반소환

1. 개요

반소환은 환에 대한 조건들을 만족하는 환을 의미한다. 영 아이디얼이 반소 아이디얼이거나, 특정 아이디얼의 제곱이 0이면 해당 아이디얼이 0이 되는 등의 조건을 갖는다. 반소 아이디얼은 환의 진 아이디얼로, 특정 조건을 만족하는 아이디얼을 의미하며, 소 아이디얼의 성질과 유사하다. 반소환은 소 아이디얼들의 교집합이며, 아이디얼의 근기는 반소 아이디얼이다. 반소환은 베어 하위 닐래디컬이 0인 환과 동치이며, 체, 정역, 영역, 축소환, 소환 등의 개념과 관련된다. 반소 우 골디 환은 반단순 아르틴 우 고전적 분수 환을 가지며, 골디 환의 중요한 연구 대상이다.

2. 정의

환 $R$에 대하여 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 반소환이라고 한다.

* 영 아이디얼이 반소 아이디얼이다.
* 모든 양쪽 아이디얼 $\backslash mathfrak\; a$에 대하여, $\backslash mathfrak\; a^2=0$이면 $\backslash mathfrak\; a=0$이다.
* 모든 왼쪽 아이디얼 $\backslash mathfrak\; A$에 대하여, $\backslash mathfrak\; A^2=0$이라면 $\backslash mathfrak\; A=0$이다.
* 모든 오른쪽 아이디얼 $\backslash mathfrak\; A$에 대하여, $\backslash mathfrak\; A^2=0$이라면 $\backslash mathfrak\; A=0$이다.

2.1. 반소 아이디얼

가환환 R에 대해, 진 아이디얼 A가 다음 조건 중 하나를 만족하면 반소수 아이디얼이라고 한다.

* x^k가 양의 정수 k와 R의 원소 x에 대해 A에 속하면, x는 A에 속한다.
* y가 R에 속하지만 A에 속하지 않으면, y의 모든 양의 정수 거듭제곱은 A에 속하지 않는다.

이는 소 아이디얼의 여집합이 곱셈에 대해 닫혀 있다는 사실과 유사하게, 반소 아이디얼의 여집합은 "거듭제곱에 대해 닫혀 있다"는 성질을 가진다.

소 아이디얼과 마찬가지로, 비가환환으로 확장할 수 있다. 환 R의 아이디얼 A가 반소 아이디얼이 되기 위한 동등한 정의는 다음과 같다.

* R의 임의의 아이디얼 J에 대해, 양의 자연수 k에 대해 J^k⊆A이면, J⊆A이다.
* R의 임의의 오른쪽 아이디얼 J에 대해, 양의 자연수 k에 대해 J^k⊆A이면, J⊆A이다.
* R의 임의의 왼쪽 아이디얼 J에 대해, 양의 자연수 k에 대해 J^k⊆A이면, J⊆A이다.
* R의 임의의 x에 대해, xRx⊆A이면, x는 A에 속한다.

환 R의 공집합이 아닌 부분 집합 S는 임의의 s∈S에 대해 어떤 r∈R이 존재하여 srs∈S가 될 때 n-시스템이라고 한다. R\A가 n-시스템인 것도 반소 아이디얼이 되기 위한 조건이다.

3. 성질

소 아이디얼은 반소 아이디얼이다. 가환환에서, 반소 일차 아이디얼은 소 아이디얼이다. 소 아이디얼들의 교집합은 반소 아이디얼이다. 모든 반소 아이디얼은 소 아이디얼들의 모임의 교집합이다. 환 R의 임의의 아이디얼 B에 대해, B의 근기는 B를 포함하는 가장 작은 반소 아이디얼이다. 아이디얼 A가 반소 아이디얼일 필요충분조건은 √(A) = A이다. (√(A)는 A를 포함하는 모든 소 아이디얼들의 교집합이다.) 환 R이 반소환일 필요충분조건은 √(0) = 0이다. (√(0)은 R의 베어 하위 닐래디컬, 베어-맥코이 래디컬, 또는 소 래디컬이라고도 불린다.)

4. 반소 골디 환

골디 정리에 따르면, 반소 우 골디 환은 정확히 반단순 아르틴 우 고전적 분수 환을 갖는 환이다. 아르틴-베더번 정리는 이 분수 환의 구조를 완전히 결정한다. 반소환인 골디 환은 중요한 연구 대상이다.