밑 (수학)

3. 수 체계

밑(base)은 수를 표현하는 방법의 기초가 되는 개념이다. 특정한 밑 ''b''를 사용하여 숫자를 표현할 때, 각 자릿수는 ''b''의 거듭제곱에 해당하는 값을 가진다. 예를 들어 십진법에서는 10의 거듭제곱을 사용하고, 이진법에서는 2의 거듭제곱을 사용한다.

밑 ''b''를 1보다 큰 양의 정수로 표현할 수 있다.

:$a\; =\; r\_m\; b^m\; +\; r\_\{m-1\}\; b^\{m-1\}\; +\; \backslash dotsb\; +\; r\_1\; b\; +\; r\_0,$

여기서 ''m''은 음이 아닌 정수이고 ''r''은 다음과 같은 정수이다.

:0 < ''r''_''m'' < ''b'' 및 0 ≤ ''r''_''i'' < ''b'' (''i'' = 0, 1, ... , ''m'' − 1).^[4]

밑수는 일반적으로 자연수이다. 그러나 황금비율 밑수 (밑수가 정수가 아닌 대수적 수)^[5] 및 음수 밑수 (밑수가 음수)^[6]와 같이 다른 위치 체계도 가능하다. 음수 밑수를 사용하면 마이너스 기호 없이 음수를 표현할 수 있다. 예를 들어 ''b'' = −10이라고 하자. 그러면 숫자 19와 같은 문자열은 (십진수) 숫자 1 × (−10)¹ + 9 × (−10)⁰ = −1을 나타낸다.

3. 1. 여러 진법

8진법과 16진법은 이진법의 축약형으로 사용하기 쉽기 때문에 컴퓨팅에서 자주 사용된다. 16진수는 16이 2의 네 제곱이므로 각 16진수는 4개의 이진수 시퀀스에 해당한다. 예를 들어, 16진수 78₁₆은 이진수 1111000₂이다. 마찬가지로, 8은 2의 세제곱이므로 각 8진수는 3개의 이진수 시퀀스에 해당한다.

밑수는 일반적으로 자연수이다. 그러나 다른 위치 체계도 가능하다. 예를 들어, 황금비율 밑수 (밑수가 정수가 아닌 대수적 수)^[5] 및 음수 밑수 (밑수가 음수).^[6]

3. 2. 특수한 수 체계

8진법과 16진법은 이진법의 축약형으로 사용하기 쉽기 때문에 컴퓨팅에서 자주 사용된다. 16진법에서 16은 2의 네 제곱이므로 각 16진수는 4개의 이진수 시퀀스에 해당한다. 예를 들어, 16진수 78₁₆은 이진수 1111000₂이다. 마찬가지로, 8은 2의 세제곱이므로 각 8진수는 3개의 이진수 시퀀스에 해당한다.

''b''를 1보다 큰 양의 정수라고 하자. 그러면 모든 양의 정수 ''a''는 다음과 같은 형태로 고유하게 표현될 수 있다.

:$a\; =\; r\_m\; b^m\; +\; r\_\{m-1\}\; b^\{m-1\}\; +\; \backslash dotsb\; +\; r\_1\; b\; +\; r\_0,$

여기서 ''m''은 음이 아닌 정수이고 ''r''은 다음과 같은 정수이다.

:0 < ''r''_''m'' < ''b'' 및 0 ≤ ''r''_''i'' < ''b'' (''i'' = 0, 1, ... , ''m'' − 1).^[4]

밑수는 일반적으로 자연수이다. 그러나 황금비율 밑수 (밑수가 정수가 아닌 대수적 수)^[5] 및 음수 밑수 (밑수가 음수)^[6]와 같이 다른 위치 체계도 가능하다. 음수 밑수를 사용하면 마이너스 기호 없이 음수를 표현할 수 있다. 예를 들어, ''b'' = −10이라고 하자. 그러면 숫자 19와 같은 문자열은 (십진수) 숫자 1-10 + 9-10 = −1을 나타낸다.

참조

_[1] 서적 Logic and Computer Design Fundamentals Pearson 2014
_[2] 웹사이트 Binary https://experimonkey[...] 2023-05-14
_[3] 서적 Handbook to Life in Ancient Mesopotamia https://books.google[...] Oxford Univ. Press 2005
_[4] 문서 1968
_[5] 간행물 A Number System with an Irrational Base
_[6] 간행물 Negative Based Number Systems https://www.math.uwa[...] 1979-09