제1 기본 형식

3. 표기법

리만 다양체 $(M,g)$ 속의 부분다양체 $f\backslash colon\backslash Sigma\backslash to\; M$가 주어졌을 때, $\backslash Sigma$ 위의 제1 기본 형식은 매장 $f$로부터 유도되는 계량 텐서이며, 다음과 같이 표현된다.

:$\backslash operatorname\{I\}\_\{\backslash alpha\backslash beta\}=\backslash partial\_\backslash alpha\; f^\backslash mu\; \backslash partial\_\backslash beta\; f^\backslash nu\; g\_\{\backslash mu\backslash nu\}$

고전적으로, 제1 기본 형식은 ''n''차원 유클리드 공간 속의 곡면 $\backslash Sigma\backslash subset\backslash mathbb\; R^n$에 대하여 정의된다. 이 경우, 제1 기본 형식은 2×2 양의 정부호 대칭행렬이며, $\backslash Sigma$에 좌표 $\backslash xi=(\backslash xi^1,\backslash xi^2)$를 잡으면, 매장 $\backslash mathbf\; f(\backslash xi)\backslash in\backslash mathbb\; R^n$을 정의할 수 있고, 제1 기본 형식은 다음과 같이 표현된다.

:

여기서 행렬 표현의 기호 $E,F,G$는 전통적인 표기법이다.

제1 기본 형식은 계량 텐서의 현대적인 표기법으로도 표현할 수 있다. 이 때 계수는 $g\_\{ij\}$로 나타내며, 다음과 같다.

:$\backslash left(g\_\{ij\}\backslash right)\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}$

g_{11} & g_{12} \\

g_{21} & g_{22}

\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}

E & F \\

F & G

\end{pmatrix}

이 텐서의 구성 요소는 접선 벡터 $X\_i$ 및 $X\_j$의 스칼라 곱으로 계산된다.

:$g\_\{ij\}\; =\; \backslash langle\; X\_i,\; X\_j\; \backslash rangle$ ($i,\; j\; =\; 1,\; 2$에 대해)

$X(u,\; v)$를 매개변수로 표현된 곡면(parametric surface)이라고 하면, 두 개의 접선 벡터의 내적은 다음과 같이 표현된다.

:$$

\begin{align}

& {} \quad \mathrm{I}(aX_u+bX_v,cX_u+dX_v) \\

& = ac \langle X_u,X_u \rangle + (ad+bc) \langle X_u,X_v \rangle + bd \langle X_v,X_v \rangle \\

& = Eac + F(ad+bc) + Gbd,

\end{align}



여기서 $E$, $F$, $G$는 제1 기본 형식의 계수이다.

제1 기본 형식은 대칭 행렬로 표현할 수도 있다.

:$\backslash mathrm\{I\}(x,y)\; =\; x^\backslash mathsf\{T\}$

\begin{bmatrix}

E & F \\

F & G

\end{bmatrix}y



만약 제1 기본 형식이 단 하나의 인수로만 기술되는 경우, 이는 해당 벡터와 그 자체의 내적을 나타낸다.

:$\backslash mathrm\{I\}(v)=\; \backslash langle\; v,v\; \backslash rangle\; =\; |v|^2$

4. 길이와 면적 계산

제1 기본 형식은 n차원 유클리드 공간 속의 곡면 $\backslash Sigma\backslash subset\backslash mathbb\; R^n$에 대하여 정의되며, 곡면 위의 곡선의 길이와 영역의 면적을 계산하는 데 사용된다. 제1 기본 형식은 곡면의 계량적 성질을 완전히 나타내므로, 이를 통해 곡선 길이와 영역 면적을 계산할 수 있다.

4. 1. 선 요소

4. 2. 면적 요소

4. 3. 예시: 구면 위의 곡선

5. 가우스 곡률

가우스 곡률은 제1 기본 형식의 계수 E, F, G와 제2 기본 형식의 계수 L, M, N을 사용하여 다음과 같이 정의된다.

:$$K\; =\; \backslash frac\{\backslash det\; \backslash mathrm\{I\backslash !I\}\_p\}\{\backslash det\; \backslash mathrm\{I\}\_p\}\; =\; \backslash frac\{\; LN-M^2\}\{EG-F^2\; \},$$

가우스의 뛰어난 정리(Theorema egregium)에 따르면, 가우스 곡률은 제1 기본 형식만으로도 표현 가능하다.

5. 1. Brioschi 공식