반완전수

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1. 개요

반완전수는 자신의 진약수의 합으로 나타낼 수 있는 수이다. 준완전수의 배수는 모두 준완전수이며, 2^mp 형태의 수는 준완전수이다. 2^m(2^m+1 − 1) 형태의 수는 준완전수이며, 2^m+1 − 1이 메르센 소수이면 완전수이다. 원시 반완전수는 진부분수 중 반완전수가 없는 반완전수이며, 6, 20, 28, 88, 104 등이 있다. 홀수인 원시 반완전수도 무한히 많으며, 모든 반완전수는 원시 반완전수의 배수이다.

반완전수

정의

정의	어떤 수의 자신을 제외한 약수들의 합으로 표현될 수 있는 자연수를 말한다.

예시

예시	6, 12, 18, 20, 24, 28, 30

수열

OEIS	A005835
OEIS 이름	준완전수 (또는 반완전수)

언어별 명칭

영어	Semiperfect number, pseudoperfect number

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1. 개요
2. 성질
3. 원시 반완전수
4. 기타 반완전수 관련 사항

2. 성질

* 준완전수의 배수는 준완전수이다. 어떤 더 작은 준완전수로도 나누어 떨어지지 않는 준완전수는 '원시적'이라고 불린다.
* 자연수 m과 p < 2^m+1인 홀수 소수 p에 대해, 2^mp 형태의 모든 수는 준완전수이다.
* 특히, 2^m(2^m+1 − 1) 형태의 모든 수는 준완전수이며, 2^m+1 − 1이 메르센 소수이면 완전수이다.
* 가장 작은 홀수인 준완전수는 945이다.
* 준완전수는 반드시 완전수이거나 과잉수이다. 준완전수가 아닌 과잉수는 기묘수라고 불린다.
* 2를 제외한 모든 제1 의사 완전수는 준완전수이다.
* 실용수 중 2의 거듭제곱이 아닌 모든 수는 준완전수이다.
* 준완전수의 집합의 자연 밀도가 존재한다.

3. 원시 반완전수

원시 반완전수 (또는 원시 유사 완전수, 기약 반완전수 또는 기약 유사 완전수)는 진부분수 중 반완전수가 없는 반완전수이다.

가장 작은 몇 개의 원시 반완전수는 6, 20, 28, 88, 104, 272, 304, 350 등이다.

그러한 수는 무한히 많다. 2^mp 형태의 모든 수는, 여기서 p는 2^m과 2^m+1 사이의 소수이며, 원시 반완전수이지만 이것이 유일한 형태는 아니다. 예를 들어 770이 있다. 폴 에르되시의 결과에 따르면, 홀수인 원시 반완전수도 무한히 많으며, 가장 작은 값은 945이다. 조화 약수 수가 아닌 원시 반완전수도 무한히 많다.

모든 반완전수는 원시 반완전수의 배수이다.

4. 기타 반완전수 관련 사항

완전수의 약수는 모두 부족수이다. 90은 유사 완전수이지만, 자신의 약수 중 부족수만을 더하여 자기 자신이 되는 수이다. 예를 들어, σ(a) - 2a = 1 (σ는 약수 함수)을 만족하는 자연수는 유사 완전수라고 불린다. 하지만 실제로, 그 해가 -1, 0, 1을 만족하는 자연수 a가 존재하는지는 불분명하며, 현재 수학에서는 밝혀지지 않았다.