) & (\partial\mathbf f/\partial x_2)(\mathbf a) & \cdots & (\partial\mathbf f/\partial x_n)(\mathbf a)\end{pmatrix}\in\operatorname{Mat}(m,n;\mathbb R)$

즉, 각 $J(\mathbf f)(\mathbf a)_{ij}=(\partial f_i/\partial x_j)(\mathbf a)$ 는 $\mathbf f$ 의 $i$ 번째 성분의 $j$ 번째 변수에 대한 편도함수이다.

만약 $n=m$ 일 경우, 야코비 행렬은 정사각행렬이므로, 그 행렬식 $\det J(\mathbf f)(\mathbf a)$ 을 취할 수 있다. 이를 $\mathbf f$ 의 $\mathbf a$ 에서의 '''야코비 행렬식'''이라고 한다.

특히, 열린집합 $U\subseteq\mathbb R^n$ 에 정의된 미분 가능 함수 $\mathbf f\colon U\to\mathbb R^m$ 의 야코비 행렬 $J(\mathbf f)$ 은 다음과 같다.

: $J(\mathbf f)\colon U\to\operatorname{Mat}(m,n;\mathbb R)$

: $J(\mathbf f)\colon\mathbf x\mapsto J(\mathbf f)(\mathbf x)\qquad\forall\mathbf x\in U$

2. 1. 표기법

야코비 행렬은 다음과 같이 표기한다.^[8]^[9]

J^영어(f)
f′
Df
$\frac{\partial(f_1,\dotsc,f_m)}{\partial(x_1,\dotsc,x_n)}$

마지막 표기(

\frac{\partial(f_1,\dotsc,f_m)}{\partial(x_1,\dotsc,x_n)}

)는 일부 문헌에서 야코비 행렬식을 나타내는 데 사용되기도 한다.

3. 성질

열린집합 $U\subseteq\mathbb R^n$ 에 정의된 함수 $\mathbf f\colon U\to\mathbb R^m$ 가 점 $\mathbf a\in U$ 에서 미분 가능하면, 다음이 성립한다.

: $\mathbf f(\mathbf a+\Delta x)-\mathbf f(\mathbf a)=J(\mathbf f)(\mathbf a)\Delta\mathbf x+\mathbf o(\Vert\Delta\mathbf x\Vert)\qquad(\Delta\mathbf x\to\mathbf 0)$

즉, $J(\mathbf f)(\mathbf a)$ 는 $\mathbf f$ 의 $\mathbf a$ 에서의 프레셰 도함수이다.

함수 $\mathbf{f} : \mathbf{R}^n \to \mathbf{R}^m$ 가 1차 편도함수가 모두 $\mathbf{R}^n$ 에서 존재한다고 가정하자. 이 함수는 점 $\mathbf{x} \in \mathbf{R}^n$ 를 입력으로 받아 벡터 $\mathbf{f}(\mathbf{x}) \in \mathbf{R}^m$ 를 출력한다. 그러면, 야코비 행렬 $\mathbf{J_f} \in \mathbf{R}^{m \times n}$ 는 그 $(i, j)$ 번째 요소가 $\frac{\partial f_i}{\partial x_j}$ 가 되도록 정의된다.

야코비 행렬은 $\mathbf{f}$ 가 미분 가능한 모든 점에서 $\mathbf{f}$ 의 전미분을 나타낸다. $\mathbf{h}$ 가 열 행렬로 표현되는 변위 벡터인 경우, 행렬 곱 $\mathbf{J}(\mathbf{x}) \cdot \mathbf{h}$ 는 또 다른 변위 벡터이며, $\mathbf{f}(\mathbf{x})$ 가 $\mathbf{x}$ 에서 미분 가능한 함수인 경우, $\mathbf{x}$ 의 근방에서 $\mathbf{f}$ 의 변화에 대한 최적의 선형 근사이다. 즉, $\mathbf{y}$ 를 $\mathbf{f}(\mathbf{x}) + \mathbf{J}(\mathbf{x}) \cdot (\mathbf{y} – \mathbf{x})$ 에 매핑하는 함수는 $\mathbf{x}$ 에 가까운 모든 점 $\mathbf{y}$ 에 대해 $\mathbf{f}(\mathbf{y})$ 의 최적의 선형 근사이다. 선형 맵 $\mathbf{h} \to \mathbf{J}(\mathbf{x}) \cdot \mathbf{h}$ 는 $\mathbf{x}$ 에서 $\mathbf{f}$ 의 "도함수" 또는 전미분이라고 알려져 있다.

만약 $\mathbf{f}$ 가 $\mathbf{R}^n$ 의 점 $\mathbf{p}$ 에서 미분 가능하다면, 그 미분은 $\mathbf{J}_\mathbf{f}(\mathbf{p})$ 로 표현된다. 이 경우, $\mathbf{J}_\mathbf{f}(\mathbf{p})$ 로 표현되는 선형 변환은 점 $\mathbf{p}$ 근처에서 $\mathbf{f}$ 의 최적 선형 근사이며,

: $\mathbf f(\mathbf x) - \mathbf f(\mathbf p) = \mathbf J_{\mathbf f}(\mathbf p)(\mathbf x - \mathbf p) + o(\|\mathbf x - \mathbf p\|) \quad (\text{as } \mathbf{x} \to \mathbf{p}),$

여기서 $o(\|\mathbf x - \mathbf p\|)$ 는 $\mathbf{x}$ 가 $\mathbf{p}$ 에 접근할 때 $\mathbf{x}$ 와 $\mathbf{p}$ 사이의 유클리드 거리보다 훨씬 빠르게 0에 접근하는 양이다.

합성 가능한 미분 가능 함수 $\mathbf{f} : \mathbf{R}^n \to \mathbf{R}^m$ 와 $\mathbf{g} : \mathbf{R}^m \to \mathbf{R}^k$ 는 연쇄 법칙을 만족하며, 즉 $\mathbf{R}^n$ 의 $\mathbf{x}$ 에 대해 $\mathbf{J}_{\mathbf{g} \circ \mathbf{f}}(\mathbf{x}) = \mathbf{J}_{\mathbf{g}}(\mathbf{f}(\mathbf{x})) \mathbf{J}_{\mathbf{f}}(\mathbf{x})$ 이다.

$\mathbf{f}$ 가 점 $\mathbf{p}$ 에서 임의의 편미분을 갖는다면, $\mathbf{p}$ 에서 야코비 행렬이 존재한다. 그러나, $\mathbf{f}$ 의 편미분 가능성만으로는 $\mathbf{f}$ 의 미분 가능성을 말할 수 없으므로, 야코비 행렬이 존재하더라도 $\mathbf{f}$ 는 $\mathbf{p}$ 에서 반드시 전미분 가능하지 않다.

$\mathbf{f}$ 가 $D$ 상의 점 $\mathbf{p}$ 에서 미분 가능할 때,

: $\lim_{x\to p}\dfrac{\|f(x)-f(p)-\mathit{df}(x-p)\|}{\|x- p\|} =0$

인 선형 사상 $\mathit{df}$ 가 존재한다. 이때 이 선형 사상 $\mathit{df}$ 의 표준 기저에 관한 표현 행렬은 $\mathbf{f}$ 의 $\mathbf{p}$ 에서의 야코비 행렬 $\mathbf{J_f}(\mathbf{p})$ 에 의해 주어진다.

$\mathbf{f}$ 가 점 $\mathbf{p}$ 에서 미분 가능할 때, 점 $\mathbf{p}$ 에서의 야코비 행렬 $\mathbf{J_f}(\mathbf{p})$ 는 $\mathbf{x}$ 가 $\mathbf{p}$ 에 충분히 가까울 때

: $f(x)=f(p)+J_f(p)(x-p)+o(\|x-p\|)$

인 관계를 만족한다.

4. 야코비 행렬식

야코비 행렬식(Jacobian determinant^영어)은 함수의 국소적 성질(확대, 축소, 방향 보존/반전)에 대한 정보를 제공하며, 다중 적분에서 변수 변환 시 중요한 역할을 한다.^[5]^[6]^[7]

$m=n$ 이면, $f$ 는 $\mathbb{R}^n$ 에서 자기 자신으로의 함수가 되고 야코비 행렬은 정사각 행렬이 된다. 이때 이 행렬의 행렬식을 구성할 수 있는데, 이를 '''야코비 행렬식'''이라고 하며, 때로는 단순히 "야코비"라고 불리기도 한다.

주어진 점에서 야코비 행렬식은 해당 점 근처에서 $f$ 의 동작에 대한 중요한 정보를 제공한다. 예를 들어, 야코비 행렬식이 $p$ 에서 0이 아니면, $f$ 는 점 $p$ 근처에서 역함수를 갖는다. 또한 $p$ 에서 야코비 행렬식이 양수이면, $f$ 는 $p$ 근처에서 방향을 보존하고, 음수이면 방향을 반전시킨다. $p$ 에서 야코비 행렬식의 절댓값은 함수 $f$ 가 $p$ 근처에서 부피를 확장하거나 축소하는 정도를 나타내는데, 이것이 일반적인 치환 적분에 야코비 행렬식이 나타나는 이유이다.

비선형 매핑 $f \colon \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{2}$ 는 작은 사각형(왼쪽, 빨간색)을 왜곡된 평행사변형(오른쪽, 빨간색)으로 보낸다. 어떤 점에서의 야코비 행렬은 해당 점 근처에서 왜곡된 평행사변형의 최적의 선형 근사치를 제공하며(오른쪽, 반투명 흰색), 야코비 행렬식은 근사 평행사변형의 면적과 원래 사각형의 면적 비율을 제공한다.

야코비 행렬식은 이중 적분을 평가할 때 변수 변환을 수행하는 과정에서 사용된다. 좌표 변경을 반영하기 위해 야코비 행렬식의 크기는 적분 내에서 곱해지는 인수로 나타난다. 이는

n

차원

dV

요소가 새로운 좌표계에서 일반적으로 평행육면체가 되고, 평행육면체의

n

-부피는 모서리 벡터들의 행렬식으로 표현되기 때문이다.

야코비 행렬은 행렬 미분 방정식의 평형점의 안정성을 결정하는 데에도 사용될 수 있다.

4. 1. 역함수 정리

연속 미분 가능 함수는 야코비 행렬식이 0이 아닌 경우 특정 점 근처에서 역함수를 갖는다. 이것이 역함수 정리이다. 만약 야코비 행렬이 어떤 점

p

에서 연속이고 비특이적이라면, 함수

f

는

p

의 근방으로 제한될 때 가역적이다. 다시 말해, 만약 야코비 행렬식이 한 점에서 0이 아니라면, 그 함수는 이 점 근처에서 ''국소적으로 가역적''이다.^[1]

m=n

일 때,

f

의

p

에서의 야코비 행렬은 정사각 행렬이며, 야코비 행렬이 정칙 행렬일 경우,

f

는 국소적으로 전단사가 되며, 그 역함수는

C^k

급이다. 이때,

f(p)

에서의 야코비 행렬은

J_f(p)

의 역행렬이 된다.^[2] 즉,

p

를 포함하는 어떤 영역

D'

에 대해,

f

의

D'

로의 제한

:

h := f|_{D'}\colon D' \to f(D')

는

C^k

급 전단사이고,

:

J_{h^{-1}}(h(p)) = (J_h(p))^{-1}

가 성립한다.^[3]

역함수 정리에 따르면, 야코비 행렬

\mathbf{f} : \mathbf{R}^n \to \mathbf{R}^n

의 가역 함수의 행렬 역행렬은 역함수의 야코비 행렬이다. 즉, 점

\mathbf{p}

에서의 역함수의 야코비 행렬은 다음과 같다.^[4]

\mathbf J_{\mathbf{f}^{-1}}(\mathbf{p}) = {\mathbf J^{-1}_{\mathbf{f}}(\mathbf{f}^{-1}(\mathbf{p}))},

그리고 야코비 행렬식은 다음과 같다.^[5]

\det(\mathbf{J}_{\mathbf{f}^{-1}}(\mathbf{p})) = \frac{1}{\det(\mathbf{J}_{\mathbf{f}}(\mathbf{f}^{-1}(\mathbf{p})))}.

(증명되지 않은) 야코비 추측은 다항 함수, 즉 ''n''개의 변수에 있는 ''n''개의 다항식으로 정의된 함수의 경우에 전역 가역성과 관련이 있다. 야코비 행렬식이 0이 아닌 상수(또는 이에 상응하여 복소 영점을 갖지 않는 경우)이면, 그 함수는 가역적이고 그 역함수는 다항 함수라고 주장한다.^[6]

4. 2. 임계점

미분가능 함수 의 ''임계점''은 야코비 행렬의 계수가 최대가 아닌 점이다. 이는 임계점에서의 계수가 어떤 인접점에서의 계수보다 낮다는 것을 의미한다. 다시 말해, 를 의 이미지에 포함된 열린 공의 최대 차원이라고 할 때, 모든 계수의 소행렬식이 0이면 그 점은 임계점이다.

인 경우, 야코비 행렬식이 0이면 그 점은 임계점이다.

5. 응용

야코비 행렬은 동역학 시스템에서 정지점 근처의 시스템 안정성을 분석하고, 뉴턴 방법을 통해 제곱 연립 비선형 방정식을 푸는 데 사용된다. 또한 통계적 회귀 분석 및 곡선 맞춤에서 선형화된 설계 행렬 역할을 하며, 비선형 최소 제곱법에 활용된다.^[11]^[12]^[13]^[14]

5. 1. 동역학 시스템

다음과 같은 형태의 동역학 시스템을 고려해 볼 수 있다.

\dot{\mathbf{x}} = F(\mathbf{x})

. 여기서

\dot{\mathbf{x}}

는 진화 매개변수

t

(시간)에 대한

\mathbf{x}

의 (성분별) 도함수이고,

F \colon \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n}

는 미분 가능하다. 만약

F(\mathbf{x}_{0}) = 0

이면,

\mathbf{x}_{0}

는 정지점(정상 상태)이다. 하트만-그로브만 정리에 따르면, 정지점 근처의 시스템 거동은 정지점에서

F

의 야코비 행렬인

\mathbf{J}_{F} \left( \mathbf{x}_{0} \right)

의 고유값과 관련이 있다.^[11] 구체적으로, 고유값의 실수부가 모두 음수이면 시스템은 정지점 근처에서 안정적이다. 만약 고유값 중 실수부가 양수인 것이 있다면, 그 점은 불안정하다. 고유값의 가장 큰 실수부가 0이면, 야코비 행렬은 안정성을 평가할 수 없다.^[12]

5. 2. 뉴턴 방법

제곱 연립 비선형 방정식은 뉴턴 방법을 통해 반복적으로 풀 수 있다. 이 방법은 방정식 시스템의 야코비 행렬을 사용한다.^[1]

5. 3. 회귀 분석 및 최소 제곱법

야코비 행렬은 통계적 회귀 분석 및 곡선 맞춤에서 선형화된 설계 행렬 역할을 한다. 비선형 최소 제곱법을 참조하라. 야코비 행렬은 또한 임의 행렬, 모멘트, 국부 민감도 및 통계적 진단에도 사용된다.^[13]^[14]

6. 예시

야코비 행렬은 새로운 좌표 공간에서 단위 면적이 어떻게 변환되는지 보여주며, 적분을 시각적으로 이해할 수 있는 xy 좌표 공간에 매핑될 때 그 변화를 조사하여 이해할 수 있다.^[5]^[6]^[7] 이 과정은 새로운 좌표에 대한 편미분을 수행하고 행렬식을 적용하여 야코비 행렬을 얻는 것을 포함한다.

아래는 함수 의 야코비 행렬식 예시이다.

$\begin{align}y_1 &= 5x_2 \\y_2 &= 4x_1^2 - 2 \sin (x_2 x_3) \\y_3 &= x_2 x_3\end{align}$

이 함수의 야코비 행렬식은 다음과 같다.

: $\begin{vmatrix}0 & 5 & 0 \\8 x_1 & -2 x_3 \cos(x_2 x_3) & -2 x_2 \cos (x_2 x_3) \\0 & x_3 & x_2\end{vmatrix} = -8 x_1 \begin{vmatrix}5 & 0 \\x_3 & x_2\end{vmatrix} = -40 x_1 x_2.$

이 결과에서 는 과 가 같은 부호를 가지는 점 근처에서 방향을 반전시킨다는 것을 알 수 있다. 이 함수는 또는 인 점 근처를 제외하고는 모든 곳에서 국소적으로 가역적이다. 예를 들어, 점 (1, 2, 3) 주변의 작은 물체에 를 적용하면, 그 물체의 부피는 원래 부피의 약 80배 (40 × 1 × 2)가 되고, 방향은 반전된다.

6. 1. 예제 1

다음과 같은 함수

\mathbf{f} \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2

를 생각하자.

:

\mathbf{f}(x, y) = (xy, \sin xy) \qquad \forall x, y \in \mathbb{R}

모든 편도함수는 다음과 같다.

:

\frac{\partial f_1}{\partial x} = y, \; \frac{\partial f_1}{\partial y} = x, \; \frac{\partial f_2}{\partial x} = y \cos xy, \; \frac{\partial f_2}{\partial y} = x \cos xy \qquad \forall x, y \in \mathbb{R}

따라서,

\mathbf{f}

의 야코비 행렬은 다음과 같다.

:

J(\mathbf{f})(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} y & x \\ y \cos xy & x \cos xy \end{pmatrix} \qquad \forall x, y \in \mathbb{R}

또한,

\mathbf{f}

의 야코비 행렬식은 다음과 같다.

:

\det J(\mathbf{f})(\mathbf{x}) = 0 \qquad \forall x, y \in \mathbb{R}

6. 2. 예제 2: 극좌표-직교좌표 변환

극좌표계 (''r'', ''φ'')^영어에서 직교 좌표계 (''x'', ''y'')로의 변환은 다음과 같은 성분을 가진 함수 '''F''': '''R'''⁺ × [0, 2로 주어진다.

\begin{align}x &= r \cos \varphi ; \\y &= r \sin \varphi .\end{align}

\mathbf J_{\mathbf F}(r, \varphi)= \begin{bmatrix}\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial\varphi}\\[0.5ex]\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial\varphi}\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}\cos\varphi & - r\sin \varphi \\\sin\varphi &   r\cos \varphi\end{bmatrix}

야코비 행렬식은 ''r''과 같다. 이를 사용하여 두 좌표계 간의 적분을 변환할 수 있다.^[5]^[6]^[7]

\iint_{\mathbf F(A)} f(x, y) \,dx \,dy = \iint_A f(r \cos \varphi, r \sin \varphi) \, r \, dr \, d\varphi .

6. 3. 예제 3: 구면좌표-직교좌표 변환

구면 좌표계에서 직교 좌표계로의 좌표 변환 ''f'' (''r'', θ, φ) = (''r'' sinθcosφ, ''r'' sinθsinφ, ''r'' cosθ)에 대한 야코비 행렬은 다음과 같다.

:

|J_f| =\begin{vmatrix}\sin\theta\cos\phi &  r\cos\theta\cos\phi & -r\sin\theta\sin\phi \\\sin\theta\sin\phi &  r\cos\theta\sin\phi &  r\sin\theta\cos\phi \\\cos\theta         & -r\sin\theta         &  0\end{vmatrix}= r^2 \sin\theta

따라서 특이점은 ''r'' = 0 또는 sin θ = 0인 점, 즉 (0, θ, φ)와 (''r'', 0, φ), (''r'', π, φ)이다. 이것은 직교 좌표에서 (0, 0, 0), (0, 0, ''r''), (0, 0, -''r'') 즉, z축을 나타낸다.

6. 4. 추가 예제

다음은 함수 '''F''' : '''R'''³ → '''R'''⁴의 야코비 행렬이다.

:

\begin{align}y_1 &= x_1 \\y_2 &= 5 x_3 \\y_3 &= 4 x_2^2 - 2 x_3 \\y_4 &= x_3 \sin x_1\end{align}

:

\mathbf J_{\mathbf F}(x_1, x_2, x_3) = \begin{bmatrix}\dfrac{\partial y_1}{\partial x_1} & \dfrac{\partial y_1}{\partial x_2} & \dfrac{\partial y_1}{\partial x_3} \\[1em]\dfrac{\partial y_2}{\partial x_1} & \dfrac{\partial y_2}{\partial x_2} & \dfrac{\partial y_2}{\partial x_3} \\[1em]\dfrac{\partial y_3}{\partial x_1} & \dfrac{\partial y_3}{\partial x_2} & \dfrac{\partial y_3}{\partial x_3} \\[1em]\dfrac{\partial y_4}{\partial x_1} & \dfrac{\partial y_4}{\partial x_2} & \dfrac{\partial y_4}{\partial x_3} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 5 \\0 & 8 x_2 & -2 \\x_3\cos x_1 & 0 & \sin x_1 \end{bmatrix}.

이 예는 야코비 행렬이 정사각행렬일 필요가 없음을 보여준다.

7. 다양체론에서의 야코비 행렬

다양체 간 사상의 야코비 행렬에 대해 설명한다.

을 각각 차원, 차원의 다양체로, 를 그 사이의 급 사상이라고 한다. 이때, 의 점 에서의 미분 는, 점 에서의 의 접벡터 공간 과, 점 에서의 의 접벡터 공간 사이의 선형 사상이 된다. 주위의 의 국소 좌표 } 및 주위의 의 국소 좌표 }를 정하면, 각각의 접벡터 공간에서의 기저가 정해진다. 이 기저에 관한 의 표현 행렬을 의 에서의 야코비 행렬이라고 부른다.

사상의 미분은 국소 좌표에 의존하지 않지만, 야코비 행렬은 국소 좌표의 선택에 의존한다. 단, 같은 사상의, 국소 좌표의 선택 방식을 바꾼 야코비 행렬끼리는 서로 켤레이다.

이 정의는, 앞서 정의한 것의 확장이다. 을 (의 열린 집합), 을 으로 하여, 각각에 자명한 국소 좌표를 선택함으로써, 앞서 정의한 것과 일치한다^[16].

참조

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_[3] 웹사이트 Jacobian pronunciation: How to pronounce Jacobian in English https://forvo.com/wo[...] 2018-05-02
_[4] 웹사이트 Jacobian http://mathworld.wol[...] 2018-05-02
_[5] AV media Jacobian motivation, intuition, derivation/proof https://www.youtube.[...] 2024-10-20
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_[8] 서적 An Introduction to computational science Springer 2019
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_[11] 서적 Dynamical Systems: Differential Equations, Maps, and Chaotic Behaviour Chapman & Hall
_[12] 서적 Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra
_[13] 간행물 Matrix differential calculus with applications in the multivariate linear model and its diagnostics 2022-03
_[14] 간행물 Professor Heinz Neudecker and matrix differential calculus 2023
_[15] MathWorld Jacobian
_[16] 문서 ただし、冒頭の定義とは {{mvar|m}} と {{mvar|n}} の役割が逆になっている

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