베주 항등식
1. 개요
베주 항등식은 주 아이디얼 정역 R의 원소 a, b와 a, b의 최대공약수 d에 대해, ma + nb = d를 만족하는 R의 원소 m, n이 존재한다는 정리이다. 이는 정수론의 정수 환뿐만 아니라 주 아이디얼 정역에서도 성립하며, 베주 항등식이 성립하는 정역을 베주 정역이라고 한다. a와 b가 모두 0이 아니고, 베주 계수 (x, y)가 계산되었을 때, 모든 쌍은 (x-k(b/d), y+k(a/d)) 형태로 나타낼 수 있다. 베주 항등식은 셋 이상의 정수 및 체 F 위의 일변수 다항식으로 일반화될 수 있으며, 클로드 가스파르 바셰 드 메지리악이 정수에 대한 명제를 발견하고, 에티엔 베주가 다항식에 대한 항등식을 증명했다.
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디오판토스 방정식 -
펠 방정식
펠 방정식은 제곱수가 아닌 양의 정수 n에 대해 <math>x^2-ny^2=1</math> 꼴로 표현되는 디오판토스 방정식이며, 이차 수체에서 노름이 1인 원소를 찾는 문제로 해석되고, 자명한 해 외에 항상 정수해를 가지며, 해는 연분수 전개를 통해 구할 수 있고, 무리 제곱근의 유리 근삿값과 관련되어 고대부터 연구되었다. -
디오판토스 방정식 -
피타고라스 삼조
피타고라스 삼조는 a² + b² = c²을 만족하는 양의 정수 세 쌍 (a, b, c)이며, 특히 서로소인 세 정수로 이루어진 경우를 원시 피타고라스 삼조라고 한다. -
보조정리 -
모스 이론
모스 이론은 미분다양체 위의 함수의 임계점과 지표를 이용하여 다양체의 위상수학적 성질을 연구하는 이론으로, 함수값에 따른 부분공간 변화를 관찰하여 다양체의 호몰로지를 계산하고 위상수학적 성질을 밝히는 데 응용된다. -
보조정리 -
리만-르베그 보조정리
적분 가능한 함수의 푸리에 변환은 무한대에서 0으로 수렴하는 리만-르베그 보조정리는 푸리에 급수와 라플라스 변환 등 다양한 형태로 나타나며 적분의 점근적 근사를 구하는 데 사용되지만, 모든 분포에 대해 성립하는 것은 아니다.
2. 정의
주 아이디얼 정역 R의 원소 a, b에 대해, d가 a와 b의 최대공약수 중 하나라면, 다음을 만족하는 R의 원소 m, n이 존재한다.
: ma + nb = d
이는 정수의 환뿐만 아니라 다른 모든 주 아이디얼 정역(PID)에서도 성립한다. 즉, R이 PID이고, a와 b가 R의 원소이며, d가 a와 b의 최대공약수이면, 아이디얼 Ra + Rb는 주 아이디얼이고 Rd와 같으므로, ax + by = d를 만족하는 R의 원소 x와 y가 존재한다.
베주 항등식이 성립하는 정역을 베주 정역이라고 한다.
3. 해의 구조
a와 b가 모두 0이 아니고, 베주 계수 (x, y)가 계산되었다면 (예를 들어 확장 유클리드 알고리즘을 사용하여), 모든 쌍은 다음과 같은 형태로 나타낼 수 있다.
:(x - k(b/d), y + k(a/d))
여기서 k는 임의의 정수, d는 a와 b의 최대공약수이며, 분수는 정수로 약분된다.
만약 a와 b가 모두 0이 아니고 서로소라면, 베주 계수 쌍 중 정확히 두 쌍이 |x| < |b/d| 와 |y| < |a/d|를 만족한다. 확장 유클리드 알고리즘은 항상 이 두 최소 쌍 중 하나를 생성한다.
3.1. 예시
a영어 = 12, b영어 = 42일 때, 최대공약수(12, 42) = 6이다. 이 경우 베주 항등식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:12 × (-3) + 42 × 1 = 6
:12 × 4 + 42 × (-1) = 6
:12 × (11) + 42 × (-3) = 6
여기서 (-3, 1)과 (4, -1)은 최소 베주 계수 쌍이다. (18, -5)가 원래 베주 계수 쌍이라면, k = 2, k = 3일 때 최소 쌍을 구할 수 있다. 즉, (18 - 2 × 7, -5 + 2 × 2) = (4, -1)과 (18 - 3 × 7, -5 + 3 × 2) = (-3, 1)이다.
4. 증명
주 아이디얼 정역한국어 R에서 원소 a와 b가 주어졌고, d가 a와 b의 최대공약수 가운데 하나라고 하자. 그러면 다음 등식을 만족하는 원소 m과 n이 R에 존재한다.
: ma + nb = d
(주 아이디얼 정역에 대한 증명) R가 주 아이디얼 정역이고, a, b ∈ R이며, d ∈ R가 이들의 최대공약수 중 하나라고 하자. R는 주 아이디얼 정역이므로 Ra + Rb는 주 아이디얼이다. 즉,
: Ra + Rb = Rc
인 c ∈ R가 존재한다. 최대공약수의 정의에 따라
: Ra + Rb ⊂ Rd ⊂ Rc = Ra + Rb
가 성립한다. 따라서
: Ra + Rb = Rd
이고,
: ma + nb = d
를 만족하는 m, n ∈ R가 존재한다.
(정수에 대한 증명) 0이 아닌 임의의 정수 a와 b에 대해, 집합 S = {ax + by | x, y ∈ Z, ax + by > 0}를 정의하자. S는 a 또는 -a를 포함하므로 공집합이 아니다(x = ±1, y = 0일 때). S는 양의 정수로 이루어진 공집합이 아닌 집합이므로, 정렬 원리에 의해 최소 원소 d = as + bt를 갖는다.
d가 a와 b의 최대공약수임을 보이려면, d가 a와 b의 공약수이고, 임의의 다른 공약수 c에 대해 c ≤ d임을 보이면 된다.
a를 d로 유클리드 나눗셈하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.
: a = dq + r (여기서 0 ≤ r < d)
나머지 r은 S ∪ {0}에 속한다. 왜냐하면,
: r = a - qd = a - q(as + bt) = a(1 - qs) - bqt
이므로, r은 ax + by 꼴이기 때문이다. 따라서 r ∈ S ∪ {0}이다. 그런데 0 ≤ r < d이고 d는 S에서 가장 작은 양의 정수이므로, r은 S에 속할 수 없고, 따라서 0이어야만 한다. 이는 d가 a의 약수임을 뜻한다. 마찬가지로, d는 b의 약수이므로, d는 a와 b의 공약수이다.
이제 c를 a와 b의 임의의 공약수라고 하자. 그러면 a = cu와 b = cv를 만족하는 u와 v가 존재한다. 따라서 다음이 성립한다.
: d = as + bt = cus + cvt = c(us + vt)
즉, c는 d의 약수이다. d > 0이므로, c ≤ d이다.
5. 일반화
베주 항등식은 셋 이상의 정수에 대해서도 확장할 수 있다. 만약 gcd(a₁, a₂, ..., aₙ) = d라면, 다음을 만족하는 정수 x₁, x₂, ..., xₙ이 존재한다.
:d = a₁x₁ + a₂x₂ + ⋯ + aₙxₙ
이는 다음과 같은 성질을 갖는다.
* d는 이 형태의 가장 작은 양의 정수이다.
* 이 형태의 모든 수는 d의 배수이다.
베주 항등식은 체(field) F 위의 일변수 다항식에 대해서도 정수와 동일하게 적용된다. 특히, 베주 계수와 최대공약수는 확장 유클리드 알고리즘으로 계산할 수 있다.
두 다항식의 공통 근은 최대공약수의 근이므로, 베주 항등식과 대수학의 기본 정리에 의해 다음 결과가 성립한다.
:체 F 계수를 갖는 일변수 다항식 f와 g에 대해, af + bg = 1을 만족하는 다항식 a와 b가 존재할 필요충분조건은 f와 g가 임의의 대수적으로 닫힌 체(일반적으로 복소수)에서 공통 근을 갖지 않는 것이다.
이 결과는 임의 개수의 다항식과 미지수에 대한 힐베르트 영점 정리로 일반화된다.
베주 항등식은 주 아이디얼 정역(PID)뿐만 아니라 베주 정역에서도 성립한다. 즉, R이 PID이고, a와 b가 R의 원소이며, d가 a와 b의 최대공약수이면, ax + by = d를 만족하는 R의 원소 x와 y가 존재한다.