미허일레스쿠 정리
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1. 개요
미하일레스쿠 정리(Mihailescu's theorem)는 카탈랑 추측을 증명한 정리이다. 카탈랑 추측은 1844년 외젠 샤를 카탈랑이 제기한 것으로, xa - yb = 1 (x, a, y, b > 1)을 만족하는 자연수 해는 32 - 23 = 1뿐이라는 내용이다. 2002년 프레다 미하일레스쿠에 의해 증명되었으며, 원분체와 갈루아 가군 이론을 광범위하게 사용했다. 이와 관련된 필라이 추측은 정수론의 미해결 문제로, 임의의 양의 정수 n에 대해, n을 두 완전 거듭제곱수의 차로 나타내는 방법이 유한하다는 내용을 담고 있다.
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| 미허일레스쿠 정리 | |
|---|---|
| 기본 정보 | |
| 이름 | 카탈란 추측 |
| 로마자 표기 | Katalan chucheok |
| 분야 | 수론 |
| 제안자 | 외젠 샤를 카탈란 |
| 발표 년도 | 1844년 |
| 증명 년도 | 2002년 |
| 증명한 사람 | 프레다 미허일레스쿠 |
| 내용 | |
| 설명 | 1보다 큰 자연수 x, y, a, b에 대해 을 만족하는 유일한 해는 , , , 이다. |
| 일반화 및 관련 개념 | |
| 일반화 | 필츠 추측 |
| 관련 항목 | 카탈란 소수, 알리콧 수열, 카탈란-딕슨 추측 |
2. 카탈랑 추측
1844년 외젠 샤를 카탈랑은 방정식 ''x''''a'' - ''y''''b'' = 1 (단, ''x'', ''a'', ''y'', ''b'' > 1)을 만족하는 자연수 해는 32 - 23 = 1뿐임을 제시하였다. 이는 '카탈랑 추측'으로 불리며 오랫동안 증명되지 않은 채 난제로 남아있었다.
2. 1. 카탈랑 추측의 증명
카탈랑 추측은 1844년 외젠 샤를 카탈랑이 제기한 후[3] 158년 만인 2002년 4월 프레다 미하일레스쿠에 의해 증명되었다.[5] 미하일레스쿠의 증명은 원분체와 갈루아 가군 이론을 광범위하게 사용하며[5], 유리 빌루가 부르바키 세미나에서 이 증명에 대한 해설을 제공했다.[5] 미하일레스쿠는 2005년에 간소화된 증명을 발표하기도 했다.[6]이 문제의 역사는 1343년 게르소니데스가 (''x'', ''y'')가 (2, 3) 또는 (3, 2)인 경우를 증명한 것에서 시작된다.[3] 1850년 빅토르-아메데 레베스크는 ''b'' = 2인 경우를 다루었다.[3] 1976년 로버트 티데만은 초월수론에서 베이커의 방법을 적용하여 ''a'', ''b''에 대한 상한과 하한을 설정하고, ''x'', ''y'', ''a'', ''b''에 대한 유효한 상한을 제시했다.[4] 미셸 랑제뱅은 이 상한을 로 계산하여 유한한 경우를 제외한 모든 경우에 카탈랑의 추측을 해결했다.[4]
3. 필라이 추측
'''필라이 추측'''은 1931년 인도 수학자 수바야 시바산카라나라야나 필라이가 제기한 정수론의 미해결 문제이다.[15] 필라이 추측은 임의의 양의 정수 ''n''에 대해, ''n''을 두 완전 거듭제곱수의 차로 나타내는 방법이 유한하다는 내용이다.[15] 더 나아가, 필라이는 방정식 (''A'', ''B'', ''C''는 고정된 양의 정수, ''m'', ''n''은 2 이상의 정수)의 해 (''x'', ''y'', ''m'', ''n'')가 유한하다는 일반화된 추측을 제시했다.[15] (''m'', ''n'') ≠ (2, 2) 인 (''x'', ''y'', ''m'', ''n'')에 대해 유한 개의 해를 갖는다고 추측했다. 필라이는 고정된 ''A'', ''B'', ''x'', ''y''에 대해, 그리고 1보다 작은 임의의 λ에 대해, 은 ''m''과 ''n''에 대해 균일하게 성립함을 증명했다. 필라이는 1 미만의 λ에 대해 차 는 ''m''과 ''n''에서 균일하게 된다는 것을 증명했다.[15]
일반적인 추측은 ABC 추측으로부터 유도될 수 있는 것으로 알려져 있다.[16][17]
필라이 추측은 모든 자연수 ''n''에 대해, 차이가 ''n''인 완전 거듭제곱의 쌍이 유한 개만 존재한다는 것을 의미한다. 아래 표는 ''n'' ≤ 64에 대해, 두 거듭제곱의 지수가 1보다 크고, 1018보다 작은 완전 거듭제곱에 대한 모든 해를 보여준다.
| n | 해 개수 | k와 k + n이 모두 완전 거듭제곱인 숫자 k | rowspan="33" style="padding:2px;background:white;border:none;"| | n | 해 개수 | k와 k + n이 모두 완전 거듭제곱인 숫자 k |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 8 | 33 | 2 | 16, 256 |
| 2 | 1 | 25 | 34 | 0 | 없음 |
| 3 | 2 | 1, 125 | 35 | 3 | 1, 289, 1296 |
| 4 | 3 | 4, 32, 121 | 36 | 2 | 64, 1728 |
| 5 | 2 | 4, 27 | 37 | 3 | 27, 324, 14348907 |
| 6 | 0 | 없음 | 38 | 1 | 1331 |
| 7 | 5 | 1, 9, 25, 121, 32761 | 39 | 4 | 25, 361, 961, 10609 |
| 8 | 3 | 1, 8, 97336 | 40 | 4 | 9, 81, 216, 2704 |
| 9 | 4 | 16, 27, 216, 64000 | 41 | 3 | 8, 128, 400 |
| 10 | 1 | 2187 | 42 | 0 | 없음 |
| 11 | 4 | 16, 25, 3125, 3364 | 43 | 1 | 441 |
| 12 | 2 | 4, 2197 | 44 | 3 | 81, 100, 125 |
| 13 | 3 | 36, 243, 4900 | 45 | 4 | 4, 36, 484, 9216 |
| 14 | 0 | 없음 | 46 | 1 | 243 |
| 15 | 3 | 1, 49, 1295029 | 47 | 6 | 81, 169, 196, 529, 1681, 250000 |
| 16 | 3 | 9, 16, 128 | 48 | 4 | 1, 16, 121, 21904 |
| 17 | 7 | 8, 32, 64, 512, 79507, 140608, 143384152904 | 49 | 3 | 32, 576, 274576 |
| 18 | 3 | 9, 225, 343 | 50 | 0 | 없음 |
| 19 | 5 | 8, 81, 125, 324, 503284356 | 51 | 2 | 49, 625 |
| 20 | 2 | 16, 196 | 52 | 1 | 144 |
| 21 | 2 | 4, 100 | 53 | 2 | 676, 24336 |
| 22 | 2 | 27, 2187 | 54 | 2 | 27, 289 |
| 23 | 4 | 4, 9, 121, 2025 | 55 | 3 | 9, 729, 175561 |
| 24 | 5 | 1, 8, 25, 1000, 542939080312 | 56 | 4 | 8, 25, 169, 5776 |
| 25 | 2 | 100, 144 | 57 | 3 | 64, 343, 784 |
| 26 | 3 | 1, 42849, 6436343 | 58 | 0 | 없음 |
| 27 | 3 | 9, 169, 216 | 59 | 1 | 841 |
| 28 | 7 | 4, 8, 36, 100, 484, 50625, 131044 | 60 | 4 | 4, 196, 2515396, 2535525316 |
| 29 | 1 | 196 | 61 | 2 | 64, 900 |
| 30 | 1 | 6859 | 62 | 0 | 없음 |
| 31 | 2 | 1, 225 | 63 | 4 | 1, 81, 961, 183250369 |
| 32 | 4 | 4, 32, 49, 7744 | 64 | 4 | 36, 64, 225, 512 |
각 ''n''에 대한 이러한 해의 개수는 에 나열되어 있다. 또한 가장 작은 해 (> 0)는 을 참조하라.
3. 1. 필라이 추측의 예시
개수모두 완전 거듭제곱인 숫자 k