입체대각선

1. 개요

입체대각선은 다면체의 중심을 지나는 공간 대각선을 의미한다. 정육면체의 경우, 모든 공간 대각선이 축대각선이며, 직육면체, 정팔면체, 정이십면체 등 다양한 다면체에서 축대각선의 길이와 개수가 다르게 나타난다. 마방진 큐브는 입체대각선 상의 수들의 합이 동일하도록 배열된 정육면체 형태의 마방진이다.

2. 축대각선 (Axial Diagonal)

축대각선(axial diagonal^영어)은 다면체의 중심을 통과하는 입체대각선이다.

2.1. 정다면체의 축대각선

축대각선(axial diagonal^영어)은 다면체의 중심을 지나가는 입체대각선이다.

2.1.1. 정육면체

모서리의 길이가 a인 정육면체에는 4개의 입체대각선이 있으며, 이들은 모두 다면체의 중심을 지나는 축대각선이다. 이 축대각선들의 길이는 모두 $a\backslash sqrt\; \{3\}.$이다.

2.1.2. 직육면체

모서리의 길이가 a, b, c인 직육면체는 4개의 축대각선을 가지며, 그 길이는 모두 $\backslash sqrt\{a^2+b^2+c^2\}$이다.

2.1.3. 정팔면체

모서리의 길이가 a인 정팔면체는 길이가 $a\backslash sqrt\; \{2\}$인 축대각선 3개를 가진다.

2.1.4. 정이십면체

모서리의 길이가 a인 정이십면체는 축대각선 6개를 가지며, 그 길이는 $a\backslash sqrt\; \{2+\backslash varphi\}$이다. 여기서 $\backslash varphi$는 황금비 $(1+\backslash sqrt\; 5)/2$를 의미한다.

3. 마방진 큐브의 입체대각선

마방진 큐브magic cube^영어는 가로줄, 세로줄, 대각선에 있는 수들의 합이 같도록 수들을 정육면체 모양으로 배열해 놓은 것이다. 마방진이 정사각형 격자에서 각 행, 열, 대각선의 숫자 합이 같은 것과 유사하다. 따라서 마방진 큐브는 각 가로줄, 세로줄뿐만 아니라 4개의 입체대각선과 12개의 면대각선 위에 있는 수들의 합도 모두 같아야 한다. 마법 정육면체 역시 정육면체 격자에 숫자를 배열하여 네 개의 공간 대각선(입체대각선)의 합이 각 행, 각 열, 각 기둥의 합과 같도록 정의된다. 즉, 입체대각선은 마방진 큐브가 성립하기 위한 중요한 조건 중 하나이다.