미허일레스쿠 정리

1. 개요

미하일레스쿠 정리(Mihailescu's theorem)는 카탈랑 추측을 증명한 정리이다. 카탈랑 추측은 1844년 외젠 샤를 카탈랑이 제기한 것으로, x^a - y^b = 1 (x, a, y, b > 1)을 만족하는 자연수 해는 3² - 2³ = 1뿐이라는 내용이다. 2002년 프레다 미하일레스쿠에 의해 증명되었으며, 원분체와 갈루아 가군 이론을 광범위하게 사용했다. 이와 관련된 필라이 추측은 정수론의 미해결 문제로, 임의의 양의 정수 n에 대해, n을 두 완전 거듭제곱수의 차로 나타내는 방법이 유한하다는 내용을 담고 있다.

2. 카탈랑 추측

1844년 외젠 샤를 카탈랑은 방정식 x^a - y^b = 1 (단, x, a, y, b > 1)을 만족하는 자연수 해는 3² - 2³ = 1뿐임을 제시하였다. 이는 '카탈랑 추측'으로 불리며 오랫동안 증명되지 않은 채 난제로 남아있었다.

2.1. 카탈랑 추측의 증명

카탈랑 추측은 1844년 외젠 샤를 카탈랑이 제기한 후 158년 만인 2002년 4월 프레다 미하일레스쿠에 의해 증명되었다. 미하일레스쿠의 증명은 원분체와 갈루아 가군 이론을 광범위하게 사용하며, 유리 빌루가 부르바키 세미나에서 이 증명에 대한 해설을 제공했다. 미하일레스쿠는 2005년에 간소화된 증명을 발표하기도 했다.

이 문제의 역사는 1343년 게르소니데스가 (x, y)가 (2, 3) 또는 (3, 2)인 경우를 증명한 것에서 시작된다. 1850년 빅토르-아메데 레베스크는 b = 2인 경우를 다루었다. 1976년 로버트 티데만은 초월수론에서 베이커의 방법을 적용하여 a, b에 대한 상한과 하한을 설정하고, x, y, a, b에 대한 유효한 상한을 제시했다. 미셸 랑제뱅은 이 상한을 $\backslash exp\; \backslash exp\; \backslash exp\; \backslash exp\; 730\; \backslash approx\; 10^\{10^\{10^\{10^\{317\}\}\}\}$로 계산하여 유한한 경우를 제외한 모든 경우에 카탈랑의 추측을 해결했다.

3. 필라이 추측

필라이 추측은 1931년 인도 수학자 수바야 시바산카라나라야나 필라이가 제기한 정수론의 미해결 문제이다. 필라이 추측은 임의의 양의 정수 n에 대해, n을 두 완전 거듭제곱수의 차로 나타내는 방법이 유한하다는 내용이다. 더 나아가, 필라이는 방정식 $Ax^n\; -\; By^m\; =\; C$ (A, B, C는 고정된 양의 정수, m, n은 2 이상의 정수)의 해 (x, y, m, n)가 유한하다는 일반화된 추측을 제시했다. (m, n) ≠ (2, 2) 인 (x, y, m, n)에 대해 유한 개의 해를 갖는다고 추측했다. 필라이는 고정된 A, B, x, y에 대해, 그리고 1보다 작은 임의의 λ에 대해, $|Ax^n\; -\; By^m|\; \backslash gg\; x^\{\backslash lambda\; n\}$은 m과 n에 대해 균일하게 성립함을 증명했다. 필라이는 1 미만의 λ에 대해 차 $|Ax^n\; -\; By^m|\; \backslash gg\; x^\{\backslash lambda\; n\}$는 m과 n에서 균일하게 된다는 것을 증명했다.

일반적인 추측은 ABC 추측으로부터 유도될 수 있는 것으로 알려져 있다.

필라이 추측은 모든 자연수 n에 대해, 차이가 n인 완전 거듭제곱의 쌍이 유한 개만 존재한다는 것을 의미한다. 아래 표는 n ≤ 64에 대해, 두 거듭제곱의 지수가 1보다 크고, 10¹⁸보다 작은 완전 거듭제곱에 대한 모든 해를 보여준다.

3.1. 필라이 추측의 예시

필라이 추측은 모든 자연수 n에 대해, 차이가 n인 완전 거듭제곱수 쌍이 유한 개만 존재한다는 것을 의미한다. 아래 표는 n ≤ 64에 대해, 두 거듭제곱의 지수가 1보다 크고, 10¹⁸보다 작은 완전 거듭제곱에 대한 모든 해를 보여준다.

4. 대한민국에서의 의의