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수론

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1. 개요

수론은 정수의 성질을 연구하는 수학의 한 분야이다. 고대부터 다양한 문명에서 발전해왔으며, 특히 고대 그리스에서 유클리드 호제법과 소수의 무한성 등이 연구되었다. 중세 시대에는 이슬람 세계에서 우애수 연구가 활발했으며, 페르마와 오일러는 정수론 발전에 크게 기여했다. 19세기부터는 복소해석학, 군론 등의 발전을 통해 해석적 수론과 대수적 수론으로 분화되었다. 현대 수론은 초등 정수론, 해석적 수론, 대수적 수론, 계산 수론, 디오판토스 기하학 등 다양한 분야로 나뉘며, 암호학, 컴퓨터 과학, 물리학 등 여러 분야에 응용된다. 아직 해결되지 않은 리만 가설, 골드바흐의 추측 등 미해결 문제들이 남아있다.

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수론
개요
분야수학
연구 대상정수의 성질
세부 분야
주요 세부 분야해석적 수론
대수적 수론
기하학적 수론
계산적 수론
관련 분야암호학
역사
기원고대 바빌로니아, 고대 이집트, 고대 그리스, 고대 중국
주요 주제
핵심 개념소수
정수론적 함수
디오판토스 방정식
합동식
이차 형식
중요한 정리페르마의 마지막 정리
정수론의 기본정리
중국인의 나머지 정리
이차 잉여의 상호 법칙
주요 인물
고대피타고라스
유클리드
디오판토스
중세브라마굽타
알콰리즈미
근대피에르 드 페르마
레온하르트 오일러
카를 프리드리히 가우스
베른하르트 리만
에바리스트 갈루아
소피 제르맹

2. 역사

수론 연표 참고.

페르마의 마지막 정리처럼 수론의 몇몇 문제는 다른 수학 분야에 비해 문제 자체를 이해하기는 쉽다. 그러나 사용되는 기법은 다방면에 걸쳐 있으며, 매우 고도인 경우가 많다.

2. 1. 고대

플림프턴 322는 고대 메소포타미아에서 만들어진 점토판으로, 피타고라스 수 목록이 기록되어 있다. 이는 당시에 이미 상당한 수론적 지식이 있었음을 보여준다.[3]

고대 중국에서는 손자산경중국인의 나머지 정리가 처음 등장한다.

키레네의 테오도로스는 제곱수가 아닌 자연수 n에 대해 \sqrt n무리수임을 증명하였다. 에우클레이데스의 《원론》에는 유클리드 호제법, 소수의 무한성 증명 등 수론의 기본 정리들이 포함되어 있다.[9]

고대 인도에서는 아리아바타가 다음과 같은 꼴의 방정식을 다루었으며,[21] 브라마굽타펠 방정식 연구를 시작하였다.

:n\equiv a_1\pmod{m_1}

:n\equiv a_2\pmod{m_2}

2. 2. 중세 및 근세

사비트 이븐 쿠라가 우애수를 발견하는 등 중세 이슬람 세계에서는 수론 연구가 활발히 이루어졌다.[61] 13세기 페르시아인 수학자 알 파리시는 인수분해와 조합 수학의 새로운 방법을 도입하여 사비트 수와 우애수의 관계에 대한 새로운 증명을 발견했다.[62]

피에르 드 페르마(1601–1665)는 수론을 연구하였으나 출판하지 않았고, 대부분 개인 서신이나 책 여백에 적은 노트에 연구 내용이 수록되어 있다.[25] 그는 페르마 소정리(1640)[29][30]페르마의 마지막 정리를 제시하였다.

레온하르트 오일러는 1729년부터 수론에 관심을 갖기 시작하였다.[32][33] 오일러는 페르마 소정리를 증명하였고, 페르마의 마지막 정리를 n=3인 경우 증명하였다. 또한 펠 방정식을 명명하고 연구하였으며,[35] 오일러의 오각수 정리 등을 증명하는 과정에서 최초로 해석적 수론 기법을 도입하였다.[34]

조제프루이 라그랑주(1736–1813)는 피에르 드 페르마레온하르트 오일러의 일부 명제들을 엄밀히 증명하였다. 예를 들어, 라그랑주 네 제곱수 정리펠 방정식 이론 등이 있다. 또한, 라그랑주는 일반적인 이차 형식을 연구하기 시작하였다.

아드리앵마리 르장드르(1752–1833)는 이차 상호 법칙을 최초로 발표하였다. 또한, 소수 정리를 추측하였고, 페르마의 마지막 정리를 n=5인 경우 증명하였다.

카를 프리드리히 가우스(1777–1855)는 1798년 《산술연구》(Disquisitiones Arithmeticae)를 출판하였다.[38] 이 책에는 이차 상호 법칙의 증명이 수록되어 있다.

2. 3. 현대

19세기부터 수론은 수학의 한 독자적인 분야로 발달하기 시작했다. 또한, 현대 수론에 등장하는 복소해석학, 군론, 갈루아 이론 등이 발달하면서 수론의 기법이 풍부해졌고, 해석적 수론대수적 수론으로 분류되기 시작했다.

해석적 수론페터 구스타프 르죈 디리클레가 1837년 L-함수를 도입하면서 시작되었다고 본다. 베른하르트 리만은 1859년 리만 제타 함수를 정의하고, 소수와의 관계를 밝혔다.

대수적 수론리하르트 데데킨트가 1863년 출판하고 1879년과 1894년 개정한 《수론 강의》(Vorlesungen über Zahlentheoriede)에서 시작되었다. 이 책의 개정판에서 데데킨트는 아이디얼 개념을 (대수적 수체의 경우) 정의하였다. 다비트 힐베르트는 1897년 《수론 보고서》(Zahlberichtde)에서 대수적 수론의 기초를 닦았다. 힐베르트는 유체론의 시초가 되는 가설들을 제시하였다. 1924년 에밀 아르틴아르틴 상호 법칙을 증명하였다. 1955년에는 모듈러성 정리가 최초로 발표되었고, 1967년에 로버트 랭글랜즈가 발표한 랭글랜즈 프로그램의 일부로 일반화되었다. 모듈러성 정리는 앤드루 와일스 등의 연구를 통해 2001년 증명되었다.

2. 4. 한국의 수론

한국의 수론 연구는 현재 전해지는 자료가 부족하여 고대 시대의 연구는 파악하기 어렵다. 현대에 들어 한국 수학자들의 수론 연구 업적이 조금씩 알려지고 있다.

3. 분야

현대 수론은 크게 다음과 같이 분류할 수 있다.



이 외에도 확률론적 수론, 산술 조합론 등의 분야가 있다.

3. 1. 초등 정수론

복소해석학을 사용하지 않는 정수론 분야이다. 페르마 소정리, 오일러의 정리, 중국인의 나머지 정리 등이 여기에 속한다. 다른 분야의 수학적 기법을 사용하지 않고 문제에 접근하는, 수론에서 가장 기초적인 토대를 이룬다.[42]

3. 2. 해석적 수론

복소해석학 등 해석학적 기법을 사용하여 정수의 분포, 밀도 등을 연구하는 분야이다. 소수 정리, 골드바흐의 추측, 리만 가설 등이 주요 연구 대상이다. L-함수, 모듈러 형식, 보형 형식 등이 중요한 도구로 사용된다.[46]

해석적 수론은 도구 측면에서 실해석학복소해석학의 도구를 사용하여 정수를 연구하는 것으로 정의할 수 있다.[43] 또는 관심사 측면에서, 항등식과 반대로 크기와 밀도에 대한 추정치를 다루는 정수론 내의 연구로 정의할 수 있다.[43]

해석적 수론의 문제의 예로는 소수 정리, 골드바흐의 추측 (또는 쌍둥이 소수 추측 또는 하디-리틀우드 추측), 와링 문제, 리만 가설이 있다.

해석적 수론의 가장 중요한 도구 중 일부는 원 방법, 체 방법 및 L-함수이다 (또는 오히려 그 속성에 대한 연구). 모듈 형식 (및, 보다 일반적으로, 자동형 형식)의 이론은 또한 해석적 수론의 도구 상자에서 점점 더 중요한 위치를 차지하고 있다.[46]

디리클레의 등차수열 정리(1837년)는 해석적 수론의 일반적인 시작점으로, 그 증명에는 L-함수가 도입되었고, 몇 가지 점근적 분석과 실수 변수에 대한 극한 과정이 포함되었다.[40] 수론에서 해석적 아이디어를 처음 사용한 것은 실제로 오일러(1730년대)로 거슬러 올라가며, 그는 형식적 멱급수와 비엄밀한(또는 암묵적인) 극한 논법을 사용했다. 수론에서 ''복소'' 해석의 사용은 나중에 이루어졌다. 베른하르트 리만 (1859년)의 리만 제타 함수에 대한 연구가 전형적인 시작점이다.[41]

대수적 수에 대한 해석적 질문을 할 수 있고, 그러한 질문에 답하기 위해 해석적 수단을 사용할 수 있다. 따라서 대수적 정수론과 해석적 정수론이 교차한다. 예를 들어, 소수소 아이디얼 (대수적 수 필드에서 소수의 일반화)을 정의하고 특정 크기까지 얼마나 많은 소 아이디얼이 있는지 물어볼 수 있다. 이 질문은 데데킨트 제타 함수에 대한 조사를 통해 답변할 수 있다. 이는 이 분야의 핵심적인 해석적 대상인 리만 제타 함수의 일반화이다.[47] 이것은 해석적 정수론의 일반적인 절차의 예이다. 즉, 적절하게 구성된 복소수 값을 갖는 함수의 해석적 동작으로부터 수열 (여기서는 소 아이디얼 또는 소수)의 분포에 대한 정보를 도출하는 것이다.[48]

미적분이나 복소해석학 등의 해석학적 기법을 사용하여 문제에 접근한다. 이 분야는 처음으로 해석적인 기법을 체계적으로 수론에 응용한 디리클레에 의해 시작되었다고 여겨진다. 그의 제자인 베른하르트 리만에 의해 이미 이 분야의 (나아가 수론) 최대의 미해결 문제인 리만 가설 (1859년)이 제시된 것은 흥미롭다. 소수 정리의 증명 (1896년)은 이 분야의 이정표이다. 제타 함수, 오토모르피 함수를 연구하는 것도 이 분야이며, 초월수론과도 관계가 깊다.

디리클레(1837년)는 모든 적합한 등차수열이 소수를 무한히 포함한다는 것을 증명했다. 체비쇼프(1850년)는 소수의 분포에 관한 체비쇼프의 정리를 증명했다. 리만리만 제타 함수의 이론에 복소 해석을 도입했다. 이로 인해 제타 함수의 영점과 소수의 분포 관계가 도출되었고, 마침내 1896년, 아다마르와 드 라 발레 푸생이 각각 독자적으로 소수 정리를 증명했다. 이후 1949년에는 폴 에르되시와 아틀 셀베르그가 초등적 증명을 제시했다. 여기서 초등적이라고 하는 것은 복소 해석의 기법을 사용하지 않았다는 것을 의미한다.

3. 3. 대수적 수론

대수적 수론대수적 수체를 연구하는 분야이다. 주로 추상대수학의 기법을 사용하며, 아이디얼, 유수 등 대수적 구조를 통해 정수의 성질을 연구한다.

체의 확대군론을 사용하여 연구하는 갈루아 이론과, 아벨 확대를 연구하는 유체론이 주요 세부 분야이다. 또한, 수론과 보형 형식을 연관짓는 랭글랜즈 프로그램과, 수체들의 무한한 열을 연구하는 이와사와 이론도 여기에 속한다.[49]

대수적 수론은 상호 법칙과 원분체 연구에서 시작되었지만, 추상 대수학과 초기 아이디얼 이론, 값매김 이론의 발전과 함께 본격적으로 발전하였다. 19세기 후반에 '아이디얼 수', '아이디얼 이론' 및 '평가 이론'이 도입되면서 기초가 확립되었는데, 이들은 대수적 수체에서 유일한 인수분해가 부족한 문제를 다루는 세 가지 보완적인 방법이다. 에른스트 쿠머에 의한 아이디얼 수 개발의 초기 동기는 이차 상호 법칙의 일반화인 고차 상호 법칙 연구에서 비롯된 것으로 보인다.[40]

수체는 종종 더 작은 수체의 확장으로 연구된다. 체 ''L''이 ''K''를 포함하는 경우 ''L''은 ''K''의 '확장'이라고 한다. 주어진 수체의 가능한 확장을 분류하는 것은 어렵고 부분적으로 미해결된 문제이다. 가환 확장, 즉 체 ''K''의 확장 ''L'' 중 ''K'' 위에서 ''L''의 갈루아 군이 가환군인 경우는 비교적 잘 이해되고 있다. 이들의 분류는 19세기 후반에 시작되어 1900–1950년에 걸쳐 수행된 유체론 프로그램의 대상이었다.

에른스트 쿠머

3. 4. 계산 수론

수론에서 등장하는 값들을 계산하는 알고리즘을 연구하는 분야이다. 소인수 분해나 유한체에 대한 알고리즘 연구가 대표적인 예이다.

'알고리즘'이라는 단어는 알콰리즈미에서 유래되었지만, 문제 해결 방법에 대한 설명은 증명보다 오래되었다. 이러한 방법(알고리즘)은 고대 이집트, 바빌로니아, 베다, 중국 등에서 사용되었지만, 증명은 고전 시대 그리스에서 처음 나타났다.

초기 사례는 유클리드 호제법이다. 최대 공약수를 계산하는 알고리즘은 원론에 증명과 함께 나타난다. 아리아바타a x + b y = c 방정식의 정수 해를 찾는 알고리즘을 처음 제시했지만, 증명은 없었다.

"이것을 계산할 수 있는가?"와 "빠르게 계산할 수 있는가?"라는 두 가지 주요 질문이 있다. 숫자가 소수인지 판별하고 소인수 분해할 수 있지만, 빠르게 하는 것은 다른 문제이다. 소수 판별법에 대한 빠른 알고리즘은 알려져 있지만, 소인수 분해를 위한 빠른 알고리즘은 아직 없다.

계산의 어려움은 암호화에 유용하다. RSA와 같은 현대 암호화 프로토콜은 소인수 분해의 어려움에 기반한다. 수론 밖에도 어려운 계산 문제가 많지만, 대부분의 암호화 프로토콜은 수론 문제의 어려움을 이용한다.

일부 문제는 계산할 수 없으며, 증명된 경우도 있다. 예를 들어, 모든 디오판토스 방정식을 풀 수 있는 튜링 기계는 없다는 것이 증명되었다.[51]

3. 5. 디오판토스 기하학

디오판토스 방정식대수기하학적 관점에서 연구하는 분야이다. 타원 곡선, 아벨 다양체 등 대수다양체의 정수점, 유리점 등을 연구한다.

디오판토스 방정식이 해를 갖는지, 해가 있다면 몇 개나 되는지를 결정하는 것이 ''디오판토스 기하학''의 중심 문제이다. 방정식의 해를 기하학적 대상으로 생각하는 접근 방식을 취한다.

예를 들어, 두 변수에 대한 방정식은 평면 상의 곡선을 정의한다. 더 일반적으로, 두 개 이상의 변수에 대한 방정식 또는 방정식 계는 곡선, 곡면, 또는 차원 공간에서 그와 유사한 다른 대상을 정의한다. 디오판토스 기하학에서는 곡선 또는 곡면 위에 모든 좌표가 유리수인 ''유리점'' 또는 모든 좌표가 정수인 ''정수점''이 있는지 묻는다. 그러한 점이 있다면, 다음 단계는 그 점이 몇 개나 되는지, 그리고 어떻게 분포되어 있는지 묻는 것이다. 이와 관련한 기본적인 질문은 주어진 곡선 또는 곡면 위에 유한 개의 유리점이 있는지, 아니면 무한 개의 유리점이 있는지 여부이다.

피타고라스 방정식 x^2+y^2 = 1을 예로 들어 보자. 이 방정식의 유리수 해는 x = a/c, y = b/c 형태 (a, b, c는 정수)로 표현 가능하다. 이는 x^2 + y^2 = 1로 묘사되는 원 위의 유리수 좌표를 가진 모든 점을 구하는 것과 같다.

타원 곡선의 두 가지 예. 적어도 하나의 유리점을 갖는 종수 1의 곡선은 항상 무한히 많은 유리점을 갖는다.


대수 곡선 위의 유리수 또는 정수 점의 개수가 유한한지 무한한지는 곡선의 종수에 결정적으로 달려있다.[50] 이러한 접근 방식의 주요 성과 중 하나는 페르마의 마지막 정리의 와일즈의 증명으로, 이를 위해 다른 기하학적 개념들이 매우 중요하게 사용되었다.

디오판토스 근사와 밀접하게 관련된 영역이 있다. 초월수론과도 관계가 깊다. 어떤 수가 임의의 대수적 수보다 더 잘 근사될 수 있다면, 이는 초월수이다. 이러한 논증에 의해 π와 e가 초월수임이 증명되었다.

''산술 기하학''은 ''디오판토스 기하학''이라는 용어가 다루는 것과 거의 동일한 영역에 대한 현대적인 용어이다. ''산술 기하학''이라는 용어는 디오판토스 근사 기술보다는 현대적인 대수 기하학과의 연결을 강조하고자 할 때 주로 사용된다.

3. 6. 기타 분야

확률론적 수론은 1에서 백만 사이의 정수를 무작위로 선택했을 때 그 수가 소수일 확률 등을 묻는 질문에서 시작한다. 이는 통계적 독립성과 관련된 연구의 특수한 경우로 볼 수 있다.[41] 비엄밀한 확률적 접근 방식은 여러 휴리스틱 알고리즘과 미해결 문제, 특히 크라메르 추측으로 이어진다.

산술 조합론은 "두껍게" 무한 집합이 등차수열을 많이 포함하는지, 큰 정수를 집합 원소의 합으로 쓸 수 있는지 등의 질문을 다룬다.[41] 이 분야는 덧셈적 정수론, 수론 기하학, 에르고딕 이론, 유한군론, 모형 이론 등과 관련되어 발전하고 있다.

4. 응용

수론은 암호학, 컴퓨터 과학, 물리학 등 다양한 분야에 응용된다. 과거 수론학자 레너드 딕슨은 수론이 응용 분야에 물들지 않았다고 언급했지만,[52] 현대에는 이러한 관점이 더 이상 유효하지 않다. 1974년 도널드 커누스는 "기본 수론의 거의 모든 정리는 컴퓨터가 고속 수치 계산을 수행하는 문제와 관련하여 자연스럽고 동기 부여된 방식으로 발생한다"라고 말했다.[53]

수론은 RSA와 같은 공개 키 암호화 방식, 고속 푸리에 변환 알고리즘, 오류 정정 코드, 통신, 음악음계 등 다양한 분야에 활용된다. 물리학에서 리만 가설소수의 분포와 관련하여 연구되고 있다.[57]

4. 1. 암호학

공개 키 암호 시스템은 큰 수의 소인수 분해가 어렵다는 점을 이용한다.[55] RSA와 같은 암호화 방식이 그 예시이다.[55] 수론 밖에서도 어려운 계산 문제는 많지만, 현재 사용되는 대부분의 암호화 프로토콜은 수론 문제의 어려움을 기반으로 한다.

4. 2. 컴퓨터 과학

유한체 연산은 오류 정정 부호, 해싱 등에 사용된다.[58] 난수 생성, 알고리즘 분석 등에도 수론적 지식이 활용된다.[53]

RSA와 같은 현대 암호화 프로토콜은 모든 사람에게 알려져 있지만, 역함수는 선택된 소수에게만 알려져 있어 혼자서 알아내는 데 오랜 시간이 걸리는 기능에 의존한다.[51] 예를 들어, 이러한 기능은 특정 큰 정수를 인수 분해해야만 역함수를 계산할 수 있도록 설계될 수 있다. 수론 외에도 어려운 계산 문제는 많지만, 최근 대부분의 암호화 프로토콜은 몇 가지 수론 문제의 어려움을 기반으로 한다.[51]

4. 3. 기타 응용

수론은 암호학에서 RSA와 같은 공개 키 암호화 방식에 응용된다. RSA는 큰 합성수를 소인수 분해하는 것이 어렵다는 점에 기반한다.[55] 컴퓨터 과학에서 고속 푸리에 변환(FFT) 알고리즘은 이산 푸리에 변환을 효율적으로 계산하는 데 사용되며, 이는 신호 처리 및 데이터 분석에 중요한 응용 분야이다.[56]

물리학에서 리만 가설소수의 분포와 관련이 있으며, 물리학에서의 잠재적 영향에 대해 연구되고 있다.[57] 또한 양자 혼돈 이론, 끈 이론 등에서 수론적 개념이 사용된다.

오류 정정 코드에서 유한체 이론과 대수 기하학은 효율적인 오류 정정 코드를 구성하는 데 사용된다.[58] 통신 분야에서 이동 전화 네트워크 설계에는 해석적 수론의 일부인 모듈 형식 이론에 대한 지식이 필요하다.[59]

음악음계 이론에도 수론적 원리가 적용된다. 대부분의 현대 서양 음악의 기초가 되는 "동등한 분할 음계"는 옥타브를 12개의 동일한 부분으로 나누는 것을 포함하며, 이는 수론, 특히 2의 12제곱근의 성질을 사용하여 연구되었다.[60]

5. 미해결 문제

수론에는 아직 해결되지 않은 많은 문제들이 남아 있다. 리만 가설, 골드바흐의 추측, 쌍둥이 소수 추측, BSD 추측 등이 대표적인 예이다.[50] 이러한 문제들은 소수의 분포와 관련된 경우가 많으며, 문제 자체는 쉽게 이해할 수 있지만, 그 증명은 매우 어려운 경우가 많다.

참조

[1] 서적 "By arithmetic, Plato meant, not arithmetic in our sense, but the science which considers numbers in themselves, in other words, what we mean by the Theory of Numbers."
[2] 서적 Take, for example, In 1952, still had to specify that he meant ''The Higher Arithmetic''. Hardy and Wright wrote in the introduction to ''An Introduction to the Theory of Numbers'' (1938): "We proposed at one time to change [the title] to ''An introduction to arithmetic'', a more novel and in some ways a more appropriate title; but it was pointed out that this might lead to misunderstandings about the content of the book."
[3] 서적 The term ''takiltum'' is problematic. Robson prefers the rendering "The holding-square of the diagonal from which 1 is torn out, so that the short side comes up...".
[4] 서적 Other sources give the modern formula (p^2-q^2,2pq,p^2+q^2). Van der Waerden gives both the modern formula and what amounts to the form preferred by Robson.
[5] 서적 Neugebauer discusses the table in detail and mentions in passing Euclid's method in modern notation.
[6] 서적 This is controversial. See [[Plimpton 322]]. Robson's article is written polemically with a view to "perhaps [...] knocking [Plimpton 322] off its pedestal"; at the same time, it settles to the conclusion that

[...] the question "how was the tablet calculated?" does not have to have the same answer as the question "what problems does the tablet set?" The first can be answered most satisfactorily by reciprocal pairs, as first suggested half a century ago, and the second by some sort of right-triangle problems.

[7] 서적 [[Iamblichus]], ''Life of Pythagoras'',(trans., for example, ) cited in See also [[Porphyry (philosopher)|Porphyry]], ''Life of Pythagoras'', paragraph 6, in Van der Waerden sustains the view that Thales knew Babylonian mathematics.
[8] 서적 Herodotus (II. 81) and Isocrates (''Busiris'' 28), cited in: On Thales, see Eudemus ap. Proclus, 65.7, (for example, ) cited in: Proclus was using a work by [[Eudemus of Rhodes]] (now lost), the ''Catalogue of Geometers''. See also introduction, on Proclus's reliability.
[9] 서적 cited in:
[10] 서적 Plato, ''Theaetetus'', p. 147 B, (for example, ), cited
[11] 서적 ''Sunzi Suanjing'', Chapter 3, Problem 26. This can be found in , which contains a full translation of the ''Suan Ching'' (based on ). See also the discussion in .
[12] 서적 The date of the text has been narrowed down to 220–420 CE (Yan Dunjie) or 280–473 CE (Wang Ling) through internal evidence (= taxation systems assumed in the text). See .
[13] 서적 ''Sunzi Suanjing'', Ch. 3, Problem 26, in :

[14] 서적
[15] 서적
[16] 서적 See, for example, ''Sunzi Suanjing'', Ch. 3, Problem 36, in :

[17] 웹사이트 Eusebius of Caesarea: Praeparatio Evangelica (Preparation for the Gospel). Tr. E.H. Gifford (1903) – Book 10 http://www.tertullia[...] 2017-02-20
[18] 문서 Metaphysics, 1.6.1 (987a)
[19] 문서 Tusc. Disput. 1.17.39.
[20] 서적 Any early contact between Babylonian and Indian mathematics remains conjectural.
[21] 서적 Āryabhaṭa, Āryabhatīya, Chapter 2, verses 32–33, cited in: See also A slightly more explicit description of the kuṭṭaka was later given in [[Brahmagupta]], ''Brāhmasphuṭasiddhānta'', XVIII, 3–5 (in , cited in ).
[22] 서적 , cited in See also the preface in cited in
[23] 서적 and , cited in .
[24] 문서 [[Claude Gaspard Bachet de Méziriac|Bachet]], 1621, following a first attempt by [[Guilielmus Xylander|Xylander]], 1575
[25] 서적 This was more so in number theory than in other areas (remark in ). Bachet's own proofs were "ludicrously clumsy".
[26] 서적 Perfect and especially amicable numbers are of little or no interest nowadays. The same was not true in medieval times—whether in the West or the Arab-speaking world—due in part to the importance given to them by the Neopythagorean (and hence mystical) [[Nicomachus of Gerasa|Nicomachus]] (ca. 100 CE), who wrote a primitive but influential "[[Introduction to Arithmetic]]". See .
[27] 서적 The initial subjects of Fermat's correspondence included divisors ("aliquot parts") and many subjects outside number theory; see the list in the letter from Fermat to Roberval, 22.IX.1636, , cited in .
[28] 서적 Numbers and Measurements https://books.google[...] Encyclopaedia Britannica 2017
[29] 서적 , Letter XLVI from Fermat to Frenicle, 1640, cited in
[30] 서적 Here, as usual, given two integers ''a'' and ''b'' and a non-zero integer ''m'', we write a \equiv b \bmod m (read "''a'' is congruent to ''b'' modulo ''m''") to mean that ''m'' divides ''a'' − ''b'', or, what is the same, ''a'' and ''b'' leave the same residue when divided by ''m''. This notation is actually much later than Fermat's; it first appears in section 1 of [[Gauss]]'s [[Disquisitiones Arithmeticae]]. Fermat's little theorem is a consequence of the [[Lagrange's theorem (group theory)|fact]] that the [[Order (group theory)|order]] of an element of a group divides the [[Order (group theory)|order]] of the group. The modern proof would have been within Fermat's means (and was indeed given later by Euler), even though the modern concept of a group came long after Fermat or Euler. (It helps to know that inverses exist modulo ''p'', that is, given ''a'' not divisible by a prime ''p'', there is an integer ''x'' such that x a \equiv 1 \bmod p); this fact (which, in modern language, makes the residues mod ''p'' into a group, and which was already known to Āryabhaṭa; see [[#Indian school: Āryabhaṭa, Brahmagupta, Bhāskara|above]]) was familiar to Fermat thanks to its rediscovery by [[Claude Gaspard Bachet de Méziriac|Bachet]] Weil goes on to say that Fermat would have recognised that Bachet's argument is essentially Euclid's algorithm.
[31] 서적 , cited in All of the following citations from Fermat's ''Varia Opera'' are taken from The standard Tannery & Henry work includes a revision of Fermat's posthumous ''Varia Opera Mathematica'' originally prepared by his son
[32] 서적 Up to the second half of the seventeenth century, academic positions were very rare, and most mathematicians and scientists earned their living in some other way (There were already some recognisable features of professional ''practice'', viz., seeking correspondents, visiting foreign colleagues, building private libraries Matters started to shift in the late 17th century ; scientific academies were founded in England (the [[Royal Society]], 1662) and France (the [[French Academy of Sciences|Académie des sciences]], 1666) and [[Russian Academy of Sciences|Russia]] (1724). Euler was offered a position at this last one in 1726; he accepted, arriving in St. Petersburg in 1727 ( and
[33] 서적 and
[34] 서적 and
[35] 서적 Euler was generous in giving credit to others , not always correctly.
[36] 서적 Varadarajan 2006
[37] 웹사이트 Andrew Wiles on Solving Fermat https://www.pbs.org/[...] WGBH 2000-11
[38] 서적 Disquisitiones Arithmeticae 2007
[39] 서적 2007
[40] 서적 2000
[41] 서적 2004
[42] 서적 2004
[43] 서적 2008
[44] 서적 2004
[45] 문서 Brun sieve
[46] 서적 2004
[47] 서적 2008
[48] 서적 2007
[49] 문서 solvable group
[50] 문서
[51] 서적 Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems American Mathematical Society
[52] 서적 The Unreasonable Effectiveness of Number Theory American Mathematical Soc. 1992
[53] 간행물 Computer science and its relation to mathematics The American Mathematical Monthly 1974
[54] 서적 Applications of number theory to numerical analysis Springer-Verlag 1981
[55] 서적 An Introduction to Number Theory with Cryptography https://www.taylorfr[...] Chapman and Hall/CRC 2018
[56] 서적 Digital Signal Processing Algorithms : Number Theory, Convolution, Fast Fourier Transforms, and Applications https://www.worldcat[...] 2017
[57] 논문 Physics of the Riemann Hypothesis
[58] 서적 Error-Correcting Codes: A Mathematical Introduction https://www.taylorfr[...] Routledge 2018
[59] 간행물 Communication Networks and Hilbert Modular Forms http://link.springer[...] Springer Netherlands 2001
[60] 논문 Aesthetics, Dynamics, and Musical Scales: A Golden Connection http://dx.doi.org/10[...] 2002-03-01
[61] 웹사이트 Fibonacci http://www-history.m[...] University of St Andrews
[62] 서적 Squaring the circle-thinking the unthinkable https://books.google[...]



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