원분체

3. 성질

원분체 $\backslash mathbb\; Q(\backslash zeta\_n)/\backslash mathbb\; Q$는 갈루아 확대이며, 그 차수는 오일러 피 함수 $\backslash varphi(n)$으로 주어진다.

:$[\backslash mathbb\; Q(\backslash zeta\_n):\backslash mathbb\; Q]=\backslash phi(n)$

또한, 원분체는 유리수체의 아벨 확대이다. 크로네커-베버 정리에 따르면, 유리수체 $\backslash mathbb\{Q\}$의 모든 유한 아벨 확대는 어떤 $n$에 대해 $\backslash mathbb\{Q\}(\backslash zeta\_n)$에 포함된다. 이는 모든 원분체 $\backslash mathbb\{Q\}(\backslash zeta\_n)$의 합집합이 $\backslash mathbb\{Q\}$의 최대 아벨 확대 $\backslash mathbb\{Q\}^\{ab\}$라는 것과 같다.

원분체 $\backslash textstyle\; \backslash mathbb\{Q\}(\backslash zeta\_m)$에 포함되는 대수적 정수의 집합은 $\backslash textstyle\; \backslash mathbb\{Z\}[\backslash zeta\_m]$이다.

3 이상의 정수 ''m''에 대해, 원분체 $\backslash textstyle\; \backslash mathbb\{Q\}(\backslash zeta\_m)$의 확대 차수는 $\backslash textstyle\; \backslash varphi(m)$이다. ($\backslash textstyle\; \backslash varphi(n)$는 오일러 피 함수)

임의의 원분체는 갈루아 확대이며, 갈루아 군은 아벨 군이다.

$\backslash mathbb\{Q\}(\backslash zeta\_m)\backslash cap\backslash mathbb\{R\}\; =\; \backslash mathbb\{Q\}(\backslash zeta\_m\; +\; 1/\backslash zeta\_m)$이다. 이 $\backslash textstyle\; \backslash mathbb\{Q\}(\backslash zeta\_m\; +\; 1/\backslash zeta\_m)$를 '''최대 실수 부분체''' 또는 '''실 원분체'''라고 한다.

디리클레 단위 정리에 의해 단위군은 랭크가 $\backslash varphi(n)/2\; -\; 1$인 유한 생성 아벨 군이다. 특히, $\backslash mathbb\{Z\}[\backslash zeta\_n]^\backslash times$는 $n\; \backslash in\; \backslash \{1,\; 2,\; 3,\; 4,\; 6\backslash \}$에 대해서만 유한군이다. $\backslash mathbb\{Z\}[\backslash zeta\_n]^\backslash times$의 꼬임 부분군은 $\backslash mathbb\{Q\}(\backslash zeta\_n)$에 있는 단위근의 군이다. 원분 단위는 $\backslash mathbb\{Z\}[\backslash zeta\_n]^\backslash times$의 유한 지수 부분군을 형성한다.

원분체 $\backslash textstyle\; \backslash mathbb\{Q\}(\backslash zeta\_m)$의 유수(類數)를 $h(m)$, 최대 실부분체 $\backslash textstyle\; \backslash mathbb\{Q\}(\backslash zeta\_m+1/\backslash zeta\_m)$의 유수를 $h\_2(m)$이라고 하면,

$h(m)\; =\; h\_1(m)h\_2(m)$ ($h\_1(m)$은 유리 정수)로 나타낼 수 있다.

이 때, $h\_1(m)$을 '''제1 인자''' 또는 '''상대 유수''', $h\_2(m)$을 '''제2 인자''' 또는 '''실수 유수'''라고 한다.

제1 인자에 대해서는, 다음과 같은 성질이 있다.

• 소수 ''p''에 대해, ''p''가 $h(p)$를 나누어 떨어지게 하는 필요충분 조건은, ''p''가 제1 인자를 나누어 떨어지게 하는 것이다. 즉, 제1 인자가 ''p''로 나누어 떨어지지 않으면, ''p''는 정규 소수이다. 이 성질에 의해, 제1 인자는 페르마의 마지막 정리와 관련하여 많은 연구가 이루어지고 있다.
• 소수 ''p''에 대해, ''p''가 제1 인자를 나누어 떨어지게 하는 필요충분 조건은, $p^2$이 $\backslash textstyle\; \backslash sum\_\{j=1\}^\{p-1\}j^\{2k\}$를 나누어 떨어지게 하는 정수 ''k'' $\backslash textstyle\; (1\backslash leqq\; k\backslash leqq\; (p-3)/2)$가 존재한다는 것이다.
• $h\_1(p)$가 홀수이면, $h\_2(p)$는 홀수이다.

4. 원분체와 정다각형

가우스는 자와 컴퍼스로 작도하는 정다각형인 정 ''n''-각형의 문제와 관련하여, 사이클로토믹 체 이론에 대한 초기 진전을 이루었다. 그의 선배들이 놓쳤던 놀라운 결과는 정십칠각형을 그렇게 작도할 수 있다는 것이었다. 더 일반적으로, 임의의 정수 ''n'' ≥ 3에 대해 다음은 동치이다.

• 정 ''n''-각형은 작도가능하다.
• 로 시작하여 로 끝나는 일련의 체가 존재하며, 각 체는 이전 체의 2차 확장이다.
• 는 2의 거듭제곱이다.
• $n=2^a\; p\_1\; \backslash cdots\; p\_r$ (여기서 ''a'', ''r'' ≥ 0 인 정수, $p\_1,\backslash ldots,p\_r$는 페르마 소수)이다. 페르마 소수는 이 2의 거듭제곱인 홀수 소수 ''p''이다. 알려진 페르마 소수는 3, 5, 17, 257, 65537이며, 더 이상 없을 가능성이 높다.
• 와 : 방정식 $\backslash zeta\_3\; =\; \backslash tfrac\{-1+\backslash sqrt\{-3\}\}\{2\}$ 와 $\backslash zeta\_6\; =\; \backslash tfrac\{1+\backslash sqrt\{-3\}\}\{2\}$ 는 이며, 이는 의 이차 확장임을 보여준다. 이에 따라 정삼각형과 정육각형은 작도가 가능하다.
• : 마찬가지로 이므로 이며, 정사각형은 작도가 가능하다.
• : 는 의 이차 확장이 아니지만, 이차 확장인 의 이차 확장이라 정오각형은 작도가 가능하다.

5. 원분체와 페르마의 마지막 정리

페르마의 마지막 정리를 증명하는 방법 중 하나는 페르마 방정식의 좌변을 인수분해하는 것이다.

:$x^n\; +\; y^n\; =\; (x\; +\; y)(x\; +\; \backslash zeta\; y)\backslash cdots\; (x\; +\; \backslash zeta^\{n-1\}\; y)$

여기서 $x$와 $y$는 일반적인 정수이고, 인수는 원분체 $\backslash mathbb\{Q\}(\backslash zeta\_n)$의 대수적 정수이다. 만약 원분 정수 $\backslash mathbb\{Z\}[\backslash zeta\_n]$에서 유일 인수 분해가 성립한다면, 이를 통해 페르마 방정식의 해가 없음을 보일 수 있다.

쿠머는 유일 인수 분해가 성립하지 않는 경우를 해결하는 방법을 찾았다. 그는 원분 정수에서 소수의 대체물을 도입하고, 류수 $h\_n$를 통해 유일 인수 분해의 실패를 측정하였다. 만약 $h\_p$가 소수 $p$로 나누어 떨어지지 않는다면 (이러한 $p$를 ''정칙 소수''라고 한다), 페르마의 마지막 정리가 지수 $n=p$에 대해 성립한다는 것을 증명했다.

소수 $p$에 대하여,

:$x^p\; +\; y^p\; =\; z^p$

의 좌변을 $\backslash mathbb\{Q\}(\backslash zeta\_p)$ 위에서 분해하면,

:$(x\; +\; y)(x\; +\; \backslash zeta\_p\; y)\backslash cdots\; (x\; +\; \backslash zeta\_p^\{p-1\}\; y)\; =\; z^p$

가 된다. 코시 등은 위 좌변을 분석하여 페르마의 마지막 정리가 성립함을 증명했다고 발표했다. 그러나 쿠머는 그들의 증명이 좌변의 분해가 유일하다는 것을 전제로 하며, $p=23$일 때 성립하지 않음을 보였다.

쿠머는 소수의 분해가 유일하지 않더라도, 정칙 소수인 경우 페르마의 마지막 정리가 성립함을 증명했다. 정칙 소수는 다음과 같은 성질을 갖는다.

• 소수 $p$는 원분체 $\backslash mathbb\{Q\}(\backslash zeta\_p)$의 류수를 나누지 않는다.

6. 원분체와 유체론

크로네커-베버 정리는 유리수체의 아벨 확대가 항상 어떤 원분체의 부분체임을 보여준다. 예를 들어, 이차체는 아벨 확대체이므로, 크로네커-베버 정리에 의해 어떤 원분체의 부분체가 된다.

크로네커의 청춘의 꿈은 크로네커-베버 정리가 기초체가 유리수체일 때를 다루는 것을 넘어, 허 이차체로 확장했을 때도 성립하는지에 대한 질문이다.

7. 원분체와 상호 법칙

가우스는 오늘날 가우스 합으로 불리는 1의 거듭제곱근의 지수 합을 고찰하여 제곱 잉여의 상호 법칙 및 제1, 2 보충 법칙을 제시했다. 가우스는 $\backslash textstyle\; \backslash mathbb\{Q\}(\backslash zeta\_3),\backslash \; \backslash textstyle\; \backslash mathbb\{Q\}(\backslash zeta\_4)$ 상의 가우스 합을 고찰하여 3차, 4차 잉여의 상호 법칙을 얻을 수 있었다. 쿠머는 원분체에 대한 깊이 있는 고찰을 통해 고차 거듭제곱의 잉여에 관한 상호 법칙을 제시했다.

이후 고차 거듭제곱의 잉여의 상호 법칙은 푸르트벵글러에 의해 모든 소수에 대해 제시되었으며, 류체론의 결과를 이용하여 다카기, 아르틴(E. Artin), 하세(H. Hasse) 등에 의해 보다 일반적인 형태의 상호 법칙이 얻어졌다.

8. 원분체의 유수

원분체의 유수는 제1인자와 제2인자의 곱으로 분해된다. 제1인자는 페르마의 마지막 정리와 관련하여 중요한 역할을 하며, 그 크기에 대한 추측이 제시되어 있다. 제2인자는 상대적으로 연구가 덜 이루어졌으며, 반디버 예상과 같은 미해결 문제가 남아있다.

다음은 유수가 1이 아닌 원분체의 유수들을 나타낸 표이다 ($n\backslash le99$, $n\backslash not\backslash equiv2\backslash pmod4$).

8. 1. 유수 공식

• 제1인자
• 일반적인 경우:

• ''S''는 $\backslash chi(-1)\; =\; -1$을 만족하는 법 ''m''에 관한 지표의 집합이다.
• ''m''이 소수 ''p''인 경우:

• ''m''이 소수일 때, 또 다른 표현:

• η는 1의 원시 $p-1$승근, $\backslash textstyle\; G(X)\; =\; \backslash sum\_\{j=0\}^\{p-2\}g\_jX^j$.
• ''g''는 법 ''p''에 대한 원시근, $\backslash textstyle\; g^j\backslash equiv\; g\_j\backslash \; (\backslash operatorname\{mod\}\backslash \; p)$를 만족하는 정수 $\backslash textstyle\; 1\backslash leqq\; g\_j\backslash leqq\; p-1$ ($\backslash textstyle\; j=0,1,\backslash ldots,p-2$).
• 마이레(Maillet) 행렬을 이용한 표현 (''m''이 소수일 때):
• $M\_p\; =\; (R(rs\text{'}))\_\{r,s=1,2,\backslash ldots,(p-1)/2\}$ (''R(r)''은 $\backslash textstyle\; r\backslash equiv\; R(r)\backslash \; (\backslash operatorname\{mod\}\backslash \; p)$를 만족하는 $\backslash textstyle\; 1\backslash leqq\; R(r)\backslash leqq\; p-1$, ''r''은 $\backslash textstyle\; rr\text{'}\backslash equiv\; 1\backslash \; (\backslash operatorname\{mod\}\backslash \; p)$를 만족하는 $\backslash textstyle\; 1\backslash leqq\; r\text{'}\backslash leqq\; p-1$)
• $h\_1(p)\; =\; \backslash frac\{1\}\{p^\{(p-3)/2\}\}|\backslash det\; M\_p|$

• 제2인자
• 일반적인 경우:

• ''R''은 $\backslash textstyle\; \backslash mathbb\{Q\}(\backslash zeta\_m)$의 단위 기준, ''T''는 $\backslash chi(-1)\; =\; 1$을 만족하는 법 ''m''에 관한 지표 중 단위 지표가 아닌 지표의 집합.
• ''m''이 소수 ''p''인 경우:

• η는 1의 원시 $p-1$승근, ''g''는 법 ''p''에 대한 원시근.
• ''m''이 소수일 때, 쿠머 단수(원 단수)를 이용한 표현:
• $\backslash textstyle\; k=2,3,\backslash ldots,(p-1)/2$에 대해, $\backslash delta\_k\; =\; \backslash sqrt\{\backslash textstyle\; \backslash frac\{(1-\backslash zeta\_p^k)(1-\backslash zeta\_p^\{-k\})\}\{(1-\backslash zeta)(1-\backslash zeta^\{-1\})\}\}$ ('''쿠머 단수''' 또는 '''원 단수''')
• ''g''를 법 ''p''에 관한 원시근, $\backslash delta=\backslash delta\_g$.
• σ를 $\backslash textstyle\; \backslash sigma(\backslash zeta\_p)\; =\; \backslash zeta\_p^g$을 만족하는 $\backslash textstyle\; \backslash operatorname\{Gal\}(\backslash mathbb\{Q\}(\backslash zeta\_p)/\backslash mathbb\{Q\})$의 생성자.
• $M\; =\; (\backslash log\backslash sigma^\{i+j\}(\backslash delta))\_\{i,j=0,1,\backslash ldots,(p-5)/2\}$
• $h\_2(p)\; =\; \backslash frac\{2^\{(p-3)/2\}\}\{R\}|\backslash det\; M|$. (''R''은 $\backslash textstyle\; \backslash mathbb\{Q\}(\backslash zeta\_p)$의 단위 기준)