밑 (수학)

1. 개요

밑(base)은 라틴어 'radix'에서 유래된 용어로, 숫자를 표현하는 데 사용되는 기수이다. 일반적으로 밑수 b를 갖는 시스템에서 숫자 d₁...dₙ의 문자열은 d₁bⁿ⁻¹ + d₂bⁿ⁻² + ... + dₙb⁰을 나타내며, 여기서 0 ≤ dᵢ < b이다. 널리 사용되는 밑수로는 이진법(2), 8진법(8), 십진법(10), 16진법(16), 60진법(60) 등이 있으며, 컴퓨팅 분야에서는 이진법의 간결한 표현을 위해 8진법과 16진법이 자주 사용된다. 밑수는 자연수 외에도 황금비율, 음수 등 다양한 형태로 존재할 수 있다.

2. 어원

라틴어 단어 radix는 "뿌리"를 의미한다. "뿌리"는 산술적 의미에서 밑과 동의어로 간주될 수 있다.

3. 수 체계

밑(base)은 수를 표현하는 방법의 기초가 되는 개념이다. 특정한 밑 b를 사용하여 숫자를 표현할 때, 각 자릿수는 b의 거듭제곱에 해당하는 값을 가진다. 예를 들어 십진법에서는 10의 거듭제곱을 사용하고, 이진법에서는 2의 거듭제곱을 사용한다.

밑 b를 1보다 큰 양의 정수로 표현할 수 있다.

:$a\; =\; r\_m\; b^m\; +\; r\_\{m-1\}\; b^\{m-1\}\; +\; \backslash dotsb\; +\; r\_1\; b\; +\; r\_0,$

여기서 m은 음이 아닌 정수이고 r은 다음과 같은 정수이다.

:0 < r_m < b 및 0 ≤ r_i < b (i = 0, 1, ... , m − 1).

밑수는 일반적으로 자연수이다. 그러나 황금비율 밑수 (밑수가 정수가 아닌 대수적 수) 및 음수 밑수 (밑수가 음수)와 같이 다른 위치 체계도 가능하다. 음수 밑수를 사용하면 마이너스 기호 없이 음수를 표현할 수 있다. 예를 들어 b = −10이라고 하자. 그러면 숫자 19와 같은 문자열은 (십진수) 숫자 1 × (−10)¹ + 9 × (−10)⁰ = −1을 나타낸다.

3.1. 여러 진법

일반적으로 밑수 b (b > 1)를 갖는 시스템에서 숫자 문자열은 숫자 를 나타내며, 여기서 이다. 십진법(밑수 10)과 대조적으로, 1의 자리, 10의 자리, 100의 자리 등이 있는 반면, 밑수 b는 1의 자리, b¹의 자리, b²의 자리 등을 갖는다.

일반적으로 사용되는 숫자 체계는 다음과 같다.

8진법과 16진법은 이진법의 축약형으로 사용하기 쉽기 때문에 컴퓨팅에서 자주 사용된다. 16진수는 16이 2의 네 제곱이므로 각 16진수는 4개의 이진수 시퀀스에 해당한다. 예를 들어, 16진수 78₁₆은 이진수 1111000₂이다. 마찬가지로, 8은 2의 세제곱이므로 각 8진수는 3개의 이진수 시퀀스에 해당한다.

밑수는 일반적으로 자연수이다. 그러나 다른 위치 체계도 가능하다. 예를 들어, 황금비율 밑수 (밑수가 정수가 아닌 대수적 수) 및 음수 밑수 (밑수가 음수).

3.2. 특수한 수 체계

일반적으로 밑수 b (b > 1)를 갖는 시스템에서 숫자 d₁ ... d_n의 문자열은 d₁bⁿ⁻¹ + d₂bⁿ⁻² + … + d_nb⁰을 나타내며, 여기서 0 ≤ d_i < b이다. 십진법은 1의 자리, 10의 자리, 100의 자리 등이 있는 반면, 밑수 b는 1의 자리, b¹의 자리, b²의 자리 등을 갖는다.

예를 들어, b = 12인 경우, 숫자 59A (여기서 문자 "A"는 10의 값을 나타냄)와 같은 문자열은 십진수로 512 + 912 + 1012 = 838의 값을 나타낸다.

일반적으로 사용되는 숫자 체계는 다음과 같다.

8진법과 16진법은 이진법의 축약형으로 사용하기 쉽기 때문에 컴퓨팅에서 자주 사용된다. 16진법에서 16은 2의 네 제곱이므로 각 16진수는 4개의 이진수 시퀀스에 해당한다. 예를 들어, 16진수 78₁₆은 이진수 1111000₂이다. 마찬가지로, 8은 2의 세제곱이므로 각 8진수는 3개의 이진수 시퀀스에 해당한다.

b를 1보다 큰 양의 정수라고 하자. 그러면 모든 양의 정수 a는 다음과 같은 형태로 고유하게 표현될 수 있다.

:$a\; =\; r\_m\; b^m\; +\; r\_\{m-1\}\; b^\{m-1\}\; +\; \backslash dotsb\; +\; r\_1\; b\; +\; r\_0,$

여기서 m은 음이 아닌 정수이고 r은 다음과 같은 정수이다.

:0 < r_m < b 및 0 ≤ r_i < b (i = 0, 1, ... , m − 1).

밑수는 일반적으로 자연수이다. 그러나 황금비율 밑수 (밑수가 정수가 아닌 대수적 수) 및 음수 밑수 (밑수가 음수)와 같이 다른 위치 체계도 가능하다. 음수 밑수를 사용하면 마이너스 기호 없이 음수를 표현할 수 있다. 예를 들어, b = −10이라고 하자. 그러면 숫자 19와 같은 문자열은 (십진수) 숫자 1-10 + 9-10 = −1을 나타낸다.