제2 기본 형식

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1. 개요

제2 기본 형식은 미분 기하학에서 사용되는 개념으로, 매끄러운 다양체의 부분 다양체의 텐서장이다. 이는 아핀 접속을 이용하거나, 유클리드 공간 속의 곡면의 법선 벡터와 헤세 행렬을 사용하여 정의될 수 있다. 제2 기본 형식은 리만 다양체의 초곡면이나 임의의 여차원으로 일반화될 수 있으며, 가우스-코다치 방정식을 통해 곡률 텐서를 표현하는 데 사용된다.

제2 기본 형식

개요

분야	미분기하학
관련 개념	제1 기본 형식 가우스 사상 평균 곡률 가우스 곡률

정의

정의	곡면의 법선 벡터와 위치 벡터의 변화율을 나타내는 이차 형식

성질

성질	곡면의 국소적인 모양 (곡률)을 결정
응용	곡면 분류, 최소 곡면 연구 등

관련 항목	곡면의 곡률 측지선 접평면

2. 정의

아핀 접속 $\nabla$ 가 주어진 매끄러운 다양체 $M$ 속의 부분 다양체 $\Sigma\subset M$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 $\Sigma$ 의 제2 기본 형식 $\operatorname{II}_\Sigma$ 는 $\Sigma$ 위의 텐서장이다. 이는 매끄러운 벡터 다발 $N_{M/\Sigma}\otimes(T^*\Sigma)\otimes(T^*\Sigma)$ 의 매끄러운 단면이며, 그 정의는 다음과 같다. 매장 함수 $f\colon \Sigma\to M$ 이 주어졌을 때,
: $\operatorname{II}_{\alpha\beta}^{\hat\mu}=P^{\hat\mu}_\mu\nabla_\alpha(\partial_\beta f^\mu)$
여기서 $N_{M/\Sigma}$ 는 법다발이며, $P\colon TM\to N_{M/\Sigma}$ 는 $TM$ 에서 $N_{M/\Sigma}$ 으로 가는 사영 연산자이다. 만약 $M$ 의 접속의 비틀림이 0이라면 제2 기본 형식은 대칭 텐서이다.

2.1. 아핀 접속을 이용한 정의

2.2. 유클리드 공간 속의 곡면

고전적으로, 제2 기본 형식은 유클리드 공간 $M=\mathbb R^3$ 속의 2차원 곡면 $\Sigma$ 에 대하여 정의되며, 이는 곡면의 법선벡터와 헤세 행렬을 이용하여 표현된다. 곡면에 좌표 $\xi=(\xi^1,\xi^2)$ 를 주었을 때, $\Sigma$ 는 $\mathbf f(\xi)\in\mathbb R^3$ 로 주어진다. 이 경우 $\Sigma$ 의 법선벡터는
: $\hat{\mathbf n}(\xi)=\frac{\partial\mathbf f/\partial\xi^1\times\partial\mathbf f/\partial\xi^2}{\Vert\partial\mathbf f/\partial\xi^1\times\partial\mathbf f/\partial\xi^2\Vert}$
이다. 이 경우, $\Sigma$ 의 제2 기본 형식은 다음과 같은 2×2 대칭행렬이다.
: $\operatorname{II}=\begin{pmatrix}d\xi^1&d\xi^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}L&M\\M&N\end{pmatrix}\begin{pmatrix}d\xi^1\\d\xi^2\end{pmatrix}=\sum_{i,j=1}^2\hat{\mathbf n}\cdot\frac{\partial^2\mathbf f}{\partial\xi^i\partial\xi^j}d\xi^i\,d\xi^j$
즉, $\mathbf f$ 의 헤세 행렬과 법선벡터의 내적이다. 행렬 표현에서 기호 $L,M,N$ 은 전통적이다.

제2 기본 형식은 매개변수 곡면 in 에서 가우스에 의해 도입되고 연구되었다.

2.2.1. 고전적 표기법

고전적으로 제2 기본 형식은 유클리드 공간 $M=\mathbb R^3$ 속의 2차원 곡면 $\Sigma$ 에 대하여 주어진다. 곡면에 좌표 $\xi=(\xi^1,\xi^2)$ 를 주었을 때, $\Sigma$ 는 $\mathbf f(\xi)\in\mathbb R^3$ 로 주어진다. 이 경우 $\Sigma$ 의 법선벡터는
: $\hat{\mathbf n}(\xi)=\frac{\partial\mathbf f/\partial\xi^1\times\partial\mathbf f/\partial\xi^2}{\Vert\partial\mathbf f/\partial\xi^1\times\partial\mathbf f/\partial\xi^2\Vert}$
이다.

이 경우, $\Sigma$ 의 제2 기본 형식은 다음과 같은 2×2 대칭행렬로 표현된다.

: $\operatorname{II}=\begin{pmatrix}d\xi^1&d\xi^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}L&M\\M&N\end{pmatrix}\begin{pmatrix}d\xi^1\\d\xi^2\end{pmatrix}=\sum_{i,j=1}^2\hat{\mathbf n}\cdot\frac{\partial^2\mathbf f}{\partial\xi^i\partial\xi^j}d\xi^i\,d\xi^j$

여기서 행렬 표현에서 사용된 $L,M,N$ 은 전통적인 표기법에 따른 계수들이다. 즉, 제2 기본 형식은 $\mathbf f$ 의 헤세 행렬과 법선벡터의 내적으로 계산된다.

일반적인 매개변수 곡면의 제2 기본 형식은 다음과 같이 정의된다. r = r(u,v)를 에서 곡면의 정규 매개변수화라고 하고, 여기서 은 두 변수의 매끄러운 벡터 값 함수이다. r의 u와 v에 대한 편도함수를 r_u 및 r_v로 나타낸다. 매개변수화의 정규성은 r의 영역에서 모든(u,v)에 대해 r_u와 r_v가 선형 독립적임을 의미하며, 따라서 각 지점에서 S에 대한 접평면을 형성한다. 동등하게, 외적 r_u × r_v는 곡면에 수직인 영벡터이다. 따라서 매개변수화는 단위 법선 벡터 n의 필드를 정의한다.

: $\mathbf{n} = \frac{\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v}$

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제2 기본 형식은 일반적으로 다음과 같이 작성된다.

:

\mathrm{I\!I} = L\, du^2 + 2M\, du\, dv + N\, dv^2 \,,

접평면의 기저 에서 해당 행렬은 다음과 같다.

:

\begin{bmatrix}L&M\\M&N\end{bmatrix} \,.

매개변수 uv 평면의 주어진 지점에서 계수 L, M, N은 해당 지점에서 r의 2차 편도함수의 정사영을 S에 대한 법선으로 투영하여 얻으며, 점곱을 사용하여 계산할 수 있다.

:

L = \mathbf{r}_{uu} \cdot \mathbf{n}\,, \quadM = \mathbf{r}_{uv} \cdot \mathbf{n}\,, \quadN = \mathbf{r}_{vv} \cdot \mathbf{n}\,.

부호 거리 함수의 헤세 행렬H의 경우, 제2 기본 형식 계수는 다음과 같이 계산할 수 있다.

:

L = -\mathbf{r}_u \cdot \mathbf{H} \cdot \mathbf{r}_u\,, \quadM = -\mathbf{r}_u \cdot \mathbf{H} \cdot \mathbf{r}_v\,, \quadN = -\mathbf{r}_v \cdot \mathbf{H} \cdot \mathbf{r}_v\,.

2.2.2. 물리학 표기법

일반적인 매개변수 곡면의 제2 기본 형식은 아인슈타인 합 규칙을 사용하여 표현된다.
: $\mathrm{I\!I} = b_{\alpha \beta} \, du^{\alpha} \, du^{\beta} \,.$

3. 리만 다양체의 초곡면

유클리드 공간에서 제2 기본 형식은 다음과 같이 주어진다.

: $\mathrm{I\!I}(v,w) = -\langle d\nu(v),w\rangle\nu$

여기서 $\nu$ 는 가우스 맵이고, $d\nu$ 는 미분이며, $\nu$ 를 벡터 값 미분 형식으로 간주하고, 괄호는 유클리드 공간의 계량 텐서를 나타낸다.

더 일반적으로, 리만 다양체에서 제2 기본 형식은 모양 연산자 (S로 표시)를 표현하는 데 사용되는 방법과 동일하며, 다음과 같이 주어진다.

: $\mathrm I\!\mathrm I(v,w)=\langle S(v),w\rangle n = -\langle \nabla_v n,w\rangle n=\langle n,\nabla_v w\rangle n\,,$

여기서 ∇_vw는 주변 다양체의 공변 미분을 나타내고, n는 초곡면 위의 법선 벡터장이다. 만약 아핀 접속이 비틀림이 없는 경우, 제2 기본 형식은 대칭이다.

제2 기본 형식의 부호는 n의 방향 선택에 따라 달라진다 (이것은 초곡면의 공방향이라고 불리며, 유클리드 공간의 표면의 경우, 이것은 표면의 방향 선택과 동일하게 주어진다).

3.1. 임의의 여차원으로의 일반화

제2 기본 형식은 임의의 여차원으로 일반화될 수 있다. 이 경우, 이는 법선 다발을 값으로 하는 접선 공간에 대한 이차 형식이며, 공변 미분 $\nabla_v w$ 의 법선 다발로의 직교 투영 $(\nabla_v w)^\bot$ 를 이용하여 $\mathrm{I\!I}(v,w)=(\nabla_v w)^\bot\,$ 와 같이 정의할 수 있다.

유클리드 공간에서, 부분 다양체의 곡률 텐서는 다음 식으로 나타낼 수 있다.
: $\langle R(u,v)w,z\rangle =\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,z),\mathrm I\!\mathrm I(v,w)\rangle-\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,w),\mathrm I\!\mathrm I(v,z)\rangle.$
이는 가우스의 Theorema Egregium의 일반화로 볼 수 있기 때문에 가우스 방정식이라고 불린다.

일반적인 리만 다양체의 경우, 전체 공간(ambient space)의 곡률을 추가해야 한다. 만약 N이 리만 다양체 (M,g)에 내장된 다양체라면, 유도된 메트릭을 가진 N의 곡률 텐서 R_N는 제2 기본 형식과 M의 곡률 텐서 R_M을 사용하여 표현할 수 있다.
: $\langle R_N(u,v)w,z\rangle = \langle R_M(u,v)w,z\rangle+\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,z),\mathrm I\!\mathrm I(v,w)\rangle-\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,w),\mathrm I\!\mathrm I(v,z)\rangle\,.$

4. 가우스-코다치 방정식

유클리드 공간에서, 곡률 텐서는 다음 공식으로 기술할 수 있다.

:⟨R(u,v)w,z⟩=⟨I\!I(u,z),I\!I(v,w)⟩−⟨I\!I(u,w),I\!I(v,z)⟩.

이는 가우스의 Theorema Egregium의 일반화로 볼 수 있기 때문에 가우스 방정식이라고 불린다.

일반적인 리만 다양체의 경우 주변 공간의 곡률을 추가해야 한다. 만약 N이 리만 다양체 (M,g)에 내장된 다양체라면, 유도된 메트릭을 가진 N의 곡률 텐서 R_N는 제2 기본 형식과 R_M, 즉 M의 곡률 텐서를 사용하여 표현할 수 있다.

:⟨R_N(u,v)w,z)⟩=⟨R_M(u,v)w,z)⟩+⟨I\!I(u,z),I\!I(v,w)⟩−⟨I\!I(u,w),I\!I(v,z)⟩.

4.1. 유클리드 공간에서의 가우스 방정식

유클리드 공간에서, 곡률 텐서는 다음 공식으로 기술할 수 있다.

: $\langle R(u,v)w,z\rangle =\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,z),\mathrm I\!\mathrm I(v,w)\rangle-\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,w),\mathrm I\!\mathrm I(v,z)\rangle.$

이는 가우스의 Theorema Egregium의 일반화로 볼 수 있기 때문에 가우스 방정식이라고 불린다. 제2 기본 형식은 법선 다발을 값으로 하는 접선 공간에 대한 이차 형식으로 정의된다.

4.2. 일반적인 리만 다양체에서의 가우스 방정식

일반적인 리만 다양체에서 가우스 방정식은 주변 공간의 곡률을 포함하여 부분 다양체의 곡률 텐서를 표현한다. 만약 이 리만 다양체 에 내장된 다양체라면, 유도된 메트릭을 가진 의 곡률 텐서 는 제2 기본 형식과 의 곡률 텐서 를 사용하여 표현할 수 있다.

: $\langle R_N(u,v)w,z\rangle = \langle R_M(u,v)w,z\rangle+\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,z),\mathrm I\!\mathrm I(v,w)\rangle-\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,w),\mathrm I\!\mathrm I(v,z)\rangle\,.$

제2 기본 형식은 임의의 여차원으로 일반화될 수 있다. 이는 법선 다발을 값으로 하는 접선 공간에 대한 이차 형식이며, \mathrm{I\!I}(v,w)=(\nabla_v w)^\bot\, 로 정의할 수 있다. 여기서 (\nabla_v w)^\bot는 공변 미분 \nabla_v w의 법선 다발로의 직교 투영을 나타낸다.

분야	미분기하학
관련 개념	제1 기본 형식 가우스 사상 평균 곡률 가우스 곡률

정의

정의	곡면의 법선 벡터와 위치 벡터의 변화율을 나타내는 이차 형식

성질

성질	곡면의 국소적인 모양 (곡률)을 결정
응용	곡면 분류, 최소 곡면 연구 등