반소 아이디얼

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요

반소 아이디얼은 환의 아이디얼의 일종으로, 자신의 근기와 일치하는 아이디얼을 의미한다. 가환환 R의 아이디얼 I의 근기는 I를 포함하는 모든 소 아이디얼의 교집합이며, I의 원소의 모든 근을 취함으로써 얻어진다. 반소 아이디얼은 여러 조건과 동치이며, 힐베르트 영점 정리 등 가환대수학에서 중요한 역할을 한다.

반소 아이디얼

📚 더 읽어볼만한 페이지

폐포 연산자 - 완비 격자
완비 격자는 모든 부분 집합이 상한과 하한을 갖는 부분 순서 집합으로, 격자 이론에서 중요한 개념이며 다양한 수학 분야에서 활용된다.
폐포 연산자 - 내부 (위상수학)
내부는 위상 공간의 부분 집합 S에 대해 S에 포함된 가장 큰 열린 집합으로 정의되며, 멱등성을 가지고 폐포와 쌍대적인 개념이다.
아이디얼 - 아이디얼 노름
아이디얼 노름은 데데킨트 정역에서 정의되는 모노이드 준동형으로, 상대 아이디얼 노름, 절대 아이디얼 노름, 아라켈로프 인자의 아이디얼 노름 등이 있으며, 장피에르 세르에 의해 정의되었다.
아이디얼 - 극대 아이디얼
극대 아이디얼은 환론에서 환 $R$의 아이디얼 중 '극대'인 것으로, 극대 왼쪽/오른쪽 아이디얼 및 가환환의 극대 아이디얼로 구체화되며 몫환을 통해 환의 구조 분석에 중요한 역할을 한다.

1. 개요
2. 정의
- 2.1. 소근기
- 2.2. 반소 아이디얼 (근기 아이디얼)
3. 성질
4. 예
5. 응용
6. 역사

2. 정의

가환환 $R$ 의 아이디얼 $I$ 의 근기는 $\operatorname{rad}(I)$ 또는 $\sqrt{I}$ 로 표기하며, 다음과 같이 정의된다.

: $\sqrt{I} = \left\{r\in R \mid r^n\in I\ \hbox{for some}\ n \in \Z^{+}\!\right\}$

( $I \subseteq \sqrt{I}$ 이다.)

직관적으로, $\sqrt{I}$ 는 $R$ (환) 내에서 $I$ 의 원소의 모든 근을 취함으로써 얻어진다. 이는 몫환 $R/I$ 의 영멱 원소 (즉, 닐래디칼)의 아이디얼에 대한 역상과 같다 (자연 사상 $\pi\colon R\to R/I$ 를 통해).

만약 $I$ 의 근기가 유한 생성된다면, $\sqrt{I}$ 의 어떤 거듭제곱은 $I$ 에 포함된다. 특히, $I$ 와 $J$ 가 뇌터 환의 아이디얼이라면, $I$ 와 $J$ 가 같은 근기를 갖는 것은 $I$ 가 $J$ 의 어떤 거듭제곱을 포함하고 $J$ 가 $I$ 의 어떤 거듭제곱을 포함하는 것과 동치이다.

아이디얼 $I$ 가 자신의 근기와 일치하면, $I$ 를 '근기 아이디얼' 또는 '반소 아이디얼'이라고 한다.

2.1. 소근기

환 $R$ 의 양쪽 아이디얼 $\mathfrak{a} \subseteq R$ 의 소근기(素根基, prime radical^영어) 또는 근기(根基, radical^영어) $\sqrt{\mathfrak{a}}$ 는 $\mathfrak{a}$ 를 포함하는 모든 소 아이디얼들의 교집합이다. 즉, 다음과 같다.
: $\sqrt{\mathfrak a}=\bigcap\{\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R\colon\mathfrak a\subseteq\mathfrak p\}\subseteq\{r\in R\colon\exists n\in\mathbb Z^+\colon r^n\in\mathfrak a\}$
여기서 $\operatorname{Spec}R$ 는 $R$ 의 소 아이디얼들의 집합이다. 양쪽 아이디얼의 소근기는 항상 반소 아이디얼이며, $\mathfrak{a}$ 를 포함하는 최소의 반소 아이디얼이다.

가환환의 경우, 다음 집합들은 모두 일치한다.
* $\sqrt{\mathfrak{a}}$
* $\{r\in R \mid \exists n\in\mathbb Z^+\colon r^n\in\mathfrak a\}$ . 즉, 충분히 거듭제곱하면 $\mathfrak{a}$ 의 원소가 되는 원소들의 집합이다.
* $R/\mathfrak{a}$ 의 멱영원들의 집합 $N$ 에 대하여, $\{r\in R\colon [r]\in N\}$ . 즉, 몫환에서 멱영원이 되는 원소들의 집합이다.

가환환의 아이디얼의 소근기는 자리스키 위상의 폐포 연산자와 같다.

가환환 $R$ 의 아이디얼 $I$ 의 근기는 $\operatorname{rad}(I)$ 또는 $\sqrt{I}$ 로 표기하며, 다음과 같이 정의된다.
: $\sqrt{I} = \left\{r\in R \mid r^n\in I\ \hbox{for some}\ n \in \Z^{+}\!\right\},$
( $I \subseteq \sqrt{I}$ 이다.)

직관적으로, $\sqrt{I}$ 는 $R$ (환) 내에서 $I$ 의 원소의 모든 근을 취하여 얻어진다. 이는 몫환 $R/I$ 의 영멱 원소 (즉, 닐래디칼)의 아이디얼에 대한 역상과 같다 (자연 사상 $\pi\colon R\to R/I$ 를 통해).

만약 $I$ 의 근기가 유한 생성된다면, $\sqrt{I}$ 의 어떤 거듭제곱은 $I$ 에 포함된다. 특히, $I$ 와 $J$ 가 뇌터 환의 아이디얼이라면, $I$ 와 $J$ 가 같은 근기를 갖는 것은 $I$ 가 $J$ 의 어떤 거듭제곱을 포함하고 $J$ 가 $I$ 의 어떤 거듭제곱을 포함하는 것과 동치이다.

아이디얼 $I$ 가 자신의 근기와 일치하면, $I$ 를 '근기 아이디얼' 또는 '반소 아이디얼'이라고 한다.

2.2. 반소 아이디얼 (근기 아이디얼)

환 $R$ 속의 양쪽 아이디얼 $\mathfrak a\subseteq R$ 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 양쪽 아이디얼을 반소 아이디얼(semiprime ideal^영어) 또는 근기 아이디얼(radical ideal^영어)이라고 한다.

* 임의의 양쪽 아이디얼 $\mathfrak b\subseteq R$ 에 대하여, 만약 어떤 양의 정수 $n$ 에 대하여 $\mathfrak b^n\subseteq\mathfrak a$ 라면, $\mathfrak b\subseteq\mathfrak a$ 이다.
* 임의의 왼쪽 아이디얼 $B\subseteq R$ 에 대하여, 만약 어떤 양의 정수 $n$ 에 대하여 $B^n\subseteq\mathfrak a$ 라면, $\mathfrak b\subseteq\mathfrak a$ 이다.
* 임의의 오른쪽 아이디얼 $B\subseteq R$ 에 대하여, 만약 어떤 양의 정수 $n$ 에 대하여 $B^n\subseteq\mathfrak a$ 라면, $\mathfrak b\subseteq\mathfrak a$ 이다.
* 임의의 $r\in R$ 에 대하여, 만약 $rRr\subseteq\mathfrak a$ 라면 $r\in\mathfrak a$ 이다.
* $R\setminus\mathfrak a$ 는 n-계를 이룬다.
* $\mathfrak a=\bigcap\mathcal P$ 인, 소 아이디얼들의 집합 $\mathcal P\subseteq\operatorname{Spec}R$ 이 존재한다.
* 스스로의 소근기와 같다. 즉, $\mathfrak a=\sqrt{\mathfrak a}$ 이다.

여기서 $\operatorname{Spec}R$ 는 $R$ 의 소 아이디얼들의 집합이며, n-계(n-system^영어)란 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 $S\subseteq R$ 이다.

: $\forall s\in S\exists r\in R\colon srs\in S$

가환환 $R$ 의 아이디얼 $\mathfrak a$ 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

* 반소 아이디얼이다.
* 임의의 $r\in R$ 및 양의 정수 $n\in\mathbb Z^+$ 에 대하여, 만약 $r^n\in\mathfrak a$ 라면 $r\in\mathfrak a$ 이다.
* 임의의 $r\in R\setminus\mathfrak a$ 에 대하여, $\{r,r^2,r^3,\dots\}\subseteq R\setminus\mathfrak a$ 이다.

가환환 $R$ 의 아이디얼 $I$ 의 근기는 $\operatorname{rad}(I)$ 또는 $\sqrt{I}$ 로 표기하며 다음과 같이 정의된다.

: $\sqrt{I} = \left\{r\in R \mid r^n\in I\ \hbox{for some}\ n \in \Z^{+}\!\right\},$

(참고로 $I \subseteq \sqrt{I}$ 이다.)

직관적으로, $\sqrt{I}$ 는 $R$ 환 내에서 $I$ 의 원소의 모든 근을 취함으로써 얻어진다. 같은말로, $\sqrt{I}$ 는 몫환 $R/I$ 의 영인자로 이루어진 아이디얼(멱영 아이디얼)의 $R/I$ 에서의 역상이다 ( $\pi\colon R\to R/I$ 를 통해).

만약 $I$ 의 근기가 유한 생성된다면, $\sqrt{I}$ 의 어떤 거듭제곱은 $I$ 에 포함된다. 특히, $I$ 와 $J$ 가 뇌터 환의 아이디얼이라면, $I$ 와 $J$ 가 같은 근기를 갖는다는 것과, $I$ 가 $J$ 의 어떤 거듭제곱을 포함하고 $J$ 가 $I$ 의 어떤 거듭제곱을 포함한다는 것은 동치이다.

3. 성질

* $\sqrt{\sqrt{I}} = \sqrt{I}$ 가 항상 성립한다. 즉, 근기 연산은 멱등성을 가진다. 또한 $\sqrt{I}$ 는 $I$ 를 포함하는 가장 작은 근기 아이디얼이다.
* $\sqrt{I}$ 는 $I$ 를 포함하는 $R$ 의 모든 소 아이디얼들의 교집합이며, 다음과 같이 표현된다.
: $\sqrt{I}=\bigcap_{\stackrel{\mathfrak{p}\text{ prime}}{R\supset\mathfrak{p}\supseteq I}}\mathfrak{p}$
:따라서 소 아이디얼의 근기는 그 자신과 같다.
:이 명제는 $I$ 의 근기가 $I$ 를 포함하는 모든 소 아이디얼 중 최소 소 아이디얼들의 교집합과 같다는 것으로 강화될 수 있다.
* 닐근(멱영근기)은 $R$ 의 모든 소 아이디얼의 교집합과 같다.
: $\sqrt{0} = \mathfrak{N}_R = \bigcap_{\mathfrak{p}\subsetneq R\text{ prime}}\mathfrak{p}$
* 환 $R$ 의 아이디얼 $I$ 가 근기 아이디얼일 필요충분조건은 몫환 $R/I$ 가 기약환인 것이다.
* 동차 아이디얼의 근기는 동차 아이디얼이다.
* 아이디얼 교집합의 근기는 그 근기들의 교집합과 같다.
: $\sqrt{I \cap J} = \sqrt{I} \cap \sqrt{J}$
* 일차 아이디얼의 근기는 소 아이디얼이다. 만약 아이디얼 $I$ 의 근기가 극대 아이디얼이면, $I$ 는 일차 아이디얼이다.
* $I$ 가 아이디얼이면, $\sqrt{I^n} = \sqrt{I}$ 이다. 소 아이디얼은 근기 아이디얼이므로, 모든 소 아이디얼 $\mathfrak{p}$ 에 대해 $\sqrt{\mathfrak{p}^n} = \mathfrak{p}$ 이다.
* $I,J$ 를 환 $R$ 의 아이디얼이라고 할 때, 만약 $\sqrt{I}, \sqrt{J}$ 가 코맥시멀이면, $I, J$ 는 코맥시멀이다.
* $M$ 을 노에터 환 $R$ 위의 유한 생성 모듈이라고 하면,
: $\sqrt{\operatorname{ann}_R(M)} = \bigcap_{\mathfrak{p} \,\in\, \operatorname{supp}M} \mathfrak{p} = \bigcap_{\mathfrak{p} \,\in\, \operatorname{ass}M} \mathfrak{p}$
:여기서 $\operatorname{supp}M$ 는 $M$ 의 지지이고, $\operatorname{ass}M$ 는 $M$ 의 연관 소 아이디얼들의 집합이다.

4. 예

정수환 Z에서의 아이디얼의 근기에 대한 예시는 다음과 같다.

👆

좌우로 밀어서 보기

아이디얼	근기	설명
4Z	2Z	짝수
5Z	5Z
12Z	6Z
mZ	rZ	r은 m의 모든 소인수의 곱 (정수의 근기 참조)

다항식환

\Complex[x,y]

에서 아이디얼

I = \left(y^4\right)

의 근기는

\sqrt{I}=(y)

이다. 이는

\sqrt{I}

가 몫 링

R = \Complex[x,y]/\!\left(y^4\right)

의 닐래디컬

\sqrt{0}

과 같고, 닐래디컬은 몫 링의 모든 소 아이디얼의 교집합이기 때문이다.

4.1. 정수환

정수환 Z에서, 아이디얼 $(n)$ 이 반소 아이디얼이 될 필요충분조건은 n이 제곱 인수가 없는 정수이거나 0인 것이다.

정수환 Z에서 아이디얼 $\mathbb{Z}/m$ 의 소근기는 다음과 같이 계산된다.
: $\sqrt{\mathbb Z/m}=\mathbb Z/\left(\prod_{p\mid m}p\right)$
여기서 $\prod_{p\mid m}p$ 는 m의 모든 소인수들의 곱을 의미한다. 예를 들어 $\sqrt{\mathbb Z/12}=\mathbb Z/6$ 이다.

좀 더 일반적으로, mZ의 근기는 rZ인데, 여기서 r은 m의 모든 서로 다른 소인수의 곱으로, m의 가장 큰 제곱 없는 인수이다.

예시는 다음과 같다.
* 4의 정수 배수에 대한 아이디얼 4Z의 근은 2Z이다.
* 5Z의 근은 5Z이다.
* 12Z의 근은 6Z이다.

4.2. 다항식환

대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 다항식환 $K[x]$ 은 주 아이디얼 정역이므로, 모든 아이디얼은 주 아이디얼이다. 다음과 같은 다항식을 생각하자.

: $\prod_{i=1}^k(x-a_i)^{n_i}\in K[x]\qquad(i\ne j\implies a_i\ne a_j)$

이 다항식으로 생성되는 주 아이디얼의 소근기는 다음과 같다.

: $\sqrt{\left(\prod_{i=1}^k(x-a_i)^{n_i}\right)}=\prod_{i=1}^k(x-a_i)$

4.3. 데데킨트 정역

데데킨트 정역 $R$ 에서, 영 아이디얼이나 $R$ 가 아닌 아이디얼은 소 아이디얼로 유일하게 인수 분해되며, 다음과 같은 꼴로 나타내어진다.

: $\prod_{\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R}\mathfrak p^{n(\mathfrak p)}$

이 아이디얼의 소근기는 다음과 같다.

: $\sqrt{\prod_{\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R}\mathfrak p^{n(\mathfrak p)}}=\prod_{\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R}\mathfrak p$

5. 응용

급진(근기)을 연구하는 주요 동기는 가환환론의 힐베르트 영점 정리이다. 이 정리는 대수적 닫힌 체 k 위의 다항식 환 $k[x_1, x_2, \ldots, x_n]$ 의 임의의 아이디얼 J에 대해 다음이 성립한다는 것이다.
: $\operatorname{I}(\operatorname{V}(J)) = \sqrt{J}$
여기서
: $\operatorname{V}(J) = \left\{x \in k^n \mid f(x)=0 \mbox{ for all } f \in J\right\}$
이고,
: $\operatorname{I}(V) = \{f \in k[x_1, x_2,\ldots x_n] \mid f(x)=0 \mbox{ for all } x \in V \}$
이다.

기하학적으로, 이는 만약 대수적 다양체 $V$ 가 다항식 방정식 $f_1=0,\ldots,f_r=0$ 에 의해 정의된다면, $V$ 에서 소멸하는 유일한 다른 다항식은 아이디얼 $(f_1,\ldots,f_r)$ 의 근기 안에 있는 것들이라는 의미이다.

다른 표현으로, 합성 $\operatorname{I}(\operatorname{V}(-))=\sqrt{-}$ 는 환의 아이디얼 집합에 대한 폐포 연산자이다.

6. 역사

반소 아이디얼(Halbprimideal^독일어) 개념은 가환환의 경우 볼프강 크룰이 도입하였고, 일반적인 환의 경우 나가타 마사요시가 도입하였다.