범대각선

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 마방진에서의 범대각선
3. 선형대수학에서의 범대각선
- 3.1. 3x3 행렬식과 부서진 대각선
참조

1. 개요

범대각선은 마방진의 일종으로, 모든 대각선과 범대각선의 합이 마방진 상수와 같은 마방진을 의미한다. 범대각선은 마방진 사각형 가장자리를 통과하는 대각선을 말하며, 범마방진은 완전방진이라고도 불린다. 범마방진은 대각선뿐 아니라 범대각선에서도 합이 마법 합으로 같아야 하며, 입체마방진에서는 면대각선과 평행한 것을 의미한다. 또한, 선형대수학에서는 3x3 행렬의 행렬식을 구하는 공식에 사용된다.

더 읽어볼만한 페이지

마방진 - 멜랑콜리아 I
알브레히트 뒤러의 동판화 "멜랑콜리아 I"은 우울을 의인화한 인물과 여러 상징적 오브제를 통해 멜랑콜리아의 복합적인 의미와 예술가의 고뇌, 천재성을 탐구하는 작품이다.
마방진 - 범마방진
범마방진은 가로, 세로, 대각선뿐 아니라 꺾인 대각선의 숫자 합도 동일한 마방진으로, 행이나 열을 이동시켜도 성질이 유지되며 특정 형태는 존재하지 않고 보조 방진이나 라틴 방진으로 생성 가능하며 동아시아에서 발전하여 현대 수학 및 다양한 분야에 응용된다.

범대각선
정의
범대각선 마방진	모든 행, 열, 주요 대각선, 그리고 부러진 대각선의 합이 같은 마방진
부러진 대각선	주요 대각선을 평행 이동시켜 얻어지는 대각선 (반드시 전체 길이여야 함)
팬대각선 마방진	범대각선 마방진의 다른 이름
특징
정사각형 크기	4 × 4 이상의 정사각형에서 존재
존재 조건	모든 크기의 마방진이 존재하는 것은 아님
구현 방식	정사각형 크기가 소수이거나 소수의 거듭제곱인 경우, 쉬운 알고리즘으로 구현 가능

2. 마방진에서의 범대각선

범마방진(汎對角線魔方陣, Pandiagonal magic square, Panmagic square^eng)은 일반적인 마방진의 조건을 만족하는 동시에, 범대각선에 있는 수들의 합 또한 마방진 상수와 같은 마방진을 의미한다.^[4] 범대각선은 마방진의 가장자리를 넘어 반대편으로 이어지는 대각선을 말하며, '깨진 대각선'(broken diagonal)이라고도 부른다.^[1]^[2] 모든 행, 열, 주 대각선뿐만 아니라 모든 범대각선의 합까지 마방진 상수로 일정해야 하므로, 범마방진은 마방진 중 가장 높은 등급으로 여겨지며,^[5] '완전방진'(完全方陣)이라고도 한다.^[6]

2. 1. 범마방진의 정의

'''범마방진'''(汎對角線魔方陣, Pandiagonal magic square, Panmagic square^영어)은 일반적인 마방진의 조건을 만족하는 동시에, 범대각선에 있는 수들의 합 또한 마방진 상수와 같은 마방진을 의미한다. 범대각선은 마방진의 가장자리를 넘어 반대편으로 이어지는 대각선을 말하며, '깨진 대각선'(broken diagonal)이라고도 부른다.^[4]^[1]^[2] 모든 행, 열, 주 대각선뿐만 아니라 모든 범대각선의 합까지 마방진 상수로 일정해야 하므로, 범마방진은 마방진 중 가장 높은 등급으로 여겨지며,^[5] '완전방진'(完全方陣)이라고도 한다.^[6]

위 이미지에 제시된 4x4 마방진은 범마방진의 한 예이다. 이 마방진의 마방진 상수는 34이다. 일반적인 마방진처럼 모든 행, 열, 그리고 두 개의 주 대각선의 합은 34가 된다. 범마방진의 조건을 만족하는지 확인하려면, 모든 범대각선(깨진 대각선)의 합 또한 34인지 확인해야 한다.

이 마방진에서 몇 가지 범대각선의 예와 그 합은 다음과 같다.

3, 12, 14, 5 → 3 + 12 + 14 + 5 = 34
10, 1, 7, 16 → 10 + 1 + 7 + 16 = 34
10, 13, 7, 4 → 10 + 13 + 7 + 4 = 34
15, 8, 2, 9 → 15 + 8 + 2 + 9 = 34
6, 13, 11, 4 → 6 + 13 + 11 + 4 = 34

이처럼 확인된 범대각선 외 다른 모든 범대각선의 합 역시 마방진 상수인 34와 같으므로, 이 마방진은 범마방진임을 알 수 있다.

범대각선을 시각적으로 이해하는 한 가지 방법은, 원래 마방진의 사본이 상하좌우로 무한히 반복되어 배열되어 있다고 상상하는 것이다. 아래 그림처럼 마방진 옆에 동일한 마방진(유령 이미지)이 있다고 생각하면, 범대각선 {3, 12, 14, 5}는 왼쪽 위 유령 이미지의 3에서 시작하여 오른쪽 아래 방향으로 원래 마방진을 가로질러 이어지는 것을 볼 수 있다.

2. 2. 범마방진의 예시

아래는 4차 범마방진의 한 예시이다. 범마방진에서는 가로, 세로, 주 대각선뿐만 아니라, 범대각선(또는 깨진 대각선)에 있는 수들의 합도 마법 합(Magic sum)으로 일정해야 한다.^[4]^[1]^[2] 제시된 마방진의 마법 합은 34이다.

4차 범마방진 예시
3	10	15	6
13	8	1	12
2	11	14	7
16	5	4	9

이 마방진에서 범대각선의 합이 마법 합 34와 같은 예시는 다음과 같다.

3 + 12 + 14 + 5 = 34
10 + 1 + 7 + 16 = 34
15 + 12 + 2 + 5 = 34
6 + 13 + 11 + 4 = 34
10 + 13 + 7 + 4 = 34
15 + 8 + 2 + 9 = 34

범대각선을 시각적으로 이해하는 한 가지 방법은 원래 마방진 옆에 동일한 마방진이 계속 이어져 있다고 상상하는 것이다. 예를 들어 {3, 12, 14, 5} 범대각선은 원래 마방진의 왼쪽 위 3에서 시작하여, 가상의 다음 마방진으로 넘어가며 대각선 방향으로 수를 이어 찾는 방식으로 생각할 수 있다.

2. 3. 입체마방진에서의 범대각선

입체마방진에서 범대각선(pandiagonal)은 면대각선과 평행한 것을 말한다.^[7] 범입체대각선(pantriagonal)은 4개의 입체대각선과 평행한 것을 말한다.^[8]

3. 선형대수학에서의 범대각선

선형대수학에서 '''부서진 대각선'''(broken diagonal^eng)은 특정 크기의 행렬, 특히 3×3 행렬의 행렬식을 계산하는 데 사용되는 개념이다.^[3] 3×3보다 큰 크기의 행렬에서도 소행렬식을 이용한 행렬식 계산 과정에서 유사한 개념이 활용될 수 있다.

3. 1. 3x3 행렬식과 부서진 대각선

부서진 대각선은 3x3 행렬의 행렬식을 구하는 공식에 사용된다.

3×3 행렬 ''A''의 행렬식은 다음과 같다.

:

\begin{align}|A| = \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix}&= a\,\begin{vmatrix} \Box & \Box & \Box \\ \Box & e & f \\ \Box & h & i \end{vmatrix} -b\,\begin{vmatrix} \Box & \Box & \Box \\ d & \Box & f \\ g & \Box & i \end{vmatrix} +c\,\begin{vmatrix} \Box & \Box & \Box \\ d & e & \Box \\ g & h & \Box \end{vmatrix} \\[3pt]&= a\,\begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} -b\,\begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix} +c\,\begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix} \\[3pt]&= aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh.\end{align}

^[3]

여기서

bfg, cdh, bdi,

및

afh

는 행렬의 부서진 대각선(요소의 곱)이다.

부서진 대각선은 3×3 이상의 크기를 가진 모든 행렬의 행렬식을 계산하는 데 사용된다. 이것은 행렬의 소행렬식을 사용하여 행렬식을 계산함으로써 보일 수 있다.

참조

_[1] 서적 The Zen of Magic Squares, Circles, and Stars: An Exhibition of Surprising Structures across the Dimensions https://books.google[...] Princeton University Press
_[2] 서적 Recreations in Mathematics https://books.google[...] D. Van Nostrand Company
_[3] 웹사이트 Determinant https://mathworld.wo[...]
_[4] 웹인용 Pandiagonal Magic Squares http://budshaw.ca/Pa[...]
_[5] 웹인용 The Order-5 Magic Square http://www.magic-squ[...] 2020-11-03
_[6] 웹인용 5 x 5 Complete magic square (일본어) http://www.pse.che.t[...] 2020-11-03
_[7] 웹인용 Pandiagonal and pantriagonal http://www.magic-squ[...] 2010-03-04
_[8] 웹인용 Magic Cubes - Groups http://www.magic-squ[...] 2010-10-19

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com