카를 바이어슈트라스
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1. 개요
카를 바이어슈트라스는 19세기 독일의 수학자로, 해석학의 엄밀성을 확립하고 미분 적분학의 기초를 다지는 데 크게 기여했다. 그는 타원 함수론, 복소해석학, 실해석학, 변분법 등 다양한 분야에서 업적을 남겼으며, 볼차노-바이어슈트라스 정리, 스톤-바이어슈트라스 정리 등 여러 정리에 그의 이름이 붙었다. 그는 베를린 대학교 교수로 재직하며 소피아 코발레프스카야를 지도하기도 했으며, 달의 크레이터와 소행성에 그의 이름이 붙여졌다.
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| 카를 바이어슈트라스 - [인물]에 관한 문서 | |
|---|---|
| 기본 정보 | |
 | |
| 출생과 사망 | |
| 출생일 | 1815년 10월 31일 |
| 출생지 | 에니거를로, 베스트팔렌 주, 프로이센 왕국 |
| 사망일 | 1897년 2월 19일 |
| 사망지 | 베를린, 프로이센 왕국, 독일 제국 |
| 국적 | |
| 국적 | 독일 |
| 학문 분야 및 경력 | |
| 분야 | 수학 |
| 소속 | 게르베인스티투트 프리드리히 빌헬름 대학교 |
| 모교 | 본 대학교 뮌스터 아카데미 |
| 지도 교수 | 크리스토프 구데르만 |
| 지도 학생 | 니콜라이 부가예프 게오르크 칸토어 게오르크 프로베니우스 라자루스 푹스 빌헬름 킬링 요하네스 크노블라우흐 레오 쾨니히스베르거 에른스트 쾨터 소피야 코발렙스카야 마티아스 레르흐 한스 폰 망골트 오이겐 네토 아돌프 필츠 카를 룽게 아르투어 쇤플리스 프리드리히 쇼트키 헤르만 슈바르츠 루트비히 스티켈베르거 |
| 업적 | |
| 주요 업적 | 바이어슈트라스 함수 바이어슈트라스 곱 부등식 (ε, δ)-정의 바이어슈트라스-에르트만 조건 바이어슈트라스 정리 볼차노-바이어슈트라스 정리 |
| 수상 | |
| 박사 학위 (명예) | 쾨니히스베르크 대학교 (1854년) |
| 콥플리 메달 | 1895년 |
2. 생애
독일의 수학자 카를 바이어슈트라스는 프로이센 왕국 베스트팔렌주의 오스텐펠데에서 태어났다.[4][11] 파더보른의 김나지움을 졸업한 후, 공무원이 되기를 바라는 아버지의 뜻에 따라 본 대학교에서 법학, 경제학 등을 공부했으나[4], 수학에 대한 열정으로 학위를 마치지 못했다. 이후 뮌스터 대학교에서 수학과 교원 양성 과정을 이수하며 크리스토프 구데르만 교수에게 타원 함수를 배우고 깊은 흥미를 느꼈다.[4][12]
교사 자격을 얻은 뒤, 여러 김나지움에서 수학뿐 아니라 다양한 과목을 가르치면서도 꾸준히 수학 연구를 이어갔다.[4][5][12] 1854년, 크렐레 지에 발표한 야코비 역문제에 관한 논문이 학계의 큰 주목을 받으면서[12] 그의 이름이 널리 알려지기 시작했다. 이 성과로 쾨니히스베르크 대학교에서 명예 박사 학위를 받았고[7], 1856년 베를린의 게베르베인스티투트(Gewerbeinstitutde) (현재 베를린 공과대학교의 전신 중 하나) 교수를 거쳐 1864년에는 베를린 대학교(현재의 훔볼트 대학교 베를린)의 정교수로 임용되어[12] 평생 재직했다.[12]
베를린 대학교 시절, 그는 당시 여성이라는 이유로 학업에 어려움을 겪던 러시아의 수학자 소피아 코발레프스카야를 만나 개인적으로 지도하며 그녀가 학문적 성과를 이루도록 도왔다.[7] 두 사람은 스승과 제자를 넘어 깊은 지적, 개인적 유대를 나누었다.[7] 한편, 바이어슈트라스는 그의 친구 카를 빌헬름 보르하르트의 미망인과의 사이에서 프란츠라는 사생아를 두었을 가능성이 제기되기도 한다.[6]
1850년대 이후 오랫동안 병으로 고생했으며[7], 말년에는 건강이 더욱 악화되어 사망하기 전 3년 동안은 거동이 불편했다.[15][7] 1897년 베를린에서 폐렴으로 사망했다.[15][7] 그는 생전에 코테니우스 메달(1887), 헬름홀츠 메달(1892), 코플리 메달(1895) 등 다수의 권위 있는 상을 수상하며 학문적 업적을 인정받았다.[12]
2. 1. 유년 시절과 교육
베스트팔렌주 엔니거로 근처 마을인 오스텐펠데에서 로마 가톨릭교 집안에서 태어났다.[4][11] 아버지는 정부 관리였던 빌헬름 베어슈트라스였고, 어머니는 테오도라 폰더포르스트였다.[4]파더보른의 테오도리아눔 김나지움에서 김나지움을 다니면서 수학에 대한 관심을 키웠다.[4] 김나지움을 졸업한 후, 아버지는 그가 공무원이 되기를 바랐다. 이에 따라 1834년부터 1838년까지 본 대학교에서 법학, 경제학, 재정학(회계학)을 공부했다.[4] 하지만 그는 수학을 공부하고 싶어 했고, 이 때문에 전공 공부보다는 개인적으로 수학 연구에 몰두했다. 결국 그는 학위를 받지 못하고 대학을 떠났다.[4]
이후 아버지의 도움으로 1839년 뮌스터 대학교의 교원 양성 과정에 들어갔다.[12] 당시 뮌스터 대학교는 수학으로 유명했으며, 이곳에서 그는 크리스토프 구데르만의 강의를 듣고 타원 함수에 깊은 흥미를 느끼게 되었다.[4][12] 그는 뮌스터에서 교사 자격을 취득했다.[4]
26세부터 교사 생활을 시작하여[12], 1843년에는 서프로이센의 도이치크로네에서, 1848년부터는 브라운스베르크의 콜레기움 호시아눔에서 가르쳤다.[5] 그는 수학 외에도 물리학, 식물학, 체조,[4] 국어, 지리[12] 등 다양한 과목을 가르쳤다. 바쁜 교사 생활 중에도 닐스 아벨의 정리와 카를 구스타프 야코프 야코비의 연구를 통합하려는 노력을 계속했다.[12]
2. 2. 교직 생활과 초기 연구
파더보른의 테오도리아눔 김나지움을 졸업한 후, 바이어슈트라스는 정부 관리가 되기 위해 1834년부터 1838년까지 본 대학교에서 법학, 경제학, 재정학을 공부했다. 그러나 수학에 대한 열정이 더 컸기에 학업에 집중하지 못했고, 결국 학위 없이 대학을 떠났다. 이후 아버지의 도움으로 뮌스터 대학교에서 수학을 공부하며 교원 양성 과정에 들어가[12], 크리스토프 구데르만의 강의를 듣고 타원 함수에 깊은 관심을 갖게 되었다.[12]교사 자격을 얻은 뒤, 1843년에는 서프로이센의 도이치크로네에서, 1848년부터는 브라운스베르크의 콜레기움 호시아눔에서 김나지움 교사로 재직했다.[5] 그는 수학뿐만 아니라 물리학, 식물학, 체조[4], 국어, 지리 등 다양한 과목을 가르치면서도[12], 닐스 아벨의 정리와 카를 구스타프 야코프 야코비의 이중 주기 함수 연구를 통합하는 것을 목표로 꾸준히 수학 연구를 이어갔다.
1854년, 크렐레의 수학 저널에 야코비 역문제에 관한 논문을 발표하면서[12] 그의 이름이 학계에 널리 알려지기 시작했다. 이 성과를 인정받아 쾨니히스베르크 대학교는 1854년 3월 31일에 그에게 명예 박사 학위를 수여했다. 이후 1856년에는 베를린의 ''게베르베인스티튜트'' (기술 노동자를 교육하는 기관으로, 나중에 ''바우아카데미''와 합병하여 샤를로텐부르크의 기술대학을 형성하였으며, 현재 베를린 공과대학교의 전신 중 하나)의 교수가 되었다. 마침내 1864년에는 프리드리히-빌헬름 대학교 베를린(이 대학은 후에 훔볼트 대학교가 되었다)의 정교수로 임용되어[12] 마지막까지 그 지위를 유지했다.[12]
2. 3. 베를린 대학교 교수 임용과 전성기
1850년 이후 바이어슈트라스는 오랫동안 병을 앓았지만, 이 시기에 발표한 여러 수학 논문들은 그에게 학문적 명성을 가져다주었다. 특히 1854년 수학 저널 크렐레 지에 발표한 야코비 역문제에 관한 논문은 그의 이름을 널리 알리는 중요한 계기가 되었다.[12] 같은 해 3월 31일, 쾨니히스베르크 대학교는 그의 학문적 기여를 인정하여 명예 박사 학위를 수여했다.이러한 성과를 바탕으로 바이어슈트라스는 베를린 학계로 진출하게 되었다. 1856년 그는 베를린의 게베르베인스티투트(Gewerbeinstitut|게베르베인스티투트ger) 교수로 초빙되었다. 이 기관은 훗날 샤를로텐부르크 공과대학을 거쳐 현재의 베를린 공과대학교로 발전하게 된다. 1857년에는 베를린 대학교의 수학 학장이 되었으며, 1864년에는 프리드리히-빌헬름 대학교(현재의 훔볼트 대학교 베를린)의 정교수로 임명되어[12] 세상을 떠날 때까지 그 자리를 지켰다.[12]
베를린 대학교 교수 시절은 그의 학문적 전성기였다. 특히 1870년, 그는 당시 여성이라는 이유로 대학 입학이 거부되었던 러시아의 수학자 소피아 코발레프스카야를 만나 개인적으로 지도하기 시작했다. 바이어슈트라스는 코발레프스키의 재능을 높이 평가하여 4년간 헌신적으로 가르쳤으며, 그녀를 자신의 최고의 제자로 여겼다. 그의 도움으로 코발레프스키는 하이델베르크 대학교에서 정식 절차를 일부 면제받고 박사 학위를 취득할 수 있었다. 두 사람은 단순한 스승과 제자의 관계를 넘어 깊은 지적, 개인적 유대를 나누었으며, 1891년 코발레프스키가 사망할 때까지 서신을 교환했다.[7][8]
바이어슈트라스의 학문적 업적은 당대 최고 권위의 상들을 통해 인정받았다. 그는 1887년 코테니우스 메달, 1892년 헬름홀츠 메달, 그리고 1895년 영국 왕립학회가 수여하는 코플리 메달을 수상했다.
2. 4. 소피아 코발레프스카야와의 관계
1870년, 55세의 바이어슈트라스는 당시 대학교 입학이 거부되었던 소피아 코발레프스카야를 만나 개인적으로 가르치기 시작했다. 두 사람은 지적으로 풍성하면서도 친밀한 개인적 관계를 맺었는데, 이는 "일반적인 사제 관계를 훨씬 뛰어넘는" 수준이었다. 바이어슈트라스는 코발레프스카야를 4년 동안 지도하며 자신의 최고의 학생으로 여겼고, 그녀가 구두 논문 방어 없이 하이델베르크 대학교에서 박사 학위를 받을 수 있도록 지원했다.[7]코발레프스카야는 1870년부터 1891년 세상을 떠날 때까지 바이어슈트라스와 꾸준히 편지를 주고받았다. 바이어슈트라스는 코발레프스카야가 사망했다는 소식을 듣고 그녀가 보낸 편지들을 불태웠다. 반면, 바이어슈트라스가 코발레프스카야에게 보낸 편지 약 150통은 현재까지 보존되어 있다. 라인하르트 뵐링 교수는 코발레프스카야가 1883년 스톡홀름 대학교의 사강사로 임명되어 스톡홀름에 도착했을 때 바이어슈트라스에게 보낸 편지의 초고를 발견하기도 했다.[8]
2. 5. 말년과 사망
1850년 이후 바이어슈트라스는 오랫동안 병을 앓았지만[7], 이 시기에 발표한 수학 논문들은 그에게 큰 명성을 가져다주었다.[15][7] 쾨니히스베르크 대학교는 그의 업적을 인정하여 1854년 3월 31일 명예 박사 학위를 수여했다.[7] 1856년에는 베를린의 ''게베르베인스티튜트''(현재의 베를린 공과대학교) 교수로 임용되었고[7], 1864년에는 프리드리히-빌헬름 대학교 베를린(현재의 훔볼트 대학교)의 정교수가 되어[12] 세상을 떠날 때까지 그 자리를 지켰다.[12][7]1870년, 55세의 바이어슈트라스는 당시 대학교 입학이 거부되었던 소피아 코발레프스키를 만나 개인적으로 지도하기 시작했다.[7] 그는 4년 동안 코발레프스키를 가르쳤으며, 그녀를 자신의 최고의 제자로 여겼다.[7] 바이어슈트라스의 도움으로 코발레프스키는 구두 논문 방어 없이 하이델베르크 대학교에서 박사 학위를 받을 수 있었다.[7] 두 사람은 단순한 스승과 제자 관계를 넘어 지적으로 깊이 교감하는 친밀한 관계를 맺었으며[7], 1870년부터 코발레프스키가 1891년 사망할 때까지 서신을 주고받았다. 바이어슈트라스는 그녀가 사망한 후 그녀의 편지들을 불태웠지만, 그가 코발레프스키에게 보낸 편지 약 150통은 현재까지 보존되어 있다.[8]
바이어슈트라스는 말년에 건강이 더욱 악화되어, 사망하기 전 마지막 3년 동안은 움직일 수 없는 상태였다.[15][7] 그는 베를린에서 폐렴으로 세상을 떠났다.[15][7]
생전에 그는 여러 학술적 영예를 안았다.
| 연도 | 수상 내역 |
|---|---|
| 1887 | 코테니우스 메달[12] |
| 1892 | 헬름홀츠 메달[12] |
| 1895 | 코플리 메달[12] |
바이어슈트라스는 수학의 여러 분야에 걸쳐 중요한 업적을 남겼다. 그의 초기 연구는 초타원 적분에 관한 것이었으며, 이 연구는 그가 베를린 대학교 교수로 초빙되는 계기가 되었다. 타원 함수론에서는 위수 2의 타원 함수인 함수를 연구했으며, 복소해석학 분야에서는 해석적 연속 개념에 기반한 엄밀한 방법론을 발전시켰다.
3. 수학적 업적
특히 그는 미분 적분학의 기초를 확립하는 데 크게 기여했는데, 입실론-델타 논법과 균등 수렴 개념을 명확히 정의하고 사용하여 해석학의 엄밀성을 높였다. 또한 일변수 복소 함수와 대수 함수의 멱급수 이론을 체계적으로 정비했다. 당대의 저명한 수학자 리만과 함께 복소해석학 분야를 개척한 것으로도 유명하며[12], 리만이 직관적인 기하학적 접근을 선호했던 것과 대조적으로 바이어슈트라스는 철저하게 엄밀하고 해석적인 기법을 중시했다고 알려져 있다[12].
이 외에도 모든 점에서 연속이지만 미분은 불가능한 함수의 구체적인 예를 제시하여 실해석학 분야에 영향을 주었으며[12], 극소 곡면 이론 연구를 통해 기하학 분야에도 기여했다[12].
3. 1. 해석학의 엄밀성 확립
바이어슈트라스는 당시 해석학의 기초에 존재하던 모호한 정의들로는 중요한 정리들을 충분히 엄밀하게 증명할 수 없다는 점을 인식하고 해석학의 건전성 문제에 깊은 관심을 가졌다. 이미 1817년 볼차노(Bernard Bolzano)가 극한에 대한 상당히 엄밀한 정의를 개발했지만, 그의 연구는 오랫동안 학계에 널리 알려지지 않았고, 많은 수학자들은 여전히 극한과 연속성에 대해 불분명한 개념을 사용하고 있었다.
델타-엡실론 증명의 기본적인 아이디어는 1820년대 코시(Augustin-Louis Cauchy)의 연구에서 찾아볼 수 있다.[9][10] 그러나 코시는 한 점에서 정의되는 연속성(점별 연속성)과 구간 전체에서 성립하는 균등 연속성을 명확하게 구별하지 않았다. 특히 그는 1821년 저서 ''해석 개론''에서 점별 연속 함수의 점별 극한 역시 점별 연속이라고 주장했는데, 이는 일반적으로는 틀린 명제이다. 올바른 명제는 연속 함수의 균등 극한이 연속이라는 것이다.
이 문제를 해결하기 위해서는 균등 수렴이라는 개념이 필요했다. 이 개념은 바이어슈트라스의 지도교수였던 구더만(Christoph Gudermann)이 1838년 논문에서 처음으로 관찰했지만, 구체적으로 정의하거나 상세히 설명하지는 않았다. 바이어슈트라스는 이 개념의 중요성을 간파하고 이를 명확하게 공식화했으며, 해석학의 기초를 다지는 데 폭넓게 적용했다.
바이어슈트라스가 공식화한 함수의 연속성에 대한 엄밀한 정의(흔히 입실론-델타 논법으로 불림)는 다음과 같다.
함수 가 점 에서 연속이라는 것은, 임의의 양수 에 대해 적절한 양수 가 존재하여, 함수 의 정의역에 속하는 모든 에 대해 이면 이 성립하는 것을 의미한다.
이는 간단히 말해, 가 에 '충분히 가까우면' 함수값 역시 에 '매우 가깝게' 만들 수 있다는 뜻이다. 여기서 '충분히 가까움'의 기준()은 우리가 원하는 와 사이의 근접성()에 따라 달라질 수 있다.
이러한 엄밀한 정의를 바탕으로 바이어슈트라스는 중간값 정리를 증명했다. 또한 볼차노-바이어슈트라스 정리를 증명하고 이를 이용하여 닫힌 유계 구간 위에서의 연속 함수의 중요한 성질들을 연구했다.
그는 복소해석학 분야에서도 해석적 연속 개념에 기반한 엄밀한 방법론을 발전시키는 데 기여했다. 또한 대수 함수의 멱급수 이론을 체계적으로 정비했으며, 모든 점에서 연속이지만 미분은 불가능한 함수의 구체적인 예를 제시하여 실해석학 분야에서도 중요한 업적을 남겼다[12]. 당대의 저명한 수학자 리만이 직관적인 기하학적 접근을 선호했던 것과 대조적으로, 바이어슈트라스는 철저하게 엄밀하고 해석적인 기법을 중시했다[12].
3. 2. 주요 정리 및 이론
바이어슈트라스는 해석학의 기초를 엄밀하게 다지는 데 큰 관심을 가졌다. 당시 해석학의 여러 개념 정의가 모호하여 중요한 정리들을 엄밀하게 증명하기 어려웠기 때문이다. 볼차노가 1817년에 이미 극한에 대한 엄밀한 정의를 제시했지만, 그의 연구는 오랫동안 널리 알려지지 않았고, 많은 수학자들은 여전히 모호한 정의에 의존하고 있었다.
델타-엡실론 논법의 기본적인 아이디어는 1820년대 코시의 연구에서 찾아볼 수 있다.[9][10] 하지만 코시는 함수의 연속성과 균등 연속성을 명확하게 구분하지 않았다. 예를 들어, 1821년 저서 ''해석 개론''에서 코시는 연속 함수의 점별 극한도 연속 함수라고 주장했는데, 이는 일반적으로는 틀린 명제이다. 올바른 명제는 연속 함수의 균등 극한이 연속이라는 것이다.
이 문제를 해결하기 위해서는 균등 수렴이라는 개념이 필요했다. 이 개념은 바이어슈트라스의 스승이었던 구더만이 1838년 논문에서 처음으로 언급했지만, 구체적으로 정의하거나 자세히 설명하지는 않았다. 바이어슈트라스는 이 개념의 중요성을 인식하고 이를 명확하게 정의했으며, 해석학의 기초를 다지는 데 폭넓게 활용했다.
바이어슈트라스가 공식화한 함수의 연속성에 대한 엄밀한 정의는 다음과 같다.
함수 ''f''(''x'')가 점 ''x'' = ''x''0에서 연속이라는 것은, 임의의 양수 ε > 0에 대해 적절한 양수 δ > 0가 존재하여, ''f''의 정의역에 속하는 모든 ''x''에 대해 |''x'' - ''x''0| < δ 이면 |''f''(''x'') - ''f''(''x''0)| < ε 이 성립하는 것을 의미한다.
즉, ''x''가 ''x''0에 충분히 가까워지면, 함수값 ''f''(''x'')도 ''f''(''x''0)에 원하는 만큼 가까워진다는 뜻이다. 여기서 '충분히 가까움'의 기준(δ)은 ''f''(''x'')와 ''f''(''x''0) 사이의 원하는 근접성(ε)에 따라 달라질 수 있다.
이 엄밀한 정의를 바탕으로 바이어슈트라스는 중간값 정리를 증명했다. 또한 볼차노-바이어슈트라스 정리를 증명하고, 이를 이용하여 닫힌 유계 구간 위에서 정의된 연속 함수의 여러 중요한 성질들을 밝혔다.
바이어슈트라스의 초기 연구 중 하나는 초타원 적분에 관한 것이었으며, 이 연구는 그가 베를린 대학교 교수로 초빙되는 계기가 되었다. 타원 함수 이론에서는 위수가 2인 타원 함수인 바이어슈트라스 P 함수를 도입하고 연구했다. 복소해석학 분야에서는 해석적 연속 개념을 사용하여 이론을 엄밀하게 발전시켰다. 그는 멱급수를 이용하여 복소 함수 이론을 체계적으로 정비했으며, 특히 리만과 함께 복소해석학 분야를 개척한 것으로 유명하다.[12] 리만이 기하학적 직관을 중시한 반면, 바이어슈트라스는 엄밀한 해석적 논증을 선호했다고 알려져 있다.[12]
실해석학 분야에서는 모든 점에서 연속이지만 어떤 점에서도 미분 불가능한 함수(바이어슈트라스 함수)의 구체적인 예를 제시하여 당시 수학계에 큰 영향을 주었다.[12] 또한 기하학 분야에서는 극소 곡면 이론에 기여했다.[12]
바이어슈트라스의 이름을 딴 주요 정리 및 개념은 다음과 같다.3. 3. 변분법에 대한 기여
바이어슈트라스는 변분법 분야에서도 중요한 진전을 이루었다. 그는 자신이 발전에 기여한 해석학적 도구를 사용하여 변분법 이론을 새롭게 정립하였고, 이는 이후 변분법 연구의 토대가 되었다. 바이어슈트라스는 변분 문제에서 강극값이 존재하기 위한 필요 조건을 확립했으며, 특정 조건에서 극값이 모서리를 가질 충분조건을 제시하고, 주어진 적분에 대한 최소화 곡선을 찾는 데 활용되는 바이어슈트라스-에르드만 조건을 고안하는 데 기여했다.
4. 수상 및 영예
달의 충돌구인 바이어슈트라스와 소행성 14100 바이어슈트라스는 그의 이름을 따서 명명되었다. 또한, 독일 베를린에는 바이어슈트라스 응용 분석 및 확률 연구소( Weierstrass Institute for Applied Analysis and Stochasticseng )가 있다.
5. 주요 저서
- Zur Theorie der Abelschen Funktionen|아벨 함수 이론에 대하여de (1854)
- Theorie der Abelschen Funktionen|아벨 함수 이론de (1856)
- [http://name.umdl.umich.edu/AAN8481.0001.001 Abhandlungen-1|논문집-1de], 수학 전집. 제1권. 베를린, 1894
- [http://name.umdl.umich.edu/AAN8481.0002.001 Abhandlungen-2|논문집-2de], 수학 전집. 제2권. 베를린, 1895
- [http://name.umdl.umich.edu/AAN8481.0004.001 Vorl. ueber die Theorie der Abelschen Transcendenten|아벨 초월 함수 이론에 관한 강의de], 수학 전집. 제4권. 베를린, 1902
- [http://name.umdl.umich.edu/AAN8481.0003.001 Abhandlungen-3|논문집-3de], 수학 전집. 제3권. 베를린, 1903
- [http://name.umdl.umich.edu/AAN8481.0007.001 Vorl. ueber Variationsrechnung|변분법에 관한 강의de], 수학 전집. 제7권. 라이프치히, 1927
6. 제자
참조
[1]
웹사이트
Weierstrass
http://dictionary.re[...]
[2]
서적
Duden. Das Aussprachewörterbuch.
Bibliographisches Institut, Berlin
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[3]
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http://libezproxy.op[...]
Helicon
2018-07-08
[4]
웹사이트
Karl Theodor Wilhelm Weierstrass
http://www-history.m[...]
School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland
2014-09-07
[5]
간행물
Die prägenden Jahre im Leben von Karl Weierstraß
http://link.springer[...]
Springer Fachmedien Wiesbaden
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[6]
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Academic Press
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서적
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[8]
서적
The Kowalevski Property (Leeds, 2000) CRM Proceedings & Lecture Notes, vol. 32
American Mathematical Soc.
[9]
간행물
Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus
http://www.maa.org/s[...]
1983-03
[10]
간행물
Résumé des leçons données à l'école royale polytechnique sur le calcul infinitésimal
http://math-doc.ujf-[...]
2009-05-01
[11]
웹사이트
パーダーボルン大学数学情報学科HP
https://fsmi.uni-pad[...]
[12]
서적
岩波数学辞典 第4版
岩波書店
2007
[13]
서적
Duden. Das Aussprachewörterbuch.
Bibliographisches Institut, Berlin
2015
[14]
문서
바이어슈트라스
[15]
서적
Dictionary of scientific biography
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