피타고라스 삼조

3. 성질

모든 피타고라스 삼조는 원시 피타고라스 삼조에 배수를 취하여 생성할 수 있다. 피타고라스 삼조 (a, b, c)는 항상 3의 배수를 포함한다. 이는 귀류법을 사용하여 증명할 수 있는데, 3의 배수를 포함하지 않는 피타고라스 삼조가 존재한다고 가정하면 모순이 발생한다.

피타고라스 삼조는 다음 성질을 갖는다.

• a 또는 b는 4의 배수이다.
• a 또는 b 또는 c는 5의 배수이다.

3. 1. 원시 피타고라스 삼조의 성질

4. 생성 공식

피타고라스 삼조는 (두 직각변의 크기 관계를 무시하면) 항상 $(m^2-n^2,2mn,m^2+n^2)$ ($m>n>0$) 꼴이다. 이러한 꼴이 원시 피타고라스 삼조일 필요충분조건은 $m,n$이 짝수를 포함하는 서로소 정수인 것이다. 특히, $(m^2-1,2m,m^2+1)$은 항상 피타고라스 삼조이다.

원시 피타고라스 삼조는 세 행렬로 생성되는 모노이드 작용에 대한 궤도를 이룬다.^[3]

• $m$, $n$ 은 서로소
• $m\; >\; n$
• $m$ 과 $n$ 의 짝/홀은 다르다 (한쪽이 홀수이고 다른 쪽이 짝수)

• $p$, $q$ 은 서로소
• $p\; >\; q$
• $p$, $q$ 는 홀수

4. 1. 유클리드 공식 증명

4. 2. 유클리드 공식 변형

5. 예시

100 이하의 원시 피타고라스 삼조는 모두 16쌍이다. 유클리드 공식에 따라, $m$과 $n$ ($m>n>0$) 값을 조절하여 피타고라스 삼조를 생성할 수 있다. 다음 표는 $m$과 $n$ 값에 따른 피타고라스 삼조를 나타낸다.

단, (27, 36, 45)는 (3, 4, 5)와 정비례하므로 원시 피타고라스 삼조에서 제외된다.

다음은 100 이하의 원시 피타고라스 삼조 16쌍을 나열한 표이다.

6. 역사

피타고라스 삼조는 기원전 1800년경 고대 바빌로니아 시대부터 알려져 있었다. 플림턴 322는 바빌로니아의 점토판으로, 육십진법으로 피타고라스 삼조가 기록되어 있다. 이 점토판은 1900년대 초 에드가 제임스 뱅크스에 의해 발견되었고, 1922년에 조지 아서 플림턴에게 10USD에 판매되었다.^[47]

플라톤Πλάτων|플라톤^grc(기원전 380년경)은 짝수에서 시작하는 피타고라스 삼조 생성 방법을 제시했다.

• a는 짝수: $\backslash text\{변\; \}a\; :\; \backslash text\{변\; \}b\; =\; \backslash left(\{a\; \backslash over\; 2\}\backslash right)^2\; -\; 1\; :\; \backslash text\{변\; \}c\; =\; \backslash left(\{a\; \backslash over\; 2\}\backslash right)^2\; +\; 1$

• a는 홀수: $\backslash text\{변\; \}a\; :\; \backslash text\{변\; \}b\; =\; \{a^2\; -\; 1\; \backslash over\; 2\}\; :\; \backslash text\{변\; \}c\; =\; \{a^2\; +\; 1\; \backslash over\; 2\}$

7. 확장 및 관련 개념

피타고라스 삼조는 여러 방법으로 일반화할 수 있다.

• 페르마의 마지막 정리: 피에르 드 페르마는 1637년에 $a^n + b^n = c^n$ ($n$은 2보다 큰 정수)을 만족하는 양의 정수 해 $a$, $b$, $c$는 존재하지 않는다고 주장했다. 이 주장은 페르마의 마지막 정리로 알려졌으며, 1994년에 앤드루 와일스가 처음으로 증명하였다.
• '''n − 1 또는 n개의 n제곱수의 합''': 오일러의 거듭제곱 합 추측과 관련하여, ''n'' - 1개의 ''n''제곱수의 합이 하나의 ''n''제곱수가 되는 경우가 있는지 탐구했다. 페르마의 마지막 정리에 의해 ''n'' = 3일 때는 불가능하지만, ''n'' = 4 또는 5인 경우에는 존재한다.^[43][44][45]
• ''n'' = 4: (95800, 217519, 414560; 422481)
• ''n'' = 5: (27, 84, 110, 133; 144)
• '''헤론 삼각형''': 변의 길이와 넓이가 모두 정수인 삼각형이다. 모든 피타고라스 삼중수는 헤론 삼중수이지만, 모든 헤론 삼중수가 피타고라스 삼중수인 것은 아니다. 예를 들어 (4, 13, 15)는 넓이가 24로 헤론 삼각형이지만, 피타고라스 삼각형은 아니다.
• '''거의 등변 피타고라스 삼조''': 이등변 삼각형인 피타고라스 삼조는 존재하지 않지만, 직각 삼각형의 빗변이 아닌 변의 길이가 1만큼 차이나는 직각 삼각형은 무한히 존재한다.
• '''가우스 정수''': 피타고라스 삼중수는 가우스 정수를 사용하여 분석하고 증명할 수 있다.^[30]
• '''모듈러 군''': 모듈러 군의 작용은 표준 삼조 집합에 전이적이다. 군 Γ(2)는 원시 피타고라스 삼조의 집합에 전이적으로 작용한다.^[29]
• '''암호학적 응용''': 원시 피타고라스 삼조는 암호학에서 임의 시퀀스 및 키 생성에 사용되어 왔다.^[46]

7. 1. 페르마의 마지막 정리

참조

_[1] harvtxt
_[2] 간행물 Words and Pictures: New Light on Plimpton 322 https://www.maa.org/[...]
_[3] 간행물 Euclid's Elements Clark University 1997-06
_[4] 간행물 An Alternative Characterisation of All Primitive Pythagorean Triples 2001-07
_[5] OEIS Pell numbers
_[6] 간행물 Proofs Without Words: More Exercises in Visual Thinking Mathematical Association of America
_[7] 서적 The Pythagorean Theorem Princeton University Press
_[8] 간행물 Pythagorean Triangles Dover
_[9] 간행물 Proofs Without Words: Exercises in Visual Thinking Mathematical Association of America
_[10] 간행물 The Pythagorean Theorem: The Story of Its Power and Beauty https://archive.org/[...] Prometheus Books
_[11] 간행물 Elementary Number Theory with Applications https://books.google[...] Academic Press
_[12] harvnb
_[13] 간행물 Proceedings of the Southeastern Conference on Combinatorics, Graph Theory, and Computing, Volume 20 https://books.google[...] Utilitas Mathematica Pub
_[14] 간행물 Roots to Research: A Vertical Development of Mathematical Problems https://books.google[...] American Mathematical Society
_[15] 간행물 Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms https://books.google[...] Springer
_[16] 간행물 A Survey of Classical and Modern Geometries: With Computer Activities Prentice Hall
_[17] 간행물 Heron's formula, Descartes circles, and Pythagorean triangles
_[18] OEIS Least primes that together with prime(n) forms a Heronian triangle
_[19] 문서 H. Darmon and L. Merel. Winding quotients and some variants of Fermat’s Last Theorem, J. Reine Angew. Math. 490 (1997), 81–100.
_[20] 간행물 Diophantine Analysis https://archive.org/[...] John Wiley & Sons
_[21] 간행물 Heron triangles and moduli spaces http://www.nctm.org/[...] 2008-05
_[22] Mathworld Rational Triangle
_[23] 간행물 Pythagorean triples, complex numbers, abelian groups and prime numbers
_[24] 간행물 The Math Book https://books.google[...] Sterling
_[25] 간행물 83.27 Integer solutions of $a^\{-2\}+b^\{-2\}=d^\{-2\}$ 1999-07
_[26] 간행물 92.48 The upside-down Pythagorean theorem 2008-07
_[27] 간행물 Heron triangles which cannot be decomposed into two integer right triangles http://math.fau.edu/[...] 41st Meeting of Florida Section of Mathematical Association of America
_[28] 간행물 Recreational Mathematics http://math.fau.edu/[...] Dept. of Mathematical Sciences, Florida Atlantic University
_[29] harv
_[30] 간행물 Elements of Number Theory Springer
_[31] 간행물 Theoria residuorum biquadraticorum
_[32] 간행물 Multiple Pythagorean number triples http://conservancy.u[...] 1991-06
_[33] 간행물 Pythagorean triangles with legs less than {{math|''n''}} http://www.unirioja.[...] 2002-06
_[34] 간행물 An Imaginary Tale: The Story of $\backslash sqrt\{-1\}$ Princeton University Press
_[35] OEIS
_[36] OEIS
_[37] 간행물 Fibonacci Meets Pythagoras 2001-09
_[38] OEIS Smallest positive integer whose square can be written as the sum of n positive perfect squares
_[39] citation Sum of consecutive cubes equal a cube http://www.math.niu.[...]
_[40] 간행물 When is the sum of consecutive squares a square? 2011-11
_[41] 간행물 Reader reflections http://www.nctm.org/[...] 2005-05
_[42] 간행물 Triples, quartets, pentads 2005-05
_[43] 간행물 Bogglers http://discovermagaz[...] 2002-05
_[44] 간행물 On A{{sup|4}} + B{{sup|4}} + C{{sup|4}} = D{{sup|4}} https://www.ams.org/[...]
_[45] 간행물 Generalising a result about Pythagorean triples 2012-03
_[46] 간행물 Cryptographic applications of primitive Pythagorean triples http://www.tandfonli[...]
_[47] 간행물 Words and Pictures: New Light on Plimpton 322 https://www.maa.org/[...]
_[48] 간행물 Euclid's Elements Clark University 1997-06
_[49] 서적 三角形の七不思議 2013-07-20