뇌터 환

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1. 개요

뇌터 환은 환의 아이디얼이 오름 사슬 조건을 만족하는 환으로, 왼쪽 뇌터 환, 오른쪽 뇌터 환, 양쪽 뇌터 환으로 구분된다. 가환환의 경우 세 개념이 일치하며, 뇌터 가환환이라고 한다. 뇌터 환은 뇌터 가군, 뇌터 스킴과 연관되며, 힐베르트 기저 정리 등 다양한 정리를 만족한다. 에미 뇌터의 연구를 기념하여 명명되었으며, 환론에서 중요한 역할을 한다.

뇌터 환

개요

종류	환
성질	가환 뇌터 환은 모든 아이디얼이 유한 생성 아이디얼인 가환환이다.

정의

정의	환 R의 아이디얼들이 부분 순서에 대해 사슬 조건을 만족시키면 R을 뇌터 환이라고 한다. 즉, R의 모든 아이디얼들의 오름 사슬 A1 ⊆ A2 ⊆ A3 ⊆ ⋯ 에 대해, 어떤 자연수 n이 존재하여 An = An+1 = ⋯ 이 성립한다. 환 R의 모든 아이디얼이 유한 생성 아이디얼이면 R을 뇌터 환이라고 한다.

성질

힐베르트 기저 정리	R이 뇌터 환이면, R[x]도 뇌터 환이다. (R[x]는 R 계수 다항식환)
코헨 정리	가환환 R의 모든 소 아이디얼이 유한 생성 아이디얼이면 R은 뇌터 환이다.
크룰 교차 정리	뇌터 환 R의 아이디얼 I에 대해, ⋂nIn = 0 이다. (In은 I의 n제곱)
분해	뇌터 환의 모든 아이디얼은 기약 아이디얼들의 유한 교집합으로 나타낼 수 있다.

예

예시	모든 체는 뇌터 환이다. 모든 주 아이디얼 정역은 뇌터 환이다. 특히, 정수환 ℤ는 뇌터 환이다. 뇌터 환 위의 유한 생성 가군은 뇌터 가군이다.

관련 개념	아르틴 환

2. 정의

환 $R$에 대하여 다음 조건들을 만족시키는 환을 왼쪽 뇌터 환(left Noetherian ring^영어)이라고 한다.

* $R$의 모든 왼쪽 아이디얼 $I$는 유한 생성이다. 즉, $I=Ra_1 + \cdots + Ra_n$를 만족하는 $I$의 원소 $a_1, \ldots , a_n$이 존재한다.
* 포괄 관계에 의해 부분 순서가 주어진, $R$의 왼쪽 아이디얼의 비어 있지 않은 집합은 극대 원소를 갖는다.

마찬가지로 오른쪽 뇌터 환(right Noetherian ring^영어)을 정의할 수 있다. 왼쪽 뇌터 환이자 오른쪽 뇌터 환인 환을 (양쪽) 뇌터 환((two-sided) Noetherian ring^영어)이라고 한다.

가환환의 경우, 왼쪽 뇌터 환, 오른쪽 뇌터 환, 양쪽 뇌터 환의 개념이 모두 일치하므로, 이들을 그냥 뇌터 환이라고 부른다. 뇌터 가환환의 경우, 모든 소 아이디얼이 유한 생성이면 뇌터 환이 된다 (코언 정리 Cohen’s theorem^영어).

비가환환의 경우, 왼쪽 뇌터 환과 오른쪽 뇌터 환이 다를 수 있다.

2.1. 뇌터 가군

환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $_RM$ 에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 왼쪽 가군을 왼쪽 뇌터 가군(left Noetherian module^영어)이라고 한다.
* $M$ 은 왼쪽 가군 범주 $_R\operatorname{Mod}$ 속의 뇌터 대상이다. 즉, $M$ 의 부분 가군들의 격자 $\operatorname{Sub}(M)$ 가 오름 사슬 조건을 만족시킨다.
* $M$ 의 모든 부분 가군이 유한 생성 가군이다. 즉, 임의의 부분 가군 $N\subseteq M$ 에 대하여 $N=Rm_1+\cdots+Rm_k$ 인 $m_1,\dots,m_k\in M$ 이 존재한다.
오른쪽 뇌터 가군(right Noetherian module^영어) 역시 마찬가지 조건을 만족시키는 오른쪽 가군으로 정의할 수 있다.

가환환 위의 가군의 경우, 왼쪽·오른쪽 가군의 구분이 없으므로, 두 개념이 서로 일치한다.

환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $_RM$ 및 그 부분 가군 $N\subseteq M$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* $M$ 이 뇌터 가군이다.
* $N$ 과 $M/N$ 둘 다 뇌터 가군이다.
(아르틴 가군에 대해서도 유사한 조건이 성립한다.)

환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $M$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* $M$ 은 뇌터 가군이자 아르틴 가군이다.
* $M$ 은 유한한 길이의 합성열을 갖는다. 즉, $M_0\subsetneq M_1\subsetneq\cdots\subsetneq M_k=M$ 이 존재하며, $M_i/M_{i-1}$ 은 모두 단순 가군이다.
특히, 유한 집합인 가군은 항상 뇌터 가군이자 아르틴 가군이다.

뇌터 환의 정의에서 좌 또는 우로부터의 곱을 가군에 대한 좌 또는 우 작용으로 바꾸어 생각하고, 환의 아이디얼을 환 위의 부분 가군으로 간주함으로써 뇌터 가군의 개념을 얻는다. 좌 뇌터 환은 자연스럽게 자신 위의 좌 가군으로 간주했을 때 뇌터 가군인 것과 같다.

2.2. 뇌터 스킴

스킴 $X$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 스킴을 국소 뇌터 스킴(locally Noetherian scheme^영어)이라고 한다.

* 뇌터 가환환들의 스펙트럼들로 구성된 열린 덮개가 존재한다.
* 모든 아핀 열린집합은 뇌터 가환환의 스펙트럼이다.

스킴 $X$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 스킴을 뇌터 스킴(Noetherian scheme^영어)이라고 한다.

* 뇌터 가환환들의 스펙트럼으로 구성된 유한 열린 덮개가 존재한다.
* 국소 뇌터 스킴이며, (위상 공간으로서) 콤팩트 공간이다.

3. 성질

* 힐베르트 기저 정리에 따르면 R이 뇌터 환이면 다항식환 $R[X]$ 도 뇌터 환이다. 수학적 귀납법에 의해, $R[X_1, \ldots, X_n]$ 또한 뇌터 환이다. 멱급수 환 역시 뇌터 환이다.
* R이 뇌터 환이고 $I$ 가 양쪽 아이디얼이면, 몫환 $R/I$ 도 뇌터 환이다. 즉, 뇌터 환의 임의의 전사 환 준동형 사상의 상은 네터 환이다.
* 가환 네터 환 위의 모든 유한 생성 가환 대수는 네터 환이다.
* 환 R이 왼쪽 네터 환일 필요충분조건은 모든 유한 생성 왼쪽 R-가군이 네터 가군인 것이다.
* 가환 환이 자신 위의 충실한 네터 가군을 허용하면, 그 환은 네터 환이다.
* (에이킨-나가타) 환 A가 가환 네터 환 B의 부분환이고, B가 A 위에서 유한 생성 가군이면, A는 네터 환이다.
* 환 A가 가환 네터 환 B의 부분환이고, B가 A 위에서 충실 평탄이면, A는 네터 환이다.
* 가환 네터 환의 모든 국소화는 네터 환이다.
* 아키즈키-홉킨스-레비츠키 정리에 따르면 모든 왼쪽 아르틴 환은 왼쪽 네터 환이다. 왼쪽 아르틴 환이 오른쪽 네터 환인 것은 오른쪽 아르틴 환일 때만 가능하다.
* 왼쪽 네터 환은 왼쪽 코히어런트이고, 왼쪽 네터 영역은 왼쪽 오어 영역이다.
* (바스) 환이 (왼쪽/오른쪽) 네터 환인 것은 모든 직합 단사 (왼쪽/오른쪽) 가군이 단사인 경우와 그 역의 경우이다. 왼쪽 네터 가군 위의 모든 왼쪽 단사 가군은 기약 단사 가군의 직합으로 분해될 수 있다.
* 가환 네터 환에는 극소 소 아이디얼이 유한 개만 존재한다. 소 아이디얼에 대해 내림 사슬 조건이 성립한다.
* 가환 네터 영역 R에서 모든 원소는 기약 원소로 분해될 수 있다. 분해가 단위에 의한 인자의 곱셈까지 동형으로 유일하다면, R은 유일 인수 분해 영역이다.
* 뇌터 환의 잉여환은 뇌터 환이다. 뇌터 환의 준동형 사상은 뇌터 환이다.
* 뇌터 환의 부분환은 네터 환이 아닐 수 있다.
* 네터 환 상의 일변수 다항식 환은 네터 환이다. (힐베르트의 기저 정리)

3.1. 뇌터 가군의 성질

환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $_RM$ 및 그 부분 가군 $N\subseteq M$ 에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.
* $M$ 이 뇌터 가군이다.
* $N$ 과 $M/N$ 둘 다 뇌터 가군이다.

(아르틴 가군에 대해서도 유사한 조건이 성립한다.)

환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $M$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* $M$ 은 뇌터 가군이자 아르틴 가군이다.
* $M$ 은 유한한 길이의 합성열을 갖는다. 즉, $M_0\subsetneq M_1\subsetneq\cdots\subsetneq M_k=M$ 이 존재하며, $M_i/M_{i-1}$ 은 모두 단순 가군이다.

특히, 유한 집합인 가군은 항상 뇌터 가군이자 아르틴 가군이다.

3.2. 뇌터 환의 성질

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

👆

좌우로 밀어서 보기

왼쪽 뇌터 환 R에 대해, 다음 환들은 왼쪽 뇌터 환이다.

👆

좌우로 밀어서 보기

뇌터 가환환 R에 대해, 다음 가환환들은 뇌터 가환환이다.

뇌터 가환환의 경우, 크룰 높이 정리가 성립한다. 특히, 뇌터 가환환의 소 아이디얼들의 부분 순서 집합은 내림 사슬 조건을 만족시킨다. (그러나 이는 비가환 왼쪽 뇌터 환에 대하여 성립하지 않을 수 있다.)

3.3. 뇌터 스킴의 성질

국소 뇌터 스킴의 줄기는 모두 뇌터 국소환이다. (그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.) 국소 뇌터 스킴의 구조층은 (스스로 위의 가군층으로서) 연접층이다. 국소 뇌터 스킴은 항상 준분리 스킴이다. (즉, 국소 뇌터 스킴 $X$ 에 대하여, 유일한 스킴 사상 $X\to\operatorname{Spec}\mathbb Z$ 는 준분리 사상이다.)

뇌터 스킴은 뇌터 공간이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

$X$ 가 국소 뇌터 스킴일 때, 다음 스킴들은 국소 뇌터 스킴이다.
* $X$ 위의 국소 유한형 스킴 $Y\to X$
* $X$ 의 닫힌 부분 스킴
* $X$ 의 열린 부분 스킴

$X$ 가 뇌터 스킴일 때, 다음 스킴들은 뇌터 스킴이다.
* $X$ 위의 유한형 스킴 $Y\to X$
* $X$ 의 닫힌 부분 스킴
* $X$ 의 열린 부분 스킴

특히, 체 위의 대수다양체는 뇌터 스킴이다.

4. 예

데데킨트 정역은 모두 뇌터 환이다. 따라서 주 아이디얼 정역, 유클리드 정역, 체, 이산 값매김환은 모두 뇌터 가환환이다. 모든 정칙 국소환은 뇌터 환이다.

반면, 뇌터 환이 아닌 유일 인수 분해 정역이나 값매김환이 존재한다.

뇌터 환의 예는 다음과 같다.

* 유리수, 실수, 복소수를 포함한 모든 체는 뇌터 환이다. (체는 자신과 (0) 두 개의 아이디얼만을 갖는다.)
* 모든 주 아이디얼 환은 뇌터 환이다. (모든 아이디얼이 단일 원소로 생성된다.) 정수가 그 예시이며, 주 아이디얼 정역과 유클리드 정역을 포함한다.
* 데데킨트 정역 (예: 정수환)은 모든 아이디얼이 최대 두 개의 원소로 생성되는 뇌터 정역이다.
* 아핀 대수다양체의 좌표환은 힐베르트 기저 정리에 따라 뇌터 환이다.
* 정수 또는 체 위의 유한 개의 변수를 갖는 다항식환은 뇌터 환이다.

뇌터 환이 아닌 환의 예는 다음과 같다.

* 무한히 많은 변수 X₁, X₂, X₃ 등을 갖는 다항식 환. 아이디얼 시퀀스 (X₁), (X₁, X₂), (X₁, X₂, X₃) 등은 증가하며 종료되지 않는다.
* 모든 대수적 정수의 환은 뇌터 환이 아니다. 예를 들어, 무한히 증가하는 주 아이디얼 체인 (2), (2^1/2), (2^1/4), (2^1/8) 등을 포함한다.
* 실수에서 실수로 가는 모든 연속 함수의 환은 뇌터 환이 아니다. I_n을 모든 x ≥ n에 대해 f(x) = 0인 모든 연속 함수 f의 아이디얼이라고 하자. 아이디얼 시퀀스 I₀, I₁, I₂ 등은 종료되지 않는 증가하는 체인이다.
* 구의 안정 호모토피 군의 환은 뇌터 환이 아니다.

4.1. 뇌터 벡터 공간

체 K 위의 벡터 공간에 대해 다음 세 조건은 서로 동치이다.
* 뇌터 가군이다.
* 아르틴 가군이다.
* 유한 차원 벡터 공간이다.

4.2. 뇌터 군환

임의의 군 $G$ 와 환 $R$ 에 대해 군환 $R[G]$ 를 생각하자. $R$ 이 가환환이라면, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

* $R[G]$ 는 왼쪽 뇌터 환이다.
* $R[G]$ 는 오른쪽 뇌터 환이다.

이는 가환환 위의 군환의 경우, 왼쪽 아이디얼들과 오른쪽 아이디얼들이 $R$ -결합 대수 준동형
: $R[G]\to R[G]^{\operatorname{op}}$
: $g\mapsto g^{-1}\qquad(\forall g\in G)$
에 따라 일대일 대응하기 때문이다.

임의의 군 $G$ 및 환 $R$ 가 주어졌을 때, 만약 $R[G]$ 가 왼쪽·오른쪽·양쪽 뇌터 환이라면, $R$ 는 왼쪽·오른쪽·양쪽 뇌터 환이며, $G$ 는 뇌터 군이다. 반대로, 만약 $R$ 가 뇌터 가환환이며, $G$ 가 뇌터 가해군의 유한군에 의한 확대라면, $R[G]$ 는 양쪽 뇌터 환이다.

일반적인 뇌터 환과 뇌터 군 위의 군환은 뇌터 환이 아닐 수 있다. 다음 두 조건을 만족시키는 군 $G$ 가 존재한다.

* $G$ 는 뇌터 군이다.
* 임의의 뇌터 가환환 $R$ 에 대하여, $R[G]$ 는 양쪽 뇌터 환이 아니다.

5. 주요 정리

Hilbertscher Basissatz^독일어 (Hilbert's basis theorem^영어)에 따르면, 뇌터 환 위의 일변수 다항식 환은 뇌터 환이다.

크룰 주 아이디얼 정리(Krull's principal ideal theorem)에 따르면, 뇌터 환에서 임의의 소 아이디얼의 높이는 유한하다.

골디 정리는 비가환 뇌터 환에 대한 중요한 정리이다.

6. 역사

에미 뇌터는 1921년 논문에서 환의 아이디얼의 오름 사슬 조건을 분석하였다. 훗날 뇌터를 기념하여 이 환들이 "뇌터 환"으로 불리게 되었다.