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바이어슈트라스 에타 함수

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목차

1. 개요

바이어슈트라스 에타 함수는 바이어슈트라스 함수 패밀리에 속하는 함수로, 바이어슈트라스 시그마 함수, 바이어슈트라스 제타 함수, 바이어슈트라스 P-함수, 바이어슈트라스 타원 함수 등과 관련이 있다. 오메가2 상수와 오메가1 상수를 사용하여 표현될 수 있으며, 감마 함수를 통해 정의된다. 오메가2 상수는 약 1.529954037...의 값을 가지며, 오메가1 상수는 복소수로 표현된다.

2. 바이어슈트라스 에타 함수와 오메가2 상수

바이어슈트라스 에타 함수(\eta_1, \eta_2)와 오메가 상수(\omega_1, \omega_2) 사이에는 다음과 같은 관계식이 성립한다.[1]

:\eta_1 \omega_2 - \eta_2 \omega_1 = {1 \over 2} \pi i

2. 1. 오메가2 상수

오메가2 상수(\omega_2)는 감마 함수 \Gamma(z)를 이용하여 다음과 같이 정의된다.[1]

:\omega_2 =

이 상수의 근사값은 다음과 같다.[1]

:\omega_2 \approx 1.529954037....

2. 2. 오메가1 상수

오메가1 상수(\omega_1)는 오메가2 상수(\omega_2)와 허수 단위 i를 사용하여 다음과 같이 정의된다.[1]

:\omega_1 = {1\over2} \omega_2 \left( 1 + i \sqrt{3} \right)

여기서 오메가2 상수는 감마 함수 \Gamma(z)를 이용하여 다음과 같이 표현되며, 그 근사값은 약 1.529954037이다.

:\omega_2 = \approx 1.529954037.... (OEIS A064582)

이를 이용하여 오메가1 상수를 감마 함수로 나타내면 다음과 같다.

:\omega_1 = { { \left(1 + i \sqrt{3} \right) \Gamma^3 \left( {1 \over 3} \right)}\over{8 \pi}}

오메가1 상수의 근사값은 실수부와 허수부로 나누어 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:\omega_1 \approx 0.764977....+ (1.32497903....) i (OEIS A094961, OEIS A094962)

2. 3. 에타 함수와 오메가 상수 간의 관계

바이어슈트라스 에타 함수(η₁, η₂)와 오메가 상수(ω₁, ω₂) 사이에는 다음과 같은 관계식이 성립한다.[1]

:\eta_1 \omega_2 - \eta_2 \omega_1 = {1 \over 2} \pi i

여기서 오메가 상수 ω₁과 ω₂는 감마 함수 Γ(z)를 사용하여 다음과 같이 정의된다.

  • '''오메가2 상수''' (ω₂)

:\omega_2 =

:\qquad \approx 1.529954037.... \qquad (OEIS A064582)

  • '''오메가1 상수''' (ω₁)

:\omega_1 = {1\over2} \omega_2 \left( 1 + i \sqrt{3} \right) = { { \left(1 + i \sqrt{3} \right) \Gamma^3 \left( {1 \over 3} \right)}\over{8 \pi}}

:\qquad \approx 0.764977....+ (1.32497903....) i \qquad (OEIS A094961, A094962)

3. 바이어슈트라스 함수 패밀리(family)

바이어슈트라스 함수 패밀리는 다음과 같은 주요 함수들을 포함한다.

3. 1. 바이어슈트라스 시그마 함수

자세한 내용은 바이어슈트라스 시그마 함수 문서를 참고하라.

3. 2. 바이어슈트라스 에타 함수

3. 3. 바이어슈트라스 제타 함수

바이어슈트라스 제타 함수는 바이어슈트라스 관련 함수 중 하나이다. 자세한 내용은 바이어슈트라스 제타 함수 문서를 참고하라.

3. 4. 바이어슈트라스 P-함수

바이어슈트라스 P-함수는 바이어슈트라스 함수 중 하나이다. 자세한 내용은 해당 문서를 참고하라.

3. 5. 바이어슈트라스 타원 함수

바이어슈트라스 타원 함수는 바이어슈트라스가 연구한 타원 함수의 한 종류이다. 바이어슈트라스 에타 함수는 이 타원 함수 이론의 일부를 구성한다. 자세한 내용은 바이어슈트라스 타원 함수 문서를 참조하라.


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