바이어슈트라스 에타 함수

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1. 개요

바이어슈트라스 에타 함수는 바이어슈트라스 함수 패밀리에 속하는 함수로, 바이어슈트라스 시그마 함수, 바이어슈트라스 제타 함수, 바이어슈트라스 P-함수, 바이어슈트라스 타원 함수 등과 관련이 있다. 오메가2 상수와 오메가1 상수를 사용하여 표현될 수 있으며, 감마 함수를 통해 정의된다. 오메가2 상수는 약 1.529954037...의 값을 가지며, 오메가1 상수는 복소수로 표현된다.

바이어슈트라스 에타 함수

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1. 개요
2. 바이어슈트라스 에타 함수와 오메가2 상수
3. 바이어슈트라스 함수 패밀리(family)

2. 바이어슈트라스 에타 함수와 오메가2 상수

바이어슈트라스 에타 함수( $\eta_1, \eta_2$ )와 오메가 상수( $\omega_1, \omega_2$ ) 사이에는 다음과 같은 관계식이 성립한다.
: $\eta_1 \omega_2 - \eta_2 \omega_1 = {1 \over 2} \pi i$

2.1. 오메가2 상수

오메가2 상수( $\omega_2$ )는 감마 함수 $\Gamma(z)$ 를 이용하여 다음과 같이 정의된다.
: $\omega_2 =$
이 상수의 근사값은 다음과 같다.
: $\omega_2 \approx 1.529954037....$

2.2. 오메가1 상수

오메가1 상수( $\omega_1$ )는 오메가2 상수( $\omega_2$ )와 허수 단위 $i$ 를 사용하여 다음과 같이 정의된다.
: $\omega_1 = {1\over2} \omega_2 \left( 1 + i \sqrt{3} \right)$

여기서 오메가2 상수는 감마 함수 $\Gamma(z)$ 를 이용하여 다음과 같이 표현되며, 그 근사값은 약 1.529954037이다.
: $\omega_2 = \approx 1.529954037....$ (OEIS A064582)

이를 이용하여 오메가1 상수를 감마 함수로 나타내면 다음과 같다.
: $\omega_1 = { { \left(1 + i \sqrt{3} \right) \Gamma^3 \left( {1 \over 3} \right)}\over{8 \pi}}$

오메가1 상수의 근사값은 실수부와 허수부로 나누어 다음과 같이 나타낼 수 있다.
: $\omega_1 \approx 0.764977....+ (1.32497903....) i$ (OEIS A094961, OEIS A094962)

2.3. 에타 함수와 오메가 상수 간의 관계

바이어슈트라스 에타 함수(η₁, η₂)와 오메가 상수(ω₁, ω₂) 사이에는 다음과 같은 관계식이 성립한다.
: $\eta_1 \omega_2 - \eta_2 \omega_1 = {1 \over 2} \pi i$

여기서 오메가 상수 ω₁과 ω₂는 감마 함수 Γ(z)를 사용하여 다음과 같이 정의된다.

* 오메가2 상수 (ω₂)
: $\omega_2 =$
: $\qquad \approx 1.529954037.... \qquad$ (OEIS A064582)

* 오메가1 상수 (ω₁)
: $\omega_1 = {1\over2} \omega_2 \left( 1 + i \sqrt{3} \right) = { { \left(1 + i \sqrt{3} \right) \Gamma^3 \left( {1 \over 3} \right)}\over{8 \pi}}$
: $\qquad \approx 0.764977....+ (1.32497903....) i \qquad$ (OEIS A094961, A094962)

3. 바이어슈트라스 함수 패밀리(family)

바이어슈트라스 함수 패밀리는 다음과 같은 주요 함수들을 포함한다.

* 바이어슈트라스 시그마 함수
* 바이어슈트라스 에타 함수
* 바이어슈트라스 제타 함수
* 바이어슈트라스 P-함수
* 바이어슈트라스 타원 함수

3.1. 바이어슈트라스 시그마 함수

자세한 내용은 바이어슈트라스 시그마 함수 문서를 참고하라.

3.2. 바이어슈트라스 에타 함수

* 바이어슈트라스 시그마 함수
* 바이어슈트라스 에타 함수
* 바이어슈트라스 제타 함수
* 바이어슈트라스 P-함수
* 바이어슈트라스 타원 함수

3.3. 바이어슈트라스 제타 함수

바이어슈트라스 제타 함수는 바이어슈트라스 관련 함수 중 하나이다. 자세한 내용은 바이어슈트라스 제타 함수 문서를 참고하라.

3.4. 바이어슈트라스 P-함수

바이어슈트라스 P-함수는 바이어슈트라스 함수 중 하나이다. 자세한 내용은 해당 문서를 참고하라.

3.5. 바이어슈트라스 타원 함수

바이어슈트라스 타원 함수는 바이어슈트라스가 연구한 타원 함수의 한 종류이다. 바이어슈트라스 에타 함수는 이 타원 함수 이론의 일부를 구성한다. 자세한 내용은 바이어슈트라스 타원 함수 문서를 참조하라.