바인가르텐 공식

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1. 개요
2. 고전 미분기하학에서의 표현
3. 공식화
4. 증명
참조

1. 개요

바인가르텐 공식은 3차원 유클리드 공간에 있는 곡면의 단위 법선 벡터의 1차 미분을 곡면의 접선 벡터로 나타내는 공식이다. 곡면을 위치 벡터 '''r'''(''u'', ''v'')로 매개변수화하고, '''n'''을 단위 법선 벡터, (''E'', ''F'', ''G'')와 (''L'', ''M'', ''N'')을 각각 제1 기본 형식과 제2 기본 형식의 계수라고 할 때, 바인가르텐 공식은 접선 벡터 '''r'''_''u''와 '''r'''_''v''를 사용하여 단위 법선 벡터 '''n'''의 1차 미분을 표현한다. 이 공식은 미분기하학에서 곡면의 기하학적 성질을 연구하는 데 사용된다.

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바인가르텐 공식
바인가르텐 공식
분야	미분기하학
설명	곡면의 주곡률과 주방향을 곡면의 단위 법선 벡터의 변화율과 관련시키는 공식
관련 인물	율리우스 바인가르텐

2. 고전 미분기하학에서의 표현

''S''를 3차원 유클리드 공간에 있는 곡면으로 하고, 위치 벡터 '''r'''(''u'', ''v'')로 매개변수화한다고 하자. 곡면 위의 점을 ''P'' = ''P''(''u'', ''v'')라고 하자. 그러면

:'''r'''_''u'' = ∂'''r'''/∂''u'', '''r'''_''v'' = ∂'''r'''/∂''v''

는 점 ''P''에서의 두 접선 벡터이다.

'''n'''(''u'', ''v'')을 단위 법선 벡터라고 하고, (''E'', ''F'', ''G'')와 (''L'', ''M'', ''N'')을 각각 이 곡면의 제1 기본 형식과 제2 기본 형식의 계수라고 하자. 바인가르텐 방정식은 접선 벡터 '''r'''_''u''와 '''r'''_''v''를 사용하여 점 ''P''에서의 단위 법선 벡터 '''n'''의 1차 미분을 다음과 같이 나타낸다.

:'''n'''_u = (''FM'' - ''GL'')/(''EG'' - ''F''²) '''r'''_u + (''FL'' - ''EM'')/(''EG'' - ''F''²) '''r'''_v

:'''n'''_v = (''FN'' - ''GM'')/(''EG'' - ''F''²) '''r'''_u + (''FM'' - ''EN'')/(''EG'' - ''F''²) '''r'''_v

이것은 지표 표기법으로 다음과 같이 간결하게 표현할 수 있다.

:∂_a'''n''' = ''K''_a^b'''r'''_b

여기서 ''K_ab''는 곡면의 제2 기본 형식(모양 텐서)의 성분이다.

3. 공식화

''S''를 위치벡터 '''r'''(''u'', ''v'')로 매개변수화된 3차원 유클리드 공간의 곡면이라 하자. 이 곡면 위의 어떤 고정된 점 ''P'' = ''P''(''u'', ''v'')에 대하여, ''P''에서의 접벡터들은,

: $\mathbf{r}_{u} = \frac {\partial \mathbf{r}} {\partial u}, \quad \mathbf{r}_{v} = \frac {\partial \mathbf{r}} {\partial v}$

로 주어진다. 이제 '''n'''을 곡면의 단위 법벡터, (''E'', ''F'', ''G'')와 (''L'', ''M'', ''N'')를 곡면의 제1 기본 형식과 제2 기본 형식의 계수들이라 하자. 그러면, 바인가르텐 공식은 다음과 같이 주어진다.^[2]

: $\mathbf{n}_u = \frac {FM-GL} {EG-F^2} \mathbf{r}_u + \frac {FL-EM} {EG-F^2} \mathbf{r}_v$

: $\mathbf{n}_v = \frac {FN-GM} {EG-F^2} \mathbf{r}_u + \frac {FM-EN} {EG-F^2} \mathbf{r}_v$

4. 증명

일반적으로,

: $\mathbf{n}_u = A \mathbf{r}_u + B \mathbf{r}_v$

: $\mathbf{n}_v = C \mathbf{r}_u + D \mathbf{r}_v$

와 같이 쓸 수 있다. 정의에 따라서,

: $-L = \mathbf{r}_u\cdot\mathbf{n}_u = AE + BF$

: $-M = \mathbf{r}_v\cdot\mathbf{n}_u = AF + BG$

: $-M = \mathbf{r}_u\cdot\mathbf{n}_v = CE + DF$

: $-N = \mathbf{r}_v\cdot\mathbf{n}_v = CF + DG$

를 얻는데, 이는 A, B, C, D에 대한 사원 일차 연립방정식이 된다. 이를 풀어 계수 A, B, C, D를 구하면 바인가르텐 공식을 얻는다.^[2]

참조

_[1] 논문 Ueber eine Klasse auf einander abwickelbarer Flächen
_[2] 서적 미분기하학개론 경문사

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